2023-2024学年北京市东城区汇文中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市东城区汇文中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某几何体的三视图如图，则该几何体是( )
A. 三棱柱
B. 长方体
C. 圆柱
D. 圆锥
2.下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( )
A. 赵爽弦图B. 科克曲线
C. 河图幻方D. 谢尔宾斯基三角形
3.将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果∠1=58°，那么∠2的度数为( )
A. 32°
B. 58°
C. 138°
D. 148°
4.无理数2 7的值在( )
A. 在2和3之间B. 在3和4之间C. 在4和5之间D. 在5和6之间
5.在如图三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是( )
A. 图1B. 图1与图2C. 图1与图3D. 图2与图3
6.如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直．经测量，得到BC，CE，BD的长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是
( )
A. xx+BC=BDCEB. xBC=BDCEC. BCx+BC=BDCED. BCx=BDCE
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1)2−2的形式；
②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2；
④若y>0，则x>3；
其中所有正确的结论为( )
A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③
8.如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t=3时，机器人一定位于点O；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有( )
A. ①④B. ①③C. ①②③D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数y=1 3−x中，自变量x的取值范围是______．
10.方程3x−2−2x2−x=1的解是______．
11.如图，∠1、∠2、∠3是多边形的三个外角，边CD、AE的延长线交于点F，如果∠1+∠2+∠3=225°，那么∠DFE的度数是______．
12.如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D=72°，则∠BAE= °.
13.如图，在△ABO中，∠ABO=90°，点A的坐标为(3,4).写出一个反比例函数y=kx(k≠0)，使它的图象与△ABO有两个不同的交点，这个函数的表达式为______．
14.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字−1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是______．
15.如图是，二次函数y=−x2+4x的图象，若关于x的一元二次方程−x2+4x−t=0(t为实数)在116.在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(−14)−1+2cs45°−|1− 2|+3−8．
18.(本小题8分)
解不等式组x+4≤3(x+2)x−12<1并求该不等式组的非负整数解．
19.(本小题8分)
下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：一个直角三角形ABC，使线段AB为斜边．
作法：如图，①过A任意作一条射线l；
②在射线l上任取两点D，E；
③分别以点D，E为圆心，DB，EB长为半径作弧，两弧相交于点P；
④作射线BP交射线l于点C．
所以△ABC就是所求作的直角三角形.理由______．
思考：
(1)按上述方法，以线段AB为斜边还可以作______个直角三角形；
(2)这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是______．
20.(本小题8分)
已知x2+3x−3=0，求代数式(1−3x)÷x−3x+3−x+6x+3的值．
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E，F分别是AB，AD的中点，连接EF，EC，延长EF交CD延长线于M．
(1)补全图形并证明：EF⊥AC；
(2)若∠B=60°，求△EMC的面积．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与函数y=mx(x>0)的图象交于点A(1,2)．
(1)求m的值；
(2)过点A作x轴的平行线l，直线y=2x+b与直线l交于点B，与函数y=mx(x>0)的图象交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段BD的中点时，求b的值；
②当BC>BD时，直接写出b的取值范围．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
(1)求证：∠CBF=12∠CAB；
(2)若CD=2，tan∠CBF=12，求FC的长．
24.(本小题8分)
小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
(1)在图中画出铅球运动路径的示意图；
(2)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
(3)若铅球投掷距离(铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度)不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−(2a−1)x(a≠0)．
(1)若函数图象对称轴为y轴，直接写出a的值；
(2)点P(m,n)是抛物线上一点，当−2≤m≤1，n存在最小值N．
①若a=3，直接写出N的值______；
②若−4≤N≤0，结合函数图象，求a的取值范围．
26.(本小题8分)
已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
(1)如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；
(2)如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN/​/BD时，求证：BM=AB；
(3)在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC⋅AC．
27.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP=PQ=QN，将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′，则称线段MN进行了三等分变换，其中M′，N′记为点M，N三等分变换后的对应点．
例如：如图2，线段MN，点M的坐标为(1,5)，点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为(1,4)，点Q的坐标为(1,3)，那么线段MN三等分变换后，可得：M′的坐标为(2,4)，点N′的坐标为(0,3)．
(1)若点P的坐标为(2,0)，点Q的坐标为(4,0)，直接写出点M′与点N′的坐标；
(2)若点Q的坐标是(0,− 22)，点P在x轴正半轴上，点N′在第二象限．当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；
(3)若点Q的坐标为(0,0)，点M′的坐标为(−3,−3)，直接写出点P与点N的坐标；
(4)点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为( 32,−12)当点N′在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
∴该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
∴该几何体是一个三棱柱．
故选：A．
根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
本题考查的知识点是由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180度后与原图形重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
3.【答案】D
【解析】解：如图，由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+58°=148°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=148°．
故选：D．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵2 7= 28，25<28<36，
∴5< 28<6，
∴2 7的值在5和6之间，
故选：D．
把2 7化成 28，根据25<28<36，即可求解．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
5.【答案】C
【解析】解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．
故选：C．
利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得：△ABD∽△ACE，
则ABAC=BDCE，
故xx+BC=BDCE，
故选：A．
直接利用相似三角形的应用，正确得出△ABD∽△ACE，进而得出比例式即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵x=−1和x=3时的函数值相同，都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，
当x=1时，y=−2，
∴抛物线的顶点为(1,−2)，
∴y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1)2−2的形式，
所以①正确；
∵由表格可知x=1时函数的值最小，
∴抛物线的开口向上，
故②错误；
∵x=0与x=2关于对称轴对称，
∴x=0时，y=−1.5，x=2时，y=−1.5，
∴ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2，
故③正确；
∵抛物线的开口向上，x=−1和x=3时，y=0，
∴若y>0，则x>3或x<−1，
故④错误；
故选：D．
根据表格数据求出顶点坐标，即可判断①②；根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可判断③；根据函数的图象和性质可以判断④．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
8.【答案】C
【解析】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F或B点，则正六边形边长为1.故①正确；
观察图象t在3−4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，
则当t=3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确；
所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确；
因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故④错误．
故选：C．
根据图象起始位置猜想点B或F为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．
本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．
9.【答案】x≠ 3
【解析】解：根据题意得 3−x≠0，
解得x≠ 3.故答案为x≠ 3．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
本题主要考查分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
10.【答案】x=−5
【解析】解：3x−2−2x2−x=1
3+2x=x−2，
x=−5，
经检验：x=−5是原方程的解，
∴原方程的解为x=−5．
故答案为：x=−5．
解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
11.【答案】45°
【解析】解：∵多边形的外角和为360°，
∴∠DEF+∠EDF=360°−225°=135°，
∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，
∴∠DFE=180°−135°=45°．
故答案是：45°．
利用多边形的外角和为360°，结合三角形的内角和为180°即可求解．
本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．
12.【答案】36
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到∠DCB=180°−∠D=108°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=72°，由三角形的内角和即可得到结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=72°，
∴∠DCB=180°−∠D=108°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=72°，∠ABC=180°−∠DCB=72°，
∴∠BAE=180°−72°−72°=36°，
故答案为36．
13.【答案】y=2x(答案不唯一)
【解析】解：∵∠ABO=90°，点A的坐标为(3,4)，反比例函数y=kx(k≠0)，使它的图象与△ABO有两个不同的交点，
∴这个函数的表达式为：y=2x(答案不唯一)．
故答案为：y=2x(答案不唯一)．
根据题意可得，点的坐标的乘积大于0小于12，据此即可求解．
本题考查了求反比例函数的解析式，理解k的范围是解决本题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：由题意，列表为
∵通过列表可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有3种情况，
∴P满足关于x的方程x ​2+px+q=0有实数根=36=12．
故答案为：12
通过列表求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率
本题考查了列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键．
15.【答案】−5【解析】解：y=−x2+4x=−(x−2)2+4，
当x=2时，y有最大值4，
当x=5时，y=−x2+4x=−5，
关于x的一元二次方程−x2+4x−t=0(t为实数)在1所以t的范围为−5故答案为−5先利用二次函数的性质得到x=2时，y有最大值4，再计算出x=5时，y=−5，由于关于x的一元二次方程−x2+4x−t=0(t为实数)在1本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16.【答案】5和10
【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，6和9，7和8；
由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9．
故答案为：5和10．
根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
17.【答案】解：原式=−4+2× 22−( 2−1)−2
=−4+ 2− 2+1−2
=−5．
【解析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的意义以及立方根的知识点化简计算即可．
本题考查了实数的运算，细心化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：x+4≤3(x+2)①x−12<1②，
解①得x≥−1，
解②得x<3，
∴不等式组的解集为−1≤x<3，
∴该不等式组的非负整数解为x=0，1，2．
【解析】分别解两个不等式，得到不等式组的解集，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握计算法则是解题的关键．
19.【答案】到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 无数 以AB为直径的圆(点A、B除外)
【解析】解：由作图知DP=DB，EP=EB，故DE是线段BP是垂直平分线，
∴BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，理由是到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
故答案为：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
(1)∵过点A可以作无数条射线，
∴以线段AB为斜边还可以作无数个直角三角形，
故答案为：无数；
(2)这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是以AB为直径的圆(点A、B除外)，理由是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
故答案为：以AB为直径的圆(点A、B除外)．
根据线段的垂直平分线的逆定理分析可知．
(1)由于过点A可作无数条射线，利用作法可得到无数个直角三角形；
(2)利用圆周角定理可判断这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20.【答案】解：∵x2+3x−3=0
∴x2+3x=3，
∵原式═x−3x⋅x+3x−3−x+6x+3，
=x+3x−x+6x+3=x2+6x+9−x2−6xx(x+3)
=9x2+3x，
=3．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题基础题型．
21.【答案】解：(1)补全图形如下图所示：

如下图，连接DB，

∵四边形ABCD是菱形，
∴DB⊥AC，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF/​/BD，
∴EF⊥AC．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB//DC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∵AB/​/DC，
∴CE⊥MC，
即△EMC是直角三角形，且CE=BC×sin60°= 3，
∵F是AD的中点，
∴AF=DF，
∵AB/​/DC，
∴∠AEF=∠DMF，∠EAF=∠MDF，
∴△AEF≌△DMF(AAS)，
∴MD=AE=12AB=1，
∴MC=MD+DC=3，
∴S△EMC=12MC×CE=3 32．
【解析】(1)按要求画出图形即可；连接BD，由已知条件可知EF是△ABD的中位线，由此可得EF//BD，由菱形的性质可得AC⊥BD，从而可得EF⊥AC；
(2)由已知条件易得△ABC是等边三角形，结合点E是AB的中点可得CE⊥AB，结合AB/​/CD可得CE⊥MC，在Rt△BCE中由已知条件求得CE的长，证明△AEF≌△DMF，得出MD=AE=12AB=1，从而可得CM的长，这样即可由S△CME=12MC⋅CE，求出其面积了．
本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质和判定，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线．
22.【答案】解：(1)把A(1,2)代入函数y=mx(x>0)中，
∴2=m1．
∴m=2；
(2)①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E，交x轴于点F．
当点C是线段BD的中点时，
∴CE=CF=1．
∴点C的纵坐标为1，
把y=1代入函数y=2x中，
得x=2．
∴点C的坐标为(2,1)，
把C(2,1)代入函数y=2x+b中得：1=4+b，
得b=−3，
②当BC>BD时，b>3．
【解析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
(1)根据待定系数法求得即可；
(2)①根据题意求得C点的坐标，然后根据待定系数法即可求得b的值；
②当C在AB上方时，且BC=BD时，即点B是线段CD的中点时，同理可得C点纵坐标为4，
∴C点横坐标为12，即点C的坐标为(12,4)，
把C(12,4)代入函数y=2x+b中得：4=1+b，b=3，
∴当BC>BD时，b>3．
23.【答案】(1)证明：∵AB 为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴∠BAE+∠ABC=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠EAC=12∠CAB．
∵BF为⊙O 的切线，
∴∠ABC+∠CBF=90°．
∴∠BAE=∠CBF．
∴∠CBF=12∠CAB；
(2)解：连接BD，
∵AB 为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠DBC=∠DAE，
∴∠DBC=∠CBF．
∵tan∠CBF=12．
∴tan∠DBC=12．
∵CD=2，
∴BD=4，
设AB=x，则AD=x−2，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得x=5．
∴AB=5，AD=3，
在Rt△ABC中，BD⊥AC，
∴AB2=AD⋅AF．
∴AF=253．
∴FC=AF−AC=103．
【解析】(1)由圆周角定理得出∠AEB=90°，得到∠BAE+∠ABC=90°，由切线性质得出∠ABC+∠CBF=90°，即可证得∠BAE=∠CBF，由等腰三角形的性质得出∠BAE=∠EAC=12∠CAB，即可证得结论；
(2)易证得∠DBC=∠CBF，从而证得BD=4，设AB=x，则AD=x−2，由勾股定理证得AB=5，AD=3，然后根据射影定理得到AB2=AD⋅AF，即可求得AF，进而求得FC．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及射影定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
24.【答案】解：(1)如图所示；
(2)解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为(4,3)，点A的坐标为(0,2)．
设该抛物线的表达式为y=a(x−4)2+3，
由抛物线过点A，有16a+3=2．
解得a=−116，
∴该抛物线的表达式为y=−116(x−4)2+3；
(3)解：令y=0，得−116(x−4)2+3=0．
解得x1=4+4 3，x2=4−4 3(C在x轴正半轴，故舍去)．
∴点C的坐标为(4+4 3,0)．
∴OC=4+4 3．
由 3>32，可得OC>4+4×32=10．
∴小明此次试投的成绩达到优秀．
【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
(1)根据题意画出图象即可；
(2)设该抛物线的表达式为y=a(x−4)2+3，由抛物线过点A得到16a+3=2.求得a=−116，于是得到结论；
(3)根据题意解方程即可得到结论．
25.【答案】−4
【解析】解：(1)∵函数图象对称轴为y轴，
∴−−(2a−1)2=0，
解得：a=12．
(2)①当a=3时，解析式为y=x2−5x=(x−52)2−254，
∴当x≤52时y随x的增大而减小，
∴−2≤m<1，
∴当m=1时n最小，
∴N=12−5×1=−4．
故答案为：−4；
②对称轴为直线x=−−(2a−1)2=a−12，
当a−12≤−2，即a≤−32，
∵−2≤m≤1，
∴当m=−2时，n有最小值，
∴N=4+2(2a−1)=4a+2，
∵−4≤N≤0，
∴−32≤a≤0，
∴a=−32；
当−2当m=a−12时，n有最小值，
∴N=(a−12)2−(2a−1)(a−12)=−(a−12)2，
∵−4≤N≤0，
∴−4≤−(a−12)2，
∴0≤(a−12)2≤4，
∴−2≤a−12≤2，
∴−32≤a≤52，
∴−32≤a≤32；
当a−12≥1，即a≥32，
∴当m=1时，n有最小值，
∴N=1−2a+1=2−2a，
∵−4≤N≤0，
∴−4≤2−2a≤0，
∴1≤a≤3，
综上所述，−32≤a≤3．
(1)根据对称轴公式求解即可；
(2)①先求二次函数的对称轴，从而确定当m=1时n最小，据此求解即可；②分类讨论，当对称轴在直线x=−2左边，在直线x=1右边，在直线x=−2和x=1之间三种情况，再利用二次函数的性质计算即可．
本题主要考查了二次函数的性质，求不等式组的解集，二次函数的最值问题，熟知二次函数的性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，
∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠ANH=∠OND，
∴∠ANH+∠ODN=90°，
∵DH⊥AE，
∴∠DHM=90°，
∴∠ANH+∠OAM=90°，
∴∠ODN=∠OAM，
∴△DON≌△AOM，
∴OM=ON；
(2)连接MN，
∵EN//BD，
∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，
∴EN=CN，同(1)的方法得，OM=ON，
∵OD=OD，
∴DM=CN=EN，
∵EN//DM，
∴四边形DENM是平行四边形，
∵DN⊥AE，
∴▱DENM是菱形，
∴DE=EN，
∴∠EDN=∠END，
∵EN//BD，
∴∠END=∠BDN，
∴∠EDN=∠BDN，
∵∠BDC=45°，
∴∠BDN=22.5°，
∵∠AHD=90°，
∴∠AMB=∠DME=90°−∠BDN=67.5°，
∵∠ABM=45°，
∴∠BAM=67.5°=∠AMB，
∴BM=AB；
(3)设CE=a(a>0)
∵EN⊥CD，
∴∠CEN=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠CNE=45°=∠ACD，
∴EN=CE=a，
∴CN= 2a，
设DE=b(b>0)，
∴AD=CD=DE+CE=a+b，
根据勾股定理得，AC= 2AD= 2(a+b)，
同(1)的方法得，∠OAM=∠ODN，
∵∠OAD=∠ODC=45°，
∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，
∴△DEN∽△ADE，
∴DEAD=ENDE，
∴ba+b=ab，
∴a= 5−12b(已舍去不符合题意的)
∴CN= 2a= 10− 22b，AC= 2(a+b)= 10+ 22b，
∴AN=AC−CN= 2b，
∴AN2=2b2，AC⋅CN= 10+ 22b⋅ 10− 22b=2b2
∴AN2=AC⋅CN．
【解析】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解(2)的关键，判断出△DEN∽△ADE是解(3)的关键．
(1)先判断出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判断出∠ODN=∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得出结论；
(2)先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN=22.5°，即可判断出∠AMB=67.5°，即可得出结论；
(3)设CE=a，进而表示出EN=CE=a，CN= 2a，设DE=b，进而表示AD=a+b，根据勾股定理得，AC= 2(a+b)，
同(1)的方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，进而判断出△DEN∽△ADE，得出DEAD=ENDE，进而得出a= 5−12b，即可表示出CN= 10− 22b，AC= 10+ 22b，AN=AC−CN= 2b，即可得出结论．
27.【答案】解：(1)∵PQ=2，根据“三等分变换”的定义，可知M(2,2 )，N′( 4，−2 )．
(2)①当PQ=1时，OQ= 22
在Rt△OPQ中，如图1中，
∴OP=OQ
∴∠OQP=∠OPQ=45°
∵∠PQN′=90°PQ=Q N′
∴点N’在x轴负半轴上，不在第二象限
∴PQ=1不符合题意．
②当PQ=2时
OP= PQ2−OQ2= 22−( 22)2= 142，
此时，点N′在第二象限符合题意．
(3)如图2中，由图象可知，P(0,−3 )，N( 0，3 )．
(4)如图3中，过点P作PA⊥x轴于点A．
在Rt△OAP中，由勾股定理，OP= (12)2+( 32)2=1，
在△PQN′中，∠PQN′=90°，PQ=Q N′
点N′在⊙O内部或在⊙O上运动，当PN′为⊙O直径时，PN′最大
∠QPN′=45°
∴PQ=PN′= 2，
∴PQ的取值范围：0∵P( 32,−12)
由对称性可知N′(− 32,12)
过点N′作N′E⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F
易证△ON′E≌△QOF，
∴OF=EN′=12，FQ=OE= 32
∴Q(−12,− 32)
∵∠N′QP=∠QP M′=90°
∴N′Q/​/PM′，
又∵N′Q=PM′，
∴四边形PN′QM′是平行四边形，对角线的交点为J，设M′(m,n)
则J( 3−14,− 3+14)，
则有m− 322= 3−14，n+122=− 3+14，
解得m=2 3−12，n=− 3−22，
∴点M′的坐标为(2 3−12,− 3−22).
【解析】(1)根据“三等分变换”的定义，可知M(2,2 )，N′( 4，−2 )；
(2)根据PQ的长度为符合条件的最小整数时，分PQ=1或2讨论即可解决问题；
(3)画出图形即可解决问题；
(4)如图3中，过点P作PA⊥x轴于点A.在Rt△OAP中，由勾股定理，OP= (12)2+( 32)2=1，在△PQN′中，∠PQN′=90°，PQ=Q N′，推出点N′在⊙O内部或在⊙O上运动，当PN′为⊙O直径时，PN′最大，推出∠QPN′=45°推出PQ=PN′= 2，推出PQ的取值范围：0本题考查圆综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．x
…
−1
0
1
3
…
y
…
0
−1.5
−2
0
…

−1
1
2
−1

−1，1
−1，2
1
1，−1

1，2
2
2，−1
2，1