2024年北京市西城区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市西城区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图是某几何体的展开图，该几何体是( )
A. 圆锥B. 三棱柱C. 三棱锥D. 四棱锥
2.2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps表示每秒传输10000000000位(bit)的数据.将10000000000用科学记数法表示应为( )
A. 0.1×1011B. 1×1010C. 1×1011D. 10×109
3.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.直尺和三角板如图摆放，若∠1=55∘，则∠2的大小为( )
A. 35∘
B. 55∘
C. 135∘
D. 145∘
5.不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
6.已知−2A. a<1<−a<2B. 17.若关于x的一元二次方程kx2+x−2=0有两个实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k≤−18B. k>−18且k≠0C. k≥−18且k≠0D. k≥−14且k≠0
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，AC=b(其中am2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax−b2=0的一个实数根.上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若 x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为__________.
10.分解因式：x2y−12xy+36y=__________.
11.方程43x−1=3x−2的解为__________.
12.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点(−1,8)和(2,n)，则n的值为__________.
13.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，BA，CE的延长线交于点F.若AF=1，AB=2，则AEED=__________.
14.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点A是BD的中点，连接AC，若∠DAB=130∘，则∠ACB=__________ ∘.
15.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心.则tan∠O2AC的值为__________.
16.将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中.要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数.若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为__________，第37个空格所填入的数为__________.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.计算：|− 3|−(15)−1+2sin60∘− 12.
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
解不等式组：2(x+1)19.(本小题5分)
已知x2−x−4=0，求代数式(x−2)2+(x−1)(x+3)的值.
20.(本小题5分)
如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE=AD，AF⊥BD于点F，EG//BC交AF的延长线于点G，连接DG.
(1)求证：四边形AEGD是菱形；
(2)若AF=BF，tan∠AEF=12，AB=4，求菱形AEGD的面积.
21.(本小题5分)
某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元.所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍？若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(3,5)，B(−2,0)，且与y轴交于点C.
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=−3x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围.
23.(本小题6分)
某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成).同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂.甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g)，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲同学的山楂重量的折线图：
b.乙同学的山楂重量：
8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10
c.甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值；
(2)对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好.
①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦.据此推断：品相更好的是______(填写“甲”或“乙”)；
②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大.他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为______和______；
(3)估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦.
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线交于点E，AF//CE，AF与⊙O的交点为F.
(1)求证：AF=CD；
(2)若⊙O的半径为6，AH=2OH，求AE的长.
25.(本小题6分)
如图，点O为边长为1的等边三角形ABC的外心.线段PQ经过点O，交边AB于点P，交边AC于点Q.若AP=x，AQ=y1，S△APQ：S△ABC=y2，下表给出了x，y1，y2的一些数据(近似值精确到0.0001).
(1)补全表格；
(2)在同一平面直角坐标系xOy中描出了部分点(x,y1)，(x,y2)，请补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象；
(3)结合函数图象，解决下列问题：
①当△APQ是等腰三角形时，y1关于x的函数图象上的对应点记为(a,b)，请在x轴上标出横坐标为a的点；
②当y2取最大值时，x的值为______.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,y1)，B(2,y2)，C(m,y3)在抛物线y=ax2+bx+3(a>0)上.设抛物线的对称轴为直线x=t.
(1)若y1=3，求t的值；
(2)若当t+1y3>y2，求t的取值范围.
27.(本小题7分)
在△ABC中，∠ABC=∠ACB=45∘，AM⊥BC于点M，D是射线AB上的动点(不与点A，B重合)，点E在射线AC上且满足AE=AD，过点D作直线BE的垂线交直线BC于点F，垂足为点G，直线BE交射线AM于点P.
(1)如图1，若点D在线段AB上，当AP=AE时，求∠BDF的大小；
(2)如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF，MP，AB的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y=ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q满足OQ=PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”.
(1)当a=0时，已知⊙O上两点P1(12, 32)，P2(− 22,− 22)，在点Q1(1,2)，Q2( 32,32)，Q3(−1,−1)，Q4(− 2,− 2)中，点P1关于直线l的“衍生点”是______，点P2关于直线l的“衍生点”是______；
(2)P为⊙O上任意一点，直线y=x+m(m≠0)与x轴，y轴的交点分别为点A，B.若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；
(3)当−1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”.将线段MN长度的最大值记为D(s)，对于所有的直线s，直接写出D(s)的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可知，该几何体的底面是一个三角形，侧面由三个三角形组成，故该几何体是三棱锥．
故选：C.
通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
本题考查棱锥的展开与折叠，掌握三棱锥展开图的特征是正确判断的关键．
2.【答案】B
【解析】解：10000000000=1×1010.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠1=55∘，
∴∠3=90∘−55∘=35∘，
∵直尺的对边平行，
∴∠3=∠4=35∘，
∴∠2=180∘−35∘=145∘.
故选：D.
求出∠3=90∘−55∘=35∘，由平行线的性质推出∠3=∠4=35∘，由邻补角的性质得到∠2=180∘−35∘=145∘.
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3=∠4=35∘.
5.【答案】A
【解析】解：列表如下：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，
∴两次都摸到蓝球的概率为14.
故选：A.
列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵−2∴1<−a<2，
∴a<1<−a<2.
故选：A.
根据−2此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是判断出−a的取值范围．
7.【答案】C
【解析】解：由题意，Δ≥0且k≠0，
∴1+8k≥0，
∴k≥−18，
∴k≥−18且k≠0.
故选：C.
根据一元二次方程kx2+x−2=0有两个实数根，构建不等式求解．
本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】B
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90∘，
∴n2+h2=a2，
∵∠ACB=90∘，
∴(m+n)2=a2+b2，
∵a2∴n2+h2<(m+n)2，故①符合题意，
∵h2=mn，
∴2h2=2mn，
∵a∴m>n，
∴(m−n)2>0，即m2+n2>2mn，
∴m2+n2>2h2，故②不符合题意，
x2+2ax−b2=0，配方得，(x+a)2−(a2+b2)=0，
∵a2+b2=(m+n)2，
∴(x+a)2−(m+n)2=0，即(x+a)2=(m+n)2，
∴x=m+n−a或x=−m−n−a，
∵BE=BC，BC=a，
∴BE=a，
∵AB=AD+BD=m+n，
∴AE=m+n−a，
∴AE的长是关于x的方程x2+2ax−b2=0的一个实数根x=m+n−a，故③符合题意，
故选：B.
9.【答案】x≥3
【解析】解：∵x−3≥0，
∴x≥3.
故答案为：x≥3.
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10.【答案】y(x−6)2
【解析】解：x2y−12xy+36y=y(x2−12x+36)=y(x−6)2，
故答案为：y(x−6)2.
提取公因式后用完全平方公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是关键．
11.【答案】x=−1
【解析】解：43x−1=3x−2，
方程两边都乘(3x−1)(x−2)，得4(x−2)=3(3x−1)，
4x−8=9x−3，
4x−9x=−3+8，
−5x=5，
x=−1，
检验：当x=−1时，(3x−1)(x−2)≠0，
所以分式方程的解是x=−1.
故答案为：x=−1.
方程两边都乘(3x−1)(x−2)得出4(x−2)=3(3x−1)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12.【答案】−4
【解析】解：将点(−1,8)代入y=kx(k≠0)，得8=k−1，
解得：k=−8，
∴反比例函数解析式为y=−8x，
当x=2时，y=−82=−4，
∴n的值为−4.
故答案为：−4.
由点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出n的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式，根据给定坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，CD=AB=2，
∴△FAE∽△CDE，
∴AEDE=AFCD，
∵AF=1，
∴AEDE=12.
故答案为：12.
由平行四边形的性质得到AB//CD，CD=AB=2，推出△FAE∽△CDE，得到AEDE=AFCD，而AF=1，于是得到AEDE=12.
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△FAE∽△CDE，推出AEDE=AFCD.
14.【答案】25
【解析】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180∘，
∵∠DAB=130∘，
∴∠DCB=180∘−130∘=50∘，
∵点A是BD的中点，
∴∠ACB=∠ACD=12×50∘=25∘，
故答案为：25.
根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，再由A是BD的中点求出∠ACB.
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】 35
【解析】解：如图，连接O2C，过O2点作O2E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a，则O1A=O1B=O2C=a，
在Rt△O2CE中，O2C=a，∠CO2E=30∘，
∴EC=12O2C=12a=BE，O2E= 32O2C= 32a，
∴AE=2a+12a=52a，
∴tan∠O2AC=O2EAE= 35.
故答案为： 35.
根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
16.【答案】1
19

【解析】解：根据要求：第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，
∴第2个空格所填入的数为1，
∵前36个数的和是第37个数的倍数，
∴前37个数的和是第37个数的倍数，
∴前37个数的和为：1+2+3+⋯+37=703=37×19，且37与19都是质数，
假设第37个数为x，则(37×19−x)一定能被x整除，
∵x≠37，第2个空格所填入的数为1，
∴x的值只能是19，
故答案为：1，19.
根据第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，可知第2个空格所填入的数为1，根据前37个数的和为：1+2+3+⋯+37=703=37×19，且37与19都是质数，且前37个数的和是第37个数的倍数，即可得出结果．
本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的倍数关系是解题的关键．
17.【答案】解：原式= 3−15−1+2× 32−2 3
= 3−15−1+ 3−2 3
=−65.
【解析】利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：{2(x+1)解解不等式①，得：x<3，
解不等式②，得：x≤7，
∴原不等式组的解集为x<3.
【解析】首先解出两个不等式的解集，再根据同小取小确定不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19.【答案】解：(x−2)2+(x−1)(x+3)
=x2−4x+4+x2+3x−x−3
=2x2−2x+1，
∵x2−x−4=0，
∴x2−x=4，
∴当x2−x=4时，原式=2(x2−x)+1=2×4+1=8+1=9.
【解析】利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2−x=4代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AE=AD，AF⊥BD，
∴EF=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵EG//BC，
∴AD//EG，
∴∠GEF=∠ADF，
在△GEF和△ADF中，
∠GEF=∠ADFEF=DF∠EFG=∠DFA，
∴△GEF≌△ADF(ASA)，
∴GF=AF，
∵EF=DF，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∵AE=AD，
∴四边形AEGD是菱形．
(2)解：∵AF⊥BD，AF=BF，
∴△AFB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴由勾股定理得，AF=BF= 22AB= 22×4=2 2，
∵tan∠AEF=12，
∴AFEF=12，即2 2EF=12，
∴EF=4 2，
∵四边形AEGD是菱形，
∴AG=2AF=4 2，ED=2EF=8 2，
∴菱形AEGD的面积4 2×8 22=32.
【解析】(1)根据等腰三角形“三线合一”的性质得出EF=DF，再证△GEF和△ADF全等，得出GF=AF，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；
(2)分别求出AF、EF的长，即可得出对角线AG、ED的长，根据菱形的面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
21.【答案】解：不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍，理由如下：
设购买象棋x套，若购买围棋2x套，
根据题意得：40×2x+30x=1000，
解得x=9111，
∵x是整数，
∴x=9111不符合题意，
∴不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．
【解析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意列出方程．
22.【答案】解：(1)根据题意得3k+b=5−2k+b=0，解得k=1b=2，
∴一次函数解析式为y=x+2，
当x=0时，y=x+2=2，
∴C(0,2)；
(2)当x=2时，y=x+2=4，
把点(2,4)代入y=−3x+n，得−6+n=4，解得n=10，
∴当n≥10时，对于x<2的每一个值，函数y=−3x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值．
【解析】(1)利用待定系数法求函数解析式，然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标；
(2)先利用(1)中解析式计算x=2时，y=4，再把点(2,4)代入y=−3x+n中得到n=10，则利用一次函数的性质可判断当n≥10时满足条件．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点．
23.【答案】解：(1)根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，
也就是说这组数据的中位数为9.4，所以m=9.4；
根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，
也就是说这组数据的众数为10，所以n=10.
故答案为：9.4，10.
(2)①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.1−9.2之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.8−9.4，
从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，
所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．
②∵要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，
∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，
当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，
方差为：[(9.3−9.48)2+(9.4−9.48)2+(9.5−9.48)2+(9.6−9.48)2+(9.6−9.48)2]×15=0.0136，
当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，
方差为：[(9.4−9.6)2+(9.5−9.6)2+(9.6−9.6)2+(9.6−9.6)2+(9.9−9.6)2]×15=0.028，
当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，
方差为：[(9.3−9.54)2+(9.4−9.54)2+(9.5−9.54)2+(9.6−9.54)2+(9.9−9.54)2]×15=0.0424，
据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．
故答案为：甲；9.3、9.6.
(3)7.6千克=7600克，
7600÷9.5=800(个)，
800÷5=160(串)，
答：能制作160串冰糖葫芦．
【解析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
(1)根据中位数和众数的概念，即可求解；
(2)①根据方差的定义，即可求解；
②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．
(3)已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，
再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．
本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接AC，OC，BC，则OC=OA，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠OCE=∠ACB=90∘，
∴∠ACE+∠OCA=90∘，∠B+∠OAC=90∘，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠ACE=∠B，
∵AF//CE，
∴∠CAF=∠ACE=∠B，
∴CF=AC，
∵CD⊥AB，
∴AD=AC，
∴CF=AD，
∴AF=CF+AC=AD+AC=CD，
∴AF=CD.
(2)解：∵⊙O的半径为6，AH=2OH，
∴OC=OA=2OH+OH=6，
∴OH=2，
∵∠OHC=∠OCE=90∘，
∴OHOC=OCOE=cs∠COE，
∴OE=OC2OH=622=18，
∴AE=OE−OA=18−6=12，
∴AE的长为12.
【解析】(1)连接AC、OC、BC，由切线的性质证明CE⊥OC，而AB为⊙O的直径，所以∠OCE=∠ACB=90∘，可证明∠ACE=∠B，由AF//CE，得∠CAF=∠ACE=∠B，则CF=AC，由垂径定理得AD=AC，则CF=AD，即可证明AF=CD，所以AF=CD；
(2)由⊙O的半径为6，AH=2OH，得OC=OA=2OH+OH=6，求得OH=2，因为OHOC=OCOE=cs∠COE，所以OE=OC2OH=18，则AE=12.
此题主要考查圆周角定理、切线的性质定理、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)解：当x=0.5时，点P为AB的中点，
∵点O为边长为1的等边三角形ABC的外心，
∵y1=1，
∴此时点Q在点C处，
如图所示：
∵△ABC为等边三角形，点P为AB的中点，点Q在点C处，
∴S△APQ=12S△ABC，
∴y2=S△APQ：S△ABC=0.5，
填表如下：
(2)解：补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象如图所示：
(3)解：①连接AO并延长交BC于点D，连接OB，如图，
∵△ABC为等边三角形，点O为△ABC外心，
∴∠OBD=∠BAD=30∘，AD⊥BC，BD=12BC=12，OA=OB，
∴OD=12OB，
∴AD= AB2−BD2= 12−(12)2= 32，
∴OA=23AD= 33.
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
∵∠PAQ=60∘，
∴△PAQ为等边三角形，
∴∠APQ=60∘，
∴∠APQ=∠ABC，
∴PQ//BC，
∴∠AOP=∠ADB=90∘.
∴AP=AOcs30∘= 33 32=23，
∴AQ=AP=23.
∴a=23，
∴b=23，
在x轴上标出横坐标为a的点，如图所示：
②根据函数图象可知，函数y2的最大值为0.5，此时x=0.5或x=1.
故答案为：0.5或1.
【解析】本题主要考查了函数的图象与性质，描点法画出函数的图象，等边三角形的性质，等边三角形的外心的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质和函数图象的画法是解题的关键．
(1)利用已知条件得到：当x=0.5时，点P为AB的中点，当y1=1时，此时点Q在点C处，由题意计算当x=0.5时的y1即可；
(2)补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象即可；
(3)①当△APQ是等腰三角形时，利用等边三角形的判定与性质解答即可求得a值，在x轴上描出横坐标为23的点即可；
②观察图象即可得出结论．
26.【答案】解：(1)∵点A(−2,3)在抛物线y=ax2+bx+3(a>0)上，
∴3=4a−2b+3，
∴b=2a，
∴t=−b2a=−1.
(2)∵a>0，
∴抛物线y=ax2+bx+3(a>0)开口向上，
当x>t时，y随x的增大而增大，
∵当t+1y3>y2，
∴点A(−2,y1)在对称轴的左侧，C(m,y3)在对称轴的右侧，
∵点A(−2,y1)，B(2,y2)，C(m,y3)在抛物线y=ax2+bx+3(a>0)上，
∴点A(−2,y1)关于直线x=t的对称点为(2t+2)，B(2,y2)关于直线x=t的对称点为(2t−2)，
当t≥2时，则2t+2≥t+22t−2≤t+1，解得2≤t≤3；
当t<2时，则2t+2≥t+2t+1≥2，解得1≤t<2，
故1≤t≤3.
【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
(1)把A点的坐标代入解析式求得b=2a，然后利用对称轴公式即可求得；
(2)由题意可知点A(−2,y1)在对称轴的左侧，C(m,y3)在对称轴的右侧，点A(−2,y1)关于直线x=t的对称点为(2t+2)，B(2,y2)关于直线x=t的对称点为(2t−2)，分两种情况讨论，得到关于t的不等式组，解不等式组从而求得t的取值范围．
27.【答案】解：(1)在△ABC中，∵∠ABC=∠ACB=45∘，
∴AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ABE+∠AEB=90∘，
∵AM⊥BC，
∴∠MAC=12∠BAC=45∘，BM=CM，
∵AP=AE，
∴∠AEP=∠APE=12(180∘−∠MAC)=12(180∘−45∘)=67.5∘，
∵DF⊥BE，
∴∠ABE+∠BDF=90∘，
∴∠BDF=∠AEP=67.5∘.
(2)如图，即为补全的图形．
线段CF，MP，AB的数量关系为：CF=2MP+ 2AB.
证明：如图2，作CQ//AP交BE于点Q，
∵CQ//AP，BM=CM，
∴MPCQ=BMBC=12，
∴CQ=2MP，
∵AM⊥BC，
∴∠AMC=90∘，
∵CQ//AP，
∴∠BCQ=∠AMC=90∘，
∴∠QCE=180∘−∠ACB−∠BCQ=45∘，
∵∠DBF=∠ABC=45∘，
∴∠DBF=∠QCE，
∵DG⊥BE，
∴∠DGB=∠BAC=90∘，
∵∠DBG=∠ABE，
∴∠D=∠E，
∵AD=AE，AB=AC，
∴AD−AB=AE−AC，
∴BD=CE，
∴△BDF≌△CEQ(ASA)，
∴BF=CQ，
∵CF=BF+BC，BC= 2AB，
∴CF=CQ+ 2AB=2MP+ 2AB.
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质证明∠AEP=∠APE=67.5∘，进而可以解决问题；
(2)结合(1)即可补全图形，作CQ//AP交BE于点Q，证明△BDF≌△CEQ(ASA)，得BF=CQ，再根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是得到△BDF≌△CEQ.
28.【答案】解：(1)当a=0时，直线l为y=0，即x轴，
∵P1(12, 32)，P2(− 22,− 22)，
∴P1′(12,− 32)，P2′(− 22, 22)，
∴P1P1′= 3，P2P2′= 2，
∵Q1(1,2)，Q2( 32,32)，Q3(−1,−1)，Q4(− 2,− 2)，
∴OQ1= 5，OQ2= 3，OQ3= 2，OQ4=2，
∴点P1关于直线l的“衍生点”是Q2，点P2关于直线l的“衍生点”是Q3；
故答案为：Q2，Q3.
(2)∵直线l：y=ax过圆心O，
∴P′也在⊙O上，
∴PP′≤2，
∵存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，
∴线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，
令x=0，则y=m，令y=0，则x=−m，
∴A(−m,0)，B(0,m)，
当OA=OB=2时，线段AB上所有点到O的距离都不大于2，
此时，m=±2，
又∵y=ax不能是y轴，
∴(1,0)和(−1,0)不能同时是P和P′，
∴m=±2符合题意；
当O到线段AB的距离是2时，
∵OA=OB，OA⊥OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=2 2，
∴m=±2 2，
∴要满足线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，需要满足：−2 2≤m≤−2或2≤m≤2 2，
∴−2 2≤m≤−2或2≤m≤2 2v
(3)∵−1≤a≤1，
∴在图中作直线y=x和直线y=−x，将⊙O分成四份，如图：
①当P在AB或CD上时，
当P，P′重合时，PP′=0，
当PP′为直径时，PP′=2，
∴0≤PP′≤2，
∴D(s)=2.
②当P在AD或BC上时，
当PP′为直径时，PP′=2，
当P在y轴上时，直线l为y=x或y=−x时，PP′取最小值，
此时，PP′= 2，
∴ 2≤PP′≤2，
∴D(s)=2− 2.
综上所述，D(s)的最小值为2− 2.
【解析】本题主要考查了圆的综合题，结合一次函数的图象、轴对称的性质、勾股定理等知识点，充分理解新定义，是本题解题的关键．
(1)a=0，则直线l为x轴，据此求出P1，P2的对称点P1′，P2′，然后可以求出P1P1′和P2P2′的长度，用勾股定理求出Q1，Q2，Q3，Q4到原点的距离，判断是否符合新定义即可；
(2)因为直线y=ax过圆心O，所以P′也在圆上，所以PP′不大于圆的直径，因为存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，所以线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，据此解答；
(3)根据P所在位置分类讨论，得出PP′的取值范围，从而根据新定义求出MN的长度的最小值，从而得解．37
…
平均数
中位数
众数
甲
9.5
m
9.2
乙
9.5
9.6
n
甲
9.2
9.2
9.2
9.2
9.1
乙
9.4
9.4
9.4
8.9
8.8
x
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
y1
1
0.8462
0.75
0.6842
0.6364
0.6
0.5714
0.5484
0.9294
0.5135
0.5
y2
0.4654
0.45
0.4447
0.4455
0.45
0.4571
0.4661
0.4765
0.4878
0.5
红
蓝
红
(红，红)
(红，蓝)
蓝
(蓝，红)
(蓝，蓝)
x
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
y1
1
0.8462
0.75
0.6842
0.6364
0.6
0.5714
0.5484
0.5294
0.5135
0.5
y2
0.5
0.4654
0.45
0.4447
0.4455
0.45
0.4571
0.4661
0.4765
0.4878
0.5