北京市陈经纶中学嘉铭分校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份北京市陈经纶中学嘉铭分校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有高度的艺术价值．下列窗棂的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】把a=1，b=-1，c=3代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】∵a=1，b=-1，c=3，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，
所以方程没有实数根．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
3. 如果点，在二次函数的图象上，那么下列结论正确的是（ ）更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得抛物线的对称轴是，利用二次函数的性质，点在对称轴的左侧，随着的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：抛物线的对称轴是，
又，即抛物线的开口向下，
又，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
4. 将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”可得平移后的解析式，即可得答案．
【详解】解：∵将抛物线向左平移1个单位，
∴平移后得到的抛物线解析式为，
∴平移后抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像的平移及二次函数的性质，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题关键．
5. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示，下面有四个推断：
①二次函数有最大值
②当时，二次函数的图象随的增大而增大
③当时，二次函数的值大于0
④过动点且垂直于轴的直线与，的图象的交点分别为，，当点位于点上方时，的取值范围是或．其中正确的是（ ）

A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，判断①②③，图象法判断④．
【详解】解：由图可知，抛物线的开口向上，二次函数有最小值，故①错误；
对称轴为直线，当时，二次函数的图象随的增大而增大，故②正确；
当时，二次函数的值小于0，故③错误；
抛物线，和直线的图象的交点的横坐标为，点在轴上，当点位于点上方时，即抛物线在直线的上方，
∴的取值范围是或；故④正确；
综上：正确的是②④；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，图象法求自变量的取值范围．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
6. 某种型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185降到580元，设平均每次降价的百分率为，列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列出第一次降价后售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价后售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
【详解】解：依题意得：第一次降价后售价为：，
则第二次降价后的售价为：，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于掌握用一元二次方程解决增长率问题常用的等量关系，其中为原来的基础，为变化后的量，为增长率，为连续增长的次数．
7. 二次函数的图象如图所示，下列说法正确的个数有（ ）
① ②
③ ④方程有两个不相等实数根．

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】特殊点判断①；抛物线的开口方向，对称轴，判断②和③；图象法判断④．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口方向向上，
∴，
图象与轴的两个交点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∴；故②错误，故③正确；
当时，，故①错误；
如图，与直线有两个交点，

∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的是③④，共2个；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．
8. 如图，正方形中，，点、同时从点出发，以的速度分别沿、运动，到点时停止运动设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，分当时，点F在上，点E在上，根据求出S与t之间的函数关系式；当时，点F在上，点E在上，此时，则，据此可得答案．
【详解】解：当时，点F在上，点E在上，此时，
∴，
∴
；
当时，点F在上，点E在上，此时，
∴，
∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意，
故选D．
二、填空题
9. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答即可．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
10. 方程是一元二次方程，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的次数为2的整式方程，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．
11. 二次函数的图象经过点．其解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式．熟练掌握二次函数图象上的点的特征，是解题的关键．
12. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是________．
【答案】##80度
【解析】
【分析】本题考查三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质．根据将绕着点C顺时针方向旋转后得到，得，，即得，从而．
【详解】解：∵将绕着点C顺时针方向旋转后得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是利用抛物线上对称的两点求解对称轴，熟记抛物线的对称轴公式是解本题的关键，本题利用抛物线的对称轴建立方程求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴交于两点，分别是，，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
故答案为：2
14. 兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为_____元/平方米．
【答案】2080
【解析】
分析】从图象中找出顶点坐标、对称轴，利用对称性即可解答．
【详解】解：由图象可知（4，2200）是抛物线的顶点，
∵x=4对称轴，
∴点（2，2080）关于直线x=4的对称点是（6，2080）．
∴6楼房子的价格为2080元．
故答案为：2080
【点睛】本题考查二次函数顶点坐标、对称轴的应用．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：_____．
【答案】向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．
【解析】
【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．
【详解】解：△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，
所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．
故答案为向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．
16. 如图，抛物线：经过平移得到抛物线：，抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是______ ．
【答案】4
【解析】
【详解】因为=，所以阴影部分的面积是边长为2的正方形的面积，即2²=4，故答案为4.
三、解答题
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】首先把一元二次方程化成一般形式，然后找出一元二次方程的a、b、c．然后根据公式法求出方程的解．
【详解】
整理得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程的知识点，解答本题的关键是熟练掌握用公式法解方程的方法，此题难度不大．
18. 已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的根，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
19. 用配方法将化为的形式并求出其与轴的交点坐标．
【答案】，
【解析】
【分析】配方法将一般式转化为顶点式，令，求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标．
【详解】解：；
当时，，解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
【点睛】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，求抛物线与轴的交点坐标．熟练掌握配方法将一般式转化为顶点式，是解题的关键．
20. 方程的两个根是、，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：∵的两个根是、，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查根与系数的关系，对于一元二次方程的两个实数根，则有．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到．
（1）画出；
（2）点的坐标为________，点的坐标为________．
【答案】（1）见解析；
（2）、．
【解析】
【分析】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形的变化—旋转变换．利用数形结合的思想是解题关键．
（1）根据旋转的性质，找到的顶点A和顶点B的对应点和，再顺次连接、、O三点即可；
（2）由（1）即可直接写出坐标．
【小问1详解】
解：如图，即为所作；
【小问2详解】
由（1）图可知、．
22. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，

∴，，
∵点可以恰好落在的中点处，
∴点是的中点，
∵，
∴，
∴，
即是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
23. 已知关于x的一元二次方程m－(m+2)x+2=0有两个不相等的实数根，．
(1)、求m的取值范围；
(2)、若＜0，且＞－1，求整数m的值．
【答案】(1)、m≠0且m≠2；(2)、m=－1.
【解析】
【详解】试题分析：(1)、根据一元二次方程的定义首先得出m≠0，根据根的判别式得出m≠2，最后综合得出m的取值；(2)、首先根据求根公式求出方程的解，然后根据题意进行计算.
试题解析：（1）由已知，得m≠0且△=－4×2m=－4m+4=＞0
∴m≠0,且m≠2.
(2)、原方程的解为x=． ∴x=1或x=
∵＜0，∴=1，=．∴m＜0． ∵＞－1，∴＞－1．∴m＞－2．
又∵m≠0,且m≠2，∴－2＜m＜0 ∵m是整数， ∴m=－1．
考点：(1)、一元二次方程根的判别式；(2)、不等式的应用.
24. 如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．
（1）求的值；
（2）点的坐标为______；
（3）该二次函数图象上有一点，使，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值；
（2）令，可求出B的坐标；
（3）要求出点C的坐标，因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可．
【小问1详解】
把代入二次函数得：
，
；
【小问2详解】
由（1）可知，二次函数的解析式为：；
当时，，
，
∴或3，
∴．
故答案为：；
【小问3详解】
当时，，
∴，
∵，
当时，，
∴或2，
∴只有符合题意．
当时，，
∴或，
∴点D的坐标为或
综上所述，点D坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
25. 小哲的姑妈经营一家花店.随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：

（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利________元；
（2）这种植物单株售价与月份的函数关系式为________.
（3）求请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利单株售价单株成本）
【答案】（1）
（2）
（3）5月销售这种多肉植物，单株获利最大
【解析】
【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为（元），即可求解；
（2）待定系数法求解析式即可求解；
（3）待定系数法求得抛物线的表达式为：，根据单株获利单株售价单株成本得到新的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
从左图看，月份售价为元，从右图看，月份的成本为元，
则每株获利为（元），
【小问2详解】
设直线的表达式为：，
把点、代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为：；
故答案为：．
【小问3详解】
顶点为，设抛物线的表达式为：
将点代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
设利润为，则
∵
∴当时，取得最大值，
∴5月销售这种多肉植物，单株获利最大．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：和直线l：．
（1）抛物线C的顶点D的坐标为_____；
（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；
（3）记函数的图象为G，点，过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点．当时，若存在t使得成立，结合图象，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）点D在直线l上，理由见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，根据顶点式即可写出顶点D的坐标；
（2）将点D的坐标代入直线的解析式进行判断即可；
（3）根据抛物线的作法作出图形，再根据判断出点P、Q关于直线对称，根据抛物线的对称轴为直线从而可判断出点Q也在抛物线上，然后求出和时的临界的交点坐标，再求出k的值，写出k的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴顶点D的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：点D在直线l上，理由如下：
当时，，
∴点D在直线l上；
【小问3详解】
解：如图，设点P在点Q的左侧，
由题意得：要使得成立，即是要求点P与点Q关于直线对称，
又∵函数，
∴函数的图象关于直线对称，
∴当时，若存在t使得成立，
即要求点Q在的图象上，
根据图象，临界位置为射线，
过与的交点处，以及射线过与的交点处，
此时，以及，
故k的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数的顶点式、一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性质等，判断出点P、Q关于直线是解题的关键，也是本题的难点所在．
27. 小明在学习时遇到这样一个问题：
如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数的“旋转函数”；
（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值；
（3）已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试证明经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【答案】（1）
（2）1 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据 “旋转函数”的定义，可得，，，可得旋转函数；
（2）根据 “旋转函数”满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得，，，根据负数偶数次幂正数，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得，，，根据待定系数法，可得函数解析式；根据 “旋转函数”满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得，，，可得旋转函数．
【小问1详解】
由函数可知．
由，得
．
函数的“旋转函数”为；
【小问2详解】
由与互为“旋转函数“，得
，．
解得．
当时，；
【小问3详解】
∵当时，解得，
∴．
当时，，即．
由点A，B，C关于原点的对称点分别是，得．
设过点的二次函数，将代入，得
，
解得，
过点的二次函数．
函数可知，，．
由，得．
的“旋转函数”为．
∴经过点的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”得出，，是解题关键．
28. 正方形中，将边所在直线绕点逆时针旋转一个角度得到直线，过点作，垂足为，连结．请根据旋转角的变化进行下列探究：
（1）当时，设交于点，
①如图①，若，则_________；
②如图②，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）当时（如图③），请直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）（2）．
【解析】
【分析】（1）①根据条件证明△ABF∽△CEF，即可得出∠BCE的度数；②过点作，交于点（见详解图），证明，根据线段的关系即可得出结论；
（2）过点B作BP⊥BE，交AM于点P，（见详解图），证明△ABP≌△CBE即可得出结论．
【详解】（1）①在和中，∠ABF=∠CEF，∠AFB=∠CFE，∴∽，∴∠BAF=∠FCE=∠，
∴∠，
②．
证明：过点作，交于点，
∴．
∵正方形，∴，，∴．
∵，，∴．
∴在和中，，，，
∴，∴，．
∵在中，，，
∴，∴．
（2）．
如图，过点B作BP⊥BE，交AM于点P，
∴∠PBE＝∠PBA＋∠ABE＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠D＝∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠ABP＝∠CBE．
∵∠D＝90°，
∴∠DAH＋∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠CHE，
∴∠DAH＋∠CHE＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴∠DCE＋∠CHE＝90°，
∴∠DAH＝∠DCE．
延长DA交BP于N，
∵∠NAP＝∠DAH，∴∠NAP＝∠DCE，
∴∠NAP＋90°＝∠DCE＋90°，
∴∠BAP＝∠BCE
在△ABP和△CBE中，
∠ABP＝∠CBE，AB＝BC，∠BAP＝∠BCE，
∴△ABP≌△CBE（ASA），
∴AP＝CE，BP＝BE．
∵在Rt△BEP中，BP＝BE，
∴PE＝BE，
∴AE＝PE﹣AP＝BE﹣CE．
即：AE＋CE＝BE．
【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等量代换角等知识点，准确作出辅助线是解题的关键．