2024年高中数学(必修第一册)3.4幂函数精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.4幂函数精品讲义(学生版+解析)，共8页。

1 定义
一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2 常见幂函数图像
3 性质
① 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , +∞ )上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸；
③ α<0时，幂函数的图象在(0 , +∞ )上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
【典题1】已知幂函数f(x)过点(2 , 22)则 ( )
A．f(x)=x−12，且在(0 , +∞)上单调递减 B．f(x)=x−12，且在(0 , +∞)单调递增
C．f(x)=x12且在(0 , +∞)上单调递减 D．f(x)=x12，且在(0 , +∞)上单调递增

【典题2】下列命题中：
①幂函数的图象都经过点(1 , 1)和点(0 , 0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线；
④当n>0时，幂函数y=xn是增函数；
⑤当n<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．
其中正确的是( )
A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤
【典题3】 如图所示是函数y=xmn(m、n∈N∗且互质)的图象，则( )
A．m、n是奇数且mn<1 B．m是偶数，n是奇数，且mn>1
C．m是偶数，n是奇数，且mn<1 D．m、n是偶数，且mn>1
巩固练习
1(★) 已知幂函数f(x)的图象经过点(2 , 22)，则f(4)的值为 ．
2(★) 已知α∈{−2 , −1 , −12 , 12 , 1 , 2 , 3}，若幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0 , +∞)上递减，则α= ．
3(★) 图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2 , ±12四个值，则相应于曲线C1，C2 , C3 , C4的n依次为( )
A．−2 , −12 , 12 , 2 B．2 , 12 , −2 , −12 C．−12 , −2 , 2 , 12D．2 , 12 , −12 , −2
4(★★) 已知幂函数y=xpq，(p , q∈Z)的图象如图所示，则( )
A．p , q均为奇数，且pq>0 B．q为偶数，p为奇数，且pq<0
C．q为奇数，p为偶数，且pq>0 D．q为奇数，p为偶数，且pq<0
5(★★) 已知幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈Z)的图象关于原点对称，且在(0 , +∞)上是减函数，则m=( )
A．0B．0或2C．0D．2
幂函数
1 定义
一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2 常见幂函数图像
3 性质
① 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , +∞ )上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸；
③ α<0时，幂函数的图象在(0 , +∞ )上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
【典题1】已知幂函数f(x)过点(2 , 22)则 ( )
A．f(x)=x−12，且在(0 , +∞)上单调递减 B．f(x)=x−12，且在(0 , +∞)单调递增
C．f(x)=x12且在(0 , +∞)上单调递减 D．f(x)=x12，且在(0 , +∞)上单调递增
【解析】∵幂函数f(x)=xa过点(2 , 22)， ∴f(2)=2a=22，解得a=−12，
∴f(x)=x−12，在(0 , +∞)上单调递减．
故选：A．
【点拨】利用待定系数法求解函数解析式.
【典题2】下列命题中：
①幂函数的图象都经过点(1 , 1)和点(0 , 0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线；
④当n>0时，幂函数y=xn是增函数；
⑤当n<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．
其中正确的是( )
A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤
【解析】①幂函数的图象都经过点(1 , 1)，但不一定经过点(0 , 0)，比如y=1x，故错误；
②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；
③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线去除(0 , 1)点，故错误；
④当n>0时，如y=x2，幂函数y=xn在(0 , +∞)上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；
⑤当n<0时，幂函数y=xn在(0 , +∞)上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小，故正确．
故选：D．
【典题3】 如图所示是函数y=xmn(m、n∈N∗且互质)的图象，则( )
A．m、n是奇数且mn<1 B．m是偶数，n是奇数，且mn>1
C．m是偶数，n是奇数，且mn<1 D．m、n是偶数，且mn>1
【解析】∵函数y=xmn的图象的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故mn<1，故选：C.
巩固练习
1(★) 已知幂函数f(x)的图象经过点(2 , 22)，则f(4)的值为 ．
【答案】 12
【解析】∵幂函数f(x)=xa过点(2，22)，
∴f(2)=2a=22，解得a=−12，
∴f(x)=x−12，∴f(4)=12.
2(★) 已知α∈{−2 , −1 , −12 , 12 , 1 , 2 , 3}，若幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0 , +∞)上递减，则α= ．
【答案】 −1
【解析】∵α∈{−2，−1，−12，12，1，2，3}，
幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0，+∞)上递减，
∴a是奇数，且a<0，
∴a=−1．
3(★) 图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2 , ±12四个值，则相应于曲线C1，C2 , C3 , C4的n依次为( )
A．−2 , −12 , 12 , 2 B．2 , 12 , −2 , −12 C．−12 , −2 , 2 , 12D．2 , 12 , −12 , −2
【答案】 D
【解析】根据指数函数的单调性，x>1时，x2>x12>x−12>x−2，
∴相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为2，12，−12，−2．
故选：D．
4(★★) 已知幂函数y=xpq，(p , q∈Z)的图象如图所示，则( )
A．p , q均为奇数，且pq>0 B．q为偶数，p为奇数，且pq<0
C．q为奇数，p为偶数，且pq>0 D．q为奇数，p为偶数，且pq<0
【答案】 D
【解析】因为函数为偶函数，所以p为偶数，
且由图象形状判定pq<0．
又因p、q互质，所以q为奇数．所以选D．
5(★★) 已知幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈Z)的图象关于原点对称，且在(0 , +∞)上是减函数，则m=( )
A．0B．0或2C．0D．2
【答案】B
【解析】幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈Z)在(0，+∞)上是减函数，
则m2﹣2m﹣3<0，解得﹣1又m∈Z，∴m=0，1，2；
当m=0时，f(x)=x﹣3，图象关于原点对称；
当m=1时，f(x)=x﹣4，其图象不关于原点对称；
当m=2时，f(x)=x﹣3，其图象关于原点对称；
综上，m的值是0或2．
故选：B．