2023-2024学年湖南省岳阳市六校联考九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市六校联考九年级（上）期中数学试卷，共13页。

1．（3分）下列函数y随x的增大而增大的有（ ）个．
①y＝3﹣6x；
②y＝﹣x2（x＜0）；
③y=−2x；
④y＝3x2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A，∠B，∠C所对的边是a，b，c，则（ ）
A．a＝b•tanBB．c＝b•csAC．c=asinAD．a=ccsB
3．（3分）已知反比例函数y=−8x，下列说法正确的是（ ）
A．不等式−8x＜−2x的解集为x＜﹣2，或x＞2
B．A（x1，y1），B（x2，y2）在图象上，若x1＜x2，则y1＜y2
C．在函数图象上，y≤1时，x≤﹣8
D．A（x1，y1）、B（x2，y2）都在图象上，若x1•x2＝﹣4，则y1•y2的值为﹣16
4．（3分）某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人
C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°
D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人
5．（3分）在平面直角坐标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线y1=k1x（x＞0），经过点A，双曲线y2=k2x（x＜0），经过点B，则k1k2=（ ）
A．﹣3B．3C．−3D．3
6．（3分）等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2＝0的两根，则k的值为（ ）
A．30B．34或30C．36或30D．34
7．（3分）关于二次函数y＝x2+2x﹣1，下列说法不正确的是（ ）
A．点A（m，﹣1）、B（n，﹣1）在图象上，则A和B是对称点
B．若﹣2≤x≤3，则﹣1≤y≤14
C．当x≥1时，y随x的增大而增大
D．若图象上有D（−32，y1），E（﹣52，y2），F（2，y3）三点，则y1＜y3＜y2
8．（3分）已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，点A的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于点D，反比例函数y=kx（x＞0）经过点D，交BC的延长线于点E，且sin∠CBA=35，则点E的坐标是（ ）
A．（6，8）B．（3，8）C．（6，92）D．（92，6）
9．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则AGGF的值是（ ）
A．13B．54C．65D．76
10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△HFG；③四边形BGDE的面积等于35；④AG+DF＝FG．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算：2cs30°−|2tan45°+tan60°|+(2−1)0−(12)−1= ．
12．（4分）若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式3x2+6x+2011的值是 ．
13．（4分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、B（0，4）、P（7，0），M、N两点分别在线段AB、y轴上，则PN+MN的最小值为 ．
14．（4分）抛物线y=(k−3)x2+kx+1与x轴有两个交点，k的取值范围是 ．
15．（4分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的序号有 ．
①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤4ac﹣b2＜0；
⑥不等式ax2+bx+c＞0的解为﹣3＜x＜0．
16．（4分）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2+mx+24＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH值为 ．
17．（4分）已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S△FCD＝5，BC＝10，则DE为 ．
18．（4分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，则Bn（n为正整数）的坐标是 ．
三．解答题：（本大题共6道题，共58分）
19．（8分）已知反比例函数y=kx(k≠0)，点A（﹣2，a），B（a+9，1）都在该反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；
（3）求直线AB：y＝mx+n的解析式；
（4）若经过AB的直线与y轴交于点C，求sin∠A．
20．（8分）定义：a*b=a(a−b≤0)b(a−b＞0)，解关于x的方程：（x2+3x）*（x+3）＝4．
21．（10分）某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°，建筑物底端E的俯角为30°．若AF为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度BC＝1.6米，则此建筑物的高度DE．（结果保留根号，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求不等式﹣x2+bx+c＞kx+3的解集；
（3）若P为线段AB上一点，若△APO与△ABC相似，求AP的长，及△APO与四边形POCB面积之比．
23．（10分）天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．设每件童装应降价x元．据此规律，请回答：
（1）要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
（2）盈利能达到1300吗？最大盈利是多少？此时降价是多少元？
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，且∠ACB＝90°，线段OB、OA的长是一元二次方程x2﹣13x+36＝0的两个根，且OB＜OA．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）若直线l过点A交线段BC于点D，且S△ABD：S△ADC＝1：2，求D点坐标；
（4）在平面内是否存在一点P，使得以P为直角顶点的△APC与△ABC相似，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年湖南省岳阳市六校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案
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19．解：（1）∵点A（﹣2，a），B（a+9，1）都在该反比例函数图象上．
∴﹣2a＝a+9，
∴a＝﹣3，
∴A（﹣2，﹣3），B（6，1）．
∵k＝xy＝6，
∴反比例函数解析式为y=6x．
（2）根据图像直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞6．
（3）∵A（﹣2，﹣3），B（6，1）在直线y＝mx+n的图象上，
∴−2m+n=−36m+n=1，
解得m=12n=−2，
∴直线AB的解析式为y=12x−2．
（4）设直线AB与x轴交于点D，过O作OE⊥AB垂足为E，
∵直线AB的解析式为：y=12x−2，
∴C（0，﹣2），D（4，0），即OC＝2，OD＝4，
CD=22+42=25，
根据三角形面积：12OC⋅OD=12DC⋅OE，
OE=OD⋅OCDC=4×225=455，
OA=22+32=13，
∴sin∠A=OEOA=45513=46565．
20．解：（x2+3x）﹣（x+3）﹣3＝x2+2x﹣3﹣4＝x2+2x﹣7，
令x2+2x﹣7＝0，解得：x＝﹣1±22，
当y≤0时，则﹣1﹣22≤x≤﹣1+22，
则y=x2+3x(−1−22≤x≤−1+22)x+3(x＜−1−22或x＞−1+22)，
则当﹣1﹣22≤x≤﹣1+22时，（x2+3x）*（x+3）＝x2+3x＝4，解得x＝1或x＝﹣4（舍去负值），故x＝1；
当x＜﹣1﹣22或x＞﹣1+22时，（x2+3x）*（x+3）＝x+3＝4，解得x＝﹣1（舍去），
故方程的解为x＝1．
21．解：延长CB交AE于H，作CP⊥DE于P，
在Rt△ABH中，∵i＝1：2.4，AB＝26米，
∴BH＝10米，
∴PB＝CH＝10+1.6＝11.6（米），
在Rt△CPE中，∵∠PCE＝30°，
∴PC=3PE＝11.63米，
在Rt△CPD中，∵∠DCP＝37°，
∴PD＝PCtan37°≈15.05（米），
∴DE＝PD+PE＝15.05+11.6≈26.7（米），
答：建筑物高DE约为26.7米．
22．解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于B，
令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3）
由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），
∴c=3−1+b+c=0，
解得b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3.
（2）令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），C（1，0）；
∴直线AB与抛物线相交于A（﹣3，0），B（0，3）；
结合两个函数的图象可知：不等式﹣x2+bx+c＞kx+3的解集为：﹣3＜x＜0；
（3）根据题意，需要分两种情况：①∠APO＝∠ACB，
∵B（0，3），C（1，0），A（﹣3，0），
∴OA＝OB＝3，OC＝1，AB＝32，
∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，
∴△PAO∽△CAB，
∴AP：AC＝AO：AB，
∴AP：4＝3：32=1：2，
∴AP＝22．
此时△APO与△ABC面积之比为（12）2=12，
∴△APO与四边形POCB面积之比1：1.
②∵∠APO＝∠ABC，∠PAO＝∠CAB，
∴△PAO∽△BAC，
∴AP：AB＝AO：AC，
∴AP：32=3：4，
∴AP=942．
此时△APO与△ABC面积之比为（34）2=916，
∴△APO与四边形POCB面积之比9：7.
综上，若△PAO∽△CAB，AP的长为22，△APO与四边形POCB面积之比为1：1；若△PAO∽△BAC，AP的长为942，△APO与四边形POCB面积之比为9：7．
23．解：（1）由题意，每件童装应降价x元，且每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，
∴若降价x元，日销量增加x4×8＝2x件,每件商品盈利（40﹣x）元．
∴日销量为（20+2x），每件盈利（40﹣x）元．
∴（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20．
∴为了减少库存，应该降价20元．
答：要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价20元．
（2）根据题意知，每天的销售盈利w＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，w取得最大值，最大值为1250．
答：盈利不能达到1300元，最大盈利是1250元，此时每件童装应降价15元．
24．解：（1）∵x2﹣13x+36＝0，
∴（x﹣4）（x﹣9）＝0．
∴x1＝4，x2＝9．
∵点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，
∴A点坐标为（9，0），B点坐标为（﹣4，0）.
（2）∵A点坐标为（9，0），B点坐标为（﹣4，0），
∴OA＝9，OB＝4，
设点C的坐标为（0，t）（t＞0），则OC＝t，
∵∠ACB＝90°，∠AOC＝∠COB＝90°，
∴∠OCB+∠ACO＝∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠ACO＝∠OBC，
∴△ACO∽△CBO，
∴OCOB=AOOC，
∴t4=9t，
解得t＝6，
经检验，t＝6是方程的解且符合题意，
∴点C的坐标是（0，6）.
（3）过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，如图，
则DE∥OC，DF∥OB，
∴△BED∽△BOC，△CDF∽△CBO，
∵S△ABD：S△ADC＝1：2，
∴BD：DC＝1：2．
∴DEOC=BDBC=13；DFBO=CDBC=23，
∵OB＝4，OC＝6，
∴DE＝2；DF4=23，
解得DF=83．
∴D(−83，2).
（4）解：在平面内存在一点P，使得以P为直角顶点的△APC与△ABC相似．
设P（x，y），由题意可得：AB＝OB+OA＝13，BC=OB2+OC2=42+62=213，AC=OA2+OC2=92+62=313，AP=(x−9)2+y2，CP=x2+(y−6)2，
当△APC∽△ACB时，APAC=ACAB=PCCB，
即AP=(x−9)2+y2=AC2AB=9，CP=x2+(y−6)2=AC×CBAB=6，
解得x=0y=0或x=7213y=10813，
即点P坐标为（0，0）或(7213，10813)；
当△APC∽△BCA时，APBC=ACAB=PCAC，
即AP=(x−9)2+y2=AC×BCAB=6，CP=x2+(y−6)2=AC2AB=9，
解得x=9y=6或x=4513y=−3013，
即点P坐标为（9，6）或(4513，−3013)，
综上可知，满足条件的P点为：（0，0）或(7213，10813)或（9，6）或(4513，−3013)．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
C
D
B
A
D
B
D
C
C
11. 0 12. 2023 13. 8 14.k＜4且k≠3
15. ①②③⑤ 16.125 17. 83 18.（0，2n）