2024年北京市丰台区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市丰台区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功.一架C919飞机最大储油量超过19000千克.将数据19000用科学记数法表示为( )
A. 0.19×105B. 1.9×104C. 1.9×103D. 19×103
2.窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，直线a//b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB.若∠1=32∘，则∠2的大小为( )
A. 32∘B. 58∘C. 74∘D. 106∘
4.已知实数a，b满足a>b−1，则下列结论正确的是( )
A. a>bB. ab+1D. a+25.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为( )
A. 22.5∘B. 45∘C. 60∘D. 135∘
6.若关于x的方程ax2−3x+c=0有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，c的值可以是( )
A. a=0，c=1B. a=1，c=3
C. a=−2，c=−4D. a=−1，c=3
7.不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别.从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的点，AE=AF，且0 a2+b2；②2 a2+b2>c；③a+b> 22c.述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若代数式xx−3有意义，则实数x的取值范围是__________.
10.分解因式：ax2−4ay2=__________.
11.方程3x+2−1x=0的解为__________.
12.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(m,6)和B(−3,4)，则m的值为__________.
13.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF，连接EF并延长，与CB的延长线交于点M.若BC=8，则线段CM的长为__________.
14.2011年国际数学协会正式宣布：将每年的3月14日设为“国际数学节”.某学校在3月14日举办了校园数学节活动，学生可通过参加多项数学活动获得积分(百分制)，次日兑换奖品.为了更好地准备奖品，学生会干部从全校300名学生中随机抽取60名学生的积分，得到数据的频数分布直方图如图(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100).根据以上数据，估计该校300名学生中积分不低于70分的学生人数约为__________.
15.如图，A，B，C是⊙O上的点，OA⊥BC，点D在优弧BC上，连接BD，AD.若∠ADB=30∘，BC=2 3，则⊙O的半径为__________.
16.车间里有五台车床同时出现故障.已知第一台至第五台修复的时间如表：
若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产.
(1)若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③C→A→E→B→D中，经济损失最少的是__________(填序号)；
(2)若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为__________元.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：|−3|+2cs30∘−(13)−1− 12.
18.(本小题5分)
解不等式组：2x−3>3x−52x+63<2−x.
19.(本小题5分)
已知x−3y−2=0，求代数式2x−6yx2−6xy+9y2+4x−3y的值.
20.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，延长CB至D，使得BD=CB，过点A，D分别作AE//BD，DE//BA，AE与DE交于点E，连接BE.
(1)求证：四边形ACBE是矩形；
(2)连接AD，若AD=5 2，tan∠BAC=23，求AC的长.
21.(本小题6分)
小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州.假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14km/h，从宜昌到荆州的速度约为10km/h.从奉节到荆州的水上距离约为350km.经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1h.
根据小刚的假设，回答下列问题：
(1)奉节到宜昌的水上距离是多少km？
(2)李白能在一日(24h)之内从白帝城到达江陵吗？说明理由.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(2,1)和B(0,−1).
(1)求该函数解析式；
(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=12x+n的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值且大于−4，直接写出n的取值范围.
23.(本小题5分)
为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会.其中男子立定跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛.现将进入决赛的10名学生的立定跳远成绩(单位：厘米)，数据整理如下：
a.10名学生立定跳远成绩：244，243，241，240，240，238，238，238，237，236
b.10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数：
(1)写出表中m，n的值；
(2)现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛.在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛：
i.平均成绩高于已进入决赛的10名学生中一半学生的成绩；
ⅱ.成绩最稳定.
①若甲学生前4次复活赛测试成绩为236，238，240，237，要满足条件i，则第5次测试成绩至少为______(结果取整数)；
②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如表：
则可以进入决赛的学生为______(填“甲”“乙”或“丙”).
24.(本小题6分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作⊙O的切线CE交AD的延长线于点E.
(1)求证：CE⊥AE；
(2)连接BD，若BC=6，AC=8，求BD的长.
25.(本小题6分)
一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低.这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入.但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本.某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：
设水果保鲜存储的时间为t天(1≤t≤20)，当日每千克水果出售价格为y1元，每千克水果保鲜存储成本为y2元.
(1)根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元；
(2)通过分析表格中的数据，发现y1，y2都可近似看作t的函数，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(t,y1)，并用平滑曲线连接这些点；
(3)结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天(结果取整数)时，出售每千克水果所获得的收益超过4元.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，M(2,y1)，N(5,y2)是抛物线y=x2−2ax上的两点.
(1)直接写出一个a的值，使得y1(2)P(x3,y3)是抛物线y=x2−2ax上不同于M，N的点，若对于027.(本小题7分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是BC中点，点E是线段BC上一点，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转α得到线段AF，连接EF.
(1)如图1，当点E与点D重合时，线段EF，AC交于点G，求证：点G是EF的中点；
(2)如图2，当点E在线段BD上时(不与点B，D重合)，若点H是EF的中点，作射线DH交AC于点M，补全图形，直接写出∠AMD的大小，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C，给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”.
(1)已知点A(−1,0).
①如图1，若⊙O的弦AB= 3，在点C1(−1, 3)，C2(−1,1)，C3(−1,− 3)中，弦AB的“关联点”是______；
②如图2，若点B(−12,− 32)，点C是⊙O的弦AB的“关联点”，直接写出OC的长；
(2)已知点D(3,0)，线段EF是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的直径，对于线段EF上任意一点S，存在⊙O的弦AB，使得点S是弦AB的“关联点”.当点S在线段EF上运动时，将其对应的弦AB长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：19000=1.9×104.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】D
【解析】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
由CA=CB可得△ABC是等腰三角形，从而可求∠CBA的大小，再结合平行线的性质即可解答．
【解答】
解：∵CA=CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CBA=∠CAB=(180∘−32∘)÷2=74∘，
∵a//b，
∴∠2=∠CBA=74∘.
故选C.
4.【答案】C
【解析】解：若a>b−1，不等式两边加1可得1+a>b，故A、B不合题意；
若a>b−1，不等式两边加2可得a+2>b+1，故D不合题意，C符合题意，
故选：C.
根据不等式的基本性质逐项判定即可．
本题主要考查不等式的基本性质，不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
5.【答案】B
【解析】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360∘，
∴它的一个外角∠1=360∘÷8=45∘.
故选：B.
由多边形的外角和定理和正多边形的性质直接可求出结论．
本题主要考查了多边形外角和定理，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、当a=0，c=1时，方程只有一个实数根，本选项不符合题意；
B、当a=1，c=3时，Δ<0，方程没有实数根，本选项不符合题意；
C、当a=−2，c=−4时，Δ<0，方程没有实数根，本选项不符合题意；
D、当a=−1，c=3时，Δ>0，方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故选：D.
根据a，c的值，判断出判别式的符号，可得结论．
本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查用树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．根据题意，先画出树状图，然后即可得到这两个小球上的数字之和是5的概率．
【解答】
解：树状图如下所示：
，
由上可得，一共有12种等可能性，其中这两个小球上的数字之和是5的可能性有4种，
∴这两个小球上的数字之和是5的概率是412=13，
故选B.
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90∘，AB=AD，BD= 2AD，
∴AD= 22BD，
∴a+b= 22c，故③错误．
∵EH⊥BC，FG⊥CD，
∴四边形AEHB是矩形，四边形AFGD是矩形，四边形AFOE是矩形，
又∵AE=AF，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF=OE=OF=a，
∴OD= DE2+OE2= a2+b2，
∵OE+DE>DO，
∴a+b> a2+b2，故①正确．
∵AD=AB，AE=AF，
∴DE=BF，
又∵∠DEO=∠BFO=90∘，OE=OF，
∴△DEO≌△BFO(SAS)，
∴DO=BO= a2+b2，
∵BO+DO>BD，
∴2 a2+b2>c，故②正确，
故选：A.
由正方形的性质可得∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90∘，AB=AD，BD= 2AD，通过证明四边形AEOF是正方形，可得AE=AF=OE=OF=a，由三角形的三边关系和全等三角形的性质依次判断可求解．
本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9.【答案】x≠3
【解析】解：∵x−3≠0，
∴x≠3.
故答案为：x≠3.
根据分式的分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
10.【答案】a(x+2y)(x−2y)
【解析】解：ax2−4ay2
=a(x2−4y2)
=a(x+2y)(x−2y).
观察原式ax2−4ay2，找到公因式a，提出公因式后发现x2−4y2符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
本题考查了提公因式法和公式法分解因式，难点在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．
11.【答案】x=1
【解析】【分析】
方程两边都乘x(x+2)得出3x−(x+2)=0，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
【解答】
解：3x+2−1x=0，
方程两边都乘x(x+2)，得3x−(x+2)=0，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x+2)≠0，
所以分式方程的解是x=1.
故答案为：x=1.
12.【答案】−2
【解析】解：∵函数y=kx(k≠0)的图象经过点B(−3,4)，
∴k=−3×4=−12，
∴反比例函数的关系式为y=−12x，
又∵A(m,6)在反比例函数的关系式为y=−12x的图象上，
∴6=−12m，
∴m=−2.
故答案为：−2.
将点B(−3,4)代入反比例函数y=kx(k≠0)可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点A(m,6)代入计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
13.【答案】10
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴DE=12BC=12×8=4，DE//BC，
∴△FBM∽△FDE，
∴BMDE=BFDF，即BM4=12，
解得：BM=2，
∴CM=BM+BC=2+8=10，
故答案为：10.
14.【答案】200名
【解析】解：估计该校300名学生中积分不低于70分的学生人数约为300×14+18+860=200(名)，
故答案为：200名．
总人数乘样本中积分不低于70分的学生人数所占比例即可．
本题主要考查频数分布直方图及用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
15.【答案】2
【解析】解：连接OB，
∵OA⊥BC，
∴BE=12BC= 3，
∵∠ADB=30∘，
∴由圆周角定理得∠AOB=60∘，
∴OB=BEsin60∘= 3 32=2.
故答案为：2.
根据垂径定理求出BE，由圆周角定理得到∠AOB，再根据正弦的定义即可求出OB.
本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
16.【答案】①
1010

【解析】解：(1)要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，先修复时间短的，即按7、8、10、15、29分钟顺序修复，
故选：①；
(2)一名修理工修按D， E， C的顺序修，另一名修理工修按 B， A的顺序修，
7×5+1×4+9×3+6×2+23=101(分)，
101×10=1010(元)
故答案为：1010.
(1)因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；
(2)一名修理工修按D， E， C的顺序修，另一名修理工修按 B， A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可.
本题考查了推理，有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．
17.【答案】解：原式=3+2× 32−3−2 3
=3+ 3−3−2 3
=− 3.
【解析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：{2x−3>3x−5①2x+63<2−x②，
解不等式①得：x<2，
解不等式②得：x<0，
∴原不等式组的解集为：x<0.
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：2x−6yx2−6xy+9y2+4x−3y
=2(x−3y)(x−3y)2+4x−3y
=2x−3y+4x−3y
=6x−3y，
∵x−3y−2=0，
∴x−3y=2，
∴原式=62=3.
【解析】先化简所求式子，然后根据x−3y−2=0，可以得到x−3y=2，再代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AE//BD，DE//BA，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE=BD.
∵BD=BC，
∴AE=BC.
∵AE//BC，
∴四边形AEBC是平行四边形．
∵∠C=90∘，
∴四边形AEBC是矩形．
(2)解：连接AD，
∵tan∠BAC=CBAC=23，
∴设CB=2k，AC=3k.
∴CD=4k.
∵AC2+DC2=AD2，
∴(3k)2+(4k)2=(5 2)2，
∴k= 2.
∴AC=3 2.
【解析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE=BD，推出四边形AEBC是平行四边形，根据∠C=90∘得到结论；
(2)连接AD，设CB=2k，AC=3k，根据勾股定理即可得到结论．
21.【答案】解：(1)奉节到宜昌的水上距离为x千米，
根据题意得：x14−350−x10=1，
解得x=210，
答：奉节到宜昌的水上距离为210千米；
(2)21014+350−21010=15+14=29(小时)，
∵29>24，
∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．
【解析】(1)奉节到宜昌的水上距离为x千米，根据从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1h列出方程，解方程即可；
(2)用两段时间之和计算即可．
本题考查一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．
22.【答案】解：(1)把点A(2,1)和B(0,−1)代入y=kx+b，
则2k+b=1b=−1，解得k=1b=−1，
∴该函数解析式为y=x−1.
(2)由y=x−1知，当x=−2时，y=−3.
在平面直角坐标系中画出直线y=x−1和满足条件的直线y=12x+n，如图．
∵当x>−2时，函数y=12x+n的值小于函数y=x−1的值，
∴当y=12x+n过点(−2,−3)时满足题意，
∴12×(−2)+n=−3，解得n=−2；
∵当x>−2时，函数y=12x+n的值大于−4，
∴当y=12x+n过点(−2,−4)时满足题意，
∴12×(−2)+n=−4，解得n=−3.
综上所述，满足条件的n的取值范围为−3≤n≤−2.
【解析】(1)利用待定系数法可求出函数解析式即可；
(2)根据函数图象得出当y=12x+n过点(−2,−3)和(−2,−4)时满足题意，把点(−2,−3)和(−2,−4)代入解析式求出n的值，再结合图象求出n的取值范围即可．
本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
23.【答案】244 丙
【解析】解：(1)将10名学生立定跳远成绩从大到小排列为244，243，241，240，240，238，238，238，237，236，
其中，第5个数据为240，第6个数据为238，所以这组数据的中位数为：(240+238)÷2=239，即m=239；
从这组数据可以看出，238出现的次数最多，所以这组数据的众数为238，即n=238；
故答案为：239、238.
(2)①根据条件1可知，甲的跳远成绩平均数应大于等于239，
故设第五成绩为x厘米，
(236+238+240+237+x)÷5≥239，
x≥244，
所以第5次测试成绩至少为244厘米；
②甲：(236+238+240+237+237)÷5=237.6(厘米)，
乙：(237+239+240+244+235)÷5=239(厘米)，
丙：(237+242+237+239+240)÷5=239(厘米)，
所以，乙和丙的成绩较高，
据此进一步比较两者的数据稳定性，
其中乙的数据大约分布在235−244，丙的数据大约分布在237−242，
可以看出，丙的数据比乙的数据波动较小，具有更好的稳定性，
所以，可以进入决赛的学生为丙．
故答案为：244、丙．
(1)根据中位数和众数的概念，即可解答；
(2)①根据题意，根据10名学生立定跳远成绩中位数，再结合平均数的概念即可解答；
②现根据条件1，求出甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩的平均数，和决赛的10名学生成绩的中位数进行比较，
再根据条件2，利用方差的概念，分析比较谁的数据更稳定即可解答．
本题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握相关定义和公式是解题关键．
24.【答案】(1)证明：连接OC.
∵CE切圆于C，
∴OC⊥CE，
∵C是BD的中点，
∴∠CAD=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠CAD=∠ACO，
∴CO//AE，
∴CE⊥AE.
(2)∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90∘，∠ADB=90∘，
∵BC=6，AC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∴OB=5，
∵OC//AE，BD⊥AD，
∴OC⊥BD，
∴BD=2BH，
令CH=x，
∵BH2=BC2−CH2=OB2−OH2，
∴62−x2=52−(5−x)2，
∴x=3.6，
∴CH=3.6，
∴BH= BC2−CH2=4.8，
∴BD=2BH=9.6.
【解析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
(1)连接OC，由切线的性质推出OC⊥CE，由圆周角定理得到∠CAD=∠BAC，由等腰三角形的性质推出∠ACO=∠BAC，得到∠CAD=∠ACO，推出CO//AE，即可证明CE⊥AE；
(2)由圆周角定理得到∠ACB=90∘，∠ADB=90∘，由勾股定理求出AB= AC2+BC2=10，得到OB=5，令CH=x，由勾股定理得到62−x2=52−(5−x)2，求出x=3.6，得到CH=3.6，由勾股定理得到BH= BC2−CH2=4.8，由垂径定理得到BD=2BH=9.6.
25.【答案】解：(1)∵当t=8时，y1=12.5，y2=5.2，
∴第8天每千克水果的收益为=12.5−5.2=7.3(元).
故答案为：7.3；
(2)描点，用光滑的曲线连线如下图．
(3)收益=y1−y2，由图中可以看出，y1−y2>4，从第3天开始，一直持续到第14天．
故答案为：3，14.
【解析】本题考查一次函数的应用，采用数形结合思想得到收益的大致范围是解决本题的难点．
(1)从表格中得到第8天时的出售价格和保鲜成本，相减即为第8天每千克水果的收益；
(2)描点，用光滑的曲线连线得到y1即可；
(3)观察图象，看两个函数图象的函数值的差大于4是从第几天开始，到第几天结束即可．
26.【答案】解：(1)∵M(2,y1)，N(5,y2)是抛物线y=x2−2ax上的两点，
∴y1=4−4a，y2=25−10a，
若y1∴4−4a<25−10a.，
∴a<72.
故a可取3，使得y1(2)∵抛物线为y=x2−2ax，
∴对称轴是直线x=−−2a2=a.
又抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小．
又∵对于0∴M(2,y1)离对称轴最近，N(5,y2)离对称轴最远，且M、N在对称轴的两侧，
∴1+22即32【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
(1)由题意可知4−4a<25−10a，解不等式求得a<72，故a可取3，使得y1(2)由抛物线为y=x2−2ax可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=−−2a2=a，然后由y127.【答案】(1)证明：∵AB=AC，点D是BC中点，
∴∠CAD=12∠BAC=12α，
∵∠EAF=α，
∴∠FAG=α−12α=12α，
∴∠DAG=∠FAG，
∵AE=AF，
∴EG=FG，
∴点G是EF的中点．
(2)解：如图，∠AMD=90∘，
证明：连接AD，AH.
∵AB=AC，AE=AF，点D是BC中点，点H是EF的中点，
∴AD⊥BC，AH⊥EF，
∵∠BAC=∠EAF=α，
∴∠B=∠C=∠E=∠F=12×(180∘−α)，
∴sinB=ADAB，sin∠AEF=AHAE，
∴ADAB=AHAE，
∵∠BAD=∠EAH=12α，
∴∠BAE=∠DAH，
∴△BAE∽△DAH，
∴∠ADH=∠B=∠C=90∘−12α，
∵∠ADC=90∘，
∴∠MDC=90∘−∠ADM=12α，
∴∠AMD=∠MDC+∠C=12α+90∘−12α=90∘.
【解析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质得到∠CAD=12∠BAC=12α，得到∠FAG=α−12α=12α，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
(2)连接AD，AH，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，AH⊥EF，求得∠B=∠C=∠E=∠F=12×(180∘−α)，根据锐角三角函数的定义得到ADAB=AHAE，根据相似三角形的性质得到∠ADH=∠B=∠C=90∘−12α，根据三角形外角的性质得到结论．
28.【答案】解：先探究AB长度确定时，OC的长度，如图，
∵CA，CB是⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，AB⊥OC，
∴△OAC∽△ODA，
∴OCOA=OAOD，即OCr=rOD，
∴OC=r2OD.
(1)①∵AB= 3，r=1，
∴OD= r2−(AB2)2= 12−( 32)2=12，
∴OC=r2OD=112=2，
∵OC1= 12+( 3)2=2，OC2= 12+12= 2≠2，OC3= 12+( 3)2=2，
∴弦AB的“关联点”是C1，C3，
故答案为：C1和C3；
②OC=23 3.
理由：由A(−1,0)，B(−12,− 32)，
可知AB= (−12+1)2+(− 32−0)2=1，
∴OD= r2−(AB2)2= 12−(12)2= 32，
∴OC=r2OD=12 32=23 3；
(2)3 105−4 23≤t≤ 152− 3.
理由如下：∵OD= r2−(AB2)2= 1−(AB2)2，OC=r2OD=1OD，
∴1OC= 1−(AB2)2，
∴AB= 4−4OC2，
∴OC越大，AB越大；OC越小，AB越小；
以线段EF为例，如图：
当AB最大时，OSmax=OE；
当AB最小时，OSmin=OF.
改变线段EF的位置到E1F1，如图：
当OSmax由OE变为OE1，
∵OE∴ABmax当OSmin由OF变为OF1，
∵OF>OF1，
∴ABmin>A1B1min，
∵t=ABmax−ABmin，t1=A1B1max−A1B1min，
∴t1>t，
当EF为水平线段时，如图：
OSmin=OF=2，OSmax=OE=4，
ABmin= 4−4OSmin2= 3，
ABmax= 4−4OSmax2= 152，
∴tmax= 152− 3，
改变线段EF的位置到E2F2，如图：
过点O作OG⊥E2F2于点G，
当OSmax由OE变为OE2，
∵OE>OE2，
∴ABmax>A2B2max，
当OSmin由OF变为OG时，
∵OF∴ABmin∵t=ABmax−ABmin，t2=A2B2max−A2B2min，
∴t>t2，
当EF为竖直线段时，如图：
OSmin=OD=3，OSmax=OE或OF= 10，
ABmin= 4−4OSmin2=4 23，
ABmax= 4−4OSmax2=3 105，
∴tmin=3 105−4 23，
综上，3 105−4 23≤t≤ 152− 3.
【解析】本题是一道圆的综合题，考查对新定义的理解，切线的性质，相似三角形，勾股定理，准确理解“关联点”，能灵活运用线段AB与OC的等量关系是解题的关键．
(1)①已知AB线段长，求出OC的长度，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出OC1，OC2，OC3，再看与OC是否相等即可作出判断；
②由A，B的坐标求出AB，再求出O到AB的距离OD，进而求出OC；
(2)首先确定线段OS与AB长度间的关系，线段OS长度越长，线段AB长度越长；然后举例线段EF，确定线段OS最大值和最小值取值情况；改变线段EF的位置，确定线段OS最大值和最小值的变换情况；当线段EF是水平线段时，t取最大值；当线段EF是竖直线段时，t取最小值，由此可解决问题．车床代号
A
B
C
D
E
修复时间(分钟)
15
8
29
7
10
平均数
中位数
众数
239.5
m
n
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
236
238
240
237
237
乙
237
239
240
244
235
丙
237
242
237
239
240
t
1
2
5
8
10
12
14
16
18
20
y1
4.0
6.3
10.8
12.5
12.7
12.4
12.2
11.8
12.0
13.0
y2
2.4
2.8
4.0
5.2
6.0
6.8
7.6
8.4
9.2
10.0