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    2024年高中数学(必修第一册)1.3集合的基本运算精品讲义(学生版+解析)
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    2024年高中数学(必修第一册)1.3集合的基本运算精品讲义(学生版+解析)

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    这是一份2024年高中数学(必修第一册)1.3集合的基本运算精品讲义(学生版+解析),共12页。

    1 并集、交集、补集
    2 结论
    若A⋂B=A,则A⊆B; 若A⋃B=A,则B⊆A.
    3 运算律
    ① 交换律 A⋃B=B⋃A,A⋂B=B⋂A;
    ② 结合律 A⋃B⋃C=A⋃(B⋃C),A⋂B⋂C=A⋂(B⋂C);
    ③ 分配律 A⋂B⋃C=(A⋂C)⋃(B⋂C),A⋃B⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C);
    ④ 德摩根律 ∁UA⋃B=(∁UA)⋂(∁UB),∁UA⋂B=(∁UA)⋃(∁UB).
    【典题1】离散型集合运算
    已知集合U=x∈Z−3则M∩N的元素个数为 .

    【典题2】连续型集合运算
    已知全集U=R, 集合A={x|x2−3x−4<0} , B={x|x−1≤0} , 则集合A∩∁UB=
    【典题3】设A=xx2+8x=0 , B={x|x2+2a+2x+a2−4=0},其中a∈R,如果A⋃B=A,求实数a的取值范围.
    【典题4】已知A={x|x2−4x+3≤0} , B={x|x2+mx+n<0}, 且A∩B≠∅,A∪B={x|1≤x<4},求m的取值范围.

    巩固练习
    1(★) 已知集合U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则( )
    A.M∩N={4,6} B.M∪N=U C.(∁UN)∪M=U D.∁UM∩N=N
    2(★) 已知集合A={2a−1,a2,0},B={1−a,a−5,9},且A∩B={9},则( )
    A.A={9,25,0}B.A={5,9,0}
    C.A={−7,9,0}D.A∪B={−7,9,0,25,−4}
    3(★★)设M={x|m≤x≤m+13},N={x|n−34≤x≤n}都是{x|0≤x≤1}的子集,如果b−a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度,则集合M∩N的长度的最小值是( )
    A.13B.14C.16D.112
    4(★) 设集合P={x|x+2≥x2} , Q={x∈N||x|≤3},则P∩Q= .
    5(★★) 设集合A={x|x2−(a+3)x+3a=0},B={x|x2−5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为: .
    6(★)已知集合A={x|x2−x−2<0} , B={x|a−2则A∪B= .
    7(★★) 设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,则实数a的取值范围 .
    8(★★) 已知集合A=xx2−5x+6=0 , B=xmx+1=0 , 若A∪B=A , 则实数m的取值集合为 .
    9(★★) 已知集合A={x|−2若A∩B={2},求a的值;(2)若A∪B=A,求a的取值范围.
    10(★★★) 已知集合A={x|2m−1使A∩B≠∅?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
    11(★★★) 设集合A=x∣x2−3x+2=0,B=x∣x2+2(a+1)x+a2−5=0
    (1)若A∩B={2},求实数a的值;
    (2)若U=R,A∩CUB=A.求实数a的取值范围.
    12(★★★★) 已知集合A={x|x=m+n3,且m2−3n2=1 , m , n∈Z}.
    (1)证明:若x∈A,则x+1x是偶数;
    (2)设a∈A,且1(3)设c∈A,求证:c2+3∈A;并求满足2+313(★★★★) 集合A=a1 , a2 , … , an,任取1≤i这三个式子中至少有一个成立,则n的最大值为 .
    并集
    交集
    补集
    概念
    由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.
    由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的交集.
    对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合,称为集合A相对于全集U的补集.
    记号
    A⋃B(读作:A并B)
    A⋂B(读作:A交B)
    CUA(读作:A的补集)
    符号
    A⋃B={x|x∈A或x∈B}
    A⋂B={x|x∈A且x∈B}
    CUA={x|x∈U, x∉A}
    图形
    表示
    集合的基本运算
    1 并集、交集、补集
    2 结论
    若A⋂B=A,则A⊆B; 若A⋃B=A,则B⊆A.
    3 运算律
    ① 交换律 A⋃B=B⋃A,A⋂B=B⋂A;
    ② 结合律 A⋃B⋃C=A⋃(B⋃C),A⋂B⋂C=A⋂(B⋂C);
    ③ 分配律 A⋂B⋃C=(A⋂C)⋃(B⋂C),A⋃B⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C);
    ④ 德摩根律 ∁UA⋃B=(∁UA)⋂(∁UB),∁UA⋂B=(∁UA)⋃(∁UB).
    【典题1】离散型集合运算
    已知集合U=x∈Z−3则M∩N的元素个数为 .
    【解析】 U={−2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7},则M={−1 , 0 , 2 , 5 , 6} ,
    ∴M∩N={−1 , 2 , 5} , ∴M∩N的元素个数为3.
    【典题2】连续型集合运算
    已知全集U=R, 集合A={x|x2−3x−4<0} , B={x|x−1≤0} , 则集合A∩∁UB= .
    【解析】 ∵A={x|−1∴∁UB={x|x>1},∴A∩∁UB={x|1【点拨】关于集合的运算,先看清楚集合的元素,把集合化简成最简单的形式,当涉及到不等式可以借助数轴.
    【典题3】设A=xx2+8x=0 , B={x|x2+2a+2x+a2−4=0},其中a∈R,如果A⋃B=A,求实数a的取值范围.
    【解析】 ∵x2+8x=0,∴x(x+8)=0,解得x=0或x=−8.
    ∴A={0 , −8}.
    ∵A∪B=A,∴B⊆A , (利用venn图理解下这个结论)
    ∴B可能为∅ , {0} , {-8} , {0 , -8}.
    方程x2+2a+2x+a2−4=0(⊗)的△=4a+22-4(a2−4)=16(a+2).
    ①当△=0,即a=-2时,此时B={0},适合题意.
    ②当△<0,即a<-2时,得B=∅,适合题意.
    ③当△>0,即a>-2时,方程(⊗)由两个不等根,若为0 , -8,
    则必须满足−8+0=−2(a+2)−8×0=a2−4,解得a=2.(韦达定理)
    综上可知:实数a的取值范围是{a|a=2或a≤-2}.
    【点拨】遇到子集的问题: B⊆A,不要漏了B=∅的情况.
    【典题4】已知A={x|x2−4x+3≤0} , B={x|x2+mx+n<0}, 且A∩B≠∅,A∪B={x|1≤x<4},求m的取值范围.
    【解析】 由题意A={x|1≤x≤3},
    ∵A∩B≠∅ , A∪B=x1≤x<4,
    (此时画数轴分析下,会清晰很多
    则易知a、4是方程x2+mx+n=0的根,且1≤a<3)
    ∴x=4是方程x2+mx+n=0的一个根,即16+4m+n=0 , 并且另一个根在[1 , 3)上,
    (此时还是试试画出满足条件的f(x)=x2+mx+n函数图象,体会下数形结合的威力
    )
    ∴设函数f(x)=x2+mx+n , 则f(1)f(3)≤0 , 其中f(3)≠0 ,
    ∴16+4m+n=0(1+m+n)(9+3m+n)≤09+3m+n≠0,
    解得−7【点拨】在处理类似本题集合综合运算时,多结合图象进行思考.

    巩固练习
    1(★) 已知集合U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则( )
    A.M∩N={4,6} B.M∪N=U C.(∁UN)∪M=U D.∁UM∩N=N
    【答案】 B
    【解析】 选B.由U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},
    得M∩N={4,5},(∁UN)∪M={3,4,5,7},(∁UM)∩N={2,6},M∪N={2,3,4,5,6,7}=U,选B.
    2(★) 已知集合A={2a−1,a2,0},B={1−a,a−5,9},且A∩B={9},则( )
    A.A={9,25,0}B.A={5,9,0}
    C.A={−7,9,0}D.A∪B={−7,9,0,25,−4}
    【答案】 C
    【解析】 ∵A∩B={9},∴9∈A,
    ∴2a−1=9或a2=9,
    ∴a=5或a=±3,
    ①a=3时,A={5,9,0},B={−2,−2,9},集合B错误,不满足集合元素的互异性,
    ∴a≠3;
    ②a=−3时,A={−7,9,0},B={4,−8,9},满足A∩B={9},即a=−3成立;
    ③a=5时,A={9,25,0},B={−4,0,9},A∩B={0,9},∴a=5不成立,
    综上得,A={−7,9,0},A∪B={−8,−7,0,4,9}.
    故选:C.
    3(★★)设M={x|m≤x≤m+13},N={x|n−34≤x≤n}都是{x|0≤x≤1}的子集,如果b−a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度,则集合M∩N的长度的最小值是( )
    A.13B.14C.16D.112
    【答案】 D
    【解析】由m≥0,且m+13≤1,求出m∈[0,23],
    由n−34≥0,且n≤1,求出n∈[34,1],
    分别把m,n的两端值代入求出:M=x∣0≤x≤13,N=x∣14≤x≤1,
    或M={x|23≤x≤1},N={x|0≤x≤34},
    所以M∩N={x|14≤x≤13},或{x|23≤x≤34}.
    所以b−a=13−14=112,或34−23=112,
    综上所述,集合M∩N的长度的最小值是112.
    故选:D.
    4(★) 设集合P={x|x+2≥x2} , Q={x∈N||x|≤3},则P∩Q= .
    【答案】 {0 , 1 , 2}
    【解析】解不等式x+2≥x2,得−1≤x≤2,
    ∴集合P={x|x+2≥x2}={x|−1≤x≤2},
    又∵集合Q={x∈N||x|≤3}={0,1,2,3},
    ∴P∩Q={0,1,2}.
    5(★★) 设集合A={x|x2−(a+3)x+3a=0},B={x|x2−5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为: .
    【答案】 {0,1,3,4}
    【解析】求解一元二次方程x2−(a+3)x+3a=0可得x1=a,x2=3,且B={1,4},
    当a=1,3或4时,结合集合的互异性,可知A∪B中所有元素之和为8,
    否则a+1+3+4=8,解得:a=0,
    综上可得,实数a的取值范围是{0,1,3,4}.
    6(★)已知集合A={x|x2−x−2<0} , B={x|a−2【答案】 (−2 , 2)
    【解析】∵A={x|−1∴a=0,
    ∴B={x|−2∴A∪B=(−2,2).
    7(★★) 设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,则实数a的取值范围 .
    【答案】 (−∞,−1]∪{1}
    【解析】由A中方程变形得:x(x+4)=0,
    解得:x=0或x=−4,即A={−4,0},
    由B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0},其中x∈R,且A∩B=B,
    分两种情况考虑:
    若B=∅时,Δ=4(a+1)2−4a2−1=8a+8<0,即a≤−1,满足题意;
    若B≠∅时,Δ=4(a+1)2−4a2−1=8a+8≥0,即a≥−1,
    此时把x=−4代入得:16−8a−8+a2−1=0,即a=−1或a=−7(舍去);
    把x=0代入得:a=1或−1,
    综上,a的范围为(−∞,−1]∪{1}.
    8(★★) 已知集合A=xx2−5x+6=0 , B=xmx+1=0 , 若A∪B=A , 则实数m的取值集合为 .
    【答案】 {−12 , 13 , 0}
    【解析】集合A={x|x2−5x+6=0}={x|x=2或x=3}={2,3}.
    ∵A∪B=A,∴B⊆A.
    若B=∅,即m=0时,满足条件B⊆A.
    若B≠∅,即m≠0时,集合B={x|x=−1m}={−1m},
    要使B⊆A.则−1m=2或−1m=3,
    解得m=−12或m=−13.
    故m=0或m=−12或m=−13.
    9(★★) 已知集合A={x|−2(1)若A∩B={2},求a的值;(2)若A∪B=A,求a的取值范围.
    【答案】 (1) 3 (2) (0,3)
    【解析】 (1)A={x|−1∵A∩B={2},∴2∈B,
    ∴a=2或a−1=2,即a=2或a=3,
    a=2时,B={1,2},∴A∩B={1,2},不满足A∩B={2},a=2舍去,
    ∴a=3;
    (2)∵A∪B=A,∴B⊆A,
    ∴−1∴a的取值范围为(0,3).
    10(★★★) 已知集合A={x|2m−1使A∩B≠∅?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
    【答案】 m>1或−3【解析】若A⋂B=∅,分A=∅和A≠∅讨论:
    (1)若A=∅,则2m−1≥3m+2,解得m≤−3,此时A∩B=∅.
    (2)若A≠∅,要使A∩B=∅,则应有
    &2m−1<3m+2&2m−1≥−2&3m+2≤5即&m>−3&m≥−12&m≤1,所以−12≤m≤1.
    综上,当A⋂B=∅时,m≤−3或−12≤m≤1;
    当m>1或−311(★★★) 设集合A=x∣x2−3x+2=0,B=x∣x2+2(a+1)x+a2−5=0
    (1)若A∩B={2},求实数a的值;
    (2)若U=R,A∩CUB=A.求实数a的取值范围.
    【答案】 (1) −1或−3 (2) a<−3 或 −3【解析】由x2−3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}.
    (1)∵A∩B={2} ∴2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0,
    ∴a=−1或a=−3;
    当a=−1时,B=x∣x2−4=0={−2,2}满足条件;
    当a=−3时,B=x∣x2−4x+4=0={2}满足条件;
    综上,a的值为−1或−3.
    (2)∵A∩CUB=A,∴A⊆CUB,∴A∩B=∅
    ①若B=∅,则Δ<0⇒a<−3适合;
    ②若B≠∅,则a=−3时,B={2},A∩B={2},不合题意;
    当a>−3,此时需1∉B且2∉B
    将2代入B的方程得a=−1 或 a=−3;
    将1代入B的方程得a2+2a−2=0⇒a=−1±3
    ∴a≠1 且 a≠3 且 a≠−1±3
    综上,a的取值范围是a<−3 或 −3或−1−1+3.
    12(★★★★) 已知集合A={x|x=m+n3,且m2−3n2=1 , m , n∈Z}.
    (1)证明:若x∈A,则x+1x是偶数;
    (2)设a∈A,且1(3)设c∈A,求证:c2+3∈A;并求满足2+3【解析】 (1)因为x∈A , 不妨设x=m+n3 ,
    则x+1x=(m+n3)+1m+3n=m+3n+m−3nm2−3n2,
    由m2−3n2=1 可得x+1x=2m 因为m∈Z , 所以x+1x为偶数.
    (2)因为x∈A , 不妨设x=m+n3,由1由(1)可得 a+1a=2m,所以54<2m<5即 58又因为m2−3n2=1 , m , n∈Z , 则m=1或者2
    当m=1时 n=0 不符合,当m=2时,n=1 符合题意 即 a=2+3,
    (3)证明:因为c∈A 则设c=m+n3,
    则c2+3=m+3n2+3=(m+3n)(2−3)4−3=(2m−3n)+3(2n−m)
    显然2m−3n、2n−m∈z , 此时 2m+3n2−32n−m2=1 符合集合A定义,
    因为2+3故c=(2+3)2=7+43.
    13(★★★★) 集合A=a1 , a2 , … , an,任取1≤i这三个式子中至少有一个成立,则n的最大值为 .
    【解析】 不妨假设a1>a2>…>an,若集合A中的正数个数大于等于4,
    由于a2+a3和a2+a4均大于a2,于是有a2+a3=a2+a4=a1,从而a3=a4,矛盾!
    所以集合A中至多有3个正数,同理集合A中最多有3个负数,
    取A={−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3},满足题意,所以n的最大值为7.
    并集
    交集
    补集
    概念
    由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集.
    由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的交集.
    对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合,称为集合A相对于全集U的补集.
    记号
    A⋃B(读作:A并B)
    A⋂B(读作:A交B)
    CUA(读作:A的补集)
    符号
    A⋃B={x|x∈A或x∈B}
    A⋂B={x|x∈A且x∈B}
    CUA={x|x∈U, x∉A}
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