2024年高中数学(必修第一册)1.2集合间的关系精品讲义(学生版+解析)

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这是一份2024年高中数学(必修第一册)1.2集合间的关系精品讲义(学生版+解析)，共10页。

1 子集
① 概念
对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).
记作：A⊆B(或B⊇A)，读作：A包含于B，或B包含A.
当集合A不包含于集合B时，记作(A⊈B或B⊉A).
② Venn图
2 真子集
概念：若集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集.
记作：A⊂B(或B⊃A)
读作：A真包含于B(或B真包含A)
类比 ⊆与⊂的关系就好比≤与小于<的关系，"≤"是小于或等于，"⊆"是真包含或相等；
Eg：3≤3是对的，而3<3是错的，若a对比下，A⊆A是对的，但A⊂A是错的，若A⊂B，则A⊆B也成立.
3 集合相等
如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B相等．
即 A⊆B且B⊆A⇔A=B.
4 几个结论
① 空集是任何集合的子集：∅⊆A；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合A , B , C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C；
⑤ 集合中有n个元素，则子集的个数为2n，真子集的个数为2n−1.
【典题1】求集合A={x∈N|0
【典题2】已知集合A={x|x2−3x+2=0} , B={x|x2+2(a+1)x+a2−5=0}，若B⊆A，则a的取值范围．
【典题3】已知A=xx2−5x+4≤0 , B=xx2−2ax+a+2≤0，且B⊆A，则a的取值范围为．
巩固练习
1 (★★) 设A,B是两个集合，有下列四个结论：
若A⊈B，则对任意x∈A，有x∉B；②若A⊈B，则集合A中的元素个数多于集合B中的元素个数；
③若A⊈B，则B⊈A； ④若A⊈B，则一定存在x∈A，有x∉B．
其中正确结论的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2 (★★) 已知集合A={x|x=k+16 , k∈N}，B={x|x=m2−13 , m∈N}，C={x|x=n2+16 , n∈N}，则集合A、B、C的大小关系是( )
A．A⫋C⫋BB．C⫋A⫋BC．A⫋B=CD．A⫋B⫋C
3 (★★) 已知集合A={x|x2−3x+2=0},B={x|0A．4B．8C．7D．16
4 (★★) 已知集合M=x∣x=m+16,m∈Z，N=x∣x=n2−13,n∈Z，则集合M,N的关系是( )
A．M⊆N B．M⫋N C．N⊆M D．N⫋M
5 (★★) 已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是( )
A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法
6 (★★) 已知集合A⊊{0,1,2}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有个.
7 (★★) 定义集合A∗B={x|x∈A,且x∉B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，则A∗B的子集个数为．
8 (★★) 集合y∈N∣y=−x2+6,x∈N的真子集的个数是．
9 (★★) 集合A={−1,2}，B={x|ax−2=0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为．
10(★★) 已知集合A={x|x>1} , B={x|ax>1}，若B⊆A，则实数a的取值范围．
11 (★★★) 已知集合A={x|x2−3x−10≤0}．
(Ⅰ)若B={x|m−6≤x≤2m−1},A⊆B，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)若B={x|m+1≤x≤2m−1},B⊆A,求实数m的取值范围．
12(★★★) 已知集合A={x|1≤x≤2} , B={x|x2−ax+4≥0} , 若A⊆B，求实数a的取值范围．
集合间的关系
1 子集
① 概念
对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).
记作：A⊆B(或B⊇A)，读作：A包含于B，或B包含A.
当集合A不包含于集合B时，记作(A⊈B或B⊉A).
② Venn图
2 真子集
概念：若集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集.
记作：A⊂B(或B⊃A)
读作：A真包含于B(或B真包含A)
类比 ⊆与⊂的关系就好比≤与小于<的关系，"≤"是小于或等于，"⊆"是真包含或相等；
Eg：3≤3是对的，而3<3是错的，若a对比下，A⊆A是对的，但A⊂A是错的，若A⊂B，则A⊆B也成立.
3 集合相等
如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B相等．
即 A⊆B且B⊆A⇔A=B.
4 几个结论
① 空集是任何集合的子集：∅⊆A；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合A , B , C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C；
⑤ 集合中有n个元素，则子集的个数为2n，真子集的个数为2n−1.
【典题1】求集合A={x∈N|0【解析】集合A=x∈N0则其子集有∅, 1, 2, 3, 1, 2, 1,3, 2, 3, 1, 2, 3共23=8个．
【点拨】
① 讨论集合的子集，不要漏了空集与自身；
② 集合中有n个元素，则子集的个数为2n，真子集的个数为2n−1.
【典题2】已知集合A={x|x2−3x+2=0} , B={x|x2+2(a+1)x+a2−5=0}，若B⊆A，则a的取值范围．
【解析】由题得A={1 , 2} , 因为B⊆A，则B=∅或{1}或{2}或{1 , 2}，
①当B=∅，所以△=4a+12−4(a2−5)=8a+24<0，解得a<−3；
②当B={1}，则△=8a+24=01+2(a+1)+a2−5=0，无解；(不要漏了△=0)
③当B={2}，则△=8a+24=04+4(a+1)+a2−5=0，解得a=−3；
④当B={1 , 2}，则△=8a+24>01+2(a+1)+a2−5=04+4(a+1)+a2−5=0，无解．
综上a≤−3．
【点拨】若B⊆A，注意不能忽略了“B=∅”这种情况.
【典题3】已知A=xx2−5x+4≤0 , B=xx2−2ax+a+2≤0，且B⊆A，则a的取值范围为．
【解析】由题意：A={x|x2−5x+4≤0}={x|1≤x≤4} , B={x|x2−2ax+a+2≤0}
∵B⊆A , (分B=∅或B≠∅两种情况讨论)
∴(i)当B=∅时，x2−2ax+a+2≤0无解，
即 △<0 ⇒ 4a2−4(a+2)<0，解得−1(ii)当B≠∅时，要使B⊆A成立，
令f(x)=x2−2ax+a+2，
要满足题意，由二次函数的图像可知△≥01<−−2a2<4f1≥0f4≥0 ，解得2≤a≤187，
(如图所示)
综上可得：−1【点拨】本题涉及到二次函数零点的分布问题，注意利用数形结合的方法进行求解.
巩固练习
1 (★★) 设A,B是两个集合，有下列四个结论：
①若A⊈B，则对任意x∈A，有x∉B；
②若A⊈B，则集合A中的元素个数多于集合B中的元素个数；
③若A⊈B，则B⊈A；
④若A⊈B，则一定存在x∈A，有x∉B．
其中正确结论的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】对于①，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3}.故错误；
②若A⊈B，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3,5,6}.故错误；
③若B⊊A，则A⊈B，但B⊈A不成立，故错误；
④若A⊈B，则一定存在x∈A，有x∉B，故正确．
故正确结论的个数为1个，
故选：D
2 (★★) 已知集合A={x|x=k+16 , k∈N}，B={x|x=m2−13 , m∈N}，C={x|x=n2+16 , n∈N}，则集合A、B、C的大小关系是( )
A．A⫋C⫋BB．C⫋A⫋BC．A⫋B=CD．A⫋B⫋C
【答案】 A
【解析】∵集合C={x|=n2+16，n∈N}，
∴当n=2a(a∈N)时，x=2a2+16=a+16
当n=b−1(b∈N∗)时，x=b−12+16=b2−12+16=b2−13
又∵集合A={x|x=k+16，k∈N}，∴A⫋C，
又∵集合B={x|x=m2−13，m∈N}，
∴集合B比集合C多一个元素−13，即C⫋B，
综上所求：A⫋C⫋B，
故选：A．
3 (★★) 已知集合A={x|x2−3x+2=0},B={x|0A．4B．8C．7D．16
【答案】B
【解析】集合A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，
B={x|0∴满足A⊆C⊆B的集合C有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．
故选：B．
4 (★★) 已知集合M=x∣x=m+16,m∈Z，N=x∣x=n2−13,n∈Z，则集合M,N的关系是( )
A．M⊆N B．M⫋N C．N⊆M D．N⫋M
【答案】B
【解析】设n=2m或2m＋1，mZ，
则有N=x∣x=2m2−13, 或 x=2m+12−13,m∈Z=x∣x=m−13, 或 x=m+16,m∈Z．
又∵M=x∣x=m+16,m∈Z，∴M⫋N．
5 (★★) 已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是( )
A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法
【答案】 C
【解析】由于集合P={正奇数}且集合M是集合P的子集，
则可设a=2m−1,b=2n−1(m,n∈ N)，
∵ab=(2m−1)(2n−1)=4mn−2(m+n)+1=2[2mn−(m+n)+1]−1∈P，
∴M⊆P，而其它运算均不使结果属于集合P，
故选C．
6 (★★) 已知集合A⊊{0,1,2}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有个.
【答案】 3
【解析】∵集合A⊊{0,1,2}，
∴A=∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，0,2，{1,2}．
∵A中至少含有一个奇数，∴A={1}，{0,1}，{1,2}．
∴这样的集合A有3个．
7定义集合A∗B={x|x∈A,且x∉B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，则A∗B的子集个数为
【答案】4
【解析】由题意：A∗B={1,7}，故其子集为∅，{1}，{7}，{1,7}，个数为4
8 (★★) 集合y∈N∣y=−x2+6,x∈N的真子集的个数是
【答案】7
【解析】x=0时，y=6；x=1时，y=5；x=2时，y=2；x=3时，y=−3；
∵函数y=−x2+6在[0,+∞)上是减函数，
∴当x≥3时，y<0；y∈N∣y=−x2+6,x∈N={2,5,6}，共3个元素，
根据公式可得其真子集的个数为23−1=7个
9 (★★) 集合A={−1,2}，B={x|ax−2=0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为
【答案】{−2,1,0}
【解析】∵集合A={−1,2}，B={x|ax−2=0}，B⊆A，
∴B=∅或B={−1}或B={2}
∴a=0,1,−2．
∴由实数a组成的集合为：{−2,1,0}．
10(★★) 已知集合A={x|x>1} , B={x|ax>1}，若B⊆A，则实数a的取值范围
【答案】[0 , 1]
【解析】已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，
若B⊆A，则A集合包含B集合的所有元素，
解B集合时，当a<0时，不满足题设条件，
当a=0时，x无实数解，B集合为空集，满足条件，
当a>0时，x>1a，则1a≥1,a≤1，即0综上则实数a的取值范围为[0,1],
11 (★★★) 已知集合A={x|x2−3x−10≤0}．
(Ⅰ)若B={x|m−6≤x≤2m−1},A⊆B，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)若B={x|m+1≤x≤2m−1},B⊆A,求实数m的取值范围．
【答案】 (1) [3,4] (2) (−∞,3]
【解析】集合A={x|x2−3x−10≤0}={x|−2≤x≤5}，
(Ⅰ)∵A⊆B，
∴m−6≤−22m−1≥5，解得：3≤m≤4，
∴实数m的取值范围为[3,4]；
(Ⅱ)∵B⊆A，
①当B=∅时，m+1>2m−1，即m<2，
②当B≠∅时，m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤5，解得：2≤m≤3，
综上所述，实数m的取值范围为：(−∞,3]．
12(★★★) 已知集合A={x|1≤x≤2} , B={x|x2−ax+4≥0} , 若A⊆B，求实数a的取值范围．
【答案】a<4.
【解析】集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2−ax+4≥0}，
若A⊆B，B一定非空，
若△=a2−16≤0，得−4≤a≤4，B=R，A⊆B成立，
若△>0，即a>4或者a<−4，设f(x)=x2−ax+4，
1)．f(1)=1−a+4=5−a≥0，
即a≤5，对称轴a2<0，所以a<−4，
2)．f(2)=8−2a≥0，
即a≤4，对称轴a2≥2，不成立，
综上，a∈(−∞,4].

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