初中人教版16.1 二次根式精练

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二次根式的判别
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列式子中，是二次根式的是( )
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是( )
A．B．C．D．
3．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）下列式子一定不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
二次根式有意义的条件
例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期末）使有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）要使有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．是一切实数C．D．
2．（23-24八年级上·四川泸州·期末）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
3．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．且
同类二次根式
例题：（23-24九年级上·河南许昌·期末）下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建南平·期末）下列二次根式中能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·山东德州·期末）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24九年级上·山西临汾·期末）下列与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
最简二次根式的判别
例题：（23-24九年级上·四川眉山·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
利用二次根式的性质化简
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列各组数中，相等的一组数是（ ）
A．与B．与C．与D．与
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简 的结果是 ．
比较二次根式的大小
例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）比较大小： ．（用、或连接）
2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小 （用，，号填写）．
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ．
二次根式加减乘除混合运算
例题：（23-24八年级下·福建南平·期末）计算：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）计算：
(1)；
(2)．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算：
(1)；
(2)．
已知字母的值，化简求值
例题：（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简， 再求值：，其中
【变式训练】
1．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）已知，求代数式的值．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简再求值：，其中．
3．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
二次根式的分母有理化
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
．
(1)模仿材料中的计算方法，化简______；
(2)求解：；
(3)为正整数，且，求的值．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出 ；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出 的值．
新定义型二次根式的运算
例题：（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·山西长治·期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值．
2．（19-20八年级上·辽宁沈阳·期末）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
3．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式．
(1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ；
(2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式．
二次根式中的规律探究问题
例题：（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：__________；
(2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(3)请利用你发现的规律，计算：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
(1)若；则______，______．
(2)的值为_________．
(3)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
2．（22-23八年级下·辽宁·期末）阅读下列解题过程：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
．．．．．．
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：______；
(2)按照你所发现的规律，请你写出第（为正整数）个等式：______；
(3)利用这一规律计算，．
一、单选题
1．（23-24九年级上·河南周口·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）估计的值在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
3．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（23-24八年级上·广西桂林·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·广东深圳·期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
9．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知分别为等腰三角形的两条边长，且满足，此三角形的周长为 ．
10．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
三、解答题
11．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）计算：
(1)；
(2)．
12．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算：
(1)；
(2)．
13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）实数在数轴上的对应点表示出来如图所示．请化简：．

14．（23-24八年级上·广西来宾·期末）先化简再求值：，其中，．
15．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)如果规定“⊙”为一种新的运算：，例如：，仿照例子计算，当时，的值．
16．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)化简：_______；______．
(2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
17．（22-23八年级下·江西赣州·期末）观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题：
(1)按照这个规律，写出第④个式子：__________；
(2)若式子（为正整数）符合以上规律，则__________；
(3)请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：__________；
(4)请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．
18．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢?如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如：化简，∵，且，，∵，．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)化简：；
(3)计算：．
19．（23-24八年级上·广西贵港·期末）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可）
(2)计算：；
(3)若，求的值.