2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)1.4-1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词(学生版+解析)，共13页。


1充分条件与必要条件
概念
一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p”均是真命题，
即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，
此时p即是q的充分条件也是必要条件，我们说p是q的充要条件.
② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若p⇒q则充分，若p⇏q则不充分；
从右到左，若q⇒p则必要，若q⇏p则不必要.
Eg：帅哥是男人的______条件.
从左到右，显然若A是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围
(1) 命题p、q对应集合A、B，
若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件；若A⊈B，则p⇏q，即p 不是q的充分条件.
备注 若A⊆B，则称A为小范围，B为大范围.
Eg1：帅哥是男人的______条件.
设集合A={帅哥}，集合B={男人}，显然A⊆B，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
Eg2：x>1是x>2的不充分必要条件，因为{x|x>2}⊊{x|x>1}.
(2) 结论
① 若p是q的充分不必要条件，则A⊊B；② 若p是q的必要不充分条件，则B⊊A；
③ 若p是q的充分条件，则A⊆B； ④ 若p是q的必要条件，则B⊆A；
⑤ 若p是q的充要条件，则A=B.
2 全称量词与存在量词
① 全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记作∀ x∈M , p(x)．
Eg：对所有末位数是0的数能被5整除，∀x>0, x+1x≥2.
② 存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，记作∃ x∈M , p(x).
Eg：至少有一个质数是偶数，∃x>0, x2−2x+3<0.
③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
Eg：∀ x>1, x2>1的否定是∃ x>1,x2≤1.
∀ x>1, x2>1是真命题，∃ x>1,x2≤1是假命题.

【题型一】 充分条件与必要条件
【典题1】 设a>0 , b>0，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【典题2】 若a , b是正整数，则a+b>ab充要条件是( )
A．a=b=1B．a , b有一个为1
C．a=b=2D．a>1且b>1

【典题３】 若“x2−3x−4>0”是“x2−3ax−10a2>0”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
巩固练习
1 (★★) 已知a>0 , b>0 , m∈R , 则“a≤b”的一个必要不充分条件是 ( )
A．am≤bm B．am2≤bm2 C．am2≤bm2 D．a+m2≤b+m2
2 (★★★) 设a , b∈R，命题p：a>b，命题q：a|a|>b|b|，则p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3 (★★) 在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 (★★★) 已知命题p：x<2m+1 , q：x2－5x+6<0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 .
5 (★★★) 已知p：(x+1)(2－x)≥0，q：关于x的不等式x2+2mx－m+6>0恒成立．
(1)当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【题型二】 全称量词与存在量词
【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)∀x∈N , x3>x2； (2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
(3)∃x0∈R , x02－x0+1≤0； (4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【典题2】若命题“∀x∈[1 , 4]时，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围 ．
巩固练习
1 (★) 命题“∃x∈R , x2－x+1<0”的否定是 .
2 (★★) 若命题“∃x0∈R，3x02+2ax0+1<0”是假命题，则实数a的取值范围是 ．
3 (★★) 已知命题“∃x0∈[－1 , 1] , －x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
挑战学霸
设数集S={a , b , c , d}满足下列两个条件：
(1)∀x , y∈S，xy∈S；(2)∀x , y , z∈S或x≠y，则xz≠yz．
现给出如下论断：
①a , b , c , d中必有一个为0；②a , b , c , d中必有一个为1；
③若x∈S且xy=1，则y∈S；④存在互不相等的x , y , z∈S，使得x2=y , y2=z．
其中正确论断的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词和存在量词
1充分条件与必要条件
概念
一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p”均是真命题，
即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，
此时p即是q的充分条件也是必要条件，我们说p是q的充要条件.
② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若p⇒q则充分，若p⇏q则不充分；
从右到左，若q⇒p则必要，若q⇏p则不必要.
Eg：帅哥是男人的______条件.
从左到右，显然若A是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围
(1) 命题p、q对应集合A、B，
若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件；若A⊈B，则p⇏q，即p 不是q的充分条件.
备注 若A⊆B，则称A为小范围，B为大范围.
Eg1：帅哥是男人的______条件.
设集合A={帅哥}，集合B={男人}，显然A⊆B，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
Eg2：x>1是x>2的不充分必要条件，因为{x|x>2}⊊{x|x>1}.
(2) 结论
① 若p是q的充分不必要条件，则A⊊B；② 若p是q的必要不充分条件，则B⊊A；
③ 若p是q的充分条件，则A⊆B； ④ 若p是q的必要条件，则B⊆A；
⑤ 若p是q的充要条件，则A=B.
2 全称量词与存在量词
① 全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记作∀ x∈M , p(x)．
Eg：对所有末位数是0的数能被5整除，∀x>0, x+1x≥2.
② 存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，记作∃ x∈M , p(x).
Eg：至少有一个质数是偶数，∃x>0, x2−2x+3<0.
③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
Eg：∀ x>1, x2>1的否定是∃ x>1,x2≤1.
∀ x>1, x2>1是真命题，∃ x>1,x2≤1是假命题.

【题型一】 充分条件与必要条件
【典题1】 设a>0 , b>0，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】∵a+b≥2可知(a+b)22≥2，而a2+b2≥(a+b)22，∴a2+b2≥2．
反之不成立，例如a=3，b＝0，满足a2+b2≥2，但a+b≥2不成立.
∴“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件．故选：A．
【点拨】
① 以“a+b≥2”为已知，可以推出“a2+b2≥2”这个结论，所以“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分条件；若要判断某个命题是对的，只能去证明它；
② 证明“a2+b2≥2”推不出“a+b≥2”，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多多注意，可称之为"取特殊值否定法"；
③ 思考：本题可从集合的角度去判断么？
【典题2】 若a , b是正整数，则a+b>ab充要条件是( )
A．a=b=1B．a , b有一个为1
C．a=b=2D．a>1且b>1
【解析】∵a+b>ab，
∴ab−a−b<0⇒ab−a−b+1<1⇒(a－1)(b－1)<1，
∵a , b是正整数，∴a≥1，b≥1，
则a－1≥0，b－1≥0，∴(a－1)(b－1)≥0，
若(a－1)(b－1)<1，则(a－1)(b－1)=0，
即a=1或b=1，即a , b有一个为1，
即a+b>ab充要条件是a , b有一个为1，故选B．
【点拨】
本题求充要条件就相当于“当a , b是正整数，由a+b>ab可以等价推导出什么结论”；
② p是q充要条件就是相当于两个命题是等价的，这个很重要，有一种数学思想叫做“等价转化”，在推导问题的过程中经常遇到它，这需要严谨的逻辑分析.
【典题３】 若“x2−3x−4>0”是“x2−3ax−10a2>0”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【解析】由x2－3x－4>0得x>4或x<－1，即不等式的解集为A＝{x|x>4或x<－1}，
由x2－3ax－10a2>0得(x+2a)(x－5a)>0，
若a＝0，则不等式的解为x≠0，此时不等式的解集为为B＝{x|x≠0}，
若a>0，则不等式的解集为B＝{x|x>5a或x<－2a}，
若a<0，不等式的解集为B＝{x|x>－2a或x<5a}，
(求解含参的不等式，注意分类讨论)
若“x2－3x－4>0”是“x2－3ax－10a2>0”的必要不充分条件，则B⊊A，
(从集合的角度去思考充分必要条件问题)
则当a＝0时，不满足条件．
当a>0时，则满足5a≥4−2a<−1，即a≥45a>12，得a≥45，
当a<0时，则满足−2a≥45a≤−1，得a≤−2a≤−15，得a≤−2．
综上实数a的取值范围{a|a≤−2或a≥45}.
【点拨】
① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根“5a , −2a”的大小比较，才有了
"a=0 , a>0 , a<0" 的分类；
② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住“小范围推得出大范围”.
巩固练习
1 (★★) 已知a>0 , b>0 , m∈R , 则“a≤b”的一个必要不充分条件是 ( )
A．am≤bm B．am2≤bm2 C．am2≤bm2 D．a+m2≤b+m2
【答案】 C
【解析】由已知可得：A是既不充分也不必要条件；B是充分不必要条件；C是必要不充分条件；D是充要条件．故选：C．
2 (★★★) 设a , b∈R，命题p：a>b，命题q：a|a|>b|b|，则p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】若a>b≥0，a2>b2即有a|a|>b|b|；
若a≥0>b，显然有aa>0>b|b|；
若0>a>b，则a2而a|a|=－a2，b|b|=－b2，所以a|a|>b|b|，
故a>b可以推出a|a|>b|b|．
若a|a|>b|b|，当b<0时，如果a≥0，不等式显然成立，此时有a>b；
如果a<0，则有－a2>－b2，因而a>b；
当b≥0时，a>0，此时有a2>b2，
因而a>b，故a|a|>b|b|可以推出a>b．
故选：C．
3 (★★) 在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，
当a>1时，△=4－4a<0，
∴“a>1”⇒“ax2+2x+1>0恒成立”，
当△=4－4a<0时，a>1，
∴“ax2+2x+1>0恒成立”⇒“a>1”，
∴“a>1”是“ax2+2x+1>0恒成立”的充要条件．
故选：C．
4 (★★★) 已知命题p：x<2m+1 , q：x2－5x+6<0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 .
【答案】m≥1
【解析】∵命题p：x<2m+1，q：x2－5x+6<0，即2p是q的必要不充分条件，
∴(2，3)⫋(－∞，2m+1)，∴2m+1≥3，解得m≥1．
实数m的取值范围为m≥1．
5 (★★★) 已知p：(x+1)(2－x)≥0，q：关于x的不等式x2+2mx－m+6>0恒成立．
(1)当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】 (1) (－3 , 2) (2) −103【解析】(1)∵4m2+4m－24<0，∴m2+m－6<0，∴－3∴实数m的取值范围为：(－3，2)．
(2)p：－1≤x≤2，
设A={x|－1≤x≤2}，B={x|x2+2mx－m+6>0}，
∵p是q的充分不必要条件，∴A⊊B
①由(1)知，－3②m=－3时，B={x|x2－6x+9>0}={x|x≠3}，满足题意；
③m=2时，B={x|x2+4x+4>0}={x|x≠－2}，满足题意；
④m<－3，或m>2时，设f(x)=x2+2mx－m+6，
f(x)对称轴为x=－m，由A⊊B得−m<−1f(−1)>0或−m>2f(2)>0，
∴m>1−3m+7>0或m<−23m+10>0，
∴1∴−103综上可知：−103
【题型二】 全称量词与存在量词
【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)∀x∈N , x3>x2； (2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
(3)∃x0∈R , x02－x0+1≤0； (4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【解析】(1)全称命题，当x＝0时，结论不成立，所以为假命题．
命题的否定：∃x∈N , x3≤x2.
(2)全称命题，所有可以被5整除的整数，末位数字都是0或5；为假命题．
命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不都是0；(这里不能写“都不是”)
(3)特称命题，x02－x0+1=(x0−12)2+34≥34，所以结论不成立，为假命题．
命题的否定：∀x∈R , x2－x+1>0．
(4)特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．
命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．
【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
【典题2】若命题“∀x∈[1 , 4]时，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围 ．
【解析】 ∵“∀x∈1 , 4 , x2－4x－m≠0”是假命题，
∴该命题的否定"∃x0∈1 , 4 , x02－4x0－m=0"是真命题，
即方程x2－4x－m=0在1 , 4上有解，
∴(1－4－m)(16－16－m)≤0，解得−4≤m≤0.
【点拨】
①命题与命题的否定的真假性相反；
②正面不好证明，可从反面入手.
巩固练习
1 (★) 命题“∃x∈R , x2－x+1<0”的否定是 .
【答案】 ∀x∈R , x2－x+1≥0
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“∃x∈R，x2－x+l<0”的否定是“∀x∈R，x2－x+1≥0”．
2 (★★) 若命题“∃x0∈R，3x02+2ax0+1<0”是假命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】 [−3 , 3]
【解析】命题“∃x0∈R，3x02+2ax0+1<0”的否定为“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”，
∵命题“∃x0∈R，3x02+2ax0+1<0”是假命题，
∴“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”为真命题，
则△=4a2－12≤0，解得−3≤a≤3．
∴实数a的取值范围是：[−3，3]．
3 (★★) 已知命题“∃x0∈[－1 , 1] , －x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】 (－2 , +∞)
【解析】命题“∃x0∈[－1，1]，－x02+3x0+a>0”为真命题
等价于a>x2－3x在x∈[－1，1]上有解，
令f(x)=x2－3x，x∈[－1，1]，则等价于a>fxmin=f(1)=－2，
∴a>－2，
挑战学霸
设数集S={a , b , c , d}满足下列两个条件：
(1)∀x , y∈S，xy∈S；(2)∀x , y , z∈S或x≠y，则xz≠yz．
现给出如下论断：
①a , b , c , d中必有一个为0；②a , b , c , d中必有一个为1；
③若x∈S且xy=1，则y∈S；④存在互不相等的x , y , z∈S，使得x2=y , y2=z．
其中正确论断的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【解析】由(2)知0不属于S(①不成立)，
由(1)可推出对于任意a , b , c , d∈S , abcd∈S，
∴abcd等于a , b , c , d中的某一个，
不妨设abcd=a，
∵a≠0，∴bcd=1(由(1)知②成立)，
∴若③中x=b，则y=cd，
由(1)知cd∈S，即y∈S，
∴x=b时③成立，
同理有x=c时③成立和x=d时③成立，
下面讨论x=a时，
∵1∈S，∴若a=1，则y=1∈S，③成立(最后会证到a即abcd不可能等于1)，
若a≠1，则b , c , d中的某个等于1，
不妨设b=1，由bcd=1知cd=1，
由(1)知ac∈S，又∵ac≠a(即c≠1)，ac≠b(即a≠d)，ac≠c(即a≠1)，
∴ac=d，
同理有ad=c，
∴ac•ad=d•c，∴a2=1，∴a=－1，
∴y=－1∈S，∴③成立，
综上，对于任意x∈S , xy=1，有y∈S成立，即③成立，
由a≠1即abcd≠1的讨论可知
当abcd≠1时，S={1 , －1 , i , －i}，(联立cd=1 , ac=d , ad=c解出a , c , d)
此时，④成立，
若a=1即abcd=1，则bcd=1=a，由1知cd∈S，
若cd=a=1，则b=bcd=a，不可能，
若cd=c，则d=1=a，不可能，
若cd=d，则c=1=a，不可能，
∴cd=b，
∴b2=b•cd=a，
同理有c2=a , d2=a，
∵a的平方根有且只有两个值，
那么b , c , d中至少有两个相同，这与b , c , d同属于S矛盾，
∴不存在a=1即abcd=1的情况，
∴④成立．
故选：C．