搜索
    上传资料 赚现金
    2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)
    立即下载
    加入资料篮
    2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)01
    2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)02
    2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)03
    还剩10页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)

    展开
    这是一份2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析),共13页。


    1充分条件与必要条件
    概念
    一般地,”若p,则q”为真命题,是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
    这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.
    如果”若p,则q”和它的逆命题”若q,则p”均是真命题,
    即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,
    此时p即是q的充分条件也是必要条件,我们说p是q的充要条件.
    ② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
    完成此题型,可思考
    从左到右,若p⇒q则充分,若p⇏q则不充分;
    从右到左,若q⇒p则必要,若q⇏p则不必要.
    Eg:帅哥是男人的______条件.
    从左到右,显然若A是个帅哥,那他肯定是男人,即充分;
    从右到左,若B是男人,他不一定是帅哥了,即不必要;故答案是充分不必要.
    ③ 从集合的角度理解--小范围推得出大范围
    (1) 命题p、q对应集合A、B,
    若A⊆B,则p⇒q,即p是q的充分条件;若A⊈B,则p⇏q,即p 不是q的充分条件.
    备注 若A⊆B,则称A为小范围,B为大范围.
    Eg1:帅哥是男人的______条件.
    设集合A={帅哥},集合B={男人},显然A⊆B,{帅哥}是小范围,推得出{男人}这个大范围,即充分条件;故答案是充分不必要条件.
    Eg2:x>1是x>2的不充分必要条件,因为{x|x>2}⊊{x|x>1}.
    (2) 结论
    ① 若p是q的充分不必要条件,则A⊊B;② 若p是q的必要不充分条件,则B⊊A;
    ③ 若p是q的充分条件,则A⊆B; ④ 若p是q的必要条件,则B⊆A;
    ⑤ 若p是q的充要条件,则A=B.
    2 全称量词与存在量词
    ① 全称量词
    (1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“∀”表示.
    (2) 含有全称量词的命题称为全称命题.
    全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,记作∀ x∈M , p(x).
    Eg:对所有末位数是0的数能被5整除,∀x>0, x+1x≥2.
    ② 存在量词
    (1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“∃”表示.
    (2) 含有存在量词的命题称为特称命题.
    特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”,记作∃ x∈M , p(x).
    Eg:至少有一个质数是偶数,∃x>0, x2−2x+3<0.
    ③ 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,它们的真假性是相反的.
    Eg:∀ x>1, x2>1的否定是∃ x>1,x2≤1.
    ∀ x>1, x2>1是真命题,∃ x>1,x2≤1是假命题.

    【题型一】 充分条件与必要条件
    【典题1】 设a>0 , b>0,则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的 ( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

    【典题2】 若a , b是正整数,则a+b>ab充要条件是( )
    A.a=b=1B.a , b有一个为1
    C.a=b=2D.a>1且b>1

    【典题3】 若“x2−3x−4>0”是“x2−3ax−10a2>0”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
    巩固练习
    1 (★★) 已知a>0 , b>0 , m∈R , 则“a≤b”的一个必要不充分条件是 ( )
    A.am≤bm B.am2≤bm2 C.am2≤bm2 D.a+m2≤b+m2
    2 (★★★) 设a , b∈R,命题p:a>b,命题q:a|a|>b|b|,则p是q的 ( )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    3 (★★) 在关于x的不等式ax2+2x+1>0中,“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的( )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    4 (★★★) 已知命题p:x<2m+1 , q:x2-5x+6<0,且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 .
    5 (★★★) 已知p:(x+1)(2-x)≥0,q:关于x的不等式x2+2mx-m+6>0恒成立.
    (1)当x∈R时q成立,求实数m的取值范围;
    (2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.

    【题型二】 全称量词与存在量词
    【典题1】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
    (1)∀x∈N , x3>x2; (2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
    (3)∃x0∈R , x02-x0+1≤0; (4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
    【典题2】若命题“∀x∈[1 , 4]时,x2-4x-m≠0”是假命题,则m的取值范围 .
    巩固练习
    1 (★) 命题“∃x∈R , x2-x+1<0”的否定是 .
    2 (★★) 若命题“∃x0∈R,3x02+2ax0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
    3 (★★) 已知命题“∃x0∈[-1 , 1] , -x02+3x0+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是 .
    挑战学霸
    设数集S={a , b , c , d}满足下列两个条件:
    (1)∀x , y∈S,xy∈S;(2)∀x , y , z∈S或x≠y,则xz≠yz.
    现给出如下论断:
    ①a , b , c , d中必有一个为0;②a , b , c , d中必有一个为1;
    ③若x∈S且xy=1,则y∈S;④存在互不相等的x , y , z∈S,使得x2=y , y2=z.
    其中正确论断的个数是( )
    A.1B.2C.3D.4
    1.4 充分条件与必要条件
    1.5 全称量词和存在量词
    1充分条件与必要条件
    概念
    一般地,”若p,则q”为真命题,是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
    这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.
    如果”若p,则q”和它的逆命题”若q,则p”均是真命题,
    即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,
    此时p即是q的充分条件也是必要条件,我们说p是q的充要条件.
    ② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
    完成此题型,可思考
    从左到右,若p⇒q则充分,若p⇏q则不充分;
    从右到左,若q⇒p则必要,若q⇏p则不必要.
    Eg:帅哥是男人的______条件.
    从左到右,显然若A是个帅哥,那他肯定是男人,即充分;
    从右到左,若B是男人,他不一定是帅哥了,即不必要;故答案是充分不必要.
    ③ 从集合的角度理解--小范围推得出大范围
    (1) 命题p、q对应集合A、B,
    若A⊆B,则p⇒q,即p是q的充分条件;若A⊈B,则p⇏q,即p 不是q的充分条件.
    备注 若A⊆B,则称A为小范围,B为大范围.
    Eg1:帅哥是男人的______条件.
    设集合A={帅哥},集合B={男人},显然A⊆B,{帅哥}是小范围,推得出{男人}这个大范围,即充分条件;故答案是充分不必要条件.
    Eg2:x>1是x>2的不充分必要条件,因为{x|x>2}⊊{x|x>1}.
    (2) 结论
    ① 若p是q的充分不必要条件,则A⊊B;② 若p是q的必要不充分条件,则B⊊A;
    ③ 若p是q的充分条件,则A⊆B; ④ 若p是q的必要条件,则B⊆A;
    ⑤ 若p是q的充要条件,则A=B.
    2 全称量词与存在量词
    ① 全称量词
    (1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“∀”表示.
    (2) 含有全称量词的命题称为全称命题.
    全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,记作∀ x∈M , p(x).
    Eg:对所有末位数是0的数能被5整除,∀x>0, x+1x≥2.
    ② 存在量词
    (1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“∃”表示.
    (2) 含有存在量词的命题称为特称命题.
    特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”,记作∃ x∈M , p(x).
    Eg:至少有一个质数是偶数,∃x>0, x2−2x+3<0.
    ③ 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,它们的真假性是相反的.
    Eg:∀ x>1, x2>1的否定是∃ x>1,x2≤1.
    ∀ x>1, x2>1是真命题,∃ x>1,x2≤1是假命题.

    【题型一】 充分条件与必要条件
    【典题1】 设a>0 , b>0,则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的 ( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    【解析】∵a+b≥2可知(a+b)22≥2,而a2+b2≥(a+b)22,∴a2+b2≥2.
    反之不成立,例如a=3,b=0,满足a2+b2≥2,但a+b≥2不成立.
    ∴“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件.故选:A.
    【点拨】
    ① 以“a+b≥2”为已知,可以推出“a2+b2≥2”这个结论,所以“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分条件;若要判断某个命题是对的,只能去证明它;
    ② 证明“a2+b2≥2”推不出“a+b≥2”,即判断某个命题是错的,举一个反例就行,这点做非解答题时多多注意,可称之为"取特殊值否定法";
    ③ 思考:本题可从集合的角度去判断么?
    【典题2】 若a , b是正整数,则a+b>ab充要条件是( )
    A.a=b=1B.a , b有一个为1
    C.a=b=2D.a>1且b>1
    【解析】∵a+b>ab,
    ∴ab−a−b<0⇒ab−a−b+1<1⇒(a-1)(b-1)<1,
    ∵a , b是正整数,∴a≥1,b≥1,
    则a-1≥0,b-1≥0,∴(a-1)(b-1)≥0,
    若(a-1)(b-1)<1,则(a-1)(b-1)=0,
    即a=1或b=1,即a , b有一个为1,
    即a+b>ab充要条件是a , b有一个为1,故选B.
    【点拨】
    本题求充要条件就相当于“当a , b是正整数,由a+b>ab可以等价推导出什么结论”;
    ② p是q充要条件就是相当于两个命题是等价的,这个很重要,有一种数学思想叫做“等价转化”,在推导问题的过程中经常遇到它,这需要严谨的逻辑分析.
    【典题3】 若“x2−3x−4>0”是“x2−3ax−10a2>0”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
    【解析】由x2-3x-4>0得x>4或x<-1,即不等式的解集为A={x|x>4或x<-1},
    由x2-3ax-10a2>0得(x+2a)(x-5a)>0,
    若a=0,则不等式的解为x≠0,此时不等式的解集为为B={x|x≠0},
    若a>0,则不等式的解集为B={x|x>5a或x<-2a},
    若a<0,不等式的解集为B={x|x>-2a或x<5a},
    (求解含参的不等式,注意分类讨论)
    若“x2-3x-4>0”是“x2-3ax-10a2>0”的必要不充分条件,则B⊊A,
    (从集合的角度去思考充分必要条件问题)
    则当a=0时,不满足条件.
    当a>0时,则满足5a≥4−2a<−1,即a≥45a>12,得a≥45,
    当a<0时,则满足−2a≥45a≤−1,得a≤−2a≤−15,得a≤−2.
    综上实数a的取值范围{a|a≤−2或a≥45}.
    【点拨】
    ① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解,要注意两个根“5a , −2a”的大小比较,才有了
    "a=0 , a>0 , a<0" 的分类;
    ② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件,记住“小范围推得出大范围”.
    巩固练习
    1 (★★) 已知a>0 , b>0 , m∈R , 则“a≤b”的一个必要不充分条件是 ( )
    A.am≤bm B.am2≤bm2 C.am2≤bm2 D.a+m2≤b+m2
    【答案】 C
    【解析】由已知可得:A是既不充分也不必要条件;B是充分不必要条件;C是必要不充分条件;D是充要条件.故选:C.
    2 (★★★) 设a , b∈R,命题p:a>b,命题q:a|a|>b|b|,则p是q的 ( )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】 C
    【解析】若a>b≥0,a2>b2即有a|a|>b|b|;
    若a≥0>b,显然有aa>0>b|b|;
    若0>a>b,则a2而a|a|=-a2,b|b|=-b2,所以a|a|>b|b|,
    故a>b可以推出a|a|>b|b|.
    若a|a|>b|b|,当b<0时,如果a≥0,不等式显然成立,此时有a>b;
    如果a<0,则有-a2>-b2,因而a>b;
    当b≥0时,a>0,此时有a2>b2,
    因而a>b,故a|a|>b|b|可以推出a>b.
    故选:C.
    3 (★★) 在关于x的不等式ax2+2x+1>0中,“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的( )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    【答案】 C
    【解析】在关于x的不等式ax2+2x+1>0中,
    当a>1时,△=4-4a<0,
    ∴“a>1”⇒“ax2+2x+1>0恒成立”,
    当△=4-4a<0时,a>1,
    ∴“ax2+2x+1>0恒成立”⇒“a>1”,
    ∴“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的充要条件.
    故选:C.
    4 (★★★) 已知命题p:x<2m+1 , q:x2-5x+6<0,且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 .
    【答案】m≥1
    【解析】∵命题p:x<2m+1,q:x2-5x+6<0,即2p是q的必要不充分条件,
    ∴(2,3)⫋(-∞,2m+1),∴2m+1≥3,解得m≥1.
    实数m的取值范围为m≥1.
    5 (★★★) 已知p:(x+1)(2-x)≥0,q:关于x的不等式x2+2mx-m+6>0恒成立.
    (1)当x∈R时q成立,求实数m的取值范围;
    (2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
    【答案】 (1) (-3 , 2) (2) −103【解析】(1)∵4m2+4m-24<0,∴m2+m-6<0,∴-3∴实数m的取值范围为:(-3,2).
    (2)p:-1≤x≤2,
    设A={x|-1≤x≤2},B={x|x2+2mx-m+6>0},
    ∵p是q的充分不必要条件,∴A⊊B
    ①由(1)知,-3②m=-3时,B={x|x2-6x+9>0}={x|x≠3},满足题意;
    ③m=2时,B={x|x2+4x+4>0}={x|x≠-2},满足题意;
    ④m<-3,或m>2时,设f(x)=x2+2mx-m+6,
    f(x)对称轴为x=-m,由A⊊B得−m<−1f(−1)>0或−m>2f(2)>0,
    ∴m>1−3m+7>0或m<−23m+10>0,
    ∴1∴−103综上可知:−103
    【题型二】 全称量词与存在量词
    【典题1】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
    (1)∀x∈N , x3>x2; (2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
    (3)∃x0∈R , x02-x0+1≤0; (4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
    【解析】(1)全称命题,当x=0时,结论不成立,所以为假命题.
    命题的否定:∃x∈N , x3≤x2.
    (2)全称命题,所有可以被5整除的整数,末位数字都是0或5;为假命题.
    命题的否定:存在可以被5整除的整数,末位数字不都是0;(这里不能写“都不是”)
    (3)特称命题,x02-x0+1=(x0−12)2+34≥34,所以结论不成立,为假命题.
    命题的否定:∀x∈R , x2-x+1>0.
    (4)特称命题,菱形的对角线互相垂直,真命题.
    命题的否定:任意的四边形,它的对角线不互相垂直.
    【点拨】全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
    【典题2】若命题“∀x∈[1 , 4]时,x2-4x-m≠0”是假命题,则m的取值范围 .
    【解析】 ∵“∀x∈1 , 4 , x2-4x-m≠0”是假命题,
    ∴该命题的否定"∃x0∈1 , 4 , x02-4x0-m=0"是真命题,
    即方程x2-4x-m=0在1 , 4上有解,
    ∴(1-4-m)(16-16-m)≤0,解得−4≤m≤0.
    【点拨】
    ①命题与命题的否定的真假性相反;
    ②正面不好证明,可从反面入手.
    巩固练习
    1 (★) 命题“∃x∈R , x2-x+1<0”的否定是 .
    【答案】 ∀x∈R , x2-x+1≥0
    【解析】因为特称命题的否定是全称命题,
    所以命题“∃x∈R,x2-x+l<0”的否定是“∀x∈R,x2-x+1≥0”.
    2 (★★) 若命题“∃x0∈R,3x02+2ax0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
    【答案】 [−3 , 3]
    【解析】命题“∃x0∈R,3x02+2ax0+1<0”的否定为“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”,
    ∵命题“∃x0∈R,3x02+2ax0+1<0”是假命题,
    ∴“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”为真命题,
    则△=4a2-12≤0,解得−3≤a≤3.
    ∴实数a的取值范围是:[−3,3].
    3 (★★) 已知命题“∃x0∈[-1 , 1] , -x02+3x0+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是 .
    【答案】 (-2 , +∞)
    【解析】命题“∃x0∈[-1,1],-x02+3x0+a>0”为真命题
    等价于a>x2-3x在x∈[-1,1]上有解,
    令f(x)=x2-3x,x∈[-1,1],则等价于a>fxmin=f(1)=-2,
    ∴a>-2,
    挑战学霸
    设数集S={a , b , c , d}满足下列两个条件:
    (1)∀x , y∈S,xy∈S;(2)∀x , y , z∈S或x≠y,则xz≠yz.
    现给出如下论断:
    ①a , b , c , d中必有一个为0;②a , b , c , d中必有一个为1;
    ③若x∈S且xy=1,则y∈S;④存在互不相等的x , y , z∈S,使得x2=y , y2=z.
    其中正确论断的个数是( )
    A.1B.2C.3D.4
    【解析】由(2)知0不属于S(①不成立),
    由(1)可推出对于任意a , b , c , d∈S , abcd∈S,
    ∴abcd等于a , b , c , d中的某一个,
    不妨设abcd=a,
    ∵a≠0,∴bcd=1(由(1)知②成立),
    ∴若③中x=b,则y=cd,
    由(1)知cd∈S,即y∈S,
    ∴x=b时③成立,
    同理有x=c时③成立和x=d时③成立,
    下面讨论x=a时,
    ∵1∈S,∴若a=1,则y=1∈S,③成立(最后会证到a即abcd不可能等于1),
    若a≠1,则b , c , d中的某个等于1,
    不妨设b=1,由bcd=1知cd=1,
    由(1)知ac∈S,又∵ac≠a(即c≠1),ac≠b(即a≠d),ac≠c(即a≠1),
    ∴ac=d,
    同理有ad=c,
    ∴ac•ad=d•c,∴a2=1,∴a=-1,
    ∴y=-1∈S,∴③成立,
    综上,对于任意x∈S , xy=1,有y∈S成立,即③成立,
    由a≠1即abcd≠1的讨论可知
    当abcd≠1时,S={1 , -1 , i , -i},(联立cd=1 , ac=d , ad=c解出a , c , d)
    此时,④成立,
    若a=1即abcd=1,则bcd=1=a,由1知cd∈S,
    若cd=a=1,则b=bcd=a,不可能,
    若cd=c,则d=1=a,不可能,
    若cd=d,则c=1=a,不可能,
    ∴cd=b,
    ∴b2=b•cd=a,
    同理有c2=a , d2=a,
    ∵a的平方根有且只有两个值,
    那么b , c , d中至少有两个相同,这与b , c , d同属于S矛盾,
    ∴不存在a=1即abcd=1的情况,
    ∴④成立.
    故选:C.
    相关学案

    数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案: 这是一份数学必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000259_t4/?tag_id=42" target="_blank">1.5 全称量词与存在量词导学案</a>,共25页。学案主要包含了考纲解读,知识精讲,探导考点,典例解析,雷区警示,追踪考试,解题思路,详细解答等内容,欢迎下载使用。

    数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案: 这是一份数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案,文件包含正文docx、答案docx等2份学案配套教学资源,其中学案共6页, 欢迎下载使用。

    高中人教A版 (2019)1.5 全称量词与存在量词学案: 这是一份高中人教A版 (2019)1.5 全称量词与存在量词学案,共7页。

    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map