2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，长征二号F(CZ−2F)是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，采用N204/UDMH推进剂，起飞重量约为480000千克，将480000用科学记数法表示应为( )
A. 48×105B. 4.8×105C. 48×104D. 4.8×104
2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠BOC=44°，则∠AOD的大小为( )
A. 146°
B. 144°
C. 136°
D. 134°
4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a+b>0B. b<1C. b−a<0D. −a>b
5.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个实数根，则实数m的取值范围为( )
A. m≤1B. m<1C. m≤1且m≠0D. m<1且m≠0
6.正十二边形的一个内角的度数为( )
A. 30°B. 150°C. 360°D. 1800°
7.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
8.如图△ABC中，∠ACB=90°，AC+BC=8，分别以AB、AC、BC为半径作半圆，若记图中阴影部分的面积为y，AC为x，则下列y关于x的图象中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若2x+2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
10.分解因式：x2y−y3=______．
11.写出一个大小在 3和2 3之间的整数______．
12.若反比例函数y=kx的图象经过点A(3,−4)和点B(2,n)，则n= ______．
13.如表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若EF=5，则CD= ______．
15.如图，⊙A的圆心A的坐标是(3,0)，在直角坐标系中，⊙A半径为1，P为直线y= 3x+ 3上的动点，过P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______．
16.在矩形台球桌面ABCD中，点A、B、C、D、E、F处为球袋，其大小不计，如图1，点M处的台球撞击台球桌边上的点O后经过点N，台球的运行线路满足反射角等于入射角，即∠2=∠1，如图2，AB=4，BC=6，在矩形台球桌面ABCD的内部有P、Q两点，点Q到CD、AD的距离都为1，若在图中的点P处放一台球，则该台球______(填“能”或“不能”)依次撞击BC、CD边后经过点Q.若放在点P处的球能够依次撞击BC、CD边后经过点Q，则满足条件的所有点P构成的区域面积为______．
三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(13)−1+ 27+|1− 3|−3tan30°．
18.(本小题5分)
解不等式组：5x−2<3(x+1)2x−23≥x−1．
19.(本小题5分)
已知a2+2a−3=0，求代数式1a+1−1a2−1÷a+1a2−2a+1的值．
20.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB= 5，BD=2，求BE的长．
21.(本小题5分)
初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票.一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数．
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1,2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23.(本小题5分)
新年伊始，中国电影行业迎来了开门红.春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元.以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a.两部影片上映第一周单日票房统计图

b.两部影片分时段累计票房如下
根据以上信息，回答下列问题：
(1)2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为______；
(2)对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是______；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
(3)截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日−21日三天内影片甲的累计票房应超过多少亿元？
24.(本小题6分)
根据材料提供的信息，解决下面问题．
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到(穿梭过程中人的高度变化忽略不计)．
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动.不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
图2是当喷水头在地面上时(喷水头最低)，其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM=4m，水柱最高点离地面3m．
图3是某一时刻时，水柱形状的示意图.OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．
如图4，安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．
(1)在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；
(2)若喷泉跨度OB的最小值为3m，求喷水管OA高度的最大值；
(3)在(2)的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为2116m，直接写出此时安全通道CD的宽度．
25.(本小题7分)
在平面内，给定不在同一条直线上的三点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，连接点O与AB的中点D，点E在AB的延长线上，连接OC，CE，∠CED+∠COD=180°．
(1)画出图形G，并依题意补全图形；
(2)求直线CE与图形G的公共点个数；
(3)连接OB，若OB//CE，a= 5，OD=2，求CE的长．
26.(本小题7分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)．
(1)若抛物线过点(−3,m)，(5,m)，求抛物线的对称轴；
(2)已知点(0,y0)，(x1,y1)，(−4,y2)，(2,n)在抛物线上，其中−2n，试比较y0，y1，y2的大小关系．
27.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M．
(1)求证：∠CDM=∠BFE；
(2)在MF上截取MN=DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．
①依题意补全图形，
②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，关于点P和图形G给出如下的定义：若在图形G上存在两点M，N使得∠MPN=90°，作PQ⊥MN于Q，则称Q为P关于图形G的射影点．
(1)当⊙O的半径为2时，
①在点P1(−1,1)，P2(0,−2)，P3(2,3)中，关于⊙O的射影点存在的有______；
②点P在直线y=− 3x上，若P关于⊙O的射影点Q存在且唯一，求点P的坐标；
(2)⊙T的圆心在x轴上，半径为 5，直线=x+12与x轴、y轴交于点A、B.若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙T的射影点Q满足TQ=2，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：480000=4.8×105．
故选：B．
将480000写成a×10n其中1≤|a|<10，n为整数的形式即可．
本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：∵∠AOC=∠BOD=90°，∠BOC=44°，
∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=90°−44°=46°，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=90°+46°=136°，
故选：C．
先求∠AOC与∠BOC的度数差即可得出∠AOB的度数，再求∠AOB与∠DOB的和即可．
本题考查了角的运算，理解题意，利用数形结合是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：有数轴可知，−2|b|，
∴a+b<0，b−a>0，−a>b，
故选：D．
根据题意可得−2|b|，进而得到a+b<0，b−a>0，−a>b．
本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×m=4−4m≥0，
解得：m≤1，
故选：A．
当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0．
根据根的情况列式求解即可．
此题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系是解题的关键．，
6.【答案】B
【解析】解：正十二边形的每个外角的度数是：360°12=30°，
则每一个内角的度数是：180°−30°=150°．
故选：B．
首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：列表如下：
由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：∵AC+BC=8，AC=x，
∴BC=8−x．
∴S阴影=π2×(AC2)2+π2×(BC2)2−π2×(AB2)2+S△ABC=π2×AC2+BC2−AB24+S△ABC，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴S阴影=S△ACB=12⋅x⋅(8−x)，
即y=−12x2+4x(0则该函数图象是开口向下的抛物线，且自变量的取值范围是0故选：A．
由图示知，S阴影=以AC为直径的扇形的面积+以BC为直径的扇形面积−以AB为直径的扇形面积+△ABC的面积．据此列出y与x的函数关系式，根据函数关系式选择相应的图象．
本题考查动点问题的函数图象、勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
9.【答案】x≠−2
【解析】解：∵2x+2在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
即x≠−2．
故答案为：x≠−2．
根据分式有意义的条件结合已知条件列式计算即可．
本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
10.【答案】y(x+y)(x−y)
【解析】解：x2y−y3
=y(x2−y2)
=y(x+y)(x−y)．
故答案为：y(x+y)(x−y)．
先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
11.【答案】2
【解析】解：∵1< 3<2，9<2 3= 12<4，
∴符合题意的整数有2，3．
故答案为：2(答案不唯一，也可以写3)．
先估算1< 3<2，9<2 3= 12<4，可得符合题意的整数k满足，写出一个即可．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．
12.【答案】−6
【解析】解：把A(3,−4)代入反比例函数解析式y=kx中，
得k=3×(−4)=−12，
则反比例函数解析式y=−12x，
再把B(2,n)代入反比例函数解析式y=−12x中得：
2×n=−12，
解得：n=−6．
故答案为：−6．
首先利用待定系数法把A(3,−4)代入反比例函数解析式y=kx中可得到k的值，从而计算出反比例函数解析式y=−12x，再把B(2,n)代入求出的反比例函数解析式y=−12x中即可算出n的值．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是函数图象经过的点都能满足解析式．
13.【答案】甲
【解析】解：∵从平均数看，甲、丁成绩更好，
∴从甲和丁中选择一人参加竞赛，
又∵甲的方差较小，
∴选择甲参加比赛，
故答案为：甲．
根据平均数和方差的意义分析即可．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】3
【解析】解：∵E、F分别为BC、CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=2×3=6，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=12AB=3，
故答案为：3．
根据三角形中位线定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CD．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】 11
【解析】解：如图1，连接AP、AQ，
∵PQ为切线，
∴AQ⊥PQ，
在Rt△APQ中，PQ= AP2−AQ2= AP2−1，
当AP最小时，PQ最小，
直线y= 3x+ 3与y轴交于B，与x轴交于点C，则B(0, 3)，C(−1,0)，
∴OB= 3，OC=1，
∴tan∠BCO=OBOC= 31= 3，
∴∠BCO=60°，
当AP⊥BC于P时，AP最小，如图2，
∵AC=3−(−1)=4，
∴AP=AC⋅sin60°=2 3，
∴PQ的最小值= (2 3)2−12= 11．
故答案为： 11．
如图1，连接AP、AQ，根据切线的性质得AQ⊥PQ，则利用勾股定理得到PQ= AP2−1，则当AP最小时，PQ最小，如图2，直线y= 3x+ 3与y轴交于B，与x轴交于点C，利用垂线段最短得到当AP⊥BC于P时，AP最小，利用特殊角的三角函数值，从而得到PQ的最小值．
本题主要考查切线的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握和运用特殊三角函数是解答本题的关键．
16.【答案】能 643
【解析】解：若点P处的球能够依次撞击BC、CD边后经过点Q，
则反过来，Q处的球依次撞击CD、BC边后经过点P，
过点Q作QG⊥AD，QE⊥CD，则∠QEF=∠BCD=90°，QG=QE=1，
则四边形QGDE是正方形，
∴CE=CD−DE=3，
当球从Q出发撞击CD边的点F后，反射到达点B，
此时，∠QFE=∠BFC，
∴△QFE∽△BFC，
∴QEBC=EFCF，即：QEBC=16=EFCF，
∴EF=17CE=37，CF=67CE=187，
当球从Q出发撞击CD边的点F上方时，撞击路线与CD的夹角大于∠QFE，则反射时的夹角也会大于∠BFC，则显然不会再撞击BC，故不符合题意；
当球从Q出发撞击CD边的点F下方时，撞击路线与CD的夹角小于∠QFE，则反射时的夹角也会小于∠BFC，则显然会再撞击BC，且再次反弹，
当球从Q出发撞击点C时，显然不符合题意，
连接CQ并延长交AD于H，
由此可知，当球从Q出发撞击CD、BC边，球所到达的区域为四边形ABCH，
即点P从四边形ABCH所在区域内任意位置依次撞击BC、CD边后都能经过点Q，
由正方形的性质可知QE//AD，
∴△CQE∽△CDH，
∴QEHD=CECD，即：1HD=34，
∴HD=43，则AH=AD−AH=143，
∴所有点P构成的区域面积为四边形ABCH的面积，
即：所有点P构成的区域面积=12(AH+BC)⋅AB=12×(143+6)×4=643，
故答案为：能，643．
由题意可知Q处的球依次撞击CD、BC边后经过点P，找到零界点：当球从Q出发撞击CD边的点F后，反射到达点B，然后讨论当球从Q出发撞击CD边的点F上方时，当球从Q出发撞击CD边的点F下方时，是否去撞击BC边，由此可知，当球从Q出发撞击CD、BC边，球所到达的区域为四边形ABCH，在根据相似三角形的判定及性质求解即可．
本题考查相似三角形的判定，矩形的性质，正方形的判定及性质，能通过Q处的球依次撞击CD、BC边后经过点P，找到点P构成的区域是解决问题的关键．
17.【答案】解：(13)−1+ 27+|1− 3|−3tan30°
=3+3 3+ 3−1−3× 33
=3+3 3+ 3−1− 3
=2+3 3．
【解析】代入特殊角三角形函数值，根据实数的运算法则计算即可求解．
本题考查了特殊角三角形函数值，负整数指数幂，实数的运算．是相关运算法则是关键．
18.【答案】解：5x−2<3(x+1)①2x−23≥x−1②，
解①，得x<52；
解②，得x≤1．
∴原不等式组的解集为x≤1．
【解析】解组中各不等式，再借助数轴或口诀确定不等式组的解集．
本题考查了不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．
19.【答案】解：1a+1−1a2−1÷a+1a2−2a+1
=1a+1−1(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a+1
=1a+1−a−1(a+1)2
=a+1(a+1)2−a−1(a+1)2
=2(a+1)2
=2a2+2a+1，
∵a2+2a−3=0
∴a2+2a=3，
∴原式=23+1=12．
【解析】先计算除法，再计算加法即可化简，然后把a2+2a−2=0变形为a2+2a=2，代入化简式计算即可．
本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AB/​/DC，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，则AD=CD，
又∵AB=AD，
∴CD=AD=AB，
∵AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC，BD⊥AC，OB=OD=12BD=1，AB=CB= 5，
由勾股定理可得：OA= AB2−OB2=2，
∵CE⊥AB，
在Rt△BCE中，CE2=BC2−BE2，
在Rt△ACE中，CE2=AC2−AE2=AC2−(AB+BE)2，
∴BC2−BE2=AC2−(AB+BE)2，即：5−BE2=16−( 5+BE)2，
解得：BE=3 55．
【解析】(1)利用平行线和角的平分线，证明AD=CD，继而判断四边形ABCD是平行四边形，结合AB=AD得证．
(2)由菱形的性质得OA=OC=12AC，BD⊥AC，OB=OD=12BD=1，AB=CB= 5，由勾股定理可得：OA= AB2−OB2=2，在Rt△BCE中，CE2=BC2−BE2，在Rt△ACE中，CE2=AC2−AE2=AC2−(AB+BE)2，即BC2−BE2=AC2−(AB+BE)2，求解即可．
本题考查了平行线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：设一班有x名学生，
由题意可知：0.8×50x=0.9×50(x−4)，
解得：x=36，
答：一班有36名学生．
【解析】根据题意，设有x名学生，打8折的钱数=打9折的钱数，列方程即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，根据“两种方案费用一样”列出方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到，
∴k=1，
将点(1,2)代入y=x+b，
得1+b=2，解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)把点(1,2)代入y=mx求得m=2，
∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值，
∴m≥2．
【解析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A(1,2)代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)根据点(1,2)结合图象即可求得．
23.【答案】4.55 ②③
【解析】解：(1)影片甲单日票房从小到大排序为
2.91，3.02，4.28，4.55，5.38，5.52，5.90．
一共7个数据，所以影片甲单日票房的中位数为：4.55，
故答案为：4.55；
(2)①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，
∴甲的单日票房逐日增加说法不正确；
②x甲−=17×(2.91+3.02+4.55+5.38+5.90+5.52+4.28)≈4.51，x乙−=17×(10.11+8.18+7.49+4.36+3.13+2.32+1.63)≈5.32，S甲2=17(1.62+1.492+0.042+0.872+1.392+1.012+0.232)≈1.22，S乙2=17(4.792+2.862+2.172+0.962+2.192+32+3.692)≈9.95，
∴甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；
③甲超过乙的差值从15日开始分别为：
15日：5.38−4.36=1.02，
16日：5.90−3.13=2.77，
17日：5.52−2.32=3.2，
18日：4.28−1.63=2.65，
∴在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．
综上，说法中所有正确结论的序号是②③，
故答案案为：②③；
(3)乙票房截止到21日收入为：37.22+2.95=40.17亿，
甲票房前7天达到31.56亿，
∴2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为：40.17−31.56=8.61亿．
故答案为：8.61．
(1)影片甲单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；
(2)①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；
②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋅⋅⋅+(xn−x−)2]求出甲、乙的方差，可判断②；
③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙的差值，可判断③；
(3)利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．
本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵点O坐标为(0,0)，点M坐标为(4,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵抛物线的最高点为3，
∴顶点坐标为(2,3)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−2)2+3过点(0,0)，
解得：a=−34，
∴抛物线的函数表达式为y=−34(x−2)2+3．
(2)∵喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，
∴设喷泉跨度OB的最小值为3m时，抛物线的函数表达式为y=−34(x−m)2+3，m≤2，
当x=3时，y=0，得−34(3−m)2+3=0，解得：m=1或m=5(舍去)，
则y=−34(x−1)2+3，
由x=0，得y=−34(0−1)2+3=94，
即：喷水管OA的高度最大值为94m；
(3)由题意得：当点F落在y=−34(x−2)2+3上，
当y=2116时，−34(x−2)2+3=2116，
解得：x=12或x=72(舍去)，
当点E落在y=−34(x−1)2+3上时，
当y=2116时，−34(x−1)2+3=2116，
解得：x=52或x=−12(舍去)，
则，CD=EF=52−12=2．
即：此时安全通道CD的宽度为2m．
【解析】(1)根据题意可知抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,3)，设抛物线的函数表达式为y=a(x−2)2+3，代入(0,0)即可求解；
(2)设抛物线解析式为：y=−34(x−m)2+3，代入x=3时，y=0，即可求抛物线解析式，从而求OA的值；
(3)求出当y=2116时，点F落在y=−34(x−2)2+3上，点E落在y=−34(x−1)2+3上时两个点的横坐标即可求解．
本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵点O到A、B、C的距离均等于a，
∴OA=OB=OC=a，
∴A、B、C三点共圆，
∴到点O的距离等于a的所有点都在圆心为O，半径为a的圆上，
∴图形G是圆心为O，半径为a的圆，如图1：

(2)直线CE与图形G的公共点个数为1个，
连接OA、OB，如图2，

∵在四边形DECO中，∠CED+∠COD=180°，
∠CED+∠COD+∠OCE+∠ODE=360°
∴∠OCE+∠ODE=180°，
∵OA=OB，点D为AB中点，
∴OD⊥AB，
∴∠ODE=90°，
∴∠OCE+90°=180°，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
又∵OC为半径，
∴CE为⊙O切线，
∴直线CE与图形G公共点个数为1个．
(3)如图3，过点B作BF⊥CE于点F，

由(2)知∠OCE=90°，
∵OB//CE，
∴∠BOC+∠OCE=180°，
∴∠BOC=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=∠BFE=90°，
∵∠BOC=∠OCF=∠BFC=90°，
∴四边形OBFC是矩形，
∵OC=OB=a= 5，
∴四边形OBFC是正方形，
∴CF=BF= 5，
∵∠ODB=90°，
在Rt△ODB中，BD= OB2−OD2= ( 5)2−22=1，
∴tan∠OBD=ODBD=21=2，
∵OB//CE，
∴∠OBD=∠CEB，
∴tan∠OBD=tan∠E=2，
∵∠BFE=90°，
∴在Rt△BFE中，tan∠E=BFEF，
∵tan∠E=2，
∴2EF=BF，
∴EF=12BF，
∵BF= 5，
∴EF=12BF=12× 5= 52，
∴CE=CF+EF= 5+ 52=3 52．
【解析】(1)点O到A、B、C的距离均等于a，则A、B、C三点共圆，可得图形G是圆心为O，半径为a的圆；
(2)先求得∠OCE=90°，得到OC⊥CE，加上OC为半径，得出CE为⊙O切线，即可得出结论；
(3)过点B作BF⊥CE于点F，四边形OBFC是正方形，分别求出CF、EF，即可求解．
本题考查了圆的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定与性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线过点(−3,m)，(5,m)，
∴(−3,m)，(5,m)关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是x=−3+52=1．
(2)设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为x=t，
由题知，(2,n)在x=t的右侧，(x1,y1)在x=t的左侧，
∵a>0，存在y1>n，
∴点(x1,y1)到x=t大于 点(2,n)到x=t的距离，
∴(x1,y1)到x=t的距离为：t−x1，点(2,n)到x=t的距离为：2−t，
∴t−x1>2−t，
∴t>2+x12，
∵−2∴0<2+x12<12，
∴0∴(0,y0)，(x1,y1)，(−4,y2)都在函数的左侧，
∴a>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c开口向上，在对称轴左侧函数随着x的增大而减小，
∵−4∴y2>y1>y0．
【解析】(1)抛物线过点(−3,m)，(5,m)，可知(−3,m)，(5,m)关于对称轴对称，即可求解；
(2)设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为x=t，先求出t的取值范围，再根据函数的增减性即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠ADC=90°，
∴∠BFE=∠DEM，∠CDM+∠EDM=90°，
又∵DM⊥EF，
∴∠DEM+∠EDM=90°，
∴∠CDM=∠DEM，
∴∠CDM=∠BFE；
(2)解：①根据题意补全图形如图所示：

②CM= 2CG，
证明：连接MG并延长使得MG=GH，
∵点G为BN的中点，
∴BG=NG，
又∵∠BGH=∠NGM，
∴△BGH≌△NGM(SAS)，
∴HG=MG，BH=NM，∠BHG=∠NMG，则BH//NM，
∴∠CBH=∠BFE，
由(1)可知，∠CDM=∠BFE，
∴∠CBH=∠CDM，
∵MN=DM，
∴BH=DM，
由正方形的性质可知，CB=CD，
∴△CBH≌△CDM(SAS)，
∴CH=CM，∠BCH=∠DCM，∠BCD=90°，
则∠BCH+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠BCD=90°，
∴△MCH是等腰直角三角形，
∵HG=MG，
∴CG⊥MH，则△CGM也是等腰直角三角形，则CG=MG，
∴CM= CG2+MG2= 2CG．
【解析】(1)根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余即可证明结论；
(2)①根据题意补全图形即可；
②连接MG并延长使得MG=GH，利用SAS可证△BGH≌△NGM，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明△CBH≌△CDM(SAS)，进而可证明△MCH，△CGM是等腰直角三角形，即可得CM= 2CG．
本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．
28.【答案】P1(−1,1)，P2(0,−2)
【解析】解：(1)①如图1，点P1(−1,1)在圆内，则过点P1作两条相互垂直的直线，与⊙O都有交点，则存在⊙O的射影点，
点P2(−1,1)在圆上，当MN是直径时，∠MPN=90°，则存在⊙O的射影点，
点P3(2,3)在圆外，作P3S⊥x轴，则OS=2，
∵⊙O的半径为2，
∴P3S与⊙O相切，则tan∠OP3S=OSP3S=23<1，
∴∠OP3S<45°，
作P3Z与⊙O相切于点Z，则∠P3SO=∠P3ZO=90°，
∴Rt△P3ZO≌Rt△P3SO(HL)，
∴∠OP3Z=∠OP3S<45°，则∠ZP3S<90°，
则在⊙O上，不存在M、N使得∠MPN=90°，则不存在⊙O的射影点，
故答案为：P1(−1,1)，P2(0,−2)；
②由①可知，当点P在圆内或圆上时，如图2，
必存在⊙O的射影点，但由于过点P作两条相互垂直的直线，有无数种情况，故此时射影点Q不唯一，
则点P必定在圆外时，过点P作与⊙O相切的两条切线PX，PY，
当∠XPY<90°时，在⊙O上不存在M、N使得∠MPN=90°，不符合题意；
当∠XPY=90°时，此时恰好存在M、N使得∠MPN=90°，且只有一种情况(M、N分别与两个切点重合)，
由切线性质可知，OX⊥PX，OY⊥PY，则四边形PXOY为矩形，
又∵OX=OY，
∴则四边形PXOY为正方形，
∴OX=PX=2，则OP=2 2，
又∵点P在y=− 3x上，设P(x,− 3x)，
则OP2=(2 2)2=x2+(− 3x)2，解得：x=± 2，
则当x= 2时，y=− 3× 2=− 6，当x=− 2时，y=− 3×(− 2)= 6，
∴点P的坐标为(− 2, 6)或( 2,− 6)；
当∠XPY>90°时，此时∠MPN=90°，即在钝角内部画一个直角有无数种情况，不符合题意；
综上，点P的坐标为(− 2, 6)或( 2,− 6)；
(2)由(1)可知，当点P在⊙T外，如图3，当∠XPY=90°时，此时恰好存在M、N使得∠MPN=90°，且只有一种情况(M、N分别与两个切点重合)，
由切线性质可知，TX⊥PX，TY⊥PY，则四边形PXTY为矩形，
又∵TX=TY，
∴则四边形PXOY为正方形，
∴TX=PY，则PT= TY2+PY2= 10，
即：点P在以点T为圆心， 10为半径的圆内，
连接TQ，并延长交⊙T于G，H两点，如图4，
∵TQ=2，
∴GQ=TG−TQ= 5−2，HQ=TH+TQ= 5+2，
由圆周角定理可知，∠GMQ=∠NHQ，∠MGQ=∠HNQ，
∴△GMQ∽△NHQ，
∴MQHQ=GQNQ，即：NQ⋅MQ=GQ⋅HQ=( 5−2)( 5+2)=1，
又∵∠MPN=90°，PQ⊥MN，
∴∠NPQ+∠QPM=90°，∠QPM+∠PMQ=90°，
∴∠NPQ=∠PMQ，
∴△NPQ∽△PMQ，
∴PQMQ=NQPQ，即：PQ2=NQ⋅MQ=1，
∴PQ=1，
连接PT，由三角形三边关系可知，TQ−PQ≤PT≤TQ+PQ，即1≤PT≤3，
对于y=x+12，当x=0时，y=12，当y=0时，x=−12，即：A(−12,0)，B(0,12)，
当点P在线段端点B处，如图5，BT1=3，BT2=1，由勾股定理可得OT1= 352，OT3= 32，
同理，OT2= 352，OT4= 32，
当T在线段T1T3、T2T4之间时，1≤PT≤3，
则 32≤t≤ 352或− 352≤t≤− 32；
当点P在线段端点A处，如图6，AT5=AT6=1，AT7=AT8=3，
则OT5=12，OT6=32，OT7=52，OT8=72，
当T在线段T5T7、T6T8之间时，1≤PT≤3，
则12≤t≤52或−32≤t≤−72；
综上，圆心T的横坐标t的取值范围为−72≤t≤− 32或12≤t≤ 352．
(1)①作出图形，过点P作两条相互垂直的直线判断即可；
②由①可知，当点P在圆内或圆上时，必存在⊙O的射影点，但由于过点P作两条相互垂直的直线，有无数种情况，故此时射影点Q不唯一，则点P必定在圆外时，过点P作与⊙O相切的两条切线PX，PY，分三种情况：当∠XPY<90°时，当∠XPY=90°时，当∠XPY>90°时，分别进行讨论即可求解；
(2)结合(1)可知点P在以点T为圆心， 10为半径的圆内，再证PQ=1，进而由三角形三边关系可知，TQ−PQ≤PT≤TQ+PQ，即1≤PT≤3，在根据零界点位置当点P在线段端点B处，当点P在线段端点A处，找到符合题意的点T的位置即可求解．
本题考查图形与坐标，切线的性质定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，判断出点P在以点T为圆心， 10为半径的圆内，求出PQ=1，再由三边关系得到1≤PT≤3是解决问题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数(秒)
11.2
11.3
11.3
11.2
方差
5.5
5.5
5.8
5.9
上映影片
2月12日—18日累计票房(亿元)
2月19日—21日累计票房(亿元)
甲
31.56
乙
37.22
2.95
1
2
1
2
3
2
3
4