2023-2024学年湖南省常德市五校联考九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省常德市五校联考九年级（上）期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+3x=1B．x2﹣2xy+y2＝0
C．5x+6＝8D．（x﹣3）2＝4
2．（3分）已知反比例函数y=3x，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限
B．图象必经过点(2，32)
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
3．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，3cm，4cm，5cmB．10cm，16cm，5cm，8cm
C．2cm，4cm，6cm，8cmD．9cm，8cm，15cm，10cm
4．（3分）若x1，x2是方程x2﹣7x﹣8＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝7B．x1+x2＝﹣7C．x1x2=87D．x1x2＝8
5．（3分）若点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），且AB＝6，则AP的长为（ ）
A．5−12B．35−3C．5+12D．35+3
6．（3分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ）
A．4小时B．6小时C．8小时D．10小时
7．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y=bx的图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为72，则S△AOG的面积为（ ）
A．5B．5.5C．6D．6.5
二.填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ．
10．（3分）若2a−3ba=1，则ab= ．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
12．（3分）已知三个点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，则用“＜”将y1，y2，y3连接起来为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，ADDB=23，DE＝6cm，则BC的长为 cm．
14．（3分）如图，在函数y=2x(x＞0)的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y=−8x(x＜0)的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是 ．
15．（3分）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人．
16．（3分）观察思考
结合图案中“”和“”的排列方式及规律，则第 个图案中“”的个数比“”的个数的3倍少35个．
三、解答题。
17．（8分）解方程．
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x（x﹣3）＝4x﹣12．
18．（6分）已知x3=y5=z2，且5x﹣3z＝18，求2z﹣3y+4x的值．
19．（6分）若关于x的方程(m−1)xm2+1+4x+n=0 是一元二次方程．
①求m的值．
②若该方程有两个相等的实数根，求n的值及此时方程的根．
20．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，点F在AB边上，且BF=13AF．求证：△DCE∽△EBF．
21．（7分）今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏，熊猫周边供不应求：现成都一玩偶店销售“抱竹熊猫”平均每天可销售60个，每个盈利30元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降3元，则每天可多售12件．如果每天要盈利2000元，则每个“抱竹熊猫”应降价多少元？
22．（7分）如图，王老师为测得学校操场上小树CD的高，他站在教室里的A点处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠HD．经测量，窗口高EF＝1.4m，树干高CH＝1.2m，A，C两点在同一水平线上，A点距墙根G点1.6m，C点距墙根G点4.8m，且A、G、C三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树CD的高．
23．（8分）如图，已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，n）．
（1）求n，a与b的值；
（2）若ax+b＞kx，请直接写出x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
24．（8分）如图，△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD＝2，∠BAD＝∠ACE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）求线段AC的长．
25．（10分）如图．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（8，4），OA，OC分别在x轴、y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点F，交AB于点G．
（1）填空：△OCF △OAB，k＝ ．
（2）连接FG，求证：△OAB∽△FBG．
（3）平面直角坐标系中是否存在一点M，使得O，F，G，M四点连接构成平行四边形？若存在，请求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（6分）如图1所示，矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点E从点A出发，沿对角线AC以每秒2cm的速度向终点C运动，连结DE，作点A关于DE的对称点F，连结EF、DF，设点E的运动时间为t秒．
（1）AC＝ cm，DF＝ cm．
（2）如图2，当E运动到使DF∥AC时，求t的值．
（3）当点F落在△ACD内部时，求t的取值范围．
2023-2024学年湖南省常德市五校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案
选择题、填空题答案速查
17．解：①x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1.
②2x（x﹣3）＝4x﹣12．
移项得2x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣4）＝0，
∴x﹣3＝0或2x﹣4＝0，
∴x1＝3，x2＝2．
18．解：设x3=y5=z2=k（k≠0），
则x＝3k，y＝5k，z＝2k，
∵5x﹣3z＝18，
∴15k﹣6k＝18，
∴k＝2，
∴x＝6，y＝10，z＝4，
∴2z﹣3y+4x＝8﹣30+24＝2．
19．解：①根据题意得m﹣1≠0且m2+1＝2，
解得m＝﹣1.
②原一元二次方程为﹣2x2+4x+n＝0，
根据题意得Δ＝42﹣4×（﹣2）×n＝0，
解得n＝﹣2，
原方程化为x2﹣2x+1＝0，
解得x1＝x2＝1．
20．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
设AB＝BC＝CD＝AD＝4a．
∵E为边BC的中点，点F在AB边上，且BF=13AF，
∴CE＝EB＝2a，BF＝a，
∴DCBE=2，ECBF=2，
∴DCBE=CEBF，
∴△DCE∽△EBF．
21．解：设每个“抱竹熊猫”应降价x元，则每个盈利（30﹣x）元，平均每天可售出60+x3×12＝（60+4x）（个），
由题意得：（30﹣x）（60+4x）＝2000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10（不符合题意，舍去），
答：每个“抱竹熊猫”应降价5元．
22．解：∵FG⊥AC，DC⊥AC，
∴FG∥DC，
∴△BEF∽△BDH，
∴FEDH=AGAC
∵AG＝1.6米，CG＝4.8米，EF＝1.4米
∴1.4DH=1.61.6+4.8
解得DH＝5.6，
∴小树CD的高为DH+HC＝5.6+1.2＝6.8米．
23．解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=kx，
得k＝1×4＝4，
∴反比例函数为y=4x，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y=4x的图象上，
∴n=4−4=−1，
∴B（﹣4，﹣1），
∵一次函数y＝ax+b的图象过点A（1，4），B（﹣4，﹣1），
∴a+b=4−4a+b=−1，
解得a＝1，b＝3.
（2）根据图象可知：ax+b＞kx的x的取值范围为﹣4＜x＜0或x＞1．
（3）如图，设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×3×4+12×3×1=152．
24．（1）证明：∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠BDA＝∠CEA，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴△ABD∽△CAE.
（2）解：∵△ABD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴∠BAD+∠EAC＝∠ACE+∠EAC，
∴∠BAC＝∠ACE+∠EAC，
又∵∠CED＝∠EAC+∠ACE，
∴∠BAC＝∠CED＝∠CDE，
∵∠BAC＝∠CDE，∠DAC＝∠B，
∴△ADC∽△BAC，
∴ACBC=CDAC，
△ABC中，AD是中线，
∴BC＝2CD＝4，
∴AC4=2AC，
∴AC＝22，
∴线段AC的长为22．
25．（1）解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（8，4），
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝4，OA＝BC＝8，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，
即△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，
∴△COF∽△AOB，
∴CFAB=COOA，
∴CF4=48，
∴CF＝2，
∴点F的坐标为（2，4），
∵y=kx（x＞0）的图象经过点F，
∴k＝2×4＝8.
（2）证明：∵点G在AB上，
∴点G的横坐标为8，
对于y=8x，当x＝8，得y＝1，
∴点G的坐标为（8，1），
∴AG＝1，
∵BC＝OA＝8，CF＝2，AB＝4，
∴BF＝BC﹣CF＝6，BG＝AB﹣AG＝3，
∴AOBF=86=43，ABBG=43，
∴AOBF=ABBG，
∵∠OAB＝∠FBG＝90°，
∴△OAB∽△FBG；
（3）解：存在.
设M（m，n），
∵点O，F，G，M四点连接构成平行四边形，
∴对角线互相平分，
当以OF，GM为对角线时，0+2=8+m0+4=1+n，
解得m=−6n=3，
当以OG，FM为对角线时，0+8=2+m0+1=4+n，
解得m=6n=−3，
当以OM，FG为对角线时，0+m=2+80+n=4+1，
解得m=10n=5，
∴M（﹣6，3）或（6，﹣3）或（10，5）．
26．解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC=AD2+CD2=64+36=10（cm），
∵作点A关于DE的对称点F，
∴AD＝DF＝6cm.
（2）∵作点A关于DE的对称点F，
∴AD＝DF＝6cm，AE＝EF，∠ADE＝∠EDF，
∵DF∥AC，
∴∠EDF＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝6cm，
∴t=62=3.
（3）如图3，当点F落在AC上时，过点D作DH⊥AC于H，
∵S△ADC=12×AD•DC=12×AC•DH，
∴6×8＝10DH，
∴DH＝4.8cm，
∴AH=AD2−DH2=36−(4.8)2=3.6（cm），
∴t=3.62=95，
如图4，当点F落在DC上时，过点E作EN⊥AD于N，
∵作点A关于DE的对称点F，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵EN⊥AD，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴DN＝NE，
∵∠NAE＝∠NAE，∠ADC＝∠ANE＝90°，
∴△ANE∽△ADC，
∴ANAD=NEDC=AEAC，
∴6−NE6=NE8=AE10，
∴NE=247，AE=307，
∴t=3072=157，
∴当95＜t＜157时，点F落在△ACD内部．1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
B
A
B
B
A
C
9. -1 10. 3 11.m＜9 12.y3＜y1＜y2
13. 15 14. 5 15. 12 16.7或10