2022年北京市顺义区中考数学二模试卷（含解析）

2022年北京市顺义区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是

A.  B.  C.  D.

2. 我国成功发射北斗系统第颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星距离地面约千米．将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

4. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是
    

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，，平分，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 方程的解是

A.  B.  C.  D.

7. 已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，则下列结论中正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 某超市的某种蔬菜一周内每天的进价与售价信息和实际每天的销售量情况如图表所示，则下列推断不合理的是
   
   该种蔬菜一周内实际销售量表单位：斤

A. 销售该种蔬菜周一的利润最小
B. 销售该种蔬菜周日的利润最大
C. 该种蔬菜一周中每天的售价组成的这组数据的众数是
D. 该种蔬菜一周中每天进价组成的这组数据的中位数是

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 若代数式的值为，则实数的值为______．
10. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于______．
11. 已知，且、为两个连续的整数，则______．
12. 如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是______．
13. 如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明≌不添加其它字母及辅助线，这个条件可以是______写出一个即可．
    
     

14. 柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：

依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是______结果精确到．

15. 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是，则的值为______ ．
16. 某中学为积极开展校园足球运动，计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球价格为元，一个品牌足球价格为元．学校准备用元购买这两种足球两种足球都买，并且元全部用完，则该校共有______种购买方案．

三、计算题（本大题共2小题，共10分）

17. 计算：．
18. 解不等式组：．

四、解答题（本大题共10小题，共58分）

19. 已知，求代数式的值．
20. 已知：如图，直线和外一点．
    求作：直线，使得．
    作法：在直线上任取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；
    分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点不与点重合；
    作直线．
    所以直线就是所求作的直线．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：连接．
    ，
    四边形是______，______填推理依据．
    ______填推理依据．
    即．

21. 如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
    求证：四边形为矩形；
    若，，求的长．
22. 在平面直角坐标系中，直线：与函数的图象交于点．
    求的值；
    横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线与函数的图象所围成的区域不含边界为点为整数在直线上．
    当时，求的值，并写出区域内的整点个数；
    当区域内恰有个整点时，直接写出和的值．
23. 如图，内接于，是的直径，点在的延长线上，且，点为的中点，连接并延长与的延长线交于点．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．
    
     

24. 如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为米．设上的点到点的距离米，点到拱桥顶面的垂直距离米．
    
    通过取点、测量，数学小组的同学得到了与的几组值，如下表：

拱桥顶面离水面的最大高度为______米；
请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升米．现有一游船截面为矩形宽度为米，船顶到水面的高度为米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______填写“能”或“不能”．

25. 为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对八年级名学生全员开设了，，三类课程，经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习效果，从中随机抽取名学生进行了检测，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析．这名学生，，三类课程的成绩情况统计图如图．
    学生甲类课程的成绩是分，则该生类课程的成绩是______分；
    学生乙类课程的成绩是分，则该生三类课程的平均成绩是______分；
    补全这名学生类课程成绩的频数分布直方图；
    数据分成组：，，，，，，．
    若成绩在分及以上为优秀，估计该校八年级学生类课程成绩优秀的人数．

26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
    当时，
    求抛物线的对称轴；
    若点，都在抛物线上，且，求的取值范围；
    已知点，将点向右平移个单位长度，得到点当时，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
27. 如图，在中，，，，为射线上两点点在点的左侧，且，连接以为中心，将线段逆时针旋转得线段．
    
    如图，当四边形是平行四边形时，画出图形，并直接写出的值；
    当时，为线段的中点，连接．
    在图中依题意补全图形；
    用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：为线段上任意一点，如果，两点间的距离的最小值恰好等于线段的长，则称点为线段的“等距点”．

已知点．
在点，，，中，线段的“等距点”是______；
若点在直线上，并且点是线段的“等距点”，求点的坐标；
已知点，点，图形是以点为圆心，为半径的位于轴及轴上方的部分．若图形上存在线段的“等距点”，直接写出的取值范围．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、圆柱的侧面展开图可能是矩形，故A错误；
B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；
C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；
D、三棱锥的侧面展开是三个三角形，故D错误．
故选：．
根据特殊几何体的展开图，可得答案．
本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】

【解析】解：，
原点在，的中间，
如图：

由图可得：，
，，，，
故选项C正确．
故选：．
根据，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
 

5.【答案】

【解析】解：，，
，，
平分，
，
．
故选：．
由平行线的性质得，再由角平分线得，再次利用平行线的性质可得．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

7.【答案】

【解析】解：反比例函数中，，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，
，两点在第二象限，点在第四象限，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：该商品周一的利润元，最小，故正确，不符合题意；
B.该商品周日的利润元，最大，故正确，不符合题意；
C.由一周中的该商品每天售价组成的这组数据的众数是，故正确，不符合题意；
D.一周中的该商品每天进价组成的这组数据的中位数是，故错误，符合题意；
故选：．
根据折线图得出信息进行判断即可．
此题考查折线统计图，关键是根据折线图得出信息进行解答．
 

9.【答案】

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据分式值为零的条件列方程和不等式求解．
本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件分子为零，且分母不等于零是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：设这个正多边形的边数为，
一个正多边形的内角和为，
，
解得：，
这个正多边形的每一个外角是：．
故答案为：．
首先设这个正多边形的边数为，根据多边形的内角和公式可得，继而可求得答案．
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
，，
．
故答案为：
先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，利用夹值法求出，的值是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：关于的方程有实数根，
，
，
．
故答案为：．
由关于的方程有实数根知，求出的取值范围即可．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

13.【答案】

【解析】解：添加，
的两条高，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：．
添加，根据三角形高的定义可得，再证明，然后再添加可利用判定≌．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、直角三角形，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

14.【答案】

【解析】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即试验次数越多的频率越接近于概率．
这种种子在此条件下发芽的概率约为．
故答案为：
概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即试验次数越多的频率越接近于概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】

【解析】解：幻方右下角的数字为，
幻方第二行中间的数字为．
依题意得：，
解得：．
故答案为：．
利用幻方中每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是，可求出幻方右下角及第二行中间的数字，再利用幻方中对角线上的数字之和为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及数字常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：设购买品牌足球个，品牌足球个，
依题意得：，

又，均为正整数，
或或或，
该校共有种购买方案．
故答案为：．
设购买品牌足球个，品牌足球个，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出该校共有种购买方案．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】先算开方、乘方化简绝对值，再代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的化简、“”、绝对值的意义及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：．
不等式组的解集为．

【解析】分别解两个不等式，求解集的公共部分即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．
 

19.【答案】解：原式
，
，
，
原式

．

【解析】由已知方程求得的值，化简原式并转化成的代数式，进而整体代入计算便可．
本题主要考查了整式的混合运算，求代数式的值，关键是应用整体代入思想解题．
 

20.【答案】菱形  四边都相等的四边形为菱形  菱形的两组对边分别平行

【解析】解：如图，为所作；

完成下面的证明．
证明：连接．
，
四边形是菱形四边都相等的四边形为菱形．
菱形的两组对边分别平行，
即．
利用几何语言画出对应的几何图形；
利用作法得到，则可判断四边形是菱形，然后根据菱形的性质得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
 

21.【答案】证明：是边上的中线，
，
点是的中点，
，
，
，，
在和中，，
≌，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，为边上的中线，
，
，
四边形为矩形；
解：由得：，，四边形为矩形，
，，
在中，，
设，则，
，
，
解得：负值已舍去，
，，
在中，由勾股定理得：．

【解析】先证≌，得出，则，得出四边形为平行四边形，再证，即可得出结论；
由，设，则，由勾股定理求出，求出，再由勾股定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：将代入得：
，
；
当时，，
把代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
由得或，
画出图象如下：

由图象可知，区域内的整点有，，共两个；
当时，，
代入得：
，
解得，
直线解析式为，
画出图象如下：

此时区域内的整点有个；
当时，，
代入得：
，
解得，
直线解析式为，
画出图象如下：

此时区域内的整点有个；
当区域内恰有个整点时，的范围是，
为整数，
，．

【解析】用待定系数法即可求出的值；
把代入即可解得，画出图象，即可求出区域内整点个数；
时，画出图象可知区域内整点个数为，当时，同法可得区域内整点个数为，即可得到答案．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是数形结合思想的应用．
 

23.【答案】证明：连接，
，，
，
是的直径，
，
，
，
．
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
．

【解析】连接，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】  不能

【解析】解：由表格得，拱桥顶面离水面的最大高度为米，
故答案为：；
根据题意，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标；
如图所示；

由图象知，当时，，
，
该游船是不能安全通过．
故答案为：不能．
根据表格中是数据可得答案；
根据题意，以点为原点，为轴，建立坐标系可得图象；
根据图象可得时，，结合船顶到拱桥顶面的距离应大于米，即可得出结论．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：由统计图可知，
若类课程的成绩是分，则该生类课程的成绩是分．
故答案为：．
由统计图可知，
若类课程的成绩是分，则该生类成绩为分，类成绩为分，
平均成绩为．
故答案为：．
由统计图可知，
类课程的成绩在的人数为人，分数在的人数为人．
补全频数分布直方图如图．

人．
答：估计该校八年级学生类课程成绩优秀的人数为人．
观察统计图可得出答案．
观察统计图可得出答案．
由统计图可知，类课程的成绩在的人数为人，分数在的人数为人，即可补全频数分布直方图．
用八年级总人数乘以样本中类课程成绩优秀的人数占比即可．
本题考查统计图、频数分布直方图、平均数、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

26.【答案】解：当时，，
对称轴是：直线；
抛物线的对称轴是直线，且开口向上，
则点与对称轴的距离越大函数值越大，
点，都在抛物线上，且，
，
；
点，将点向右平移个单位长度，得到点，
，
，
，
当抛物线经过点时，，
，

当抛物线的顶点在上时，，，则，
即，
解得：，，
当抛物线经过点时，，
解得：，此时与抛物线有个交点，则当时，符合题意，
综上，结合函数图象，得或或．

【解析】先将代入抛物线的解析式，并利用对称轴公式可得结论；
抛物线开口向上，根据离对称轴距离越远，函数值越大可列不等式解答；
根据平移的性质可得的坐标，把代入抛物线的解析式，分三种情况：抛物线过点，顶点在上，过点结合图象可解答．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，对称轴公式，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
 

27.【答案】解：当四边形是平行四边形时，如图：

，，
，
四边形是平行四边形，
，
即；
当时，为线段的中点，补全图形如下：

，证明如下：
延长到，使，连接、、，设交于，如图：

为的中点，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是的垂直平分线，
，
而，
．

【解析】按照题意画出图形即可，根据等腰直角三角形、平行四边形性质可求得的值；
根据题意补全图形即可；
延长到，使，连接、、，设交于，由证明≌，可得，，从而知是的垂直平分线，即得，故C．
本题考查三角形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，平行四边形判定与性质，补全图形等问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

28.【答案】，

【解析】解：如图中，

，
，
，，，，
，点到的距离为，
，是线段的“等距点”，
故答案为：，；

设，
点是线段的“等距点”，，
，
解得或，
或；

，，
，
如图，根据定义以为半径，，为圆心，作，，分别交轴的负半轴，轴正半轴于点，，则，设与轴的正半轴交于点，
，上的点到的距离为，
图形上存在线段的“等距点”，则与线段，有交点，
根据题意可知，，，．

当半圆与只有一个交点时，在负半轴上时，，

当在轴的正半轴上时，，

当与内切时，．

当与外切时，，

综上所述，满足条件的的值为：，．
根据“等距点”的定义一一判断即可；
设，由点是线段的“等距点”，可得，由此构建方程求出即可．
如图，根据定义以为半径，，为圆心，作，，分别交轴的负半轴，轴正半轴于点，，则，设与轴的正半轴交于点，推出，上的点到的距离为，推出图形上存在线段的“等距点”，则与线段，有交点，求出几种特殊位置的值，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，两圆的位置关系，“等距点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．