人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程课时练习

这是一份人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程课时练习，共21页。试卷主要包含了 一元二次方程的定义， 一元二次方程的一般形式等内容，欢迎下载使用。

知识点一：一元二次方程的定义及其一般形式：
1. 一元二次方程的定义：
只含有 1 个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
二元一次方程的一般形式为 ，其中，二次项是 ，二次
项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
特别提示：①二元一次方程未知数的最高次数是2。
②二次项系数一定不能为0。
③在判断一个方程是否为一元二次方程时一定要先将其化成一般形式。
【类型一：判断方程是否为一元二次方程】
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
【类型二：根据一元二次方程的定义求字母的值】
4．关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A．B．C．D．
5．若方程是一元二次方程，m的值为（ ）
A．1B．±C．±1D．﹣1
6．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
7．已知：是关于x的一元二次方程，则 ．
【类型三：化一元二次方程的一般形式】
8．将方程化为一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）．
A．B．C．D．
9．一元二次方程的一般形式为（ ）
A．B．C．D．
10．把一元二次方程化成一般形式是 ．
11．将方程化为一般形式是 ．
【类型三：一般形式的认识及求值】
12．将一元二次方程﹣x2+4x＝8+2x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣1，4B．﹣1，2C．4，8D．2，﹣8
13．将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．，－3，1B．，3，－1
C．，－3，－1D．，3，1
14．方程y(2y-3)-4y(y+1)=0中，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，7，1B．-2，0，-7C．-2，7，0D．-2，-7，0
15．若关于的一元二次方程的常数项等于0，则的值为（ ）
A．0B．3C．－3D．－3或3
16．若（1﹣m）x3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（ ）
A．﹣1B．±1C．﹣3D．±3
知识点一：一元二次方程的解（根）：
1. 使一元二次方程左右两边相等的 未知数 的值，叫做一元二次方程的解，又叫做根。
特别提示：一元二次方程若有根，则一定是两个根，这两个根可以相等。
【类型一：利用一元二次方程的根求值】
17．关于x的一元二次方程有一根为0，则m＝ ．
18．关于的一元二次方程有一个解是，则 ．
19．若一元二次方程ax 2 +bx+c=0有一个根为－1，则（ ）
A．a+b+c=1B．a－b+c=0C．a+b+c=0D．a－b+c=1
20．已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）．
A．abB．C．D．
21．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2 017－a－b的值是 ．
22．若是方程的一个根，则的值为( )
A．2019B．2020C．2021D．2022
23．已知a是方程x2-x-1=0的一个根，则a4-3a-2的值为 ．
一、选择题（10题）
24．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
25．关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣2，4B．﹣2，﹣1C．2，4D．2，﹣4
26．把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2-x-2=0B．x2+5x-2=0C．x2-x-1=0D．x2-2x-1=0
27．关于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．﹣2B．±2C．3D．±3
28．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2021﹣m2+m的值为（ ）
A．2020B．2019C．2018D．2017
29．把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．B．C．D．
30．若方程x2-4x+c=0的一个实数根是3，则c的值是（ ）
A．c=﹣3B．c=3C．c=5D．c=0
31．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为（ ）
A．B．C．D．2
32．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0B．﹣2C．2D．3
33．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（ ）
A．0B．1C．−3D．−1
二、填空题（6题）
34．一元二次方程的二次项系数是 ，常数项是 ．
35．已知是关于的一元二次方程，则 ．
36．如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ．
37．方程化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ．
38．若关于x的一元二次方程的一个根为，则代数式的值是 ．
39．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝ ．
三、解答题（4题）
40．当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2＋（k＋2）x＋5＝0
(1)是一元一次方程？
(2)是一元二次方程？
41．已知，求代数式的值．
42．已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代数式÷（a+3﹣）的值．
43．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)，且；
(2)．
参考答案：
1．B
【分析】含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，即可判断．
【详解】解：A、，是一元一次方程，故A不符合题意；
、，是一元二次方程，故B符合题意；
、是常数，是一元二次方程，故C不符合题意；
、是分式方程，故D不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．A
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、整理得：，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是二元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
3．C
【分析】根据只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程选择即可．
【详解】A．当a=0时，是一元一次方程，该选项不符合题意；
B．分母上有未知数，是分式方程，该选项不符合题意；
C．是关于x的一元二次方程，该选项符合题意；
D．经整理后为，是一元一次方程，该选项不符合题意．
故选择C．
【点睛】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．
4．C
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零得到a-1≠0，由此求得a的取值范围．
【详解】依题意得：a-1≠0，
解得a≠1．
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
5．D
【分析】根据一元二次方程的定义得到，即可得到所求．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得m=-1，
故选择D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义：有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，系数不为0的整式方程．
6．
【分析】根据和解得的值．
【详解】由题意得
∴或
∵
∴
∴舍去
故
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和绝对值方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和绝对值方程的相关知识．
7．-3
【分析】根据一元二次方程的定义即得出且，解出m即可．
【详解】根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握一元二次方程必须满足的两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0是解题关键．
8．B
【分析】根据一元二次方程的概念，判断即可，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：化为一元二次方程的一般形式为
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
9．C
【分析】根据一元二次方程的概念对选项进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程，
移项得：．
一元二次方程的一般形式为
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
10．
【分析】根据题意将一元二次方程化为一般形式即可，一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：
即
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．
11．
【分析】去括号，移项，再合并同类项即可．
【详解】解：，
，
，
∴
即方程化为一般形式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键．
12．D
【分析】根据一元二次方程的一般形式计算即可；
【详解】﹣x2+4x＝8+2x，
，
，
∴一次项系数为2，常数项为；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确分析计算是解题的关键．
13．B
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：化成一元二次方程一般形式是，
它的二次项是，一次项系数是3，常数项是−1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
14．D
【分析】先将方程去括号，再合并同类项，即可求出二次项系数、一次项系数和常数项．
【详解】解：
∴二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程中各项系数的认识，熟练掌握去括号和合并同类项是解答此题的关键．
15．C
【分析】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项等于0，
∴m-3≠0，，
解得：m=-3．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为（a，b，c为常数且a≠0）．
16．C
【分析】根据一元二次方程的定义：一般地，我们把形如（其中a≠0，a、b、c是常数，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项）的方程叫做一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
∴该方程的一次项系数是3m=-3，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键．
17．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．
【详解】解：关于x的一元二次方程有一根为0，
满足关于x的一元二次方程，且，
，且m﹣1≠0，
解得：；
故答案是：．
【点睛】考查了一元二次方程的定义及解的概念，解题的关键是注意一元二次方程的二次项系数不为零．
18．-3
【详解】∵方程的一个解为，
∴将代入原方程，
得：，则，
∵是关于的一元二次方程．
∴，即，
∴．
19．B
【分析】直接把x=-1代入方程即可．
【详解】解：把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
20．C
【分析】根据方程根的定义，代入化简计算即可．
【详解】∵方程，有一个根是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练掌握定义是解题的关键．
21．2 022
【分析】将x＝1代入原方程得5=-a-b,整体代入代数式即可求值.
【详解】解：将x＝1代入ax2＋bx＋5＝0得,a+b+5=0,即5=-a-b,
∴2017－a－b=2017+5=2022.
【点睛】本题考查了代数式的求值,一元二次方程的根,属于简单题,熟悉整体代入思想是解题关键..
22．C
【分析】根据是方程的一个根可得，得出，代入即可得到答案.
【详解】解：∵是方程的一个根
∴，即，
将代入中，
=1+2020=2021，
故答案选：C.
【点睛】本题考查一元二次方程的解和整体代入思想的应用.
23．0
【分析】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取等量关系a2=a+1，然后利用“整体代入法”求代数式的值．解此题的关键是降次，把a4-3a-2变形为（a2）2-3a-2，把等量关系a2=a+1代入求值．
【详解】把x=a代入方程可得，a2-a-1=0，即a2=a+1，
∴a4-3a-2=（a2）2-3a-2=（a+1）2-3a-2=a2-a-1=0，
故答案为0.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
24．D
【分析】根据一元二次方程的定义必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，逐一进行判断．
【详解】解：A、未知数的最高次数是1，且有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；
C、不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
25．D
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数和一次项系数的定义求解即可．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项．
【详解】解：关于x的一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别2和﹣4，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项．
26．A
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式有：
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于基础题，注意一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
27．D
【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣2≠0且m2﹣7＝2，然后解方程和不等式即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝±3．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
28．B
【分析】根据一元二次方程根的定义可得m2-m=2，再把2021-m2+m变形为2021-（m2-m），最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2-x-2=0的一个根，
∴m2-m-2=0，即m2-m=2，
∴2021-m2+m=2021-（m2-m）
=2021-2
=2019．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
29．B
【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可．
【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式为，
则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
30．B
【分析】根据题意将x=3代入原方程，求出c的值即可．
【详解】当x=3时，32-4×3+c=0，
解得c=3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，直接代入是解决此类问题的常用方法．
31．C
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．
【详解】把x=0代入方程有：
a2-4=0，
a2=4，
∴a=±2；
∵a-2≠0，
∴a=-2，
故选C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．
32．C
【分析】根据题意列出方程即可求出a的值．
【详解】解：由题意可知：a﹣2＝0，
∴a＝2，
∵a+2≠0，
∴a的值为2，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式，理解基本定义是解题关键．
33．B
【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【详解】解：根据题意得，
解得；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
34． 3 -7
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出二次项系数和常数项即可．
【详解】解：一元二次方程的
二次项系数为3；常数项为-7，
故答案为：3；-7．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，且形式为为常数且)．
35．-1
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出，即可求出答案.
【详解】∵方程是关于的一元二次方程，∴，解得，故答案为－1.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键.
36．
【分析】根据关于的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入，即可解答本题．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是，
，
，
．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．
37． 6
【分析】先将化成一般式，再确定二次项系数即可．
【详解】解：，
，
，
．
故一般形式为：，二次项系数为：6．
故答案为：，6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般式：（，a，b，c为常数）．叫二次项，a叫二次项系数；叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．将原方程化成一元一次方程的一般形式成为解答本题的关键．
38．5
【分析】把代入已知方程得到：，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：把代入，得
，
∴，
∴．
故答案是：5．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求解代数式的值，理解解的含义再构建整体求解代数式的值是解本题的关键．
39．4
【分析】将两根代入可得α2+2020α＝2，β2+2020β＝2，然后利用整体代入法即可求出结论．
【详解】∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴α2+2020α﹣2＝0，β2+2020β﹣2＝0
∴α2+2020α＝2，β2+2020β＝2
∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）
=（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为4．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．
40．(1)k＝5
(2)k≠5
【分析】（1）方程是一元一次方程，根据二次项系数为0，以及一次项系数不为0两个条件进行解答即可．
（2）方程是一元二次方程，根据二次项系数不为0解答即可．
【详解】（1）解：（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，
当k﹣5＝0且k+2≠0时，方程为一元一次方程，
即k＝5，
所以当k＝5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元一次方程．
（2）解：（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，
当k﹣5≠0时，方程为一元二次方程，
即k≠5，
所以当k≠5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元二次方程．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元二次方程的概念．区分二次项或一次项的系数是否为0是解题的关键．
41．
【分析】化简代数式，再整体代入即可．
【详解】解：，
=，
=，
∵，
∴，
故代数式的值为．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键是熟练化简整式，再整体代入求值．
42．
【分析】首先把原式化简，再根据方差解得定义得到代数式a（a+4）=21，代入原式求解．
【详解】解：原式=
=
=
=
∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，
∴a2+4a=21，
即a（a+4）=21，
原式=．
【点睛】本题考查整式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
43．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知设，代入列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．
【详解】（1）解：（1），
设，
，
∴，
解得：，
∴，
则方程为：；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
则方程为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式并根据已知求出的值是解答此题的关键．