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高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)1.2集合间的关系(精练)(原卷版+解析)
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这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)1.2集合间的关系(精练)(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了判断下列每对集合之间的关系等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·云南德宏·高一期末）下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东珠海·高一期末）已知集合，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高一）下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·宁夏·银川一中）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
6．（2022·山东临沂·高一期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7.（2022·湖南·高一课时练习）下列各组的3个集合中，哪2个集合之间具有包含关系？
(1)S＝{－2, －1, 1, 2}, A＝{－1, 1}, B＝{－2, 2}；
(2)S＝R, A＝{x|x≤0}, B＝{x|x>0}；
(3)S＝{x|x为整数}，A＝{x|x为奇数}，B＝{x|x为偶数}
8．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，{是的约数}；
(3)，.
2 空集
1．（2022·江西）如果，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高一课时练习）若集合{x∈R|a－1≤x≤5－2a}为空集，则实数a的取值范围是________．
3．（2022·全国·高一课时练习）集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上)
①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集．
4．（2022·广东）若是的真子集，则实数的取值范围是_________．
5．（2022·云南）已知集合，若，则实数a的取值范围为___．
6．（2022·江苏）若集合，则实数a的取值范围是________.
7．（2022·黑龙江）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
8．（2021·全国·高一专题练习）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
3 集合的（真）子集个数
1．（2022·河南洛阳·高一期末）集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·原阳一中高一阶段练习）已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16B．15C．8D．7
4．（2022·海南中学）已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个B．4个C．8个D．16个
5．（2022·湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知集合，，非空集合满足：，，则符合条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
（2022·上海·同济大学第二附属中学）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
4 集合相等
1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．，D．
2．（2021·内蒙古赤峰·高三阶段练习（文））下列各式中，与表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·全国·高一课时练习）下列各组集合中两个集合相等的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2021·贵州·六盘水市第四中学高一阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)}
5．（2022·河北）（多选）下面说法中，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
7（2021·江西·丰城九中高一阶段练习）（多选）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．（2022·广东）（多选）下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
9．（2022·广东）下列各组中的两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022广西）（多选）下列与集合表示同一个集合的有（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·河南）(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
12．（2022·全国·高一）已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于___________．
5 已知集合关系求参数
1．（2022·安徽）若是集合的真子集，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·重庆·高一期末）已知集合，且，则等于（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．1
4．（2022·上海市控江中学高一期末）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
5（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2B．1C．0D．-1
7．（2022·海南华侨中学模拟预测）设集合，若，则由实数a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·黑龙江·大庆中学）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·广东·惠州市光正实验学校高一期中）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
10．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知集合，且，则实数的取值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
11．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设集合，若，则的值为__________．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
13．（2022·云南·高一阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值是____．
14．（2022·全国·高一）设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
16．（2021·江苏·高一专题练习）已知集合 ，．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）集合 与 能够相等？若能，求出 的值，若不能，请说明理由．
17．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
1.2 集合间的关系（精练）
1 集合间的关系
1．（2022·云南德宏·高一期末）下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；故选：D
2．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，，而为自然数集，则，且，
所以，，故A、B、D错误，C正确.故选：C
3．（2022·广东珠海·高一期末）已知集合，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，且，所以B正确，A、C、D错误.故选：B
4．（2022·全国·高一）下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错，
对于②，是任意非空集合的真子集，故②对，
对于③，集合是它本身的子集，故③对，
对于④，“”是用于元素与集合的关系，故④错，
对于⑤，因为是用于集合与集合的关系的，故⑤错，故选：C．
5．（2022·宁夏·银川一中）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
【答案】A
【解析】中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；
空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A.
6．（2022·山东临沂·高一期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由集合或，，
结合选项，可得.故选：D.
7.（2022·湖南·高一课时练习）下列各组的3个集合中，哪2个集合之间具有包含关系？
(1)S＝{－2, －1, 1, 2}, A＝{－1, 1}, B＝{－2, 2}；
(2)S＝R, A＝{x|x≤0}, B＝{x|x>0}；
(3)S＝{x|x为整数}，A＝{x|x为奇数}，B＝{x|x为偶数}
【答案】(1)AS, BS(2)AS, BS(3)AS, BS
【解析】(1)由于集合中的每个元素都包含在集合中，故AS, BS
(2)由于集合中的每个元素都是实数，故AS, BS
(3)由奇数、偶数都属于整数，故AS, BS
8．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，{是的约数}；
(3)，.
【答案】(1)BA(2)(3)
【解析】(1)由题意，任取，有，故且，故BA
(2)由于{是的约数}故
(3)由于故
2 空集
1．（2022·江西）如果，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，当时，；当时，需满足对应的，即，解得，综上所述，故选：B
2．（2021·全国·高一课时练习）若集合{x∈R|a－1≤x≤5－2a}为空集，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由已知，得a－1>5－2a，解得a>2，所以实数a的取值范围是．故答案为：
3．（2022·全国·高一课时练习）集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上)
①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集．
【答案】④
【解析】∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，故①不对；
又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以②③不对，④正确．故答案为：④
4．（2022·广东）若是的真子集，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】若是的真子集，则不是空集，即有实数解，故，即实数的取值范围是.故答案为:
5．（2022·云南）已知集合，若，则实数a的取值范围为___．
【答案】．
【解析】当时，方程化为，解得，此时，满足题意，
当时，要使，则，解得且，
所以使的实数a的取值范围为．故答案为：．
6．（2022·江苏）若集合，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】当时，不等式可化为，不成立，故为空集，满足题意；
当时，根据二次函数图像与性质可得，解得，
综上.故答案为：
7．（2022·黑龙江）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，所以，实数m的取值范围是；
(2)若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．综上所述，m的取值范围为．
8．（2021·全国·高一专题练习）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或
【解析】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，
当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，
（2）若A是空集，
则方程ax2+2x+1=0无解，
此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.
3 集合的（真）子集个数
1．（2022·河南洛阳·高一期末）集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.故选：B.
2．（2022·河南·原阳一中高一阶段练习）已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】由题得集合.故选：C
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16B．15C．8D．7
【答案】D
【解析】由题意，因此其真子集个数为．故选：D．
4．（2022·海南中学）已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个B．4个C．8个D．16个
【答案】C
【解析】由，得集合所以集合A的子集有个，故选： C
5．（2022·湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知集合，，非空集合满足：，，则符合条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，满足条件的非空集合有：、、，共个.故选：A.
6．（2022·上海·同济大学第二附属中学）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
【答案】或.
【解析】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，故答案为：或.
4 集合相等
1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】C
【解析】对于A：集合表示含有点的集合，表示含有点的集合，显然不是同一集合，故A错误；
对于B：集合表示的是直线上的点组成的集合，集合为数集，故B错误；
对于C：集合、均表示含有两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；
对于D：集合表示的是数集，集合为点集，故D错误；
故选：C
2．（2021·内蒙古赤峰·高三阶段练习（文））下列各式中，与表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A. 表示点 的集合，表示点的集合，故错误；
B. 的元素是1,2，的元素是1,2，故正确；
C. 的元素是0，没有元素，故错误；
D. 因为，，故错误；故选：B
3．（2021·全国·高一课时练习）下列各组集合中两个集合相等的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】对于A：与是两个点集，两个点的坐标分别为、，所表示的点不同，故不是相等集合，故选项A不正确；
对于B：，，集合中的元素具有无序性，所以是相等集合，故选项B正确；
对于C：集合的元素为实数和，集合中的元素为两个等式和，所以不是相等集合，故选项C不正确；
对于D：集合的元素为实数和，的元素是点，所以不是相等集合，故选D不正确；故选：B.
4．（2021·贵州·六盘水市第四中学高一阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)}
【答案】B
【解析】对于A：M，N都是点集，与是不同的点则M，N是不同的集合，故不符合；
对于B：M，N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，复合要求；
对于C：M是点集，表示直线上所有的点，而N是数集，表示函数的值域，则M，N是不同的集合，故不符合；
对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集，则M，N是不同的集合，故不符合；故选：B．
5．（2022·河北）（多选）下面说法中，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；
表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；
集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．
故选：ACD．
6．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AC
【解析】对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确；
对于B，，而，所以；故B错误；
对于C，，，所以；故C正确；
对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以．
故选：AC．
7（2021·江西·丰城九中高一阶段练习）（多选）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【解析】对于A：中元素为点，种元素为点，所以不是同一集合；
对于B：的元素为直线上的点，的元素为全体实数，所以不是同一集合；
对于C：集合中元素是无序的，所以，是同一集合；
对于D：的元素为，的元素为点，所以不是同一集合，
故选：ABD.
8．（2022·广东）（多选）下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】CD
【解析】选项A中两个集合中的元素互不相等，不正确；
选项B中两个集合，一个是数集，一个是点集，不正确；
选项C中集合，正确；
选项D中集合，正确.
所以选项CD是正确的.
故选：CD
9．（2022·广东）下列各组中的两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，因为P中含有1，而Q中没有，故错误；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，
，
显然，故C错误；
对于D，因为
故，故D正确.
故选：BD．
10．（2022广西）（多选）下列与集合表示同一个集合的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由解得,所以，
所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，
集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误.故选：．
11．（2022·河南）(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
【答案】ABD
【解析】选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．
故选ABD．
12．（2022·全国·高一）已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于___________．
【答案】2或－1##－1或2
【解析】，且，，解得，或故答案为：－1或2
5 已知集合关系求参数
1．（2022·安徽）若是集合的真子集，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由“是集合的真子集”得
，即方程有实数解，
，解得或．故选：D．
2．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵集合，且，∴.故选：C．
3．（2022·重庆·高一期末）已知集合，且，则等于（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．1
【答案】B
【解析】因为，所以，经验证，满足题意.故选：B.
4．（2022·上海市控江中学高一期末）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【解析】集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
5（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】集合，，因，
于是得，因此有，所以的取值范围是.故选：A
6．（2022·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】B
【解析】对于集合N，因为，所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为，所以，所以．即a＝1．故选：B.
7．（2022·海南华侨中学模拟预测）设集合，若，则由实数a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解析：由题意，当时，的值为；当时，的值为；当时，的值为，
故选：D
8．（2022·黑龙江·大庆中学）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.故选：A.
9．（2021·广东·惠州市光正实验学校高一期中）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
【答案】ABC
【解析】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．
10．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知集合，且，则实数的取值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ABC
【解析】依题意，
当时， ，满足题意；
当时，，要使，则有或，解得.
综上，或或.故选：ABC.
11．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设集合，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】由集合M知，，则且，因，，
于是得，解得，所以的值为.故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【答案】或
【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.故答案为：或
13．（2022·云南·高一阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值是____．
【答案】±1
【解析】因为集合有且仅有两个子集，所以集合A有1个元素.
当a=1时，，符合题意；
当a≠1时，要使集合A只有一个元素，只需，解得：；
综上所述： 实数a的值是1或-1.故答案为：±1.
14．（2022·全国·高一）设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）254 （3）
【解析】（1）当，即时，，满足.
当，即时，要使成立，
只需即.
综上，当时，的取值范围是.
（2）当时，，
∴集合的非空真子集个数为.
（3）∵，且，，
又不存在元素使与同时成立，
∴当，即，得时，符合题意；
当，即，得时，
或解得.
综上，所求的取值范围是.
16．（2021·江苏·高一专题练习）已知集合 ，．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）集合 与 能够相等？若能，求出 的值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析.
【解析】（1） 集合 ，．，，解得 ， 的取值范围是 ．
（2），
当 时，，；
当 即时，，解得 ，
的取值范围是 ．
（3） 时， 无解，
集合 与 不能相等．
17．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】(1)由题可知，，，
①若，则，即；
②若，则，解得：；
综合①②，得实数的取值范围是．
(2)已知，，，
则，解得：，
所以实数的取值范围是．
1．（2022·云南德宏·高一期末）下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东珠海·高一期末）已知集合，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高一）下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·宁夏·银川一中）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
6．（2022·山东临沂·高一期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7.（2022·湖南·高一课时练习）下列各组的3个集合中，哪2个集合之间具有包含关系？
(1)S＝{－2, －1, 1, 2}, A＝{－1, 1}, B＝{－2, 2}；
(2)S＝R, A＝{x|x≤0}, B＝{x|x>0}；
(3)S＝{x|x为整数}，A＝{x|x为奇数}，B＝{x|x为偶数}
8．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，{是的约数}；
(3)，.
2 空集
1．（2022·江西）如果，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高一课时练习）若集合{x∈R|a－1≤x≤5－2a}为空集，则实数a的取值范围是________．
3．（2022·全国·高一课时练习）集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上)
①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集．
4．（2022·广东）若是的真子集，则实数的取值范围是_________．
5．（2022·云南）已知集合，若，则实数a的取值范围为___．
6．（2022·江苏）若集合，则实数a的取值范围是________.
7．（2022·黑龙江）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
8．（2021·全国·高一专题练习）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
3 集合的（真）子集个数
1．（2022·河南洛阳·高一期末）集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·原阳一中高一阶段练习）已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16B．15C．8D．7
4．（2022·海南中学）已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个B．4个C．8个D．16个
5．（2022·湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知集合，，非空集合满足：，，则符合条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
（2022·上海·同济大学第二附属中学）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
4 集合相等
1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．，D．
2．（2021·内蒙古赤峰·高三阶段练习（文））下列各式中，与表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·全国·高一课时练习）下列各组集合中两个集合相等的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2021·贵州·六盘水市第四中学高一阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)}
5．（2022·河北）（多选）下面说法中，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
7（2021·江西·丰城九中高一阶段练习）（多选）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．（2022·广东）（多选）下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
9．（2022·广东）下列各组中的两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022广西）（多选）下列与集合表示同一个集合的有（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·河南）(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
12．（2022·全国·高一）已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于___________．
5 已知集合关系求参数
1．（2022·安徽）若是集合的真子集，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·重庆·高一期末）已知集合，且，则等于（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．1
4．（2022·上海市控江中学高一期末）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
5（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2B．1C．0D．-1
7．（2022·海南华侨中学模拟预测）设集合，若，则由实数a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·黑龙江·大庆中学）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·广东·惠州市光正实验学校高一期中）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
10．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知集合，且，则实数的取值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
11．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设集合，若，则的值为__________．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
13．（2022·云南·高一阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值是____．
14．（2022·全国·高一）设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
16．（2021·江苏·高一专题练习）已知集合 ，．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）集合 与 能够相等？若能，求出 的值，若不能，请说明理由．
17．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
1.2 集合间的关系（精练）
1 集合间的关系
1．（2022·云南德宏·高一期末）下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；故选：D
2．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，，而为自然数集，则，且，
所以，，故A、B、D错误，C正确.故选：C
3．（2022·广东珠海·高一期末）已知集合，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设，且，所以B正确，A、C、D错误.故选：B
4．（2022·全国·高一）下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错，
对于②，是任意非空集合的真子集，故②对，
对于③，集合是它本身的子集，故③对，
对于④，“”是用于元素与集合的关系，故④错，
对于⑤，因为是用于集合与集合的关系的，故⑤错，故选：C．
5．（2022·宁夏·银川一中）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
【答案】A
【解析】中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；
空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A.
6．（2022·山东临沂·高一期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由集合或，，
结合选项，可得.故选：D.
7.（2022·湖南·高一课时练习）下列各组的3个集合中，哪2个集合之间具有包含关系？
(1)S＝{－2, －1, 1, 2}, A＝{－1, 1}, B＝{－2, 2}；
(2)S＝R, A＝{x|x≤0}, B＝{x|x>0}；
(3)S＝{x|x为整数}，A＝{x|x为奇数}，B＝{x|x为偶数}
【答案】(1)AS, BS(2)AS, BS(3)AS, BS
【解析】(1)由于集合中的每个元素都包含在集合中，故AS, BS
(2)由于集合中的每个元素都是实数，故AS, BS
(3)由奇数、偶数都属于整数，故AS, BS
8．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，{是的约数}；
(3)，.
【答案】(1)BA(2)(3)
【解析】(1)由题意，任取，有，故且，故BA
(2)由于{是的约数}故
(3)由于故
2 空集
1．（2022·江西）如果，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，当时，；当时，需满足对应的，即，解得，综上所述，故选：B
2．（2021·全国·高一课时练习）若集合{x∈R|a－1≤x≤5－2a}为空集，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由已知，得a－1>5－2a，解得a>2，所以实数a的取值范围是．故答案为：
3．（2022·全国·高一课时练习）集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上)
①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集．
【答案】④
【解析】∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，故①不对；
又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以②③不对，④正确．故答案为：④
4．（2022·广东）若是的真子集，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】若是的真子集，则不是空集，即有实数解，故，即实数的取值范围是.故答案为:
5．（2022·云南）已知集合，若，则实数a的取值范围为___．
【答案】．
【解析】当时，方程化为，解得，此时，满足题意，
当时，要使，则，解得且，
所以使的实数a的取值范围为．故答案为：．
6．（2022·江苏）若集合，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】当时，不等式可化为，不成立，故为空集，满足题意；
当时，根据二次函数图像与性质可得，解得，
综上.故答案为：
7．（2022·黑龙江）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，所以，实数m的取值范围是；
(2)若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．综上所述，m的取值范围为．
8．（2021·全国·高一专题练习）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或
【解析】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，
当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，
（2）若A是空集，
则方程ax2+2x+1=0无解，
此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.
3 集合的（真）子集个数
1．（2022·河南洛阳·高一期末）集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.故选：B.
2．（2022·河南·原阳一中高一阶段练习）已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】由题得集合.故选：C
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16B．15C．8D．7
【答案】D
【解析】由题意，因此其真子集个数为．故选：D．
4．（2022·海南中学）已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个B．4个C．8个D．16个
【答案】C
【解析】由，得集合所以集合A的子集有个，故选： C
5．（2022·湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知集合，，非空集合满足：，，则符合条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，满足条件的非空集合有：、、，共个.故选：A.
6．（2022·上海·同济大学第二附属中学）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
【答案】或.
【解析】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，故答案为：或.
4 集合相等
1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】C
【解析】对于A：集合表示含有点的集合，表示含有点的集合，显然不是同一集合，故A错误；
对于B：集合表示的是直线上的点组成的集合，集合为数集，故B错误；
对于C：集合、均表示含有两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；
对于D：集合表示的是数集，集合为点集，故D错误；
故选：C
2．（2021·内蒙古赤峰·高三阶段练习（文））下列各式中，与表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A. 表示点 的集合，表示点的集合，故错误；
B. 的元素是1,2，的元素是1,2，故正确；
C. 的元素是0，没有元素，故错误；
D. 因为，，故错误；故选：B
3．（2021·全国·高一课时练习）下列各组集合中两个集合相等的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】对于A：与是两个点集，两个点的坐标分别为、，所表示的点不同，故不是相等集合，故选项A不正确；
对于B：，，集合中的元素具有无序性，所以是相等集合，故选项B正确；
对于C：集合的元素为实数和，集合中的元素为两个等式和，所以不是相等集合，故选项C不正确；
对于D：集合的元素为实数和，的元素是点，所以不是相等集合，故选D不正确；故选：B.
4．（2021·贵州·六盘水市第四中学高一阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)}
【答案】B
【解析】对于A：M，N都是点集，与是不同的点则M，N是不同的集合，故不符合；
对于B：M，N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，复合要求；
对于C：M是点集，表示直线上所有的点，而N是数集，表示函数的值域，则M，N是不同的集合，故不符合；
对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集，则M，N是不同的集合，故不符合；故选：B．
5．（2022·河北）（多选）下面说法中，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；
表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；
集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．
故选：ACD．
6．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AC
【解析】对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确；
对于B，，而，所以；故B错误；
对于C，，，所以；故C正确；
对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以．
故选：AC．
7（2021·江西·丰城九中高一阶段练习）（多选）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【解析】对于A：中元素为点，种元素为点，所以不是同一集合；
对于B：的元素为直线上的点，的元素为全体实数，所以不是同一集合；
对于C：集合中元素是无序的，所以，是同一集合；
对于D：的元素为，的元素为点，所以不是同一集合，
故选：ABD.
8．（2022·广东）（多选）下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】CD
【解析】选项A中两个集合中的元素互不相等，不正确；
选项B中两个集合，一个是数集，一个是点集，不正确；
选项C中集合，正确；
选项D中集合，正确.
所以选项CD是正确的.
故选：CD
9．（2022·广东）下列各组中的两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，因为P中含有1，而Q中没有，故错误；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，
，
显然，故C错误；
对于D，因为
故，故D正确.
故选：BD．
10．（2022广西）（多选）下列与集合表示同一个集合的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由解得,所以，
所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，
集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误.故选：．
11．（2022·河南）(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
【答案】ABD
【解析】选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．
故选ABD．
12．（2022·全国·高一）已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于___________．
【答案】2或－1##－1或2
【解析】，且，，解得，或故答案为：－1或2
5 已知集合关系求参数
1．（2022·安徽）若是集合的真子集，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由“是集合的真子集”得
，即方程有实数解，
，解得或．故选：D．
2．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵集合，且，∴.故选：C．
3．（2022·重庆·高一期末）已知集合，且，则等于（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．1
【答案】B
【解析】因为，所以，经验证，满足题意.故选：B.
4．（2022·上海市控江中学高一期末）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【解析】集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
5（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】集合，，因，
于是得，因此有，所以的取值范围是.故选：A
6．（2022·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】B
【解析】对于集合N，因为，所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为，所以，所以．即a＝1．故选：B.
7．（2022·海南华侨中学模拟预测）设集合，若，则由实数a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解析：由题意，当时，的值为；当时，的值为；当时，的值为，
故选：D
8．（2022·黑龙江·大庆中学）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.故选：A.
9．（2021·广东·惠州市光正实验学校高一期中）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
【答案】ABC
【解析】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．
10．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知集合，且，则实数的取值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ABC
【解析】依题意，
当时， ，满足题意；
当时，，要使，则有或，解得.
综上，或或.故选：ABC.
11．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设集合，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】由集合M知，，则且，因，，
于是得，解得，所以的值为.故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【答案】或
【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.故答案为：或
13．（2022·云南·高一阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值是____．
【答案】±1
【解析】因为集合有且仅有两个子集，所以集合A有1个元素.
当a=1时，，符合题意；
当a≠1时，要使集合A只有一个元素，只需，解得：；
综上所述： 实数a的值是1或-1.故答案为：±1.
14．（2022·全国·高一）设集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求的非空真子集个数；
（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）254 （3）
【解析】（1）当，即时，，满足.
当，即时，要使成立，
只需即.
综上，当时，的取值范围是.
（2）当时，，
∴集合的非空真子集个数为.
（3）∵，且，，
又不存在元素使与同时成立，
∴当，即，得时，符合题意；
当，即，得时，
或解得.
综上，所求的取值范围是.
16．（2021·江苏·高一专题练习）已知集合 ，．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）集合 与 能够相等？若能，求出 的值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析.
【解析】（1） 集合 ，．，，解得 ， 的取值范围是 ．
（2），
当 时，，；
当 即时，，解得 ，
的取值范围是 ．
（3） 时， 无解，
集合 与 不能相等．
17．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】(1)由题可知，，，
①若，则，即；
②若，则，解得：；
综合①②，得实数的取值范围是．
(2)已知，，，
则，解得：，
所以实数的取值范围是．
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