2023-2024学年湖南省娄底市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省娄底市九年级（上）期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若反比例函数y=k+1x的图象经过点（1，﹣2），则k的值是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣1D．2
2．（3分）x=−5±52+4×3×12×3是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0
C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
3．（3分）若方程x2﹣x+k＝0没有实数根，则k值可以是（ ）
A．﹣2B．2C．15D．﹣1
4．（3分）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（ ）
A．0B．2020C．4040D．4042
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于105°的两个等腰三角形相似
B．两个菱形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
6．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不小于54m3B．不小于45m3
C．小于54m3D．小于45m3
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DEF的周长与△BAF的周长之比为（ ）
A．9：16B．3：4C．9：1D．3：1
8．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AP2+BP2B．BP2＝AP•BA
C．APBP=5−12D．BPAP=5−12
9．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y=12x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y=−6xB．y=−4xC．y=−2xD．y=2x
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知函数y=(n2+n)xn2−n−1是反比例函数，则n的值为 ．
12．（3分）写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1） ．
13．（3分）反比例函数y=m+1x的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ．
14．（3分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则BEEC的值为 ．
15．（3分）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝ ．
16．（3分）已知三个边长分别为4、5、9的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x+3＝0；
（2）x（x﹣2）＝x﹣2．
18．（6分）化简求值：m+2m2−1÷(m−1−3m+1)，已知m2﹣3m﹣4＝0．
19．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AB＝5cm，AD＝2cm，AC＝4cm，求EC的长．
20．（8分）关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程的一个根为2，求k的值；
（2）若方程无实数根，求k的取值范围．
21．（8分）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？
22．（9分）改造老旧小区，建设仁和宜居新环境．某市2021年投入资金500万元，2023年投入资金720万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，求该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
23．（9分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．
24．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=mx(x＞0)的图象交于点C（1，2），D（2，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OC，OD，求△COD的面积；
（3）点P是反比例函数上一点，PQ∥x轴交直线AB于Q，且PQ＝3，求点P的坐标．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：AECE=ABCB；
（3）若CE＝5，EF＝25，BD＝6．求AD的长．
2023-2024学年湖南省娄底市九年级（上）期中数学试卷
参考答案
选择题、填空题答案速查
17.解：（1）移项，得 x2﹣6x＝﹣3，
配方，得 x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6，
由此可得 x−3=±6，
∴x1=3+6，x2=3−6．
（2）x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
18．解：m+2m2−1÷(m−1−3m+1)
=m+2(m+1)(m−1)÷(m−1)(m+1)−3m+1
=m+2(m+1)(m−1)•m+1m2−1−3
=m+2(m+1)(m−1)•m+1(m+2)(m−2)
=1(m−1)(m−2)
=1m2−3m+2，
∵m2﹣3m﹣4＝0，
∴m2﹣3m＝4，
当m2﹣3m＝4时，原式=14+2=16．
19．解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，即25=AE4，
解得AE＝1.6，
∴EC＝AC﹣AE＝4﹣1.6＝2.4（cm）．
20．解：（1）把x＝2代入x2﹣2（k+1）x+k2+1＝0，
得22﹣2（k+1）×2+k2+1＝0，
即k2﹣4k+1＝0，
解得k＝2±3.
（2）∵关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+1＝0无实数根，
∴Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+1）＜0．
解得k＜0．
21．解：（1）设y=kx，
把（150，10）代入y=kx得，10=k150，
∴k＝1500，
∴y与x的函数表达式为y=1500x.
（2）当y＝35﹣20＝15时，x＝100，
∵k＞0，∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴小明录入文字的速度至少为100字/分.
答：小明每分钟至少录入100个字．
22．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得500（1+x）2＝720，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤720×（1+20%），
解得y≤21623，
又∵y为整数，∴y的最大值为9．
答：该市在2024年最多可以改造9个老旧小区．
23．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE.
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴ABCD=BDCE，
∵BD＝3，CE＝2，
∴ABAB−3=32，解得AB＝9．
24．解：（1）由y2=mx过点C（1，2）和D（2，n），可得m1=2m2=n，
解得m=2n=1，∴y2=2x．
又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1），可得k+b=22k+b=1，
解得k=−1b=3，∴y1＝﹣x+3．
（2）由y1＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），
∴OB＝3．而点D到y轴的距离为2，点C到y轴的距离为1，
∴S△COD＝S△BOD﹣S△BOC=12×3×2−12×3×1=32．
（3）由题意，可设P（m，2m）（m＞0），
又PQ∥x轴且Q在直线AB上，
∴Q（3−2m，2m）．
又PQ＝3，∴|m﹣3+2m|＝3．
∴解得，m＝3±7．
∴P（3+7，3−7）或（3−7，3+7）．
25．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，∴AECF=ABCB，
∴AECE=ABCB．
（3）解：如图，作CH⊥EF于H．
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH＝FH=5，
∴CH=EC2−EH2=52−(5)2=25，
∵△BFD∽△CFH，∴DFHF=BDCH，
∴DF5=625，
∴DF＝3，CD＝CF+DF＝8，
∵△ACD∽△CBD，∴ADCD=CDBD，
∴AD8=86，∴AD=323．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
B
D
A
B
B
D
C
B
11. 1 12. （x+1）（x+2）＝0或x2+3x+2＝0 13. m＞﹣1 14.32
15. 2 16. 354