湖南省娄底市娄星区金海学校2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷+

这是一份湖南省娄底市娄星区金海学校2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷+，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系式中，是反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为( )
A. 2，，B. 2，3，1C. 2，，1D. 2，3，
3.若方程的一个根是，则k的值是( )
A. B. 1C. 2D.
4.已知点P是线段AB的黄金分割点，，若，则( )
A. B. C. D.
5.如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( )
A. B.
C. D.
6.如图，函数与的图象相交于点，两点，则不等式的解集为( )
A.
B. 或
C.
D. 或
7.如图，在中，点D，E分别是边AB，AC上两点，且，若：：9，则( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：9
8.如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数．当时，若电阻R增大，则电流I为( )
A. 1A
B. 2A
C. 3A
D. 5A
10.已知在中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点则下列说法不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点，反比例函数图象经过点C，则k的值为( )
A. 12
B.
C.
D.
12.对于函数，规定…，例如，若，则有已知函数，那么方程的解的情况是( )
A. 有一个实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.如果，那么的值等于______.
14.若将改写成的形式，则______.
15.已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是______.
16.已知点和都在反比例函数的图象上，若则与的关系为______填“>”，“<”或“=”
17.如图，在中，，D，E分别是边AC和AB上的点，且，若，则DE的长为______.
18.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为，顶点D的坐标为，延长CB交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的周长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.先化简，再求值：，其中
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题6分
解方程：
；
21.本小题8分
如图，，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知，，，，求DE的长度是？
22.本小题8分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
试求m的值和一次函数的解析式；
根据图象直接写出的x的取值范围．
求的面积．
23.本小题9分
2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．
求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元？
24.本小题9分
如图，在中，点D在BC边上，点E在AC边上，且，
求证：∽；
若，，求AB的长．
25.本小题10分
如图，在矩形ABCD中，，，点P沿AB边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以的速度移动，如果P，Q同时出发，用t表示移动的时间，那么：
当t为何值时，QP的长为？
当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？
求四边形QAPC的面积．
26.本小题10分
如图，中，BD平分，E为BC上一点，
求证：；
求证：∽；
若，，求CE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：是一次函数，故A错误；
是反比例函数，故B正确；
是二次函数，故C错误；
是一次函数，故D错误.
故选
根据反比例函数、一次函数、二次函数的定义可得答案．
本题考查反比例函数、一次函数、二次函数的定义．
2.【答案】A
【解析】解：方程化为一般形式为，
，，
故选
先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、
本题考查一元二次方程的一般形式．
3.【答案】C
【解析】解：把代入方程得，
解得
故选
把代入方程得出，求出k的值即可．
本题考查一元二次方程的解．
4.【答案】C
【解析】解：，，点P是线段AB的黄金分割点，
，
则
故选
本题考查黄金分割的概念．
根据黄金分割点的定义，根据得到，代入数据即可得出PB的长．
5.【答案】B
【解析】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的大矩形，
依题意得
故选
设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，利用种植的面积=合成大矩形的长宽，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．
6.【答案】B
【解析】解：因为函数与的图象相交于点，两点，
所以结合图象可知不等式的解集为或
故选
结合图象，写出直线在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查反比例函数与一次函数综合．
7.【答案】A
【解析】解：，
∽，
：：9，
：：3，
：：
故选
由，即可证得∽，又由：：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
本题考查相似三角形的判定与性质．
8.【答案】D
【解析】【分析】
根据相似三角形的对应角相等即可得出．
本题考查相似三角形的性质．
【解答】
解：∽，
，
故选
9.【答案】B
【解析】解：设，当，时，
则，
解得，
故，
若电阻R增大，则电流I为
故选
直接利用电流是电阻的反比例函数，进而得出函数关系式，即可求出答案．
本题主要考查反比例函数的应用．
10.【答案】D
【解析】解：，，
∽，∽，
，，，
故A、B、C选项正确；
四边形BDEF是平行四边形，
，
，故D选项错误.
故选
根据相似三角形的判定和性质定理即可得出结论．
本题考查相似三角形的判定与性质．
11.【答案】C
【解析】解：点A坐标为，
，
菱形的边长为4，
则，
点坐标为，
故选
利用勾股定理求得OA，即可得到C的坐标，代入解析式即可求得k的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及菱形的性质．
12.【答案】C
【解析】解：，
，
整理得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选
先根据新定义得到，再把方程整理得，然后计算判别式的值，再利用根的判别式的意义进行判断即可．
本题考查根的判别式．
13.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为
根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
本题考查比例的性质．
14.【答案】8
【解析】解：，
配方得，
即，
则
故答案为
方程两边加上9变形后，确定出所求即可．
本题考查解一元二次方程-配方法．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
故答案为
根据根与系数的关系得，，利用代数式变形分别得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系．
16.【答案】>
【解析】解：，
反比例函数图象在第二，四象限，
，
点A在第二象限，点B在第四象限，
故答案为
由，反比例函数图象在第二，四象限，根据即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定
本题主要考查反比例函数的图象和性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
17.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
，
又，，
故答案为
由条件可证明∽，根据相似三角形的性质得到，代入可求得答案．
本题主要考查相似三角形的判定和性质．
18.【答案】
【解析】解：设正方形的周长分别为，…，
根据题意得，
，
，
∽，
顶点A的坐标为，顶点D的坐标为，
，，
在直角中，根据勾股定理，得，
，
，
，
，
，
同理得：，
由正方形的周长公式得，
，
，
…
由此可得，
故答案为
根据相似三角形的判定定理，得出∽，继而得知利用勾股定理计算出正方形的边长，最后利用正方形的周长公式计算三个正方形的周长，从中找出规律即可．
本题考查相似三角形的判定、勾股定理、以及正方形的性质.
19.【答案】解：
，
，
，

【解析】先利用通分计算括号里面，再把分式的分子分母因式分解，最后化简求值即可．
本题考查分式的化简求值．
20.【答案】解：，
，
，
即，
，
，；
，
，
则，
或，
解得，
【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
本题主要考查利用配方法和因式分解法解一元二次方程．
21.【答案】解：，
，
，
，
，
，

【解析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
本题考查平行线分线段成比例．
22.【答案】解：反比例函数的图象经过，
反比例函数的表达式为
点在上，
点坐标为；
把A，B两点的坐标代入，得，
解得：，
一次函数的表达式为：；
观察图象，的x的取值范围或；
设直线AB与y轴的交点为D，
当时，
点坐标为

【解析】把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方；
的面积的面积的面积．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
23.【答案】解：设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，
依题意得，
解得，不合题意，舍去，
答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为；
万元，
答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”万元．
【解析】设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，利用2021年该县计划投入“扶贫工程”的资金年该县投入“扶贫工程”的资金增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
利用2022年该县将投入“扶贫工程”的资金年该县投入“扶贫工程”的资金增长率，即可求出2022年该县将投入“扶贫工程”的资金．
本题考查一元二次方程的应用．
24.【答案】解：证明：
，，，
，
又，
∽；
∽，
，
又，，
，
，
，
又，

【解析】本题主要考查三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质.
先证，再根据是公共角，即可证得结论；
由相似三角形的性质可得，求出，即可求得AD的长，再根据，即可求得答案.
25.【答案】解：由题意有，，，
，
，
根据勾股定理得，
，
或；
以点Q、A、P为顶点的三角形与相似，
由有，，且，，
当∽时，，
，
，
当∽时，，
，
，
以点Q、A、P为顶点的三角形与相似时，有或；
，
四边形QAPC的面积为
【解析】用含t的式子分别表示出DQ，AP，AQ，再由QP的长为，根据勾股定理列出关于t的方程，求解即可；
由以点Q、A、P为顶点的三角形与相似，分为两种情况：当∽时，当∽时，分别列出比例式解得t即可．
根据，将相关数据代入计算即可．
本题考查相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用．
26.【答案】证明：平分，
，
∽，
，
；
证明：，
，，
平分，
，
，
∽；
解：由知：，
，，
，
，
在中，
，
，
，
，
，

【解析】利用角平分线的定义和相似三角形的判定与性质解答即可；
利用直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，等角的余角相等和由两个角对应相等的两个三角形相似判定即可得出结论；
利用中的结论求得BD的长，利用勾股定理求得DE的长，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用含角的直角三角形的性质求得BC，则
本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．