2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)
展开1充分条件与必要条件
概念
一般地,”若p,则q”为真命题,是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.
如果”若p,则q”和它的逆命题”若q,则p”均是真命题,
即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,
此时p即是q的充分条件也是必要条件,我们说p是q的充要条件.
② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型,可思考
从左到右,若p⇒q则充分,若p⇏q则不充分;
从右到左,若q⇒p则必要,若q⇏p则不必要.
Eg:帅哥是男人的______条件.
从左到右,显然若A是个帅哥,那他肯定是男人,即充分;
从右到左,若B是男人,他不一定是帅哥了,即不必要;故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解--小范围推得出大范围
(1) 命题p、q对应集合A、B,
若A⊆B,则p⇒q,即p是q的充分条件;若A⊈B,则p⇏q,即p 不是q的充分条件.
备注 若A⊆B,则称A为小范围,B为大范围.
Eg1:帅哥是男人的______条件.
设集合A={帅哥},集合B={男人},显然A⊆B,{帅哥}是小范围,推得出{男人}这个大范围,即充分条件;故答案是充分不必要条件.
Eg2:x>1是x>2的不充分必要条件,因为{x|x>2}⊊{x|x>1}.
(2) 结论
① 若p是q的充分不必要条件,则A⊊B;② 若p是q的必要不充分条件,则B⊊A;
③ 若p是q的充分条件,则A⊆B; ④ 若p是q的必要条件,则B⊆A;
⑤ 若p是q的充要条件,则A=B.
2 全称量词与存在量词
① 全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“∀”表示.
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,记作∀ x∈M , p(x).
Eg:对所有末位数是0的数能被5整除,∀x>0, x+1x≥2.
② 存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“∃”表示.
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”,记作∃ x∈M , p(x).
Eg:至少有一个质数是偶数,∃x>0, x2−2x+3<0.
③ 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,它们的真假性是相反的.
Eg:∀ x>1, x2>1的否定是∃ x>1,x2≤1.
∀ x>1, x2>1是真命题,∃ x>1,x2≤1是假命题.
【题型一】 充分条件与必要条件
【典题1】 设a>0 , b>0,则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的 ( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【典题2】 若a , b是正整数,则a+b>ab充要条件是( )
A.a=b=1B.a , b有一个为1
C.a=b=2D.a>1且b>1
【典题3】 若“x2−3x−4>0”是“x2−3ax−10a2>0”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
巩固练习
1 (★★) 已知a>0 , b>0 , m∈R , 则“a≤b”的一个必要不充分条件是 ( )
A.am≤bm B.am2≤bm2 C.am2≤bm2 D.a+m2≤b+m2
2 (★★★) 设a , b∈R,命题p:a>b,命题q:a|a|>b|b|,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3 (★★) 在关于x的不等式ax2+2x+1>0中,“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 (★★★) 已知命题p:x<2m+1 , q:x2-5x+6<0,且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 .
5 (★★★) 已知p:(x+1)(2-x)≥0,q:关于x的不等式x2+2mx-m+6>0恒成立.
(1)当x∈R时q成立,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【题型二】 全称量词与存在量词
【典题1】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)∀x∈N , x3>x2; (2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
(3)∃x0∈R , x02-x0+1≤0; (4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
【典题2】若命题“∀x∈[1 , 4]时,x2-4x-m≠0”是假命题,则m的取值范围 .
巩固练习
1 (★) 命题“∃x∈R , x2-x+1<0”的否定是 .
2 (★★) 若命题“∃x0∈R,3x02+2ax0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
3 (★★) 已知命题“∃x0∈[-1 , 1] , -x02+3x0+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是 .
挑战学霸
设数集S={a , b , c , d}满足下列两个条件:
(1)∀x , y∈S,xy∈S;(2)∀x , y , z∈S或x≠y,则xz≠yz.
现给出如下论断:
①a , b , c , d中必有一个为0;②a , b , c , d中必有一个为1;
③若x∈S且xy=1,则y∈S;④存在互不相等的x , y , z∈S,使得x2=y , y2=z.
其中正确论断的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词和存在量词
1充分条件与必要条件
概念
一般地,”若p,则q”为真命题,是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.
如果”若p,则q”和它的逆命题”若q,则p”均是真命题,
即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,
此时p即是q的充分条件也是必要条件,我们说p是q的充要条件.
② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型,可思考
从左到右,若p⇒q则充分,若p⇏q则不充分;
从右到左,若q⇒p则必要,若q⇏p则不必要.
Eg:帅哥是男人的______条件.
从左到右,显然若A是个帅哥,那他肯定是男人,即充分;
从右到左,若B是男人,他不一定是帅哥了,即不必要;故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解--小范围推得出大范围
(1) 命题p、q对应集合A、B,
若A⊆B,则p⇒q,即p是q的充分条件;若A⊈B,则p⇏q,即p 不是q的充分条件.
备注 若A⊆B,则称A为小范围,B为大范围.
Eg1:帅哥是男人的______条件.
设集合A={帅哥},集合B={男人},显然A⊆B,{帅哥}是小范围,推得出{男人}这个大范围,即充分条件;故答案是充分不必要条件.
Eg2:x>1是x>2的不充分必要条件,因为{x|x>2}⊊{x|x>1}.
(2) 结论
① 若p是q的充分不必要条件,则A⊊B;② 若p是q的必要不充分条件,则B⊊A;
③ 若p是q的充分条件,则A⊆B; ④ 若p是q的必要条件,则B⊆A;
⑤ 若p是q的充要条件,则A=B.
2 全称量词与存在量词
① 全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“∀”表示.
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,记作∀ x∈M , p(x).
Eg:对所有末位数是0的数能被5整除,∀x>0, x+1x≥2.
② 存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“∃”表示.
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”,记作∃ x∈M , p(x).
Eg:至少有一个质数是偶数,∃x>0, x2−2x+3<0.
③ 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,它们的真假性是相反的.
Eg:∀ x>1, x2>1的否定是∃ x>1,x2≤1.
∀ x>1, x2>1是真命题,∃ x>1,x2≤1是假命题.
【题型一】 充分条件与必要条件
【典题1】 设a>0 , b>0,则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的 ( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】∵a+b≥2可知(a+b)22≥2,而a2+b2≥(a+b)22,∴a2+b2≥2.
反之不成立,例如a=3,b=0,满足a2+b2≥2,但a+b≥2不成立.
∴“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件.故选:A.
【点拨】
① 以“a+b≥2”为已知,可以推出“a2+b2≥2”这个结论,所以“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分条件;若要判断某个命题是对的,只能去证明它;
② 证明“a2+b2≥2”推不出“a+b≥2”,即判断某个命题是错的,举一个反例就行,这点做非解答题时多多注意,可称之为"取特殊值否定法";
③ 思考:本题可从集合的角度去判断么?
【典题2】 若a , b是正整数,则a+b>ab充要条件是( )
A.a=b=1B.a , b有一个为1
C.a=b=2D.a>1且b>1
【解析】∵a+b>ab,
∴ab−a−b<0⇒ab−a−b+1<1⇒(a-1)(b-1)<1,
∵a , b是正整数,∴a≥1,b≥1,
则a-1≥0,b-1≥0,∴(a-1)(b-1)≥0,
若(a-1)(b-1)<1,则(a-1)(b-1)=0,
即a=1或b=1,即a , b有一个为1,
即a+b>ab充要条件是a , b有一个为1,故选B.
【点拨】
本题求充要条件就相当于“当a , b是正整数,由a+b>ab可以等价推导出什么结论”;
② p是q充要条件就是相当于两个命题是等价的,这个很重要,有一种数学思想叫做“等价转化”,在推导问题的过程中经常遇到它,这需要严谨的逻辑分析.
【典题3】 若“x2−3x−4>0”是“x2−3ax−10a2>0”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【解析】由x2-3x-4>0得x>4或x<-1,即不等式的解集为A={x|x>4或x<-1},
由x2-3ax-10a2>0得(x+2a)(x-5a)>0,
若a=0,则不等式的解为x≠0,此时不等式的解集为为B={x|x≠0},
若a>0,则不等式的解集为B={x|x>5a或x<-2a},
若a<0,不等式的解集为B={x|x>-2a或x<5a},
(求解含参的不等式,注意分类讨论)
若“x2-3x-4>0”是“x2-3ax-10a2>0”的必要不充分条件,则B⊊A,
(从集合的角度去思考充分必要条件问题)
则当a=0时,不满足条件.
当a>0时,则满足5a≥4−2a<−1,即a≥45a>12,得a≥45,
当a<0时,则满足−2a≥45a≤−1,得a≤−2a≤−15,得a≤−2.
综上实数a的取值范围{a|a≤−2或a≥45}.
【点拨】
① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解,要注意两个根“5a , −2a”的大小比较,才有了
"a=0 , a>0 , a<0" 的分类;
② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件,记住“小范围推得出大范围”.
巩固练习
1 (★★) 已知a>0 , b>0 , m∈R , 则“a≤b”的一个必要不充分条件是 ( )
A.am≤bm B.am2≤bm2 C.am2≤bm2 D.a+m2≤b+m2
【答案】 C
【解析】由已知可得:A是既不充分也不必要条件;B是充分不必要条件;C是必要不充分条件;D是充要条件.故选:C.
2 (★★★) 设a , b∈R,命题p:a>b,命题q:a|a|>b|b|,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】若a>b≥0,a2>b2即有a|a|>b|b|;
若a≥0>b,显然有aa>0>b|b|;
若0>a>b,则a2
故a>b可以推出a|a|>b|b|.
若a|a|>b|b|,当b<0时,如果a≥0,不等式显然成立,此时有a>b;
如果a<0,则有-a2>-b2,因而a>b;
当b≥0时,a>0,此时有a2>b2,
因而a>b,故a|a|>b|b|可以推出a>b.
故选:C.
3 (★★) 在关于x的不等式ax2+2x+1>0中,“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】在关于x的不等式ax2+2x+1>0中,
当a>1时,△=4-4a<0,
∴“a>1”⇒“ax2+2x+1>0恒成立”,
当△=4-4a<0时,a>1,
∴“ax2+2x+1>0恒成立”⇒“a>1”,
∴“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的充要条件.
故选:C.
4 (★★★) 已知命题p:x<2m+1 , q:x2-5x+6<0,且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 .
【答案】m≥1
【解析】∵命题p:x<2m+1,q:x2-5x+6<0,即2
∴(2,3)⫋(-∞,2m+1),∴2m+1≥3,解得m≥1.
实数m的取值范围为m≥1.
5 (★★★) 已知p:(x+1)(2-x)≥0,q:关于x的不等式x2+2mx-m+6>0恒成立.
(1)当x∈R时q成立,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【答案】 (1) (-3 , 2) (2) −103
(2)p:-1≤x≤2,
设A={x|-1≤x≤2},B={x|x2+2mx-m+6>0},
∵p是q的充分不必要条件,∴A⊊B
①由(1)知,-3
③m=2时,B={x|x2+4x+4>0}={x|x≠-2},满足题意;
④m<-3,或m>2时,设f(x)=x2+2mx-m+6,
f(x)对称轴为x=-m,由A⊊B得−m<−1f(−1)>0或−m>2f(2)>0,
∴m>1−3m+7>0或m<−23m+10>0,
∴1
【题型二】 全称量词与存在量词
【典题1】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)∀x∈N , x3>x2; (2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
(3)∃x0∈R , x02-x0+1≤0; (4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
【解析】(1)全称命题,当x=0时,结论不成立,所以为假命题.
命题的否定:∃x∈N , x3≤x2.
(2)全称命题,所有可以被5整除的整数,末位数字都是0或5;为假命题.
命题的否定:存在可以被5整除的整数,末位数字不都是0;(这里不能写“都不是”)
(3)特称命题,x02-x0+1=(x0−12)2+34≥34,所以结论不成立,为假命题.
命题的否定:∀x∈R , x2-x+1>0.
(4)特称命题,菱形的对角线互相垂直,真命题.
命题的否定:任意的四边形,它的对角线不互相垂直.
【点拨】全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
【典题2】若命题“∀x∈[1 , 4]时,x2-4x-m≠0”是假命题,则m的取值范围 .
【解析】 ∵“∀x∈1 , 4 , x2-4x-m≠0”是假命题,
∴该命题的否定"∃x0∈1 , 4 , x02-4x0-m=0"是真命题,
即方程x2-4x-m=0在1 , 4上有解,
∴(1-4-m)(16-16-m)≤0,解得−4≤m≤0.
【点拨】
①命题与命题的否定的真假性相反;
②正面不好证明,可从反面入手.
巩固练习
1 (★) 命题“∃x∈R , x2-x+1<0”的否定是 .
【答案】 ∀x∈R , x2-x+1≥0
【解析】因为特称命题的否定是全称命题,
所以命题“∃x∈R,x2-x+l<0”的否定是“∀x∈R,x2-x+1≥0”.
2 (★★) 若命题“∃x0∈R,3x02+2ax0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
【答案】 [−3 , 3]
【解析】命题“∃x0∈R,3x02+2ax0+1<0”的否定为“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”,
∵命题“∃x0∈R,3x02+2ax0+1<0”是假命题,
∴“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”为真命题,
则△=4a2-12≤0,解得−3≤a≤3.
∴实数a的取值范围是:[−3,3].
3 (★★) 已知命题“∃x0∈[-1 , 1] , -x02+3x0+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-2 , +∞)
【解析】命题“∃x0∈[-1,1],-x02+3x0+a>0”为真命题
等价于a>x2-3x在x∈[-1,1]上有解,
令f(x)=x2-3x,x∈[-1,1],则等价于a>fxmin=f(1)=-2,
∴a>-2,
挑战学霸
设数集S={a , b , c , d}满足下列两个条件:
(1)∀x , y∈S,xy∈S;(2)∀x , y , z∈S或x≠y,则xz≠yz.
现给出如下论断:
①a , b , c , d中必有一个为0;②a , b , c , d中必有一个为1;
③若x∈S且xy=1,则y∈S;④存在互不相等的x , y , z∈S,使得x2=y , y2=z.
其中正确论断的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】由(2)知0不属于S(①不成立),
由(1)可推出对于任意a , b , c , d∈S , abcd∈S,
∴abcd等于a , b , c , d中的某一个,
不妨设abcd=a,
∵a≠0,∴bcd=1(由(1)知②成立),
∴若③中x=b,则y=cd,
由(1)知cd∈S,即y∈S,
∴x=b时③成立,
同理有x=c时③成立和x=d时③成立,
下面讨论x=a时,
∵1∈S,∴若a=1,则y=1∈S,③成立(最后会证到a即abcd不可能等于1),
若a≠1,则b , c , d中的某个等于1,
不妨设b=1,由bcd=1知cd=1,
由(1)知ac∈S,又∵ac≠a(即c≠1),ac≠b(即a≠d),ac≠c(即a≠1),
∴ac=d,
同理有ad=c,
∴ac•ad=d•c,∴a2=1,∴a=-1,
∴y=-1∈S,∴③成立,
综上,对于任意x∈S , xy=1,有y∈S成立,即③成立,
由a≠1即abcd≠1的讨论可知
当abcd≠1时,S={1 , -1 , i , -i},(联立cd=1 , ac=d , ad=c解出a , c , d)
此时,④成立,
若a=1即abcd=1,则bcd=1=a,由1知cd∈S,
若cd=a=1,则b=bcd=a,不可能,
若cd=c,则d=1=a,不可能,
若cd=d,则c=1=a,不可能,
∴cd=b,
∴b2=b•cd=a,
同理有c2=a , d2=a,
∵a的平方根有且只有两个值,
那么b , c , d中至少有两个相同,这与b , c , d同属于S矛盾,
∴不存在a=1即abcd=1的情况,
∴④成立.
故选:C.
数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案: 这是一份数学必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000259_t4/?tag_id=42" target="_blank">1.5 全称量词与存在量词导学案</a>,共25页。学案主要包含了考纲解读,知识精讲,探导考点,典例解析,雷区警示,追踪考试,解题思路,详细解答等内容,欢迎下载使用。
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高中人教A版 (2019)1.5 全称量词与存在量词学案: 这是一份高中人教A版 (2019)1.5 全称量词与存在量词学案,共7页。