2023-2024学年北京市海淀外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是( )
A. 三棱柱B. 长方体C. 圆柱D. 圆锥
2.在迎来了中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.现行标准下，12800个贫困村全部出列.将12800用科学记数法表示应为( )
A. 12.8×103B. 1.28×103C. 1.28×104D. 0.128×105
3.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是( )
A. b+c>0B. a−b>a−cC. ac>bcD. ab>ac
4.若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为( )
A. 1：16B. 16：1C. 1：4D. 1：2
5.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与AB围成的扇形的面积是( )
A. 2π
B. 5π
C. 256π
D. 10π
6.多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降.如图是1998年至2019年二氧化硫(SO2)和二氧化氮(NO2)的年平均浓度值变化趋势图，下列说法错误的是( )
A. 1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数
B. 1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数
C. 1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差
D. 1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快
7.在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)均满足(x1−x2)(y1−y2)>0．
下列四个函数图象中，
所有正确的函数图象的序号是( )
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
8.如图，∠MAN=60°，点B在射线AN上，AB=2.点P在射线AM上运动(点P不与点A重合)，连接BP，以点B为圆心，BP为半径作弧交射线AN于点Q，连接PQ.若AP=x，PQ=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在函数y= 2x+1中，自变量x的取值范围是 ．
10.分解因式3a2−3b2= ．
11.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC=______°.
12.若二元一次方程组x+4y=22x−y=4的解为x=ay=b，则a+b的值是 ．
13.已知关于x的一元二次方程x2−x+2m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14.如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若CD与AB所在圆的圆心都为点O，则CD与AB的长度之比为 ．
15.计算：(x2x−1−1x−1)⋅1x+1=______．
16.如图，小明将−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c分别表示其中的一个数，则a−b−c的值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算： 12−(14)−1+4sin60°−|1− 3|.
18.解不等式组：2x+3四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
已知2y2−y−1=0，求代数式(2y+x)(2y−x)−(2y−x2)的值．
20.(本小题5分)
阅读材料并解决问题：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明证明：连接MN．
由②得，线段CN ______CP(填“>”，“=”或“<”)．
在△MCN和△DCP中，
— — — ,
∴△MCN≌△DCP．
∴∠NMC=∠PDC．
∴MN//EF(______)(填推理的依据)．
又由①得，线段OM=ON．
可得OE=OF．
21.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,2)是直线l：y=x−1与函数y=kx(x>0)的图象G的交点．
(1)①求a的值；
②求函数y=kx(x>0)的解析式．
(2)过点P(n,0)(n>0)且垂直于x轴的直线与直线l和图象G的交点分别为M，N，当S△OPM>S△OPN时，直接写出n的取值范围．
22.(本小题5分)
我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆．正午，表的日影(即表影)落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长2m的杆AB，向正北方向画一条射线BC，在BC上取点D，测得BD=1.5m，AD=2.5m．
(1)判断：这个模型中AB与BC是否垂直．答：______(填“是”或“否”)；你的理由是：______．
(2)某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角α的值，如下表：
①记夏至和冬至时表影分别为BM和BN，利用上表数据，在射线BC上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为BP，推测点P位于______．
A.线段MN中点左侧
B.线段MN中点处
C.线段MN中点右侧
23.(本小题6分)
某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．
例如：A节目演出后各个评委所给分数如表：
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数则该节目的得分为x−=7.2+7.5+7.5+7.5+8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.410=8.04．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为x−=7.2+7.5+7.8+7.5+8.2+7.9+8.5+9.48=8.00．
回答下列问题：
(1)小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你______小乐的说法吗(填“同意”或“不同意”)？理由是______；
(2)小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数x1−=7.5，5至10号评委所给分数的平均数x2−=8.4，再根据比赛的需求设置相应的权重(f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2=1)．
如当f1=0.7时，则f2=1−0.7=0.3．
该节目的得分为x−=f1x1−+f2x2−=0.7×7.5+0.3×8.4=7.77．
Ⅰ.当按照“方案三”中f1=0.6评分时，A节目的得分为______．
Ⅱ.关于评分方案，下列说法正确的有______．
①当f1=0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
②当f1>0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
③当f1=0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．
24.(本小题6分)
如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图.现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象.已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE=3m，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d(单位：m)．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长；
(2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
25.(本小题6分)
如图，△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．
(1)求证：∠ADE=∠DBE；
(2)若sinA=35，BC=6，求⊙O的半径．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，点(0,3)，(6,y1)在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上．
(1)当y1=3时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,−1)，当自变量x的值满足−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)当a>0时，点(m−4,y2)，(m,y2)在抛物线y=ax2+bx+c上.若y227.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，作射线CM，∠ACM=80°.D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．
(1)依题意补全图形；
(2)判断AB与DF的数量关系并证明；
(3)平面内一点G，使得DG=DC，FG=FB，求∠CDG的值．
28.(本小题7分)
如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH⊥l于点H，任取直线l上点Q，点H关于直线PQ的对称点为点H′，称点H′为点P关于直线l的垂对点．
在平面直角坐标系xOy中，
(1)已知点P(0,2)，则点O(0,0)，A(2,2)，B(0,4)中是点P关于x轴的垂对点的是______；
(2)已知点M(0,m)，且m>0，直线y=−43x+4上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；
(3)已知点N(n,2)，若直线y=x+n上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了由三视图判断几何体的知识，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：12800=1.28×104．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：由图可知：a<0∴b+c>0，
∴A符合题意；
∵b>c，
∴−b<−c，
∴a−b∴B不符合题意；
∵a0，
∵ac∴C不符合题意；
∵b>c，a<0，
∴ab∴D不符合题意；
故选：A．
根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号并根据不等式的性质即可得到答案．
本题考查了不等式的性质，以及数轴，正确掌握不等式的性质是本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16．
故选：A．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5.【答案】B
【解析】解：∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=3605=72°，
∴S扇形OAB=72π⋅52360=5π，
故选：B．
首先求出圆心角，根据扇形的面积=nπr2360计算即可．
本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．
6.【答案】C
【解析】解：由图可得：
A、1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数值都在SO2的NO2的年平均浓度值的平均数以下，由此可得SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数，此选项正确，不合题意；
B、1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数值都在SO2的NO2的年平均浓度值的平均数以下，由此可得SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数，此选项正确，不合题意；
C、根据图中两折线中点的离散程度可得SO2的年平均浓度值的方差大于NO2的年平均浓度值的方差，此选项错误，符合题意；
D、1998年至2019年，根据图中两折线的起止点可得SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快，此选项正确，不合题意．
故选：C．
根据折线图进行分析即可作出判断．
本题主要考查了折线统计图，方差，中位数，解题时注意：从统计图可以很容易看出数据的大小，折线图能够清楚地表示出数量的增减变化情况．从统计图表中获取信息是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵(x1−x2)(y1−y2)>0，
∴(x1−x2)与(y1−y2)同号，
当x1−x2>0时，y1−y2>0；
当x1−x2<0时，y1−y2<0．
∴y随x的增大而增大，
故正确的函数图象的序号是②④．
故选：D．
根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
8.【答案】C
【解析】解：由题知，点P在射线AM上运动，AP=x，PQ=y，
随着x增大y值先变小后变大，
故选项A、B错误，
在C和D选项中当x=5时对应函数值差别较大，
∴选当x=5时为特殊值求此时的函数值，
作QH⊥AM于H，作BR⊥AM于R，
∵∠MAN=60°，AB=2，AP=5，
∴AR=1，BR= 3，RP=AP−AR=5−1=4，
∴BQ=BP= BR2+RP2= 19，
∴AQ=AB+BQ=2+ 19，
∵∠MAN=60°，
∴AH=12AQ=1+ 192，QH= 32AQ= 3+ 572，
∴PH=AP−AH=5−(1+ 192)=4− 192，
∴QP= QH2+PH2= ( 3+ 572)2+(4− 192)2= 38−5 192≈5.2，
观察选项C和D的图象可以发现C的图象符合，
故选：C．
此题属于选择题，可以通过推理和代入特殊值得出答案，点P在射线AM上运动，随着AP的变大PQ先变小后变大，再确定最小值大概的位置即可确定大致图象．
本题主要考查动点函数图象问题，用特值法判断函数图象是解决此题的关键．
9.【答案】x≥−12
【解析】解：依题意，得2x+1≥0，
解得x≥−12．
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，即2x+1≥0．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10.【答案】3(a+b)(a−b)
【解析】解：3a2−3b2
=3(a2−b2)
=3(a+b)(a−b)．
故答案是：3(a+b)(a−b)．
提公因式3，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】45
【解析】解：设小正方形的边长是1，则AO=CO=3，
所以△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=∠OAC=45°，
∵∠ABC+∠BAC=∠ACO，
∴∠ABC+∠BAC=45°．
故答案为：45．
根据等腰三角形的性质求出∠ACO=∠OAC=45°，根据三角形的外角性质得出∠ABC+∠BAC=∠ACO，再求出答案即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角性质等知识点，能求出△AOC是等腰直角三角形是解此题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：方法一：x+4y=2①2x−y=4②，
由①得：x=2−4y③，
把③代入②得：2(2−4y)−y=4，
解得：y=0，
把y=0代入③得：x=2．
∴原方程组的解为x=2y=0，
∵方程组的解为x=ay=b，
∴a=2，b=0，
∴a+b=2．
故答案为：2．
方法二：将x=ay=b代入方程组得：a+4b=2①2a−b=4②,
①+②得：3a+3b=6，
∴3(a+b)=6，
∴a+b=2．
故答案为：2．
根据代入消元法解出这个方程组的解，从而得到a，b的值，求出a+b的值即可；或者利用整体代入法求解．
本题考查了二元一次方程组的解，熟练求出二元一次方程组的解是解题的关键．
13.【答案】m<18
【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−1，c=2m，
∴Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×2m>0，
解得m<18，
故答案为m<18．
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ=b2−4ac>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
14.【答案】 2：1
【解析】【分析】
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l=nπr180是解题的关键．根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD=90°，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】
解：由勾股定理得，OC=OD= 22+22=2 2，
则OC2+OD2=CD2，OB=2，
∴∠COD=90°，
∴CD与AB的长度之比=90π×2 2180：90π×2180= 2：1．
15.【答案】1
【解析】解：原式=x2−1x−1⋅1x+1
=(x+1)(x−1)(x+1)(x−1)
=1，
故答案为：1．
根据分式的运算法则进行化简即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
16.【答案】4
【解析】解：∵−2+1+4=3，
∴−2+a=3，3+1+b=3，−3+4+c=3，
∴a=5，b=−1，c=2，
∴a−b−c=5+1−2=4，
故答案为4．
由题意可得−2+a=3，3+1+b=3，−3+4+c=3，分别求出a=5，b=−1，c=2，即可求解．
本题考查有理数的加法、减法，熟练掌握有理数的加法、减法运算法则，根据题意，列出方程是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2 3−4+4× 32−( 3−1)
=2 3−4+2 3− 3+1
=3 3−3．
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用负整数指数幂的性质以及算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
18.【答案】解：2x+3解不等式①得x<1，
解不等式②得x≥−3，
所以不等式的解集为−3≤x<1，
所以不等式组的整数解为−3，−2，−1，0．
【解析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
19.【答案】解：原式=4y2−x2−2y+x2
=4y2−2y，
当2y2−y−1=0，即2y2−y=1时，
原式=2(2y2−y)=2×1=2．
【解析】先利用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项，继而代入计算即可．
本题主要考查整式的混合运算−化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(1)图形如图所示：
(2)= ，CM=CD，∠MCN=∠DCP，CN=CP，内错角相等两直线平行
【解析】解：(1)见答案；
(2)连接MN．
由作图可知，CN=CP，
在△MCN和△DCP中，
CM=CD∠MCN=∠DCPCN=CP，
∴△MCN≌△DCP(SAS)，
∴∠NMC=∠PDC，
∴MN//EF(内错角相等两直线平行)，
又由①得，线段OM=ON，
可得OE=OF．
故答案为：=，CM=CD，∠MCN=∠DCP，CN=CP，内错角相等两直线平行．
(1)根据要求作出图形即可．
(2)利用全等三角形的性质解决问题即可．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)①A(a,2)代入y=x−1得：2=a−1，
∴a=3；
②∵a=3，
∴A(3,2)，
把A(3,2)代入y=kx得：2=k3，
∴k=6，
∴函数y=kx(x>0)的解析式为y=6x；
(2)如图：
∵S△OPM=12OP⋅PM，S△OPN=12OP⋅PN，S△OPM>S△OPN
∴PM>PN，即yM>yN，
由图象G：y=6x与直线l：y=x−1交于A(3,2)知，当x>3时，yM>yN，
∴当S△OPM>S△OPN时，x>3，即n>3．
【解析】(1)①A(a,2)代入y=x−1即可得a，
②把A(3,2)代入y=kx可得k的值，即可求出反比例函数解析式；
(2)S△OPM>S△OPN即是yM>yN，观察图形交点，数形结合即可得到答案．
本题考查反比例函数与一次函数解析式及交点问题，数形结合是解题的关键．
22.【答案】(1)是；勾股定理的逆定理
(2)①如图2中，点M，点N即为所求作．
②A
【解析】解：(1)∵AB=2m，BD=1.5m，AD=2.5m，
∴AD2=6.25，AB2+BD2=6.25，
∴AD2=AB2+BD2，
∴∠ABD=90°，
∴△ABD是直角三角形．
故答案为：是，勾股定理的逆定理．
(2)①见答案；
②观察图象可知，点P在线段MN的中点的左侧，
故选A，
故答案为：A．
(1)利用勾股定理的逆定理判断即可．
(2)①利用量角器，画出图形即可．
②利用图象法判断即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理逆定理、平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】(1)同意；平均数易受极端值影响；
(2)Ⅰ；Ⅱ.②③
【解析】解：(1)同意，理由：平均数易受极端值影响，故方案二更合理；
故答案为：同意，平均数易受极端值影响，故方案二更合理；
(2)Ⅰ.当f1=0.6时，由题意知，f2=1−f1=0.4，x−1=7.5，x−2=8.4，
∴该节目得分：x−=f1x−1+f2x−2=0.6×7.5+0.4×8.4=7.86
∴f1=0.6时，A节目的得分为7.86．
故答案为：7.86；
Ⅱ.正确的有②③．
①f1=0.5时，x−=f1x−1+(1−f1)x−2=0.5×7.5+0.5×8.4=7.95，
8.04≠7.95，故①错误；
②f1>0.4时，说明方案三评的更注重节目的专业性，故②正确；
③f1=0.3，x−=0.3×7.5+0.7×8.4=8.13，
∵8.13>8.04，8.13>8.00，
∴③正确．
故答案为：②③．
(1)利用平均数的性质回答即可；
(2)Ⅰ.当f1=0.6时，由题意知，f2=1−f1=0.4，x−1=7.5，x−2=8.4，利用公式计算即可；
Ⅱ.分别根据加权平均数公式及权重进行分析即可得到答案．
此题考查的是加权平均数，掌握其概念是解决此题关键..
24.【答案】(2,0) 2≤d≤3
【解析】解：(1)由题意得A(2,1.6)是上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x−2)2+1.6，
又∵抛物线过点(0,1.2)，
∴1.2=4a+1.6，
∴a=−110，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=−110(x−2)2+1.6，
当y=0时，0=−110(x−2)2+1.6，
解得x1=6，x2=−2(舍去)，
∴喷出水的最大射程OC为6m；
(2)∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,1.4)的对称点为(4,1.4)，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为(2,0)，
故答案为：(2,0)；
(3)∵OB=2，OC=6，DE=3，
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为2≤d≤3，
故答案为：2≤d≤3．
(1)由顶点A(2,1.6)得，设y=a(x−2)2+1.6，再根据抛物线过点(0,1.2)，可得a的值，从而解决问题；
(2)由对称轴知点(0,1.2)的对称点为(4,1.4)，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
(3)根据点B，C坐标以及草坪宽度可得结论．
本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OD，如图，
∵AC为切线，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA=90°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
∵∠DBE+∠BED=90°，∠ADE+∠ODE=90°，
而∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠DBE；
(2)解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ACB中，sinA=BCAB=35，
∴AB=53BC=53×6=10，
∵OD⊥AD，BC⊥AC，
∴OD//BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴AOAB=ODBC，即10−r10=r6，
解得r=154，
即⊙O的半径为154．
【解析】(1)连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODA=90°，根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后利用等角的余角相等得到结论；
(2)设⊙O的半径为r，利用正弦的定义求出AB=10，再证明△ADO∽△ACB，利用相似比得到10−r10=r6，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理及相似三角形的判定及性质．
26.【答案】解：(1)当y1=3时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，
∴x=0+62=3，
∴抛物线的对称轴为直线x=3；
(2)∵y=ax2+bx+c(a≠0)过(0,3)，(−1,−1)，
∴c=3，a−b+3=−1，
b=a+4，
∴对称轴为直线x=−b2a=−a+42a，
①当a>0时，
∵−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴−a+42a≤−1，
解得a≤4，
∴0②当a<0时，
∵−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴−a+42a≥2，
解得a≥−45，
∴−45≤a<0，
综上：a的取值范围是−45≤a<0或0(3)∵点(0,3)在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=3，
∵点(m−4,y2)，(m,y2)在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴对称轴为直线x=m−4+m2=m−2，
①如图所示：

∵y2∴m<6且m−2>0+62=3，
∴5②如图所示：

∵y2∴m−4>6，
∴m>10，
综上所述，m的取值范围为510．
【解析】(1)当y1=3时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
(2)把(0,3)，(−1,−1)代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分a>0和a<0，由函数的增减性求出a的取值范围；
(3)先画出函数图象，再根据y2本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
27.【答案】解：(1)如图所示：

(2)AB=DF，理由如下：
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵C关于点E的对称点为F，
∴CE=EF，
又∵∠AEC=∠FED，
∴△AEC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF，
∵AB=AC，
∴AB=DF；
(3)如图2，连接AF，

∵AE=DE，CE=EF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴∠ACM+∠CAF=180°，AF=CD，DF=AC=AB，
∴∠CAF=100°=∠CDF，
∴∠BAF=140°，
∵DG=DC，
∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，
∵FG=FB，
∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，
∴两圆的交点为G，
∵AB=DF，AF=DG，FB=FG，
∴△ABF≌△DFG(SSS)，
∴∠BAF=∠FDG=140°，
∴∠CDG=40°，
同理可证△ABF≌△DFG′，
∴∠BAF=∠G′DF=140°，
∴∠CDG′=360°−100°−140°=120°，
综上所述：∠CDG=40°或120°．
【解析】(1)由题意画出图形，如图所示；
(2)由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC=DF=AB；
(3)由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF=∠FDG=140°，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键．
28.【答案】点O和点A
【解析】解：(1)由题意，点P关于x轴的垂对点组成的图形是以点P为圆心，半径为2的圆(该圆与y轴的交点除外)．
∵点O(0,0)，A(2,2)在这个圆上，
∴点P关于x轴的垂对点的是：点O，点A．
故答案为：点O和点A．
(2)由题意可知，点M关于x轴的垂对点形成的图形为以点M为圆心，以线段MO的长为半径的圆(射线OM与该圆的交点除外)．
此时⊙M与x轴相切．
当直线y=−43x+4与⊙M相切时，记切点为点E，直线y=−43x+4与x轴，y轴的交点分别为点C和点D，连接ME，MC，如答图1，
对于y=−43x+4，令x=0，则y=4；令y=0，则x=3．
∴点C(3,0)，点D(0,4)．
∴OC=3，OD=4．
∴CD= OC2+OD2=5．
∵CD，CO是⊙M的切线，
∴CE=CO=3，∠MEC=∠MOC=90°．
∴DE=5−3=2．
∵OM=m，
∴ME=m，DM=4−m．
在Rt△DME中，
∵DE2+ME2=MD2，
∴m2+22=(4−m)2．
解得：m=32．
∵⊙M与直线y=−43x+4有公共点，
∴m≥32．
(3)点N关于x轴的垂对点是以点N(n,2)为圆心，以2为半径的圆上的点，不包括点(n,4)．
①当n=0时，⊙N与直线y=x恰有两个交点，即存在两个点N关于x轴的垂对点；
②当n>0时，如答图2所示．
⊙N与y=x+n相切于左上方点A，为临界状态．
连接点N与切点A，
作NB⊥x轴于点B，作AE⊥x轴于点E，作ND⊥y轴于点D交AE于点C．
设直线y=x+n交x轴于点F、交y轴于点G．
则OG=OF=n，
故∠GF0=∠FGO=45°．
∵AE//y轴，
∴ND⊥AE于点C．
∴∠ACN=90°，∠FGO=∠FAE=45°．
∵⊙N与y=x+n相切于点A，
∴∠NAG=90°，
∴∠CAN=45°．
故△CAN为等腰直角三角形．
∴CA2+CN2=AN2，
即2AC2=22=4，
∴AC= 2．
∴AE=AC+CE= 2+NB= 2+2，
DC=DN−CN=OB−AC=n− 2．
则点A坐标为(n− 2,2+ 2)，
∵点A在直线y=x+n上，代入点A坐标得：
2+ 2=n− 2+n，
解得：n= 2+1．
特别地，当n=2时，直线与圆交于点(0,2)、(2,4)，此时只有一个垂对点，
故n≠2．
③当n<0时，如答图3所示，
直线y=x+n与⊙N相切与右下方点A′，为临界状态．
设OF=n，同情形②类似可得点A′坐标为(n+ 2,2− 2)，
代入y=x+n中，得2− 2=n+ 2+n，
解得n=1− 2．
综上所述，n的取值范围为：1− 2(1)依据垂对点的定义判断即可；
(2)依据垂对点的定义确定所有垂对点组成的图形，利用相切的性质和勾股定理即可解答；
(3)对n的取值分三种情况，分别是：n=0、n<0、n>0，仿照(2)的方法分类讨论即可．
本题以一次函数和圆为背景，考查了圆的切线的性质，一次函数与坐标轴交点的求法，勾股定理，等腰三角形性质，新概念的理解与应用等知识，正确理解题中的“垂对点”的含义是解本题的关键．已知：如图，∠AOB及内部一点P．
求作：经过点P的线段EF，使得点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF．
作法：如图．
①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点M，N；
②连接NP，作线段NP的垂直平分线，得到线段NP的中点C；
③连接MC并在它的延长线上截取CD=MC；
④作射线DP，分别交射线OB，OA于点F，E；
线段EF就是所求作的线段．
节气
夏至
秋分
冬至
太阳光线与地面夹角α
74°
50°
27°
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分/分
7.2
7.5
7.8
7.5
8.2
9.7
7.9
6.7
8.5
9.4