2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某市2021年上半年统计机动车保有量为260000辆，将260000用科学记数法表示应为( )
A. 0.26×106B. 26×104C. 2.6×106D. 2.6×105
2.下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简|a−b|+|c+a|−|b+c|( )
A. 2a+cB. −2a−2cC. −a−bD. −2a
4.一把直尺和一块三角板ABC(其中∠B=30°，∠C=90°)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE=50°，那么∠BAF的大小为( )
A. 20°B. 40°C. 45°D. 50°
5.若正整数按如图所示的规律排列，则第8行第5列的数字是( )
A. 64B. 56C. 58D. 60
6.已知1m−1n=1，则代数式2m−mn−2nm+2mn−n的值为( )
A. 3B. 1C. −1D. −3
7.罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：
下面三个推断：
①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；
②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；
③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809．
其中合理的是( )
A. ①B. ②C. ①③D. ②③
8.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc>0，②b2>4ac，③4a+2b+c>0，④3a+c>0，⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数)，⑥当x<−1时，y随x的增大而减小.其中结论正确的个数为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.分解因式：2x3−8x=______．
10.已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是______．
11.有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着227， 6，−0.5，π，0.背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______．
12.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+1=0根的情况是______．
13.如图，过点P(4,5)分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y=8x(x>0)的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为______．
14.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九十文钱共买一千个苦果和甜果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个．问苦、甜果各几个？设苦果x个，甜果y个，则可列方程为______．
15.如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′=1：2，则四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为______．
16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G七道工序，加工要求如下：①工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是______分钟．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算：(π− 3)0+(13)−2+ 27−9tan30°．
18.已知x2−3x−2=0，求代数式(x+1)(x−1)−(x+3)2+2x2的值．
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
解不等式组：3(2−x)<2+x,x2≥2x−13.．
20.(本小题5分)
下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：∠APC，使得∠APC=2∠AOB．
作法：如图，
①在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线，交OA于点P，交OB于点D；
③连接PC；
所以∠APC即为所求作的角．
根据小华设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明(说明：括号里填写推理的依据)．
证明：∵DP是线段OC的垂直平分线，
∴OP=______(______)
∴∠O=∠PCO．
∵∠APC=∠O+∠PCO(______)
∴∠APC=2∠AOB．
21.(本小题5分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点.连接DE并延长至点F，使得EF=DE.连接AF，BF．
(1)求证：四边形AFBO为平行四边形；
(2)若∠BDA=∠BDC，求证：四边形AFBO为矩形．
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y1=−2x+1与反比例函数y2=kx(k≠0)图象的一个交点为点M．
(1)当点M的坐标为(2,m)时，求k的值；
(2)当x<−1时，对于x的每一个值，都有y1>y2，求k的取值范围．
23.(本小题5分)
为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动.现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；
b.A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在80≤x<90这一组的是：
84 85 85 86 86 88 89
c.B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全a中频数分布直方图；
(2)A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是______；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是______；
(3)为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品.已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．
24.(本小题6分)
如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．
(1)求证：∠AOC=2∠PAC；
(2)连接OB，若AC/​/OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长．
25.(本小题6分)
小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2).下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而______，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，−2≤x<0当时，y2随x的增大而______，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而______．
(2)当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
综合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大.在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，则m的最大值是______．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，A(−3,y1)，B(a2,y2)，C(m,y3)在抛物线y=−x2+2ax+c(a>0)上．
(1)抛物线的对称轴为直线x= ______，直接写出y1和y2的大小关系y1 ______y2；
(2)若m=4，且y1=y3，则a的值是______；
(3)若对于任意1≤m≤4，都有y127.(本小题7分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点(不与点C重合)，连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．
(1)如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
(2)如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
28.(本小题7分)
A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边(含顶点)上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
(1)如图2，⊙O的半径为5，A(0,−5)，B(4,3)是⊙O上两点．
①已知P1(1,0)，P2(0,3)，P3(−2,1)，在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是______；
②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
(2)点E是以T(t,0)为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D(点D在点T的右边).现有点M(1,0)，N(0,n)，对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：260000=2.6×105，
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】B
【解析】解：根据数轴上点的位置得：a所以a−b<0，c+a<0，b+c>0，
则|a−b|+|c+a|−|b+c|=b−a−c−a−b−c=−2a−2c．
故选：B．
根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义计算即可．
此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由图可得，∠CDE=50°，∠C=90°，
∴∠CED=40°，
又∵DE/​/AF，
∴∠CAF=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°−40°=20°，
故选：A．
先根据∠CDE=40°，得出∠CED=40°，再根据DE/​/AF，即可得到∠CAF=40°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用规律解决问题．
观察数据的排列规律得到每一行的第一列的数字为行数的平方，每列的数从第一列开始依次减小1，据此可得．
【解答】
解：由题意可得每行的第一列数字为行数的平方，
所以第8行第1列的数字为82=64，
则第8行第5列的数字是64−5+1=60，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：∵1m−1n=1，
∴nmn−mmn=1，
则n−mmn=1，
∴mn=n−m，即m−n=−mn，
则原式=2(m−n)−mn(m−n)+2mn
=−2mn−mn−mn+2mn
=−3mnmn
=−3，
故选：D．
由1m−1n=1利用分式的加减运算法则得出m−n=−mn，代入原式=2(m−n)−mn(m−n)+2mn计算可得．
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用．
7.【答案】B
【解析】解：当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：411÷500=0.822，但“罚球命中”的概率不一定是0.822，故①错误；
随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812.故②正确；
虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，但是“罚球命中”的概率不是0.809，故③错误．
故选：B．
根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查利用频率估计概率，算术平均数，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】C
【解析】解：①由图象可知：a>0，c<0，
∵对称轴为直线：x=−b2a=1，
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，故②正确；
③∵对称轴为直线x=1，则x=0与x=2的函数值相等，
∴当x=2时，y=4a+2b+c<0，故③错误；
④当x=−1时，y=a−b+c=a−(−2a)+c>0，
∴3a+c>0，故④正确；
⑤当x=1时，y取到最小值，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m(am+b)，故⑤正确，
⑥当x<−1时，y随x的增大而减小，故⑥正确，
综上，正确的是①②④⑤⑥共5个，
故选：C．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况判断②，根据对称性求得x=2时的函数值小于0，判断③；根据x=−1时的函数值，结合b=−2a，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
9.【答案】2x(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：(1)二项式；(2)两项的符号相反；(3)每项都能化成平方的形式．先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】
解：2x3−8x，
=2x(x2−4)，
=2x(x+2)(x−2)．
故答案为2x(x+2)(x−2)．
10.【答案】72°
【解析】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C=(5−2)×180°5=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=180°−108°2=36°，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=72°，
故答案为：72°．
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于(n−2)×180°是解题的关键．
11.【答案】25
【解析】解：数据227， 6，−0.5，π，0中无理数有： 6，π，
则取出的卡片正面的数字是无理数的概率是25，
故答案为：25．
根据题目中的数据，可以写出其中的无理数，然后即可计算出取出的卡片正面的数字是无理数的概率．
本题考查概率公式、无理数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
12.【答案】有两个不相等的实数根
【解析】解：x2−(k+3)x+2k+1=0，
∵a=1，b=−(k+3)，c=2k+1，
∴Δ=[−(k+3)]2−4(2k+1)=k2−2k+5=(k−1)2+4，
∵(k−1)2≥0，
∴Δ=(k−1)2+4>0，
即方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
利用根的判别式，得到Δ=(k−1)2+4，再结合偶次方的非负性，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程根和系数的关系，非负数的性质，解题关键是掌握Δ>0方程有两个不相等的实数根；Δ=0，方程有两个相等的实数根；Δ<0方程没有实数根．
13.【答案】12
【解析】解：∵矩形面积=4×5=20，
S△BDO+S△AOC=k=8．
∴S阴影=20−8=12．
故答案为：12．
根据阴影部分的面积等于矩形OCPD的面积减去一个k值即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数的k值就是图形上任意一点与坐标轴围成的长方形的面积．
14.【答案】x+y=100047x+119x=999
【解析】解：∵共买了一千个苦果和甜果，
∴x+y=1000；
∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴47x+119y=999．
∴可列方程组为x+y=100047x+119y=999．
故答案为：x+y=100047x+119x=999．
利用总价=单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】2 2
【解析】解：如图，连接BD，
∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，AB：A′B′=1：2，
又∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形A′B′C′D′的面积为4×22=16，
∴A′B′=A′D′=B′C′=C′D′= 16=4，
∵∠B′A′D′=90°，
∴B′D′= 2A′B′=4 2，
∴正方形A′B′C′D′的外接圆的半径为2 2，
故答案为：2 2．
连接BD.利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积，求出边长，再求出B′D′可得结论．
本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】28
【解析】解：假设这两名学生为甲，乙，
∵工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，同时乙学生做工序C，
乙学生工序C完成后接着做工序G，
此时需要9分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，
此时需要10分钟，
则9+9+10=28(分钟)，
即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟．
故答案为：28．
假设这两名学生为甲、乙，推导出甲学生做工序A，乙学生做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，同时乙学生做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，据此进一步解答．
本题考查有理数的运算，结合题意进行正确的推理是解题的关键．
17.【答案】解：原式=1+9+3 3−9× 33=10．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=x2−1−(x2+6x+9)+2x2
=x2−1−x2−6x−9+2x2
=2x2−6x−10，
∵x2−3x−2=0，
∴x2−3x=2，
原式=2(x2−3x)−10
=2×2−10
=4−10
=−6．
【解析】利用完全平方公式，平方差公式计算乘方，乘法，然后合并同类项进行化简，再利用整体思想代入求值．
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2是解题关键．
19.【答案】解：解不等式3(2−x)<2+x，得x>1，
解不等式x2≥2x−13，得x≤2，
∴不等式组的解集为1【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，∠APC即为所求作；
(2)PC；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．
【解析】解：(1)见答案；
(2)证明：∵DP是线段OC的垂直平分线，
∴OP=PC(线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)
∴∠O=∠PCO．
∵∠APC=∠O+∠PCO(三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和)
∴∠APC=2∠AOB．
故答案为：PC；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和．
(1)根据几何语言画出对应的几何图形；
(2)先根据线段垂直平分线的性质得到OP=PC，则根据等腰三角形的性质得到∠O=∠PCO.然后根据三角形外角性质得到∠APC=2∠AOB．
本题考查了设计作图−结合了几何图形的性质和基本作图方法作一条线段的垂直平分线．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质尺规作图．
21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵EF=DE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE/​/BF，BF=2OE，
∵E为OA的中点，
∴OA=2OE，
∴BF=OA，
∴四边形AFBO为平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠BDA=∠DBC，
∵∠BDA=∠BDC，
∴∠DBC=∠BDC，
∴CD=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
由(1)可知，四边形AFBO为平行四边形，
∴平行四边形AFBO为矩形．
【解析】(1)由三角形中位线定理得OE/​/BF，BF=2OE，再证BF=OA，即可得出结论；
(2)证∠DBC=∠BDC，得CD=CB，再证平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)将点M(2,m)代入y1=−2x+1，
得−4+1=m，
∴m=−3，
∴点M坐标为(2,−3)，
∴k=2×(−3)=−6；
(2)如图所示：

①当k>0时，当x<−1时，对于x的每一个值，都有y1>y2，
②当k<0时，x=−1时，−2×(−1)+1≥−k，
解得−3≤k<0，
综上所述，满足条件的k的取值范围是−3≤k<0或k>0．
【解析】(1)将点M代入y1=−2x+1，求出m的值，再将点M坐标代入反比例函数解析式求k的值即可；
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征，分情况讨论：①当k>0时，②当k<0时，分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】88.8 94
【解析】解：(1)由题意可知，A小区“70≤x<80”的频数为：20−1−1−7−9=2，
补全a中频数分布直方图如下：
(2)A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是：88+892=88.5；
B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是94．
故答案为：88.5；94；
(3)920×2000+1020×2000=1900(份)，
答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备1900份小奖品．
(1)用样本容量减去其他四组的频数，可得“70≤x<80”的频数，进而补全a中频数分布直方图；
(2)根据中位数和众数的定义解答即可；
(3)用2000分别乘样本中A，B两个小区大于或等于90分所占比例即可．
本题考查的是频数分布直方图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24.【答案】(1)证明：过O作OH⊥AC于H，
∴∠OHA=90°，
∴∠AOH+∠OAC=90°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OAC+∠PAC=90°，
∴∠AOH=PAC，
∵OA=OC，
∴∠AOC=2∠AOH，
∴∠AOC=2∠PAC；
(2)解：连接OB，延长AC交PB于E，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，PA=PB，
∵AC/​/OB，
∴AC⊥PB，
∴四边形OBEH是矩形，
∴OH=BE，HE=OB=5，
∵OH⊥AC，OA=OC，
∴AH=CH=12AC=3，
∴OH= OC2−CH2=4，
∴BE=OH=4，AE=AH+HE=8，
∵PA2=AE2+PE2，
∴PA2=82+(PA−4)2，
∴PA=10．
【解析】(1)过O作OH⊥AC于H，得到∠OHA=90°，根据切线的性质得到∠OAP=90°，根据余角的性质得到∠AOH=PAC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
(2)连接OB，延长AC交PB于E，根据切线的性质得到OB⊥PB，PA=PB，根据矩形的性质得到OH=BE，HE=OB=5，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】减小 减小 减小 73
【解析】解：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而减小，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而减小，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小；
(2)函数图象如图所示：
(3)观察图象可知，x=−2时，m的值最大，最大值m=16×2×(4+2+1)=73，
故答案为：73．
(1)利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
(2)利用描点法画出函数图象即可．
(3)观察图象可知，x=−2时，m的值最大．
本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】a < 12
【解析】解：(1)∵抛物线的解析式为：y=−x2+2ax+c(a>0)，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线：x=−2a2×(−1)=a，
∴当x∵−3∴y1故答案为：a，<；
(2)当m=4时，y1=y3，
∴抛物线的对称轴为直线：x=−3+42=12，
∴a=12，
故答案为：12；
②由题意可知，抛物线y=−x2+2ax+c开口向下，对称轴为直线x=a，
∴点A(−3,y1)关于对称轴的对称点A′(2a+3,y1)，C(m,y3)关于对称轴的对称点C′(2a−m,y3)，
∵对于任意1≤m≤4，都有y1∴2a+3>4a2<32a<1或a2>4，
解得128．
∴a的取值范围为：128．
(1)将a=1代入抛物线中，利用抛物线的对称轴公式和抛物线的性质可得出结论；
(2)根据抛物线的对称性先求出A关于对称轴的对称点A′，再根据二次函数的性质可得出结论．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合法解答是解题的关键．
27.【答案】解：(1)①如图1：
②证明：如图，连接CF，
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCF=45°+45°=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AD/​/CF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=FG，
∴G为BF的中点．
(2)2AE2−4AG2=BE2.理由如下：
如图2，连接CF，
由(1)可知：△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠BCF=90°，G为BF的中点仍然成立，
且BE=CF，
设AD=CD=x，CE=y，
则BE=CF=2x+y，
∵DG=12CF，
∴AG=12y，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2=x2+(x+y)2，
∴AE2=2x2+2xy+y2，BE2=(2x+y)2=4x2+4xy+y2，AG2=14y2，
∴2AE2−4AG2=BE2．
【解析】(1)①根据题意画图即可，②由条件可证△ABE≌△ACF(SAS)，得到∠ABE=∠ACF=45°，从而有CF⊥BC，再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点；
(2)由(1)知△ABE≌△ACF，可得BE=CF，G为BF的中点仍然成立，设AD=CD=x，CE=y，表示出AE，BE，AG即可发现它们之间的数量关系．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出AE，BE，AG的长度是解决问题的关键．
28.【答案】解：(1)①如图1，
∵P1(1,0)，A(0,−5)，B(4,3)，
∴AB= 42+82=4 5，P1A= 12+52= 26，P1B= 32+32=3 2，
∴P1不在以AB为直径的圆弧上，
故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，
∵P2(0,3)，A(0,−5)，B(4,3)，
∴P2A=8，AB=4 5，P2B=4，
∴P2A2+P2B2=AB2，
∴∠AP2B=90°，
∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，
同理可得，P3B2+P3A2=AB2，
∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，
故答案为：∠AP2B，∠AP3B；
②∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，
∴∠APB=90°，且点P在⊙O的内部，
∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H(点A，B均不能取到)，
过点B作BD⊥y轴于点D，
∵A(0,−5)，B(4,3)，
∴BD=4，AD=8，
并可求出直线AB的解析式为y=2x−5，
∴当直线y=2x+b过直径AB时，b=−5，
连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF/​/AB，交y轴于点F，
∵OA=OB，AH=BH，
∴EH⊥AB，
∴EH⊥EF，
∴EF是半圆H的切线．
∵∠OAH=∠OAH，∠OHA=∠BDA=90°，
∴△OAH∽△BAD，
∴OHAH=BDAD=48=12，
∴OH=12AH=12EH，
∴OH=EO，
∵∠EOF=∠AOH，∠FEO=∠AHO=90°，
∴△EOF≌△HOA(ASA)，
∴OF=OA=5，
∵EF//AB，直线AB的解析式为y=2x−5，
∴直线EF的解析式为y=2x+5，此时b=5，
∴b的取值范围是−5(2)∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，
∴点T一定在∠DHE的边上，
∵TD=4，∠DHT=90°，线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，
∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，
即n的最大值为2．
分两种情况：
①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT=90°，
∴点H在以DT为直径的圆上，
如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，
∵OM=1，ON=2，
∴MN= ON2+OM2= 5，
∵∠GMH=∠OMN，∠GHM=∠NOM，ON=GH=2，
∴△GHM≌△NOM，
∴MN=GM= 5，
∴OG= 5−1，
∴OT= 5+1，
当T与M重合时，t=1，
∴此时t的取值范围是− 5−1≤t<1，
②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t=1，另一个是当TM=4时，t=5，
∴此时t的取值范围是1≤t<5，
综合以上可得，t的取值范围是− 5−1≤t<5．
【解析】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．
(1)①判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；
②求得直线AB的解析式，当直线y=2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b=5，则答案可求出；
(2)可知线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t值即可得解．工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
分数
73
81
82
85
88
91
92
94
96
100
人数
1
3
2
3
1
3
1
4
1
1
x
0
12
1
32
2
52
3
⋯
y
0
116
16
716
1
9548
72
⋯