2024年北京市顺义区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年北京市顺义区中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）全国绿化委员会办公室发布的《2023年中国国土绿化状况公报》显示，2023年全国完成国土绿化任务超800万公顷，其中造林3998000公顷．将3998000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.998×107B．3.998×106C．3998×103D．3.998×103
2．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞﹣1B．b＞1C．﹣a＜bD．﹣b＞a
3．（2分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠AOC＝30°，则∠BOE的度数为（ ）
A．30°B．75°C．105°D．115°
5．（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）下列正多边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．m＜﹣1C．m＞﹣1D．m≥﹣1
8．（2分）已知y是x的函数，如表是x与y的几组对应值：
y与x的函数关系有以下3个描述：
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系．
所有正确描述的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：4m2﹣4＝ ．
11．（2分）方程的解为 ．
12．（2分）已知点A（3，y1），B（m，y2）在反比例函数的图象上．若y1＞y2，写出一个满足条件的m的值 ．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，只需添加一个条件即可证明△BOF≌△DOE，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC，交⊙O于点D，则∠DAB的度数为 ．
15．（2分）某商场为了解顾客对某一款式围巾的不同花色的需求情况，调查了某段时间内销售该款式的30条围巾的花色，数据如下：
若商场准备再购进200条同款式围巾，估计购进花色最多的围巾数量为 条．
16．（2分）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：
将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张…），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌…如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．
例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．
将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则m＝ （用含n的代数式表示，其中n为自然数）．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知x2+2x＝1，求代数式4（x+1）+（x﹣1）2的值．
20．（6分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）连接OE，若，AC＝2，求OE的长．
21．（5分）某校举办“跨学科综合实践活动”，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、丙两组参赛作品得分的折线图：
b．在给乙组参赛作品的打分中，其中三位评委打分分别为87，93，95，其余两位评委的打分均高于85；
c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）若某组参赛作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组参赛作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、丙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是 组（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（4，5）和B（0，﹣1），与过点（2，0）且平行于y轴的直线交于点C．
（1）求该函数的表达式及点C的坐标；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于3，直接写出n的取值范围．
23．（6分）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此．
如图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是60g．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC＝AD，CD与AB交于点E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）连接FO并延长，交DC的延长线于点G．若E为AO的中点，⊙O的半径为4，求CG的长．
25．（5分）为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：mg/kg）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量所得数据如下：
（1）设浸泡时长为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为y1，y2，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为5h时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为 mg/kg（精确到0.1）；
（3）根据衣物中P的含量（单位：mg/kg）将衣物分为A级（含量＜20）、B级（20≤含量＜75）和C级（75≤含量＜300）．若浸泡时长不超过12h，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为 （填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡 h（精确到0.1）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当x1＝2，y1＝c时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于1﹣t＜x1＜2﹣t、t＜x2＜t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围．
27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在DC，CB的延长线上，且BF＝CE，EB的延长线交AF于点G．
（1）求∠AGE的度数；
（2）在线段EG上取点H，使得GH＝AG，连接AH，CH．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段CH与GB的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、y轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q在图形N上，那么称图形N是图形M的“关联图形”．
（1）如图，点A（﹣3，2），B（0，﹣1），C（3，2），D（﹣1，6）．
①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是 ；
②若⊙O不是点A的“关联图形”，求⊙O的半径r的取值范围；
（2）已知点O′（m，0），E（m﹣3，0），G（m﹣2，1），⊙O′的半径为1，以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若⊙O′是正方形EFGH的“关联图形”，直接写出m的最小值和最大值．
2024年北京市顺义区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）全国绿化委员会办公室发布的《2023年中国国土绿化状况公报》显示，2023年全国完成国土绿化任务超800万公顷，其中造林3998000公顷．将3998000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.998×107B．3.998×106C．3998×103D．3.998×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3998000＝3.998×106．
故选：B．
2．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞﹣1B．b＞1C．﹣a＜bD．﹣b＞a
【分析】根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∵a＜﹣1，
∴选项A不符合题意；
∵b＜1，
∴选项B不符合题意；
∵﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜﹣a＜2，
∵0＜b＜1，
∴﹣a＞b，
∴选项C不符合题意；
∵0＜b＜1，
∴﹣1＜﹣b＜0，
∵﹣2＜a＜﹣1，
∴﹣b＞a，
∴选项D符合题意．
故选：D．
3．（2分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据多边形的内角和公式进行作答即可得出答案．
【解答】解：设该多边形的边数为n，
则180（n﹣2）＝540°，
解得n＝5．
故选A．
4．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠AOC＝30°，则∠BOE的度数为（ ）
A．30°B．75°C．105°D．115°
【分析】根据邻补角互补求出∠AOD的度数，根据角平分线的定义求出∠EOD的度数，根据对顶角相等求出∠BOD的度数，即可求出∠BOE的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝，
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∴∠BOE＝∠EOD+∠BOD＝75°+30°＝105°，
故选：C．
5．（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率＝．
故答案为，
故选：A．
6．（2分）下列正多边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．
【解答】解：A、即是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误．
故选：B．
7．（2分）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．m＜﹣1C．m＞﹣1D．m≥﹣1
【分析】根据关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．构建不等式求解．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴22+4m＞0，
∴m＞﹣1．
故选：C．
8．（2分）已知y是x的函数，如表是x与y的几组对应值：
y与x的函数关系有以下3个描述：
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系．
所有正确描述的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数．
【解答】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确；
三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数y＝图象上，故②正确；
故选：C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，
∴x≠3．
故答案为：x≠3．
10．（2分）分解因式：4m2﹣4＝ 4（m+1）（m﹣1） ．
【分析】提取公因式后继续用公式法分解即可．
【解答】解：4m2﹣4＝4（m2﹣1）＝4（m+1）（m﹣1）．
故答案为：4（m+1）（m﹣1）．
11．（2分）方程的解为 x＝2 ．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x＝2（x﹣1），
整理得：x＝2x﹣2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x＝2，
故答案为：x＝2．
12．（2分）已知点A（3，y1），B（m，y2）在反比例函数的图象上．若y1＞y2，写出一个满足条件的m的值 4（答案不唯一） ．
【分析】反比例函数的图象位于一三象限，点A在第一象限，y1＞0，符合题意，当点A和点B位于同一分支上时，y随x的增大而减小，从而可得到3＜m．
【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，点A在第一象限，
∴y1＞0，
∵当m＜0时，点B位于第三象限，
∴y2＜0．
故y1＞y2，
当m＞0时，点B位于第一象限，
∴y2＞0．
又∵y1＞y2，
∴3＜m．
∴m＞3．
所以m的值可为4．
故答案为：4（答案不唯一）．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，只需添加一个条件即可证明△BOF≌△DOE，这个条件可以是 ED＝BF （写出一个即可）．
【分析】根据全等三角形的判定添加一个条件即可．
【解答】解：可添加条件ED＝BF，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠3＝∠4，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
故答案为：ED＝BF．
14．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC，交⊙O于点D，则∠DAB的度数为 72° ．
【分析】由AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC，得∠ABC＝∠C＝72°，∠D＝∠C＝72°，由BD平分∠ABC，得∠DBA＝72°÷2＝36°，即可得∠DAB＝180°﹣∠DBA﹣∠D＝72°．
【解答】解：由AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC，
得∠ABC＝∠C＝72°，∠D＝∠C＝72°，
由BD平分∠ABC，
得∠DBA＝72°÷2＝36°，
得∠DAB＝180°﹣∠DBA﹣∠D＝72°．
15．（2分）某商场为了解顾客对某一款式围巾的不同花色的需求情况，调查了某段时间内销售该款式的30条围巾的花色，数据如下：
若商场准备再购进200条同款式围巾，估计购进花色最多的围巾数量为 60 条．
【分析】总数量乘以F花色数量所占比例即可．
【解答】解：估计购进花色最多的围巾数量为200×＝60（条），
故答案为：60．
16．（2分）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：
将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张…），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌…如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．
例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．
将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 1 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则m＝ 2n （用含n的代数式表示，其中n为自然数）．
【分析】8张纸牌顺序从上到下为：（将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮），1，2，3，4，5，6，7，8，按照规则依次即可得出结果；根据题意找出相应规律即可得出结果．
【解答】解：8张纸牌顺序从上到下为：（将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮），1，2，3，4，5，6，7，8，
前四轮去掉了2，4，6，8，
还剩下4张纸牌从上至下为1，3，5，7，
再经过2轮去掉3，7，
还剩2张纸牌、从上至下为1，5，
再经过1轮，去掉5，
最终剩下的是原来的第1张纸牌；
由条件中4张纸牌，按上述规则操作后，最后留下的第1张纸牌，
将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，
∴m＝2n；
故答案为：1；2n．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
【分析】利用负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，二次根式的性质，零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝﹣4×+2+1
＝﹣2+2+1
＝．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据同大取大确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得x＞2．
解不等式②得x＞1．
∴不等式组的解集是x＞2．
19．（5分）已知x2+2x＝1，求代数式4（x+1）+（x﹣1）2的值．
【分析】利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2+2x＝1代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：4（x+1）+（x﹣1）2
＝4x+4+x2﹣2x+1
＝x2+2x+5，
当x2+2x＝1时，原式＝1+5＝6．
20．（6分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）连接OE，若，AC＝2，求OE的长．
【分析】（1）由菱形的性质得到AD∥EB，AD＝EB，即可证明四边形AEBD是平行四边形；
（2）由菱形的性质得到AB＝BC＝BE，OA＝AC＝1，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠EAC＝90°，解直角三角形求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥EB，AD＝BC，
∵BE＝BC，
∴AD＝BE，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝BE，OA＝OC＝AC＝1，
∴∠EAB＝∠AEB，∠BAC＝∠ACB，
∵∠EAB+∠AEB+∠BAC+∠ACB＝∠AEB+∠EAC+∠ACB＝180°，
∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°，
在Rt△AEC中，tan∠AEB＝＝，AC＝2，
∴AE＝4，
∴OE＝＝＝．
21．（5分）某校举办“跨学科综合实践活动”，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、丙两组参赛作品得分的折线图：
b．在给乙组参赛作品的打分中，其中三位评委打分分别为87，93，95，其余两位评委的打分均高于85；
c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）若某组参赛作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组参赛作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、丙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是 丙 组（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由．
【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）根据平均数的定义求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，n＝＝90；
（2）由折线统计图可知，丙组数据的波动比甲组的小，所以五位评委评价更“一致”的是丙组．
故答案为：丙；
（3）由题意可知，乙组和丙组的平均数均为90分，比甲组的平均数88分高，所以从乙组和丙组推荐一个小组的作品到区里参加比赛，
又因为乙组的最低分比丙组的最低分高，所以应该推荐乙组．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（4，5）和B（0，﹣1），与过点（2，0）且平行于y轴的直线交于点C．
（1）求该函数的表达式及点C的坐标；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于3，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的横坐标为2，代入函数解析式求出点C的纵坐标坐标即可；
（2）根据函数图象得出当y＝x+n过点（2，2）和（2，3）时满足题意，把点（2，2）和（2，3）代入解析式求出n的值，再结合图象求出n的取值范围即可．再求出n的取值范围即可．
【解答】解：（1）把点A（4，5）和B（0，﹣1）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴该函数的表达式为y＝x﹣1；
当x＝2时，y＝×2﹣1＝2，
∴点C坐标为（2，2）；
（2）在平面直角坐标系中画出直线y＝x﹣1和满足条件的直线y＝x+n的图象，如图所示：
由（1）知：当x＝2时，y＝x﹣1＝2，
当x＜2时，函数y＝x+n的值大于函数y＝x﹣1的函数值，
∴当y＝x+n过点（2，2）时满足题意，
∴2×+n＝2，
解得n＝1；
当x＜2时，函数y＝x+n的值小于3，
∴当y＝x+n过点（2，3）时满足题意，
∴2×+n＝3，
解得n＝2；
∴n的取值范围为1≤n≤2．
23．（6分）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此．
如图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是60g．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克．
【分析】先根据杠杆原理列方程组求出未称物品时A处的重量和秤砣重量，再根据杠杆原理列方程求出E处对应的刻度即可．
【解答】解：设A处未挂物体时重a克，秤砣种b克，
由图1、图2可得，
解得，
设这把杆秤的秤星E对应的刻度是x克．
则2.5（x+4）＝26×10，
解得x＝100，
答：这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC＝AD，CD与AB交于点E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）连接FO并延长，交DC的延长线于点G．若E为AO的中点，⊙O的半径为4，求CG的长．
【分析】（1）由圆心角、弧、弦的关系得到＝，因此＝，由圆周角定理推出∠CAE＝∠DAE，由等腰三角形的性质推出AB⊥CD，由切线的性质推出AB⊥BF，即可证明CD∥BF；
（2）连接OD，由线段垂直平分线的性质推出AD＝OD，判定△AOD是等边三角形，得到∠EAD＝∠DOE＝60°，求出OE＝OA＝2，得到DE＝OE＝2，
由垂径定理得到CE＝DE＝2，求出BF＝AB＝8，由△OEG∽△OBF，得到GE：BF＝OE：OB，求出GE＝4，即可得到CG＝GE﹣CE＝2．
【解答】（1）证明：∵AC＝AD，
∴＝，
∵AB是圆的直径，
∴＝，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵AC＝AD，
∴AB⊥CD，
∵BF切圆于B，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF；
（2）解：连接OD，
∵E为AO的中点，CD⊥AB，
∵∴AD＝OD，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠EAD＝∠DOE＝60°，
∵OE＝OA＝×4＝2，
∴DE＝OE＝2，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝2，
∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，
∴BF＝AB＝8，
∵∠OEG＝∠B＝90°，∠EOG＝∠BOF，
∴△OEG∽△OBF，
∴GE：BF＝OE：OB，
∴GE：8＝2：4，
∴GE＝4，
∴CG＝GE﹣CE＝4﹣2＝2．
25．（5分）为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：mg/kg）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量所得数据如下：
（1）设浸泡时长为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为y1，y2，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为5h时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为 6.5 mg/kg（精确到0.1）；
（3）根据衣物中P的含量（单位：mg/kg）将衣物分为A级（含量＜20）、B级（20≤含量＜75）和C级（75≤含量＜300）．若浸泡时长不超过12h，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为 乙类 （填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡 7.5 h（精确到0.1）．
【分析】（1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可；
（2）根据函数图象求解即可；
（3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过12h，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）由函数图象可知当浸泡时长为5h时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为6.5mg/kg．
故答案为：6.5．
（3）根据表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过12h，甲含P的最低量大于20，乙的P含量可能低于20，
所以则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，
观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡7.5h．
故答案为：乙类；7.5．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当x1＝2，y1＝c时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于1﹣t＜x1＜2﹣t、t＜x2＜t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标小于t，利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）∵当x1＝2，y1＝c，x＝0，y＝c，
∴M与抛物线与y轴的交点关于x＝t对称，
∴＝t，
∴t＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
（2）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，都有y1＞y2，
∴点M到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离，
∵1﹣t＜x1＜2﹣t、t＜x2＜t+2，
∴或1﹣t≥t+2，
∴t≥2或t≤﹣．
27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在DC，CB的延长线上，且BF＝CE，EB的延长线交AF于点G．
（1）求∠AGE的度数；
（2）在线段EG上取点H，使得GH＝AG，连接AH，CH．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段CH与GB的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABF≌△BCE，得∠F＝∠E，进而证明∠AGE＝90°；
（2）①根据作图过程即可补全图形；
②过点B作BI∥AH交AF于I点，得△GAH为等腰直角三角形，证明△GB1为等腰直角三角形，再证明△AIB≌△BHC（SAS），得CH＝BI，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE＝90°，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠F＝∠E，
∵∠E+∠CBE＝90°，∠CBE＝∠GBF，
∴∠F+∠GBF＝90°，
∴∠FGB＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣∠FGB＝90°，
∴∠AGE＝90°；
（2）①如图所示，在线段EG上取点H，使得GH＝AG，连接AH，CH；
②CH＝GB．
证明：过点B作BI∥AH交AF于I点，如图所示，
∵∠AGE＝90°，GH＝AG，
∴△GAH为等腰直角三角形，
∴∠GAH＝∠GHA＝45°，
∵BI∥AH，
∴∠GIB＝∠GAH＝45°，∠GBI＝∠GHA＝45°，
∴△GB1为等腰直角三角形，
∴GB＝GI，
∴AG﹣GI＝GH﹣GB，即AI＝HB，
由（1）知：△ABF≌△BCE，
∴∠FAB＝∠EBC，
∵AB＝BC，
∴△AIB≌△BHC（SAS），
∴CH＝BI，
∵△GB1为等腰直角三角形，
∴BI＝GB，
∴CH＝GB．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、y轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q在图形N上，那么称图形N是图形M的“关联图形”．
（1）如图，点A（﹣3，2），B（0，﹣1），C（3，2），D（﹣1，6）．
①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是 B ；
②若⊙O不是点A的“关联图形”，求⊙O的半径r的取值范围；
（2）已知点O′（m，0），E（m﹣3，0），G（m﹣2，1），⊙O′的半径为1，以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若⊙O′是正方形EFGH的“关联图形”，直接写出m的最小值和最大值．
【分析】（1）①依据题意，根据“关联图形”的定义判断即可；
②依据题意，根据关联图形的定义，判断出A点旋转后的轨迹，从而得到⊙O的半径范围；
（2）依据题意，根据关联图形的定义，求出点G旋转后的轨迹，当⊙O′与该轨迹有唯一交点时，m取最小值；根据关联图形的定义，求出点E旋转后的轨迹，当⊙O′与该轨迹有唯一交点时，m取最大值．
【解答】解：（1）①A点绕（0，2）逆时针旋转 90° 得到点B，
故答案为：B；
②设点T（0，a），那么点A绕点T逆时针旋转90°得到点A′，作AJ⊥y轴交y轴于点J，作A′K⊥y轴交y轴于点K，如图1所示．
由旋转可知，AT＝A′T，∠ATA′＝90°，
∵∠AJT＝90°，
∴∠TAJ+∠ATJ＝90°，
∵∠ATJ+∠A′TK＝90°，
∴∠TAJ＝∠A′TK，
∴△ATJ≌△A′KJ（AAS），
∵A（﹣3，2），
∴TJ＝a﹣2＝KA′，AJ＝3＝TK，
∴OK＝TO﹣TK＝a﹣3，
∴A坐标为（a﹣2，a﹣3），
∴A在y＝x﹣1上运动，
设y＝x﹣1与x轴的交点为M，与y轴交点为N，
当x＝0，y＝﹣1，当y＝0时，x＝1，
∴M（1，0），N（0，﹣1），
∴，
以点O为圆心作圆，当⊙O与y＝x﹣1有为唯一交点时，半径为△OMN斜边上的高，
∴，
∴当⊙O不是点A的关联图形时，；
（2）设点E（m﹣3，0）绕点T（0，a）逆时针旋转 90° 对应点为点E'，过点E′作E′S⊥y轴交y轴于点S，连接TE，TE′，如图2所示，

由旋转可知，AE＝TE＝TE'，∠ETE'＝90°，
∴∠ETO+∠E'TO＝90°，
∵∠ETO+∠TEO＝90°，
∴∠E'TO＝∠TEO，
∵∠EOT＝∠E'ST＝90°，
∴△ETO≌△TE'S（AAS），
∴EO＝TS＝m﹣3，TO＝E'S＝a，
∴TS＝TO﹣SO＝a﹣（m﹣3）＝a+3﹣m，
∴E'点坐标为（a，a+m﹣3），
∴E'在y＝x+m﹣3上运动，
∵k＝1，
∴y＝x+m﹣3与x轴的夹角为45°，
设y＝x+m﹣3在x轴的交点为Q，那么Q点坐标为（3﹣m，0），
当y＝x+m﹣3与⊙O'有唯一交点R时，m最大，
∵y＝x+m﹣3与⊙O'相切，
∴∠O'RQ＝90°，
∴△O'RQ为等腰直角三角形且O'R＝1，
∴O'Q＝m﹣（3﹣m）＝2m﹣3＝，
∴，
故m最大为；
设点G（m﹣2，1）绕点T（0，a）逆时针旋转90°对应点为点G'，过点G'作G'P⊥y轴交y轴于点P，过点G作GQ⊥y轴交y轴于点Q，连接TG，TG'，如图3所示．
同理可证△GTQ≌△G'TP，
∴TQ＝PG'＝a﹣1，GQ＝TP＝2﹣m，
∴PO＝TO﹣TP＝a﹣（2﹣m）＝a+m﹣2．
∴G'的坐标是（a﹣1，a+m﹣2），
∴G'在y＝x+m﹣1上运动，
设y＝x+m﹣1与x轴的交点为L（1﹣m，0），当⊙O'与该直线有唯一交点K时，m取最小值，
同理可证△O'KL为等腰直角三角形，且O'L＝O'K＝，
∴O'L＝1﹣m﹣m＝1﹣2m＝，
∴，
故m最小值为．
x
…
1
2
4
…
y
…
4
2
1
…
花色
A
B
C
D
E
F
G
H
销售量/条
2
2
4
5
3
9
1
4
甲组
乙组
丙组
88
90
n
衣物类别
P含量
浸泡时长
甲类
乙类
0
80
79
2
37
32
4
31
25
6
29
21
8
28
18
10
27
17
12
27
16
x
…
1
2
4
…
y
…
4
2
1
…
花色
A
B
C
D
E
F
G
H
销售量/条
2
2
4
5
3
9
1
4
甲组
乙组
丙组
88
90
n
衣物类别
P含量
浸泡时长
甲类
乙类
0
80
79
2
37
32
4
31
25
6
29
21
8
28
18
10
27
17
12
27
16