2023年北京市顺义区中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京市顺义区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是某个几何体的三视图，则该几何体是(    )

A. 圆锥
B. 长方体
C. 三棱柱
D. 圆柱

2.  据国家统计局官网发布的“中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报”显示，我国企业研发投入继续保持两位数增长，年全年研究与试验发展经费支出亿元，比上年增长，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，相交于点，，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不透明的袋子中有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是黑色的，从中随机同时摸出两枚棋子，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，要把角钢变成夹角是的钢架，则在角钢上截去的缺口的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，小球从左侧的斜坡滚下，沿着水平面继续滚动一段距离后停止在这个过程中，小球的运动速度单位：与运动时间单位：的函数图象如图所示，则该小球的运动路程单位：与运动时间单位：之间的函数图象大致是(    )
 

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．

10.  分解因式：______．

11.  方程的解为______ ．

12.  在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”“”或“”．

13.  如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，若，，则的周长是______ ．

14.  如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为______ ．

15.  某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者出生年份分布扇形图和年后出生的互联网行业从业者岗位分布条形图．

根据该统计结果，估计年后出生的互联网行业从业者中，从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比是______ 精确到

16.  某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有位女士游客准备同时住这三种客房共间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案______ ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为元间、元间、元间，则最优惠的住宿方案是______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
在证明“等腰三角形的两个底角相等”这个性质定理时，添加的辅助线有以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．

21.  本小题分
如图，▱的对角线，相交于点，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．
求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是矩形．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．
求该函数的解析式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
北京市共青团团委为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，鼓励学生积极参加志愿活动为了解九年级未入团学生参加志愿活动的情况，从、两所学校九年级未入团学生中，各随机抽取名学生，在“志愿北京”上查到了他们参加志愿活动的时长部分数据如下：
两校志愿活动时长小时如下：
校：


校：


两校志愿活动时长频数分布直方图数据分成组：，，，，：

两校志愿活动时长的平均数、众数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
补全校志愿活动时长频数分布直方图；
直接写出表中，的值；
根据北京市共青团团委要求，“志愿北京”上参加志愿活动时长不够小时不能提出入团申请，若校九年级未入团学生有人，从志愿活动时长的角度看，估计校有资格提出入团申请的人数．

24.  本小题分
如图，在中，是直径，是弦，点在上，于点，，交的延长线于点，且．
求证：是的切线：
若，，求的长．

25.  本小题分
铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为单位：，竖直高度为单位：由电子监测获得的部分数据如下：

根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出与的函数图象；
请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．

26.  本小题分
已知：抛物线．
求此抛物线与轴的交点坐标及抛物线的对称轴；
已知点，在该抛物线上，且位于对称轴的同侧若，求的取值范围．

27.  本小题分
已知：如图，中，，，点在边上，点关于直线的对称点为，射线交直线于点，连接．
设，用含的代数式表示的大小，并求的度数；
用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28.  本小题分
给出如下定义：对于线段，以点为中心，把点逆时针旋转得到点，点叫做线段关于点的“完美点”．
例如等边中，点就是线段关于点的“完美点”．

在平面直角坐标系中．
已知点，在，，，中，______ 是线段关于点的“完美点”；
直线上存在线段，若点恰好是线段关于点的“完美点”，求线段的长；
若，，点是线段关于点的“完美点”，点是线段关于点的“完美点”当线段分别取得最大值和最小值时，直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示应为，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
不正确．
B、，
，
不正确．
C、，
，
，
不正确．
D、，
，
，
D正确．
故选：．
利用相反数表示出和，根据数的比较的方法判断即可．
本题考查了用数轴表示点、相反数、数的比较，灵活的判断和比较是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
又，
．
故选：．
根据垂直的定义，由，得由，得．
本题主要邻补角、垂直，熟练掌握邻补角的定义、垂直的定义是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：画出树状图如下，可见，摸出的两枚棋子颜色相同的概率是．
故选：．

根据本题意，画出树状图即可解答．
本题考查了利用树状图法求概率，要做到勿漏、勿多，同时要适时利用概率公式解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为缺口角加，在截取之前的角是平角，
所以在角钢上截去的缺口的度数为．
故选：．
因为在截取之前的角是平角，截完弯折后左右两边重合，所组成的新角是，所以缺口角易求．
本题考查了角的计算，截取弯成后的角与缺口角是互补的，理解这个问题是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意小球在左侧斜坡上时，，
，
小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程是的二次函数，图象开口向上；
小球在水平直线上滚动时，，
，
小球匀变速直线运动，运动的路程是的二次函数，图象开口向下．
故选：．
根据小球运动时的速度与时间图象设出函数解析式，再根据运动的路程速度时间分别列出函数解析式判断即可．
本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：
考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．
本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止．
完全平方公式：．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
反比例函数的图象在一、三象限，
，
点，在第一象限，随的增大而减小，
，
故答案为：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：垂直平分线分别交，于点、，
，
，
，
周长．
故答案为：．
由的垂直平分线分别交、于点、，易得的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
先利用平角定义求出的度数，然后再利用圆周角定理进行计算，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图得，整个互联网行业从业者中年后占，
年后出生的互联网行业从业者中从事技术岗位的人数占，
，
从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比是．
故答案为：．
将相关的两个百分比相乘即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，解题关键是百分比的含义．
 

16.【答案】二人间间、三人间间、四人间间答案不唯一  二人间间、三人间间、四人间间 

【解析】解：设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意得：
，
解得：，
，
，，是正整数，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
租房方案有种．
方案：二人间间、三人间间、四人间间；
方案：二人间间、三人间间、四人间间；
方案：二人间间、三人间间、四人间间．
方案：元；
方案：元；
方案：元；
，
最优惠的住宿方案是：二人间间、三人间间、四人间间，
故答案为：二人间间、三人间间、四人间间答案不唯一，二人间间、三人间间、四人间间．
首先设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意可得方程组，解方程组可得，又由，，是非负整数，即可求得答案．
此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据，，是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为得：．
在数轴上表示为：
 

【解析】根据去分母，去括号，移项并合并同类项，系数化为的步骤计算即可．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
 

19.【答案】解：原式，
，
，
，
原式，


． 

【解析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案．
本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

20.【答案】方法一：
证明：如图，作的平分线交于点，

则，
在和中，
，
≌，
；
方法二：
证明：如图，取的中点，连接，

则，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】方法一：作的平分线交于点，证≌，即可得出结论；
方法二：取的中点，连接，证≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形． 

【解析】由四边形是平行四边形易知，，再证得，即可得出结论；
由平行四边形的性质证出，根据矩形的判定可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法．
 

22.【答案】解：函数的图象经过点，，
，
，
一次函数的表达式为；
如图，把代入得，
把点代入得，，
，
当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则的取值范围是． 

【解析】把点，代入得到方程组，解方程组即可得到结论；
求得时，函数的对应值，代入求得的值，即可求得的取值范围．
题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
 

23.【答案】解：校活动时长频数在组的有人，活动时长频数在组的有人，
补全校志愿活动时长频数分布直方图如图所示，
由表格可知，，，
，；
人，
答：估计校有资格提出入团申请的人数为人． 

【解析】根据题意求得在组，在组的人数，补全校志愿活动时长频数分布直方图即可；
根据众数和中位数的定义即可得到结论；
根据活动时长够小时的人数占总人数的百分比乘以，即可得到结论．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解连接、，
，，且，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
答：的长．
 

【解析】根据证出是的平分线，再利用平行证出即可．
利用三角函数求出和，再用即可．
本题考查了切线的判定、平行的性质、角平分线的判定、三角函数的应用等知识点，计算的准确性是解题关键．
 

25.【答案】解：铅球竖直高度的最大值为，
根据表中数据可知，二次函数图象的顶点是，
函数关系式为，
二次函数图象过点，
，
解得：，
函数关系式为；
函数图象如图：

根据函数图象可知，本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离为；
令得：，
解得：或舍去，
本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离为． 

【解析】根据表格数据即可铅球竖直高度的最大值，则可得函数关系式为，将代入函数关系式中求出值即可；
根据表格数据，描点，连线即可画出函数图象；
根据函数图象即可得到结果，或令，求出即可得到结果．
本题主要考查二次函数的应用，熟知二次函数顶点式的特征，并会利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．
 

26.【答案】解：当时，，
抛物线与轴交点坐标为，
对称轴；
点，在该抛物线上，且位于对称轴的同侧，
，，
，
，
当点、在对称轴的右侧时，，
，
解得，
，
；
当点、在对称轴的左侧时，，
解得，
，
解得，
，
，
综上所述，满足条件的的取值范围是． 

【解析】当时，求出的值，即可确定抛物线与轴交点坐标，根据对称轴公式求解即可；
根据点，在该抛物线上，且位于对称轴的同侧，可得，，根据，可得，当点、在对称轴的右侧时，当点、在对称轴的左侧时，分别求解的取值范围即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

27.【答案】解：点、关于直线对称，
，，
，
，
，
，
，
；
线段、、之间的数量关系为：，证明如下：
如图，过点作交延长线于点，

点、关于直线对称，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】由轴对称的性质得，，再由直角三角形的性质得，进而证，则，即可解决问题；
过点作交延长线于点，证是等腰直角三角形，得，，再证≌，得，则，然后由等腰直角三角形的性质得，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：如图：

由图可知，将绕点逆时针旋转可得，
是线段关于点的“完美点”；
故答案为：；
设直线交轴于，交轴于，过作于，如图：

在中，令得，令得，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
点是线段关于点的“完美点”，
，，
，是等边三角形，
，
；
点是线段关于点的“完美点”，点是线段关于点的“完美点”，
，，，，
，都是等边三角形，
，，
当在的延长线上时，最大为，过作于，如图：

，，
，，
，
；
当在线段上时，最小为，过作交延长线于，如图：

，，
，，
，
；
最大时，，最小时，．
画出图形，根据“完美点“定义可得答案；
设直线交轴于，交轴于，过作于，在中，令得，令得，得，，是等腰直角三角形，即可得，根据点是线段关于点的“完美点”，可得，是等边三角形，故B，从而；
由点是线段关于点的“完美点”，点是线段关于点的“完美点”，得，都是等边三角形，，，当在的延长线上时，最大，过作于，可求得；当在线段上时，最小，过作交延长线于，同理可得．
本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，旋转变换，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是读懂“完美点“定义，作辅助线，构造直角三角形解决问题．