2024年北京市东城区汇文中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年北京市东城区汇文中学中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )
A. B. C. D.
2.2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000用科学记数法表示应为( )
A. 4.75×107B. 4.75×108C. 4.75×109D. 475×106
3.如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是( )
A. B.
C. D.
4.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若|a|=|c|( )
A. a+c>0B. a−b>0C. |a|>bD. ab>0
5.如图，PA，PB是⊙O的切线，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，BC.若AO=2，OP=4( )
A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°
6.方程2x−1x−2=0的解是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.已知三个点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)在反比例函数y=−2x的图象上，其中x1A. y28.某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，由线段AB及优弧AB围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是( )
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若分式xx+1的值为0，则x的值是 ．
10.因式分解：a3−ab2= ．
11.正六边形的一个外角的度数为 °.
12.若n为整数，且n< 2113.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，如图(1)所示．如图(2)，若物距为10cm，像距为15cm，则蜡烛火焰的高度是___ _cm．
14.不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，一个红球、一个黄球的概率为 ．
15.如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，以AB为直径的圆过C，D两点 ．
16.如图，矩形ABCD中，AB=2，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，取AE的中点H，连接DH= ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 32−2sin45∘+(2−π)0−(−12)−1．
18.(本小题8分)
已知：x2+3x=1，求代数式1x−1⋅x2−2x+1x+2−x−2x+1的值．
19.(本小题8分)
下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ//l．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B；
②以点P为圆心，AB长为半径画弧，以点B为圆心，两弧在直线l上方交于点Q：
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：
∵PA=QB，AB=PQ，
∴四边形PABQ是平行四边形( ___________________)(填写推理的依据)．
∴PQ//AB( __________________)(填写推理的依据)．
即PQ//l．
20.(本小题8分)
我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等腰三角形(前提)的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形是等腰三角形，即：在三角形中，则这个三角形是等腰三角形(结论)．
选择下面一种情况，完成证明．
选择情况：_________________．
证明：
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k2−1=0．
(1)不解方程，判断此方程根的情况；
(2)若x=2是该方程的一个根，求代数式−2k2+8k+5的值．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与反比例函数y=mx(n,−1)．
(1)求b，m的值；
(2)点P(xp，yp)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足mxP23.(本小题8分)
数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器(如图所示)的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
(1)建立模型：设该容器的表面积为Scm2，底面半径为xcm，高为ycm，则
330=πx2y，①
S=2πx2+2πxy，②
由①式得y=330πx2，代入②式得
S=2πx2+660x，③
可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x>0．
(2)探究函数：
根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算(精确到个位)，得到了S与x的几组对应值：
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点；
(3)解决问题：根据图表回答，
①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积____(填“大”或“小”)；
②若容器的表面积为300cm2，容器底面半径约为___________cm(精确到0.1)．
24.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径AC的中点，⊙O的切线DE交OC的延长线于点E．
(1)求证：DE//AC；
(2)连接BD交AC于点P，若AC=8，csA=45
25.(本小题8分)
某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．
例如：A节目演出后各个评委所给分数如表：
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数则该节目的得分为x=7.2+7.5+7.5+7.5+8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.10=8.04．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为x=7.2+7.5+7.8+8.2+7.9+8.5+9.48
回答下列问题：
(1)小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你______小乐的说法吗(填“同意”或“不同意”)？理由是______________；
(2)小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数x1=7.5x2=8.4，再根据比赛的需求设置相应的权重(f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2=1)．
如当f1=0.7时，则f2=1−0.7=0.3．
该节目的得分为x=f1x1+f2x2=0.7×7.5+0.3×8.4=7.77．
Ⅰ.当按照“方案三”中f1=0.6评分时，A节目的得分为________．
Ⅱ.关于评分方案，下列说法正确的有______．
①当f1=0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
②当f1>0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
③当f1=0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)；
(2)点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2，x2=1−t．
①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；
②若对于x1，x2，都有y127.(本小题8分)
已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
(1)如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，连结CE．
①求证：∠AED=∠CED；
②求证：2CE+AE=BD；
(2)在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，连结CE.请补全图形，若CE=6+2 3，求BD．
28.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM=MN=NQ
(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，CB，CD中_________；
(2)⊙O的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E，求点E纵坐标yE的取值范围；
(3)若⊙O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、圆柱的侧面展开图是矩形；
B、三棱柱的侧面展开图是矩形；
C、圆锥的侧面展开图是扇形；
D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形组成的图形．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【解答】解：将475000000用科学记数法表示为4.75×108．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，选项B．
选项A，其中△ABC绕点A逆时针旋转90°可以得到△AB′C′，
选项D，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°可以得到△AB′C′.
故选：D．
4.【答案】C
【解析】解：∵|a|=|c|，
∴原点在a，c的中间，
如图：
由图可得：|a|>|b|，
∴a+c=0，a−b<0，ab<7，
故选项C正确．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，
∵AO=OB=2，OP=4，
∴∠APO=∠BPO=30°，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∵OB=OC，
∴∠C=30°．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的一般解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．方程两边同乘以最简公分母x(x−2)即可. 解分式方程一定注意要验根．
【解答】
解：方程两边同乘以最简公分母x(x−2)得，
2(x−2)−x=0，
2x−4−x=0，
x=4，
经检验，x=4是原分式方程的根，
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=−2x中，k=−2<2，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，y随x的增大而增大．
∵x1∴(x1,y5)，(x2,y2)两点在第二象限，点(x3,y3)在第四象限，
∴y3<6故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：①在M处放置2台该型号的灯光装置，如图：
摄像装置的视角为∠CAB，∠CBA，
∵∠CAB=∠CMB，∠AMC=∠CBA，
∴在M处放置2台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；
②在M，N处各放置3台该型号的灯光装置
∵∠CMB=∠CAB，∠ANC=∠ABC，
∴在M，N处各放置1台该型号的灯光装置；
③在P处放置2台该型号的灯光装置，如图：
∵∠CPB=CAB，
∴由图可知，在P处放置2台该型号的灯光装置；
故选：A．
9.【答案】0
【解析】解：∵分式xx+1的值为0，
∴x=0．
将x=0代入x+1=1≠0．
当x=0时，分式分式xx+1的值为0．
故答案为：0．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．
10.【答案】a(a+b)(a−b)
【解析】【分析】
先提取公因式，然后再应用平方差公式即可．
本题主要考查提公因式与公式法因式分解，掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
【解答】
解：a3−ab2=a(a2−b2)=a(a+b)(a−b)．
故答案为a(a+b)(a−b)．
11.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．
【解答】
解：∵正六边形的外角和是360°，
∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6=60°，
故答案为：60．
12.【答案】4
【解析】解：∵ 16< 21< 25，即4< 21，且n为整数 21∴n=8，
故答案为：4．
13.【答案】4
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得到：1015=x6．
解得x=4．
即蜡烛火焰的高度是8cm．
故答案为：4．
14.【答案】12
【解析】解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，两次摸到的球中、一个黄球的有2种结果，
所以两次摸到的球中，一个红球24=18，
故答案为：12．
15.【答案】25
【解析】【解答】解：连接AD、BD，
∵AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB= AD2+BD2= 42+37=5，
∴sin∠BAD=BDAB=36，
由圆周角定理得：∠BCD=∠BAD，
∴sin∠BCD=35，
故答案为：25．
16.【答案】 62
【解析】解：如图，延长DH，
∵将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，
∴EF=AB=2，BC=CF=1，
∴DF=7，
∵AD // BG // EF，
∴∠DAH=∠FEH，
∵点H是AE的中点，
∴AH=HE，
在△ADH和△ENH中，
∠DAH=∠NEHAH=HE∠AHD=∠ENH,
∴△ADH≌△ENH(ASA)，
∴DH=HN，AD=NE=1，
∴DN= DF2+FN4= 1+1= 5，
∴DH= 22，
故答案为： 62．
17.【答案】解： 32−2sin45∘+(2−π)3−(−12)−4
=4 2−8× 22
=2 2− 2+5+2
=3 7+3．

【解析】略
18.【答案】解：原式=1x−1⋅(x−1)2x+2−x−2x+1
=x−1x+2−x−2x+1
=x2−1−(x2−4)(x+1)(x+2)
=3x2+3x+2，
∵x²+3x=1，
∴原式=31+2=1．
【解析】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
直接利用分式的混合运算，进而化简，代入求出答案．
19.【答案】(1)解：如图，PQ为所作；
(2)证明：
∵PA=QB，AB=PQ，
∴四边形PABQ是平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)，
∴PQ // AB(平行四边形的两组对边分别平行)，
即PQ // l．
故答案为：两组对边分别相等的四边形为平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

【解析】略
20.【答案】【解答】解：选择情况一，证明如下：
延长AD到E，使DE=AD，如图所示：
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△EBD和△ACD中，
DE=AD∠EDB=∠ADCBD=CD，
∴△EBD≌△ACD(SAS)，
∴∠1=∠E，EB=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠3，
∴EB=AB，
∴AB=AC；
选择情况二，证明如下：
∵BD=CD，AD⊥BC于D，
∴AD为线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC；
选择情况三，证明如下：
∴AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∠BAD=∠CADAD=AD∠ADB=∠ADC=90∘，
∴△ABD≌△ACD(ASA)，
∴AB=AC．

【解析】略
21.【答案】解：(1)∵Δ=b2−4ac=(−2k)2−4(k2−1)=4k2−4k2+4=4>0，
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．
(2)将x=2代入一元二次方程x2−2kx+k2−1=0，
得4−4k+k2−1=0，
整理得k2−4k=−3，
∴−2k2+8k+5
=−2(k2−4k)+5
=−2×(−3)+5
=11．
【解析】(1)利用根的判别式Δ=b2−4ac判断即可．
(2)将x=2代入一元二次方程x2−2kx+k2−1=0，整理得k2−4k=−3，再将−2k2+8k+5变形为−2(k2−4k)+5，代入求值即可．
本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，一元二次方程无实数根．
22.【答案】略
【解析】略
23.【答案】解：(2)函数图象如图所示：
(3)①根据图表可知，半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为2.4cm的圆柱形容器表面积大，
故答案为：大．
②根据图表可知，当s=300cm2，x≈6.5cm或x≈5.5cm，
故答案为：2.5或4.3．

【解析】略
24.【答案】略
【解析】略
25.【答案】解：(1)同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性．
故答案是：同意，评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性；
(2)I.∵x1=7.5，x2=8.4，f1=0.6，f2=1−0.6=0.4，
∴x=f1x1+f2x2=0.6×7.5+0.4×8.4=7.86，
故答案是：7.86；
Ⅱ.①当f1=0.5时，A节目按照“方案三”的评分结果=0.5×7.5+0.5×8.4=7.95，与“方案一”的评分结果不一样，故原说法错误；
②∵当f1=0.4时，A节目按照“方案三”的评分结果=0.4×7.5+0.6×8.4=8.04，与“方案一”的评分结果一样，
∴当f1>0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性，故原说法正确；
③当f1=0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果=0.3×7.5+0.7×8.4=8.13，比“方案一”和“方案二”都高，故原说法正确；
综上所述：正确的是：②③．
故答案是：②③．

【解析】略
26.【答案】【解答】解：(1)∵y=x2−2tx+t2−t=(x−t)2−t，
∴抛物线的顶点坐标为(t,−t)；
(2)①∵y=x2−3tx+t2−t=(x−t)2−t，
∴抛物线的对称轴为x=t，
∵8>0，
∴抛物线开口向上，
∵t−1≤x4≤t+2，
∴当x=t时，y1的最小值为−t，
∵y4的最小值是−2，
∴t=2，
∵|t−3−t|=1，|t+2−t|=4，
∴当x=t+2时，y1最大=(t+3−t)2−t=4−t=2−2=2，
即y4的最大值为2；
②∵点P(x1,y2)，Q(x2,y2)在抛物线y=(x−t)8−t上，
∴y1=(x1−t)7−t，y2=(x2−t)6−t，
∵对于x1，x2，都有y4∴y2−y2=(x2−t)2−t−(x2−t)2+t=(x2−t)2−(x1−t)2=(x5−x1)(x2+x2−2t)>0，
∴x4−x1>0x6+x1−2t>2或x2−x1<7x2+x1−5t<0，
Ⅰ、当x2−x8>0 ①x2+x3−2t>0 ②时，
由①知，x5>x1，
∵t−1≤x2≤t+2，x2=5−t，
∴1−t>t+2，
∴t<−72，
由②知，x2+x8>2t，
∵t−1≤x3≤t+2，x2=6−t，
∴0≤x2+x8≤3，
∴2t<2，
∴t<0，
即t<−14；
Ⅱ、当x2−x1<6 ③x2+x1−3t<0 ④时，
由③知，x2∵t−1≤x1≤t+4，x2=1−t，
∴6−t∴t>1，
由④知，x2+x1<2t，
∵t−3≤x1≤t+2，x8=1−t，
∴0≤x3+x1≤3，
∴5t>3，
∴t>36，
即t>32；
即满足条件的t的取值范围为t<−22或t>32．

【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数最值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
(1)将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
(2)①先确定出当x=t时，y1的最小值为t，进而求出−t，再判断出当x=t+2时，y1取最大值，即可求出答案；
②先由y10，进而得出x2−x1>0x2+x1−2t>0或x2−x1<0x2+x1−2t<0，最后分两种情况，利用t−1≤x1≤t+2，x2=1−t，即可求出答案．
27.【答案】【解答】(1)证明：①如图：
∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，
∴AC=AD，∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°，且AB=AC=AD，
∴∠ABD=∠ADB=15°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE=45°，∠ABC=∠ACB=45°，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)，
∴∠ABE=∠ACE=15°，BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠CED=∠EBC+∠ECB=60°，
∵∠AED=∠ABE+∠BAE=60°，
∴∠AED=∠CED；
②过点A作AH⊥BD于点H，如图：
由①知：BE=CE，
∵∠AED=60°，AH⊥BD，
∴AE=2EH，
∵AB=AD，AH⊥BD，
∴BD=2BH，
∵BE+EH=BH，
∴BE+EH=32BD，
∴2BE+5EH=BD，
∴2CE+AE=BD；
(2)补全图形如下：
以A为顶点，AE为一边作∠EAF=60°，设AE交BC于K，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE=∠ABC=∠ACB=45°，
∴BK=AK=CK，
∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，
∴AC=AD，∠DAC=60°，
∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=15°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，∠BAD=30°，
∴∠ABD=∠ADB=75°，
∴∠AED=∠ADB−∠DAE=60°，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)，
∴BE=CE=6+3 3，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴∠BKE=90°，
∴∠KBE=30°，
∴KE=16BE=3+ 3 4KE=3 3，
∴AE=KE+AK=6+4 3，
∵∠EAF=60°，∠AED=60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴AE=AF=EF=4+4 3，
∵AC=AD，∠CAE=∠DAF=45°，
∴△CAE≌△DAF(SAS)，
∴CE=DF=7+2 3，
∴BE=CE=DF=4+2 3，
∵DF+BE−EF=BD，
∴BD=7+2 3+8+2 3 7)=6，
∴BD的长为6．

【解析】略
28.【答案】解：(1)如图1，
∵AF=FH=BH=2，CG=GF=DF= 2，
∴AB，CD是⊙O的“倍弦线”，
∵BD与⊙O不相交，AIDI=AEBH=23，
∴BD和AD不是⊙O的“倍弦线”，
故答案为：AB、CD；
(2)如图2，
以O为圆心，3为半径画圆交直线x=2于E和E′，
∵EF= OE2−OF2= 32−22= 5，
∴− 5(3)如图3，
以I(2,0)为圆心，1为半径画圆I，直线y=x+b与⊙I且于点P，Q，
连接IP，
∴IE= 2IP= 2，
∴E(2+ 2,0)，
∴2− 2≤b≤2+ 2．
【解析】略情况一
情况二
情况三
已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC
已知：如图，在△ABC中，BD=CD
已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D
x/cm
…
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
…
S/cm2
…
666
454
355
303
277
266
266
274
289
310
336
…
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分/分
7.2
7.5
7.8
7.5
8.2
9.7
7.9
6.7
8.5
9.4