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2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 20B. 2C. 12D. 0.2
2.下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是( )
A. 1,2, 5B. 6，8，9C. 1,2, 7D. 5，12，14
3.下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. (−3)2=±3C. 18÷ 2=3D. 2 2− 2=2
4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. ∠A=∠C，∠B=∠DB. AB//CD，AB=CD
C. AB//CD，AD//BCD. AB=CD，AD//BC
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，DC= 3，则AD的长为( )
A. 1.5B. 2C. 3D. 4
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(2,3)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于( )
A. 3和4之间
B. 4和5之间
C. 5和6之间
D. 6和7之间
7.如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG//AD交CD于点G，过点F作FH//AB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为( )
A. 6.5B. 6C. 5.5D. 5
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出( )
A. △BOC的周长B. △ADH的周长
C. △ABC的周长D. 四边形APFH的周长
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是______．
11.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为______．
12.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为______．
13.菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD=4，则菱形ABCD的面积是______．
14.如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF=50°，则∠C的度数是______．
15.下列命题中，其逆命题成立的是______.(填相应的序号)
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②平行四边形对角线互相平分．
③如果a=b，那么|a|=|b|．
④线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
16.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=4，∠BAD=60°，则EF的最小值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)2−1+ 8−(π+ 2)0；
(2)( 27−6 13)÷ 3× 22．
18.(本小题4分)
计算：(x 2x−3 8x3)÷8 x4．
19.(本小题4分)
下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形ABCD．
求作：平行四边形AGHD，使∠GAD=30°．
作法：如图，
①分别以A，B为圆心，以大于12AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；
④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．
则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空；
(1)∠BAG的大小为______；
(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是______．
20.(本小题5分)
如图，将平行四边形ABCD的对角线向AC两个方向延长，分别至点E和点F，且使得AE=CF，求证：四边形EBFD为平行四边形．
21.(本小题5分)
如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF=5，BF=12，AB=13，BC=19，求DF的长度．
22.(本小题5分)
如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA=∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE．
(1)求证：四边形ACBE是矩形；
(2)连接OD，若AB=4，∠ACD=60°，求OD的长．
23.(本小题5分)
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O.按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
(1)在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
(2)在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等；
(3)在图3中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等．
24.(本小题5分)
阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
7− 6=( 7− 6)( 7+ 6) 7+ 6=1 7+ 6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较 7− 6和 6− 5的大小可以先将它们分子有理化如下：
7− 6=1 7+ 6， 6− 5=1 6+ 5，
因为 7+ 6> 6+ 5所以 7− 6< 6− 5．
再例如：求y= x+2− x−2的最大值.做法如下：解：由x+2≥0，x−2≥0可知x≥2，而y= x+2− x−2=4 x+2+ x−2，当x=2时，分母 x+2+ x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知，______=1 3+ 2；
(2)比较3 2−4和2 3− 10的大小；
(3)式子y= 1−x+ 1+x− x的最小值是______．
25.(本小题5分)
如图，正方形ABCD中，点P是边CD上的一点(不与点C、D重合)，连接BP，∠PBC=α，O为BP的中点，过点P作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
(1)依题意补全图形；
(2)求∠POE的大小(用含a的式子表示)；
(3)用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．
图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．
已知点A的坐标为(1,4)，点B的坐标为(b,0)．
(1)如果b=3，那么R(−1,0)，S(5,4)，T(6,4)中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是______．
(2)如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标．
(3)如图2，在矩形OEFG中，F(3,2)，点M的坐标为(m,3)，如果在矩形OEFG上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A． 20=2 5，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 2是最简二次根式，故本选项符合题意；
C. 12=12 2，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 0.2= 15，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵12+22=5，( 5)2=5，
∴12+22=( 5)2，
∴能构成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵62+82=100，92=81，
∴62+82≠92，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+22=5，( 7)2=7，
∴12+22≠( 7)2，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+122=169，142=196，
∴52+122≠142，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 3+ 2无法计算，故此选项不合题意；
B、 (−3)2=3，故此选项不合题意；
C、 18÷ 2= 9=3，故此选项符合题意；
D、2 2− 2= 2，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用二次根式的性质结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形．
B、∵AB//CD，AB=CD，
∴∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形．
C、∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C可以判断四边形ABCD是平行四边形．
D、∵AB=CD，AD//BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故D不可以判断四边形ABCD是平行四边形．
故选D．
根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
本题考查平行四边形的判断、解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．属于中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°−60°=30°，
∵DC= 3，
∴cs30°=DCBD= 32，
∴BD=2，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°−15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=75°−60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=2．
故选：B．
根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据正弦值求BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵点A坐标为(2,3)，
∴OA= 22+32= 13，
∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA=OB= 13，
∵3< 13<4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标介于3和4之间．
故选：A．
先根据勾股定理求出OA的长，由于OB=OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OA的长是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD//BC，AB//CD，
∵EG//AD，FH//AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，
∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，
∴BC−BH=CD−DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE−4(8−AE)=12，
解得：AE=5.5，
故选C
根据菱形的性质得出AD//BC，AB//CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形．
8.【答案】B
【解析】解：过点P作PG⊥AH于G，连接PO，
∵PF⊥BD，AH⊥BD，
∴四边形PFHG为矩形，
∴FH=PG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAH+∠HAD=∠HAD+∠ADO=90°，
∴∠BAH=∠ADO，
同理∠BAH=∠APG，
∴∠APG=∠EAP，
∵AP=PA，∠AEP=∠AGP=90°，
∴△APE≌△PAG(AAS)，
∴AE=PG，
∴AE=HF，
又∵S△APO+S△PDO=S△AOD，
∴12AO⋅PE+12OD⋅PF=12OD⋅AH，
∴PE+PF=AH，
∴△APE与△DPF的周长和=AP+PE+AE+PD+PF+DF
=AD+AH+PG+DF
=AD+AH+HF+DF
=AD+AH+HD
∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长．
故选：B．
过点P作PG⊥AH于G，连接PO，证出四边形PFHG为矩形，得出FH=PG，证明△APE≌△PAG(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=PG，证明PE+PF=AH，则可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵式子 x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
10.【答案】80°
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=∠C=100°，
∴∠B的度数是80°．
故答案为：80°．
根据平行四边形对角相等，邻角互补，进而得出∠B的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质，得出∠A=∠C是解题关键．
11.【答案】20m
【解析】解：∵D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=10m，
∴AB=20m，
故答案为：20m．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，
∴AC=2OB=10，
∴CD=AB= AC2−BC2= 102−82=6，
∵M是AD的中点，
∴OM=12CD=3．
故答案为：3．
首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，进而求得答案．
此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．
13.【答案】8 3
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4，
过D作DH⊥AB于H，
∵∠A=60°，AD=4，
∴AH=12AD=2，
∴DH= AD2−AH2= 42−22=2 3，
∴菱形ABCD的面积=AB⋅DH=4×2 3=8 3，
故答案为：8 3．
根据菱形的性质，勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】100°
【解析】解：∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∵∠DAF=50°，
∴∠ADF=90°−50°=40°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADF=80°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠C+∠ADC=180°，
∴∠C=100°
故答案为100°
根据直角三角形两锐角互余，平行四边形的性质即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】①②④
【解析】解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的两组对边分别平行，逆命题是真命题．
②平行四边形对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，逆命题是真命题．
③如果a=b，那么|a|=|b|的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b，逆命题是假命题．
④线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，逆命题是真命题；
故答案为：①②④．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
16.【答案】 3
【解析】【分析】
连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠CAB=12∠DAB=30°，根据矩形的判定定理得到四边形OEPF是矩形，求得EF=OP，当OP⊥AB时，OP最小，根据含30°角的直角三角形的性质得到结果．
本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
【解答】
解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CAB=12∠DAB=30°，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∵AB=4，
∴OB=12AB=2，OA= 32AB=2 3，
∴OP=12OA= 3，
∴EF的最小值为 3，
故答案为： 3．
17.【答案】解：(1)2−1+ 8−(π+ 2)0
=12+2 2−1
=2 2−12；
(2)( 27−6 13)÷ 3× 22
=(3 3−2 3)÷ 3× 22
= 3÷ 3× 22
=1× 22
= 22．
【解析】(1)先根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则分别计算出各数，再算加减即可；
(2)先算括号里面的，再算乘除即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(x 2x−3 8x3)÷8 x4
=(x 2x−6 2x3)÷4 x
=x4× 2xx−64× 2x3x
= 2x4−3 2x2
=−5 2x4．
【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19.【答案】60° 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】解：(1)设直线EF交AB于点O，
由作图可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，AB=AG，
∴OG⊥AB，OA=12AB=12AG，
∴∠AGO=30°，
∴∠BAG=60°．
故答案为：60°．
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，∠BAD=90°．
∵直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴EF⊥AB，
∴EF//AD，
由作图可知，GH=AD，
∴四边形AGHD是平行四边形．
∴判定四边形AGHD是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(1)设直线EF交AB于点O，由作图可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，AB=AG，则OG⊥AB，OA=12AB=12AG，即可得∠AGO=30°，则∠BAG=60°．
(2)结合矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及平行四边形的判定可得答案．
本题考查作图—复杂作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
20.【答案】证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD(平行四边形的对角线互相平分)．
又∵AE=CF，
∴AO+AE=CF+OC，
即EO=FO，
又BO=DO，
∴四边形EBFD为平行四边形．
【解析】连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出OE=OF是解题的关键．
21.【答案】解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=12×19=192，
在△ABF中，
∵AF2+BF2=52+122=169=132，AB2=132，
∴AF2+BF2=AB2，
∴∠AFB=90°，
∴EF=12AB=12×13=132，
∴DF=DE−EF=192−132=3．
【解析】由三角形中位线定理求出DE，由勾股定理逆定理证得△ABF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线定理求出EF，即可求出DF的长度．
本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，勾股定理逆定理，灵活运用这三个定理是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AC⊥AD，
∴∠EAC=∠DAC=90°，
∵∠ECA=∠ACD，
∴∠AEC=∠ADC，
∴CE=CD，
∴AE=AD=BC，
∵AE//BC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠EAC=90°，
∴四边形ACBE是矩形；
(2)解：如图，过点O作OF⊥DE于F，
由(1)知：四边形ACBE是矩形，
∴对角线AB和CE相等且互相平分，AO=12AB=2，
∴OA=OC，
∵∠ACD=∠ACO=60°，
∴△AOC是等边三边形，
∴∠OAC=60°，
∵∠EAC=90°，
∴∠FAO=90°−60°=30°，
Rt△AFO中，OF=12AO=1，AF= 3，
Rt△AEB中，AE= 42−22=2 3，
∴DF=AF+AD= 3+2 3=3 3，
∴OD= DF2+OF2= 12+(3 3)2=2 7．
【解析】(1)根据有一个角的直角的平行四边形是矩形可得结论；
(2)先证明△AOC是等边三角形，可得∠OAC=60°，再证明∠EAO=30°，由含30°角的性质可得OF，AF的长，最后由勾股定理可计算OD的长．
本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)如图1，矩形ABCD即为所求；
(2)如图2，平行四边形ABCSD即为所求；
(3)如图3，正方形ABCD即为所求．
【解析】(1)根据矩形的性质即可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质即可得到结论；
(3)根据正方形的性质即可得到结论．
本题考查了作图−应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
24.【答案】 3− 2 2−1
【解析】解：(1) 3− 2=1 3+ 2，
故答案为： 3− 2；
(2)3 2−4
=(3 2−4)(3 2+4)3 2+4
=23 2+4，
2 3− 10
=(2 3− 10)(2 3+ 10)2 3+ 10
=22 3+ 10，
∵3 2= 18，2 3= 12，
∴3 2+4>2 3+ 10，
∴23 2+4<22 3+ 10，
∴3 2−4<2 3− 10；
(3)由题意得：1−x≥0，1+x≥0，x≥0，
解得：0≤x≤1，
y= 1−x+ 1+x− x
= 1−x+( 1+x− x)( 1+x+ x) 1+x+ x
= 1−x+1 1+x+ x，
当x=1时， 1+x+ x有最大值，则1 1+x+ x有最小值，且最小值=1 2+1= 2−1，此时 1−x有最小值为0，
∴y的最小值=0+ 2−1= 2−1，
故答案为： 2−1．
(1)根据材料，从数字找规律即可解答；
(2)利用材料中分子有理化例题的解题思路进行计算，即可解答；
(3)先根据题意得：1−x≥0，1+x≥0，x≥0，从而可得：0≤x≤1，然后根据利用材料中求最大值例题的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，平方差公式，二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25.【答案】(1)解：补全图形如图所示，
(2)解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBD=90°，
∵∠PBC=α，
∴∠PBD=∠CBD−∠PBC=45°−α，
∵PE⊥BD，O为BP的中点，
∴∠PEB=90°，OP=OB=12PB，
在Rt△PBE中，OE=12PB，
∴OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB=45°−α，
∴∠POE=∠OBE+∠OEB=90°−2α；
(3)PB= 2AE，证明如下：
连接CE、OC，如图，
∵四边ABCD为矩形，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBE，∠BCD=90°，
在△ABE和△CBE中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，
∵O为BP的中点，
∴OC=12PB=OB=OP，
∴∠OBC=∠OCB=α，
∴∠COP=∠OBC+∠OCB=2α，
由(2)知，∠POE=90°−2α，OE=12PB，
∴∠COE=∠COP+∠POE=90°，OE=OC，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴CE= 2OC= 22PB，
∴PB= 2CE= 2AE，即PB= 2AE．
【解析】(1)根据题干的描述补全图形即可；
(2)根据正方形的性质可得∠CBD=90°，则∠PBD=∠CBD−∠PBC=45°−α，根据直角三角形中线性质得OE=OB=12PB，于是∠OBE=∠OEB=45°−α，再利用三角形外角性质可得∠POE=∠OBE+∠OEB，代入计算即可求解；
(3)连接CE、OC，易证通过SAS证明△ABE≌△CBE，得到AE=CE，根据直角三角形中线性质得OC=OB=12PB，于是∠OBC=∠OCB=α，由三角形外角性质可得∠COP=2α，进而求得∠COE=90°，因此△COE为等腰直角三角形，CE= 2OC= 22PB，据此即可求解．
本题主要考查正方形的性质、直角三角形的中线性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形解决问题．
26.【答案】S
【解析】解：(1)如图1中，观察图象可知S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．
故答案为：S．
(2)如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．
∵点A，B的“相关菱形”为正方形，
∴△ABH为等腰直角三角形．
∵A(1,4)，
∴BH=AH=4．
∴b=−3或5．
∴B点的坐标为(−3,0)或(5,0)．
(3)如图所示：当点N与点E重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴△NMG为等腰直角三角形，
∴EG=GM=3，
∴M(6,3)．
如图所示：当点N与点O重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴△NMG为等腰直角三角形，
∴OG=GM=3，
∴M(−3,3)．
∴m的取值范围是：−3≤m≤6．
(1)观察图象可知：S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点；
(2)如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．根据正方形的性质可知BH=4，由此可求得点B的坐标；
(3)过点M作MG⊥x轴，垂足为G，可得到△MGN为等腰直角三角形，然后分为点N与点E重合、点N与点O两种情况求得m的最大值和最小值，从而可确定出m的范围．
本题考查一次函数的性质、菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“相关菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 20B. 2C. 12D. 0.2
2.下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是( )
A. 1,2, 5B. 6，8，9C. 1,2, 7D. 5，12，14
3.下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. (−3)2=±3C. 18÷ 2=3D. 2 2− 2=2
4.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. ∠A=∠C，∠B=∠DB. AB//CD，AB=CD
C. AB//CD，AD//BCD. AB=CD，AD//BC
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，DC= 3，则AD的长为( )
A. 1.5B. 2C. 3D. 4
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(2,3)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于( )
A. 3和4之间
B. 4和5之间
C. 5和6之间
D. 6和7之间
7.如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG//AD交CD于点G，过点F作FH//AB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为( )
A. 6.5B. 6C. 5.5D. 5
8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出( )
A. △BOC的周长B. △ADH的周长
C. △ABC的周长D. 四边形APFH的周长
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是______．
11.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为______．
12.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为______．
13.菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD=4，则菱形ABCD的面积是______．
14.如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF=50°，则∠C的度数是______．
15.下列命题中，其逆命题成立的是______.(填相应的序号)
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②平行四边形对角线互相平分．
③如果a=b，那么|a|=|b|．
④线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
16.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=4，∠BAD=60°，则EF的最小值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)2−1+ 8−(π+ 2)0；
(2)( 27−6 13)÷ 3× 22．
18.(本小题4分)
计算：(x 2x−3 8x3)÷8 x4．
19.(本小题4分)
下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形ABCD．
求作：平行四边形AGHD，使∠GAD=30°．
作法：如图，
①分别以A，B为圆心，以大于12AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；
④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．
则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空；
(1)∠BAG的大小为______；
(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是______．
20.(本小题5分)
如图，将平行四边形ABCD的对角线向AC两个方向延长，分别至点E和点F，且使得AE=CF，求证：四边形EBFD为平行四边形．
21.(本小题5分)
如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF=5，BF=12，AB=13，BC=19，求DF的长度．
22.(本小题5分)
如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA=∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE．
(1)求证：四边形ACBE是矩形；
(2)连接OD，若AB=4，∠ACD=60°，求OD的长．
23.(本小题5分)
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O.按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：
(1)在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；
(2)在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等；
(3)在图3中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等．
24.(本小题5分)
阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
7− 6=( 7− 6)( 7+ 6) 7+ 6=1 7+ 6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较 7− 6和 6− 5的大小可以先将它们分子有理化如下：
7− 6=1 7+ 6， 6− 5=1 6+ 5，
因为 7+ 6> 6+ 5所以 7− 6< 6− 5．
再例如：求y= x+2− x−2的最大值.做法如下：解：由x+2≥0，x−2≥0可知x≥2，而y= x+2− x−2=4 x+2+ x−2，当x=2时，分母 x+2+ x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知，______=1 3+ 2；
(2)比较3 2−4和2 3− 10的大小；
(3)式子y= 1−x+ 1+x− x的最小值是______．
25.(本小题5分)
如图，正方形ABCD中，点P是边CD上的一点(不与点C、D重合)，连接BP，∠PBC=α，O为BP的中点，过点P作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
(1)依题意补全图形；
(2)求∠POE的大小(用含a的式子表示)；
(3)用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．
图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．
已知点A的坐标为(1,4)，点B的坐标为(b,0)．
(1)如果b=3，那么R(−1,0)，S(5,4)，T(6,4)中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是______．
(2)如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标．
(3)如图2，在矩形OEFG中，F(3,2)，点M的坐标为(m,3)，如果在矩形OEFG上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A． 20=2 5，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 2是最简二次根式，故本选项符合题意；
C. 12=12 2，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 0.2= 15，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵12+22=5，( 5)2=5，
∴12+22=( 5)2，
∴能构成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵62+82=100，92=81，
∴62+82≠92，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+22=5，( 7)2=7，
∴12+22≠( 7)2，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+122=169，142=196，
∴52+122≠142，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 3+ 2无法计算，故此选项不合题意；
B、 (−3)2=3，故此选项不合题意；
C、 18÷ 2= 9=3，故此选项符合题意；
D、2 2− 2= 2，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用二次根式的性质结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形．
B、∵AB//CD，AB=CD，
∴∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形．
C、∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C可以判断四边形ABCD是平行四边形．
D、∵AB=CD，AD//BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故D不可以判断四边形ABCD是平行四边形．
故选D．
根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
本题考查平行四边形的判断、解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．属于中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°−60°=30°，
∵DC= 3，
∴cs30°=DCBD= 32，
∴BD=2，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°−15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=75°−60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=2．
故选：B．
根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据正弦值求BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵点A坐标为(2,3)，
∴OA= 22+32= 13，
∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA=OB= 13，
∵3< 13<4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标介于3和4之间．
故选：A．
先根据勾股定理求出OA的长，由于OB=OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OA的长是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD//BC，AB//CD，
∵EG//AD，FH//AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，
∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，
∴BC−BH=CD−DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE−4(8−AE)=12，
解得：AE=5.5，
故选C
根据菱形的性质得出AD//BC，AB//CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形．
8.【答案】B
【解析】解：过点P作PG⊥AH于G，连接PO，
∵PF⊥BD，AH⊥BD，
∴四边形PFHG为矩形，
∴FH=PG，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAH+∠HAD=∠HAD+∠ADO=90°，
∴∠BAH=∠ADO，
同理∠BAH=∠APG，
∴∠APG=∠EAP，
∵AP=PA，∠AEP=∠AGP=90°，
∴△APE≌△PAG(AAS)，
∴AE=PG，
∴AE=HF，
又∵S△APO+S△PDO=S△AOD，
∴12AO⋅PE+12OD⋅PF=12OD⋅AH，
∴PE+PF=AH，
∴△APE与△DPF的周长和=AP+PE+AE+PD+PF+DF
=AD+AH+PG+DF
=AD+AH+HF+DF
=AD+AH+HD
∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长．
故选：B．
过点P作PG⊥AH于G，连接PO，证出四边形PFHG为矩形，得出FH=PG，证明△APE≌△PAG(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=PG，证明PE+PF=AH，则可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵式子 x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
10.【答案】80°
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=∠C=100°，
∴∠B的度数是80°．
故答案为：80°．
根据平行四边形对角相等，邻角互补，进而得出∠B的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质，得出∠A=∠C是解题关键．
11.【答案】20m
【解析】解：∵D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=10m，
∴AB=20m，
故答案为：20m．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，
∴AC=2OB=10，
∴CD=AB= AC2−BC2= 102−82=6，
∵M是AD的中点，
∴OM=12CD=3．
故答案为：3．
首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，进而求得答案．
此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．
13.【答案】8 3
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4，
过D作DH⊥AB于H，
∵∠A=60°，AD=4，
∴AH=12AD=2，
∴DH= AD2−AH2= 42−22=2 3，
∴菱形ABCD的面积=AB⋅DH=4×2 3=8 3，
故答案为：8 3．
根据菱形的性质，勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】100°
【解析】解：∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∵∠DAF=50°，
∴∠ADF=90°−50°=40°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADF=80°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠C+∠ADC=180°，
∴∠C=100°
故答案为100°
根据直角三角形两锐角互余，平行四边形的性质即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】①②④
【解析】解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的两组对边分别平行，逆命题是真命题．
②平行四边形对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，逆命题是真命题．
③如果a=b，那么|a|=|b|的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b，逆命题是假命题．
④线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，逆命题是真命题；
故答案为：①②④．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
16.【答案】 3
【解析】【分析】
连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠CAB=12∠DAB=30°，根据矩形的判定定理得到四边形OEPF是矩形，求得EF=OP，当OP⊥AB时，OP最小，根据含30°角的直角三角形的性质得到结果．
本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
【解答】
解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CAB=12∠DAB=30°，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∵AB=4，
∴OB=12AB=2，OA= 32AB=2 3，
∴OP=12OA= 3，
∴EF的最小值为 3，
故答案为： 3．
17.【答案】解：(1)2−1+ 8−(π+ 2)0
=12+2 2−1
=2 2−12；
(2)( 27−6 13)÷ 3× 22
=(3 3−2 3)÷ 3× 22
= 3÷ 3× 22
=1× 22
= 22．
【解析】(1)先根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则分别计算出各数，再算加减即可；
(2)先算括号里面的，再算乘除即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(x 2x−3 8x3)÷8 x4
=(x 2x−6 2x3)÷4 x
=x4× 2xx−64× 2x3x
= 2x4−3 2x2
=−5 2x4．
【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19.【答案】60° 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】解：(1)设直线EF交AB于点O，
由作图可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，AB=AG，
∴OG⊥AB，OA=12AB=12AG，
∴∠AGO=30°，
∴∠BAG=60°．
故答案为：60°．
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，∠BAD=90°．
∵直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴EF⊥AB，
∴EF//AD，
由作图可知，GH=AD，
∴四边形AGHD是平行四边形．
∴判定四边形AGHD是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(1)设直线EF交AB于点O，由作图可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，AB=AG，则OG⊥AB，OA=12AB=12AG，即可得∠AGO=30°，则∠BAG=60°．
(2)结合矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及平行四边形的判定可得答案．
本题考查作图—复杂作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
20.【答案】证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD(平行四边形的对角线互相平分)．
又∵AE=CF，
∴AO+AE=CF+OC，
即EO=FO，
又BO=DO，
∴四边形EBFD为平行四边形．
【解析】连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出OE=OF是解题的关键．
21.【答案】解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=12×19=192，
在△ABF中，
∵AF2+BF2=52+122=169=132，AB2=132，
∴AF2+BF2=AB2，
∴∠AFB=90°，
∴EF=12AB=12×13=132，
∴DF=DE−EF=192−132=3．
【解析】由三角形中位线定理求出DE，由勾股定理逆定理证得△ABF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线定理求出EF，即可求出DF的长度．
本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，勾股定理逆定理，灵活运用这三个定理是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AC⊥AD，
∴∠EAC=∠DAC=90°，
∵∠ECA=∠ACD，
∴∠AEC=∠ADC，
∴CE=CD，
∴AE=AD=BC，
∵AE//BC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠EAC=90°，
∴四边形ACBE是矩形；
(2)解：如图，过点O作OF⊥DE于F，
由(1)知：四边形ACBE是矩形，
∴对角线AB和CE相等且互相平分，AO=12AB=2，
∴OA=OC，
∵∠ACD=∠ACO=60°，
∴△AOC是等边三边形，
∴∠OAC=60°，
∵∠EAC=90°，
∴∠FAO=90°−60°=30°，
Rt△AFO中，OF=12AO=1，AF= 3，
Rt△AEB中，AE= 42−22=2 3，
∴DF=AF+AD= 3+2 3=3 3，
∴OD= DF2+OF2= 12+(3 3)2=2 7．
【解析】(1)根据有一个角的直角的平行四边形是矩形可得结论；
(2)先证明△AOC是等边三角形，可得∠OAC=60°，再证明∠EAO=30°，由含30°角的性质可得OF，AF的长，最后由勾股定理可计算OD的长．
本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)如图1，矩形ABCD即为所求；
(2)如图2，平行四边形ABCSD即为所求；
(3)如图3，正方形ABCD即为所求．
【解析】(1)根据矩形的性质即可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质即可得到结论；
(3)根据正方形的性质即可得到结论．
本题考查了作图−应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
24.【答案】 3− 2 2−1
【解析】解：(1) 3− 2=1 3+ 2，
故答案为： 3− 2；
(2)3 2−4
=(3 2−4)(3 2+4)3 2+4
=23 2+4，
2 3− 10
=(2 3− 10)(2 3+ 10)2 3+ 10
=22 3+ 10，
∵3 2= 18，2 3= 12，
∴3 2+4>2 3+ 10，
∴23 2+4<22 3+ 10，
∴3 2−4<2 3− 10；
(3)由题意得：1−x≥0，1+x≥0，x≥0，
解得：0≤x≤1，
y= 1−x+ 1+x− x
= 1−x+( 1+x− x)( 1+x+ x) 1+x+ x
= 1−x+1 1+x+ x，
当x=1时， 1+x+ x有最大值，则1 1+x+ x有最小值，且最小值=1 2+1= 2−1，此时 1−x有最小值为0，
∴y的最小值=0+ 2−1= 2−1，
故答案为： 2−1．
(1)根据材料，从数字找规律即可解答；
(2)利用材料中分子有理化例题的解题思路进行计算，即可解答；
(3)先根据题意得：1−x≥0，1+x≥0，x≥0，从而可得：0≤x≤1，然后根据利用材料中求最大值例题的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，平方差公式，二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25.【答案】(1)解：补全图形如图所示，
(2)解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBD=90°，
∵∠PBC=α，
∴∠PBD=∠CBD−∠PBC=45°−α，
∵PE⊥BD，O为BP的中点，
∴∠PEB=90°，OP=OB=12PB，
在Rt△PBE中，OE=12PB，
∴OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB=45°−α，
∴∠POE=∠OBE+∠OEB=90°−2α；
(3)PB= 2AE，证明如下：
连接CE、OC，如图，
∵四边ABCD为矩形，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBE，∠BCD=90°，
在△ABE和△CBE中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，
∵O为BP的中点，
∴OC=12PB=OB=OP，
∴∠OBC=∠OCB=α，
∴∠COP=∠OBC+∠OCB=2α，
由(2)知，∠POE=90°−2α，OE=12PB，
∴∠COE=∠COP+∠POE=90°，OE=OC，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴CE= 2OC= 22PB，
∴PB= 2CE= 2AE，即PB= 2AE．
【解析】(1)根据题干的描述补全图形即可；
(2)根据正方形的性质可得∠CBD=90°，则∠PBD=∠CBD−∠PBC=45°−α，根据直角三角形中线性质得OE=OB=12PB，于是∠OBE=∠OEB=45°−α，再利用三角形外角性质可得∠POE=∠OBE+∠OEB，代入计算即可求解；
(3)连接CE、OC，易证通过SAS证明△ABE≌△CBE，得到AE=CE，根据直角三角形中线性质得OC=OB=12PB，于是∠OBC=∠OCB=α，由三角形外角性质可得∠COP=2α，进而求得∠COE=90°，因此△COE为等腰直角三角形，CE= 2OC= 22PB，据此即可求解．
本题主要考查正方形的性质、直角三角形的中线性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形解决问题．
26.【答案】S
【解析】解：(1)如图1中，观察图象可知S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．
故答案为：S．
(2)如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．
∵点A，B的“相关菱形”为正方形，
∴△ABH为等腰直角三角形．
∵A(1,4)，
∴BH=AH=4．
∴b=−3或5．
∴B点的坐标为(−3,0)或(5,0)．
(3)如图所示：当点N与点E重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴△NMG为等腰直角三角形，
∴EG=GM=3，
∴M(6,3)．
如图所示：当点N与点O重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴△NMG为等腰直角三角形，
∴OG=GM=3，
∴M(−3,3)．
∴m的取值范围是：−3≤m≤6．
(1)观察图象可知：S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点；
(2)如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．根据正方形的性质可知BH=4，由此可求得点B的坐标；
(3)过点M作MG⊥x轴，垂足为G，可得到△MGN为等腰直角三角形，然后分为点N与点E重合、点N与点O两种情况求得m的最大值和最小值，从而可确定出m的范围．
本题考查一次函数的性质、菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“相关菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
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