2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列是有关北京年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了张照片，若该班有名同学，则根据题意可列出方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.    抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
   ；
   
   ；
   若此抛物线经过点，则点一定是抛物线上的一个点．
   其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，中，，，绕点逆时针旋转得到，与，分别交于点，设，的面积为，则与的函数图象大致(    )
    

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.    点关于原点对称的点的坐标是______．
10. 抛物线的顶点坐标是______．
11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
12. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是______

13. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______用“”连接
14. 如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是______．

15. 已知二次函数的图象如图所示，将此函数图象向右平移个单位得抛物线的图象，则阴影部分的面积为______．

16. 如图，点是抛物线对称轴上的一点，连接，以为旋转中心将逆时针旋转得到，当恰好落在抛物线上时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共10小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：．
18. 本小题分
    已知二次函数．
    把这个二次函数化成的形式；
    画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当为何值时，．

19. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
    将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
    将以点为旋转中心顺时针旋转可以得到，画出并直接写出的长度．

20. 本小题分
    如图所示，点是等边内一点，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，当点在的延长线上时．
    求的度数；
    的周长．

21. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．
22. 本小题分
    某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为米的篱笆围成．已知墙长为米如图所示，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米．
    若苗圃园的面积为平方米，求的值；
    若平行于墙的一边长不小于米，则该苗圃的最大面积是多少平方米？

23. 本小题分
    在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
    自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下，其中______；

根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中补全函数的图象；
根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有______填序号：
该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴．
该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值．
当时，函数取得最小值．
当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
在同一坐标系中作出函数的图象，结合你所画的函数图象，直接写出方程的解______保留位小数，误差不超过．
 

24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
    求这个二次函数的表达式；
    求当时，的最大值与最小值的差；
    一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．

25. 本小题分
    如图，，为的平分线，点为上一个动点，过点作射线交于点以点为旋转中心，将射线沿逆时针方向旋转，交于点．
    根据题意补全图，并证明；
    如图，如果点在边上，用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明；
    如图，如果点在边的反向延长线上，直接写出线段，和之间的数量关系．
     
26. 本小题分
    定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．
    如图，已知点，，．
    点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；
    设点在直线上运动：
    点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式；
    当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，则此项不符题意；
B、不是中心对称图形，则此项不符题意；
C、是中心对称图形，则此项符合题意；
D、不是中心对称图形，则此项不符题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．
本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到对应点的坐标为，所以新抛物线的表达式是．
故选：．
先确定抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得，
即的值为．
故选：．
直接把代入方程得关于的方程，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

5.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转到的位置，，
≌，，
，
，
故选：．
根据旋转的性质得出全等，根据全等三角形性质求出，代入求出即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质的应用，注意：旋转后得出的图形和原图形全等．
 

6.【答案】 

【解析】解：若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张，
则可列方程为．
故选：．
若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片，那么根据题意可列得方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是列出方程；弄清每名同学送出的照片是张是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确；
抛物线顶点为，
抛物线对称轴为直线，
抛物线过点，
由对称性可得抛物线经过点，
，错误；
，
，
，错误；
若此抛物线经过点，根据对称性，则点一定是抛物线上的一个点，
就不可能在抛物线上，故错误；
故选：．
由抛物线开口和抛物线与轴交点判断，由抛物线的对称性及经过点可判断，由抛物线对称轴为直线可得，从而判断，点对称点横坐标为可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是动点图象问题，涉及到三角形全等、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
可证≌、≌，则，的高，即可求解．
【解答】
解：绕点逆时针旋转，设与交于点，
则，，，
≌，
，，
，又，
得到≌，
，
，
，，则的高为，等于边上的高，
，
的高，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解一元一次不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知，时二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，满足的的取值范围是．
故答案为：
根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，为二次函数的图象上的三点，
；
当时，；
当时，；
，
故答案为：．
分别计算出自变量为，和所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
先根据的度数和的度数，可得的度数，根据旋转性质得出，利用等腰三角形的性质得出，在中，根据三角形的内角和定理可得的度数，进而得出中的度数，可得的度数．
【解答】
解：由旋转可得，
，
，
由旋转性质可知，
，
在中，，
，
在中，，
，
由旋转可得，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：由题意知，，则顶点坐标是．
所以，阴影部分的面积为：．
故答案是：．
根据题意知阴影部分面积等于平行四边形面积，由平行四边形的面积公式可得到阴影部分的面积．
本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

16.【答案】或 

【解析】解：抛物线对称轴为直线，
设点坐标为，
如图，作轴于点，作直线，

，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
则点坐标为，
代入得：，
解得：或，
点坐标为或，
故答案为：或．
根据抛物线对称轴解析式设点坐标为，作轴于点，作直线，证≌得、，则点坐标为，将点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程，解之可得的值，即可得答案．
本题考查了坐标与图形的变换旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】解：    ，
，
则或，
解得，． 

【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：．
如图，

令，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
或时，． 

【解析】利用配方法将二次函数解析式化为顶点式．
根据二次函数解析式作出图象，令求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求，
如图所示，即为所求，
由勾股定理得．
 

【解析】按照旋转的性质找出点、、的对应点即可；
根据旋转的性质找出点、的对应点，利用勾股定理可求出的长度．
本题主要考查了作图旋转变换，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用旋转的性质正确画出图形是解题的关键．
 

20.【答案】解：为等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转到的位置，点在的延长线上，
，，，
为等边三角形，
，，
；
的周长． 

【解析】先根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得到，，，则可判断为等边三角形，得出，即可得出答案；
由，，即可计算的周长．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
方程总有两个实数根；

解：，
，
解得：，，
方程的两个实数根都是整数，为整数，
或或或． 

【解析】先求出，再根据根的判别式得出答案即可；
把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和为整数得出答案即可．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式是解此题的关键，一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两边不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．
 

22.【答案】解：根据题意得：，
解得：或，
，
，
；
，
，
设苗圃园的面积为平方米，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：该苗圃的最大面积是平方米． 

【解析】根据题意得方程求解即可；
设苗圃园的面积为，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质以及的取值范围求解即可．
本题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键是根据题意列出函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可．
 

23.【答案】    ， 

【解析】解：当时，，
．
故答案为：．
如图所示：

根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的．
故答案为：．


根据函数图象，方程的解为，．
故答案为：，．
分别代入求出即可；
描点、连线画出函数图象；
根据图象即可求得；
根据图象即可求得．
本题主要考查一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：由二次函数的图象经过和两点，
，解得，
此二次函数的表达式；
抛物线开口向上，
对称轴为直线，
在范围内，
当时，函数有最大值为：；
当时函数有最小值：，
最大值与最小值的差为：；
与二次函数图象交点的横坐标为和，
，整理得

，

当时，，
把代入，解得，
的取值范围为． 

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
由二次函数的图象经过和两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当时，函数有最大值；当时函数有最小值，进而求得它们的差；
由题意得，整理得，因为，，，把代入，解得．
 

25.【答案】解：补全图形如图；

理由：如图中，作交于

，
又平分，，
，
又，
，
，
．
≌，
，

结论：线段，和之间的数量关系是．
理由：如图中，≌，
．
又，
又，
．
结论：线段，和之间的数量关系是．

理由：如图中，作交于

，
又平分，，
，
又，
，
，
，，
≌，
，．
又，
又，
． 

【解析】根据题意画出图形，证明≌即可．
结论：线段，和之间的数量关系是利用等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可解决问题．
结论；线段，和之间的数量关系是证明方法类似．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】   

【解析】解：，故抛物线的表达式为：，
故答案为：；
将点、坐标代入并解得：，，
故答案为：；

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则抛物线的表达式为：，
顶点为：，
令，则，
则，
即抛物线的解析式为：；
如图所示，抛物线落在内部为段，

抛物线与直线的交点为点；
当时，即，解得：，
故点；
故，由知：，
故：．
，故抛物线的表达式为：，故答案为：；将点、坐标代入并解得：，；
直线的表达式为：，设点，则抛物线的表达式为：，顶点为：，即可求解；
如图所示，抛物线落在内部为段，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．