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人教A版高中数学必修第二册第十章概率学案
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第十章 | 概率10．1 随机事件与概率10．1.1 有限样本空间与随机事件知识点一 随机试验、样本点与样本空间(一)教材梳理填空1．随机试验的概念和特点：(1)随机试验的概念我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．(2)随机试验的特点①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间：(二)基本知能小试1．判断正误：(1)观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的． (×)(2)“下周六是晴天”是下周六天气状况的一个样本点． (√)(3)抛掷两枚骰子，向上的点数之和构成的样本空间为{1,2,3，…，11,12}． (×)2．(多选)下列现象中，是随机现象的是 ( )A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆B．若a为整数，则a＋1为整数C．发射一颗炮弹，命中目标D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品答案：ACD3．同时掷两枚大小相同的硬币，用(x，y)表示结果，则该实验包含的样本点数是 ( )A．3 B．4C．5 D．6答案：B知识点二 三种事件的定义(一)教材梳理填空(二)基本知能小试1．判断正误：(1)在一次掷骰子试验中，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，集合{1,3,5}一定会出现． (×)(2)长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形是必然事件． (√)(3)“明天会下雨”是不可能事件． (×)2．下列事件不是随机事件的是 ( )A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴答案：B3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为 ( )A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品答案：C题型一 样本空间 [探究发现](1)如何确定试验的样本空间？提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．(2)写试验的样本空间要注意些什么？提示：要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果． 【学透用活】[典例1] 一个家庭有两个小孩，则这个试验的样本空间是 ( )A．Ω＝{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．Ω＝{(男，女)，(女，男)}C．Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．Ω＝{(男，男)，(女，女)}[解析] 用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个不同的样本点(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．[答案] C[方法技巧]样本空间中样本点的求法(1)在写样本空间时，一般采用列举法写出，必须先明确事件发生的条件，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．(2)试验的样本空间最终结果应该写成集合的形式． 【对点练清】已知袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下试验的样本空间．(1)从中一次任取1球，观察球的颜色； (2)从中一次任取2球，观察球的颜色．解：(1)样本空间为Ω＝{红，白，黄，黑}．(2)若记(x，y)表示一次试验中，取出的是x球与y球，样本空间为Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．题型二 三种事件的判断 【学透用活】[典例2] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解] (1)某人购买福利彩票一注，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的内角和都为180°，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任意一张，所以是随机事件．(6)由能量守恒定律可知，不需要任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．[方法技巧]对事件分类的两个关键点 【对点练清】下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是 ( )A．1 B．3C．0 D．4解析：选B ①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的 事件，为必然事件．故选B.题型三 随机事件与样本空间 【学透用活】[典例3] 将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用(x，y)表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数．(1)求样本空间中的样本点个数；(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”．[解] (1)法一：列举法 试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．法二：树状图法 一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图①所示．由图可知，共36个样本点．法三：坐标系法如图②所示，坐标平面内的数表示相应两 次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的点一一对应．由图可知，样本点个数为36.(2)“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．[方法技巧](1)样本空间是指所有样本点构成的集合，而不是部分，写样本空间时，要做到不重不漏．(2)随机事件可理解为样本空间的子集． 【对点练清】把一套分上、中、下三册的选集随机地放在书架上．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的个数；(3)写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的样本点．解：(1)将书按从左到右的顺序摆放，则可得样本空间Ω＝{(上，中，下)，(上，下，中)，(中，上，下)，(中，下，上)，(下，中，上)，(下，上，中)}．(2)这个试验的样本点共有6个．(3)“上册在三册中的最左边”这一事件包含2个样本点：(上，中，下)，(上，下，中)．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，求事件“log2xy＝1”包含的样本点．解：先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果．Ω＝{(1,1), (1,2), (1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6), (2,1), (2,2), (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6), (3,1), (3,2), (3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1), (4,2), (4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6), (5,1), (5,2), (5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1), (6,2), (6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}, 解方程log2xy＝1，得y＝2x，则符合条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)．二、应用性——强调学以致用2．“沉鱼”“落雁”“闭月”“羞花”是由精彩故事组成的历史典故．“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事．她们分别是中国古代的四大美女．某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，要求甲、乙抽签决定扮演的对象．(1)写出这个试验的样本空间．(2)写出事件A“甲不扮演貂蝉、乙不扮演杨贵妃”包含的样本点个数．解：(1)甲选取的扮演对象用x表示，乙选取的扮演对象用y表示，那么试验的样本点用(x，y)表示．由题意得样本空间Ω＝{(西施，昭君)，(西施，貂蝉)，(西施，杨贵妃)，(昭君，西施)，(昭君，貂蝉)，(昭君，杨贵妃)，(貂蝉，西施)，(貂蝉，昭君)，(貂蝉，杨贵妃)，(杨贵妃，西施)，(杨贵妃，貂蝉)，(杨贵妃，昭君)}．(2)事件A 包含的样本点为(西施，昭君)，(西施，貂蝉)，(昭君，西施)，(昭君，貂蝉)，(杨贵妃，西施)，(杨贵妃，貂蝉)，(杨贵妃，昭君)，共7个．课时跟踪检测层级(一) “四基”落实练1．下列事件中，是必然事件的是 ( )A．13个人中至少有两个人生肖相同B．长度为4,5,6的三条线段可以构成一个直角三角形C．方程x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实根D．函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数解析：选A A为必然事件，B、C为不可能事件，D为随机事件．2．同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点个数是 ( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选D 因为事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共包含6个样本点．故选D.3．(多选)下列四个命题中正确的是 ( )A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件B．“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件C．“每年的国庆节都是晴天”是必然事件D．“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件解析：选ABD “每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故C项错误；A、B、D的判断均正确．4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为复数z＝a＋bi的实部和虚部，则事件“复数z为纯虚数”包含的样本点共有 ( )A．7个 B．8个C．9个 D．10个解析：选C “复数z为纯虚数”包含的样本点的特征是a＝0，b≠0，又A中有9个非零常数，故选C.5．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为 ( )A．18 B．19C．20 D．21解析：选B 一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个．方程有实数根，需满足b2－4c≥0.样本点中满足b2－4c≥0的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19个．6．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验的样本点共有________个．解析：该生选报的所有可能情况是：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)，所以试验的样本点共有3个．答案：37．连续抛掷3枚硬币，研究正面向上的情况，则其样本空间Ω＝________________________________________________________________________________________________________________________________________________.解析：用列举法一一列举出来， {(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．答案：{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}8．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________________________，满足“它是偶数”的样本点个数为________．解析：样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7，8,9，10}，其中满足“它是偶数”的样本点有：2,4,6,8,10，共有5个．答案：Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 59．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天1人值班，试写出值班顺序的样本空间．解：样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．10．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．(1)写出该试验的样本空间；(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？解：以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．(2)“三人出拳相同”包含的样本点为：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．层级(二) 能力提升练1．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点共有 ( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个解析：选C 从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个．2．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为 ( )A．5 B．6C．3或4 D．5或6解析：选C 由题意，10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.3．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“eq \f(x,y)为整数”这一事件包含的样本点个数为________个．解析：先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点．用A表示满足条件“eq \f(x,y)为整数”的事件，则A＝{(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}，共8个样本点．答案：84．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10，共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该试验的样本空间Ω；(2)写出A，B包含的样本点；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．(2)A包含的样本点为：S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10.B包含的样本点为：S7，S8，S9，S10.(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．5．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)表示一个样本点．(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个样本点？“a＜3且b＞1”呢？(2)“ab＝4”这一事件包含哪几个样本点？“a＝b”呢？解：这个随机试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(1)“a＋b＝5”这一事件包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“a＜3且b＞1”这一事件包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．(2)“ab＝4”这一事件包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“a＝b”这一事件包含以下4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．10．1.2 事件的关系和运算知识点 事件的关系和运算(一)教材梳理填空1．包含关系：2．并事件(和事件)：[微思考] 事件A与事件B的和事件包含几种情况？提示：包含三种情况：(1)事件A发生，事件B不发生；(2)事件A不发生，事件B发生；(3)事件A发生，事件B发生．即事件A与B至少有一个发生．3．交事件(积事件)：4．互斥(互不相容)：5．互为对立：[微思考] 互斥事件与对立事件有什么关系？提示：对立事件是特殊的互斥事件．若事件A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立．即“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能有一个发生． (√)(2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件． (×)(3)若事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件． (×)2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则 ( )A．A⊆B B．A＝BC．A与B互斥 D．A与B对立答案：C3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则 ( )A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3答案：C题型一 事件的关系的判断 【学透用活】[典例1] 从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：(1)“至少有1个白球”与“都是白球”；(2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”；(3)“至少有1个白球”与“都是红球”．[解] 给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，则A＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．(1)设B＝“都是白球”，则B＝{(3,4)}，所以B⊆A.即A和B不是互斥事件．(2)设C＝“至少有一个红球”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，所以A和C不互斥．(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，因为A∪D＝Ω，A∩D＝∅，所以A和D为对立事件．[方法技巧]判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)判断事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析． 【对点练清】1．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是 ( )A．① B．②④C．③ D．①③解析：选C ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．易知其余都不是对立事件．故选C.2．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是 ( )A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止一个红球解析：选D 从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球．故选D.题型二 事件关系的运算 [探究发现]“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件” “事件A与事件B互斥”“事件A与事件B对立”分别对应集合中的哪些关系或运算？提示：“事件B包含事件A”对应集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A与集合B的并集；“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集；“事件A与事件B互斥”对应集合A与集合B的交集为空集；“事件A与事件B对立”对应集合A与集合B互为补集． 【学透用活】[典例2] 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．试判断：(1)事件A与事件B是什么关系？(2)事件D与A，B是什么样的运算关系？(3)事件C与A的交事件是什么事件？[解] (1)事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B互斥但不对立．(2)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(3)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.[方法技巧]进行事件运算应注意的问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理． 【对点练清】 在投掷骰子的试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现点数i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅， A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}，B∩D＝A4＝{出现点数4}，B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示“向上的一面出现奇数”，事件B表示“向上的一面出现的数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的数不小于4”．(1)判断事件B与C的关系，并说明理由；(2)写出事件A与事件B的并事件，以及事件A与事件C的交事件．解：(1)因为事件B＝{得到的数为1，得到的数为2，得到的数为3}，事件C＝{得到的数为4，得到的数为5，得到的数为6}，所以事件B与C既是互斥事件，又是对立事件．(2)因为事件A＝{得到的数为1，得到的数为3，得到的数为5}，事件B＝{得到的数为1，得到的数为2，得到的数为3}，事件C＝{得到的数为4，得到的数为5，得到的数为6}，所以A∪B＝{得到的数为1，得到的数为2，得到的数为3，得到的数为5}，A∩C＝{得到的数为5}．二、创新性——强调创新意识和创新思维2．某校准备召开一次团代会，其中1班共有9名团员(5男4女，其中班长李青为女生)，现需要选5个代表去参会，其中男生指定选m人，且每个团员被选到的机会相等，那么：(1)当m为何值时，“选到李青”为必然事件？(2)当m为何值时，“选到李青”为不可能事件？(3)当m为何值时，“选到李青”为随机事件？解：(1)如果“选到李青”为必然事件，那么4名女生必然全部参加，故男生人数m＝1时符合题意．(2)如果“选到李青”为不可能事件，那么4名女生一定都不参加，故男生人数m＝5时符合题意．(3)如果“选到李青”为随机事件，那么参加的女生最少1个，最多3个，故男生人数m＝2或3或4时符合题意．课时跟踪检测层级(一) “四基”落实练1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为 ( )A．“都是红球”与“至少1个红球”B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”C．“至少1个白球”与“至多1个红球”D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”解析：选D A、B、C中两个事件是包含与被包含关系，只有D，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为 ( )A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．3．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中真命题的个数是 ( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．4．(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是( )A．A＋B＝A B．A＋AB＝AC.eq \x\to(A) eq \x\to(B)⊆A D．A(A＋B)＝A解析：选BD 若A＋B＝A，则B⊆A，故A错误；∵AB⊆A，∴A＋AB＝A，故B正确；∵当事件A，B都不发生时，eq \x\to(A) eq \x\to(B)发生，∴eq \x\to(A) eq \x\to(B)不是A的子集，C错误；∵A⊆(A＋B)，∴A(A＋B)＝A，D正确．故选B、D.5.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( )A．对立事件 B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件解析：选C 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C.6．事件“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是_________________________________________________________________________________________.解析：事件“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至多 3个是黑球”．答案：某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球7．向上抛掷一枚骰子，设事件A＝“点数为2或4”，事件B＝“点数为2或6”，事件C＝“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是________．解析：由题意可知C＝A∪B.答案：C＝A∪B8．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解：(1)由于事件C “至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．层级(二) 能力提升练1．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么 ( )A．A∪B是必然事件 B．C∪D是必然事件C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥解析：选B 由于事件A与B互斥，即A∩B＝∅，则C∪D＝U(U为全集)是必然事件．2．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等(不考虑黄灯)．事件A表示“第二个路口是红灯”，事件B表示“第三个路口是红灯”，事件C表示“至少遇到两个绿灯”，则A∩B包含的样本点有________个，事件A∩B与C的关系是________．解析：根据题意，画出如图所示的树状图．由图可得，A∩B＝{红红红，绿红红}，包含2个样本点，C＝{红绿绿，绿红绿，绿绿红，绿绿绿}，(A∩B)∩C＝∅，故事件A∩B与C互斥，又(A∩B)∪C≠Ω，故事件A∩B与C的关系是互斥但不对立．答案：2 互斥但不对立3．从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生．记：C1＝“选出1号同学”，C2＝“选出2号同学”，C3＝“选出3号同学”，C4＝“选出4号同学”，C5＝“选出5号同学”，C6＝“选出6号同学”，D1＝“选出的同学学号不大于1”，D2＝“选出的同学学号大于4”，D3＝“选出的同学学号小于6”，E＝“选出的同学学号小于7”，F＝“选出的同学学号大于6”，G＝“选出的同学学号为偶数”，H＝“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题：(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？(3)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？(4)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？ 解：(1)必然事件有：E；随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1 ，D2，D3，G，H；不可能事件有：F.(2)如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生．(3)D2和D3同时发生时，即为C5发生了．D2∩D3＝C5.(4)能，如：C1和C2；C3和C4等等．4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．解：设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)(x∈{1,2,3}，y∈{4,5})表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}．(1)设A＝“恰有1名男生”，B＝“恰有2名男生”，则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，B＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，因为A∩B＝∅，所以A与B互斥且不对立．(2)设C＝“至少有1名男生”，D＝“全是男生”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，D＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．因为C∩D＝D，所以D⊆C.即C与D不互斥．(3)设E＝“至少有1名男生”，F＝“全是女生”，则E＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，F＝{(4,5)}．因为E∪F＝Ω，E∩F＝∅，所以E和F互为对立事件．(4)设G＝“至少有1名男生”，H＝“至少有1名女生”，则G＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，因为G∩H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，所以G与H不互斥．10．1.3 古典概型知识点 古典概型(一)教材梳理填空1．事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2．古典概型的定义：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个．(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．古典概型的概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)任何一个事件都是一个样本点． (×)(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． (√)(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (√)2．下列试验中，是古典概型的为 ( )A．种下一粒花生，观察它是否发芽B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率答案：C3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 ( )A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)答案：C题型一 古典概型的判断 【学透用活】[典例1] 下列是古典概型的是 ( )A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止[解析] A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．[答案] C[方法技巧]判断一个试验是古典概型的步骤(1)明确试验及其结果．(2)判断所有结果(样本点)是否有限．(3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言． 【对点练清】(多选)下列试验是古典概型的为 ( )A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B．同时掷两枚骰子，点数和为6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：选ABD A、B、D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．题型二 简单古典概型的概率的计算问题 [探究发现](1)古典概型的概率计算公式是什么？提示：P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．(2)求解古典概型问题的一般思路是什么？提示：①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)；②根据实际问题情境判断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率． 【学透用活】[典例2] 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．(1)列出所有可能结果；(2)求取出的两个球上标号为相同数字的概率；(3)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．[解] (1)设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用(x，y)表示抽取结果，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，n(Ω)＝16.(2)设事件A＝“取出的两个球上标号为相同数字”，则事件A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}，n(A)＝4，∴P(A)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).(3)设事件B＝“取出的两个球上标号之积能被3整除”，则事件B＝{(1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)}, n(B)＝7，∴P(B)＝eq \f(7,16).[方法技巧]古典概型的概率求解步骤(1)读：反复阅读题目，收集整理题目中的各种信息．(2)判：判断试验是否为古典概型．(3)列：求出试验的样本空间和所求事件所包含的样本点的个数．(4)算：计算出古典概型的概率． 【对点练清】抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数分别为a，b.求：(1)满足a＋b≤6的概率；(2)满足log2|a－b|≥1的概率．解：(1)抛掷两枚质地均匀的骰子，记向上的点数为(a，b)，有36个样本点．满足a＋b≤6的样本点有15个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)．记事件A＝“满足a＋b≤6”，所以P(A)＝eq \f(15,36)＝eq \f(5,12).(2)由log2|a－b|≥1，得|a－b|≥2，则满足|a－b|≥2的样本点有20个：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)．记事件B＝“满足log2|a－b|≥1”，所以P(B)＝eq \f(20,36)＝eq \f(5,9).题型三 较复杂的古典概型概率的计算问题 【学透用活】[典例3] 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．[解] (1)无放回地取球．任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸出的是红球和白球的概率为eq \f(1,3).(2)有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，白)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白”包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率为eq \f(2,9).[方法技巧]解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特征和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类问题时需要注意以下两点：(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．(2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.【对点练清】1．[变设问]保持本例前提条件不变，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．解：有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，白)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，第一次摸出红球，第二次摸出白球，只包含(红，白)1个样本点，故所求概率为eq \f(1,9).2．[变设问]保持本例前提条件不变，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．解：无放回地取球．样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以先摸出红球，再摸出白球的概率是eq \f(1,6).3．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况 奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数 n(Ω)＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16).(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(B)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8).事件C包含的样本点个数共5个，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．所以P(C)＝eq \f(5,16).因为eq \f(3,8)＞eq \f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．【课堂思维激活】1．王斌同学在解答问题“同时掷两枚骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？”时，给出了如下答案：记{m，n}为投掷两枚骰子向上的点数分别为m，n，则投掷两枚骰子的所有可能结果为{1,1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,3}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,4}，{4,5}，{4,6}，{5,5}，{5,6}，{6,6}，共计21种．其中，“向上的点数之和是5”的有{1,4}和{2,3}，共2种．所以所求概率为eq \f(2,21).(1)你认为王斌同学的解答正确吗？简述理由．(2)如果王斌同学的解法不正确，请在下面给出正确的解答．解：(1)王斌同学的解答不正确．因为所列的可能结果不都是等可能事件，如{1,1}表示掷两枚骰子得到的点数都是1，只有一种情况；而{1,2}表示掷两枚骰子得到的点数一个是1，一个是2，有两种情况．(2)设事件A为“向上的点数之和是5”，记(m，n)为投掷两枚骰子后第一枚骰子点数为m，第二枚骰子点数为n.则投掷两枚骰子的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,6)，共计36种．其中事件A中含有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种．由古典概型计算公式得到P(A)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).二、应用性——强调学以致用2．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球一个，标号为1的小球一个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取一个小球，取到标号是2的小球的概率是eq \f(1,2).(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．解：(1)依题意，袋子中共有n＋2个小球，于是得eq \f(n,n＋2)＝eq \f(1,2)，解得n＝2，所以n的值是2.(2)由(1)记标号为2的两个小球为21,22，从袋子中不放回地随机抽取两个小球的所有结果有(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(21,0)，(22,0)，(1,21)，(1,22)，(21,1)，(22,1)，(21,22)，(22,21)，共有12个，它们等可能，事件A含有的结果有(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个结果，则P(A)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，所以事件A的概率是eq \f(1,3).三、创新性——强调创新意识和创新思维3．已知函数f(x)＝ax2－bx－1，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{2,4,6,8}，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对(a，b)．(1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)”，求事件A的概率；(2)记事件B为“方程eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f(x)))＝2有4个根”，求事件B的概率．解：(1)由题知a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,6,8}，所以数对(a，b)的可能取值为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)共16对．若函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，则函数f(x)的对称轴为x＝eq \f(b,2a)＝1，即b＝2a，所以满足条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，共4对，所以事件A的概率为P(A)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).(2)因为a>0，二次函数开口向上，所以方程|f(x)|＝2有4个根，即为f(x)＝2和f(x)＝－2，各有2个根，所以二次函数f(x)＝ax2－bx－1的最小值小于－2.所以eq \f(－4a－b2,4a)<－2，即b2>4a，满足条件的样本点有(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,6)，(4,8)，共11对，所以事件B的概率P(B)＝eq \f(11,16).课时跟踪检测层级(一) “四基”落实练1．下列试验是古典概型的是 ( )A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C 根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个样本点不是等可能的，B项中样本点的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．2．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)解析：选D 从7个整数中随机取2个不同的数，共有Ceq \o\al(2,7)＝21(种)取法，取得的2个数互质的情况有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为eq \f(14,21)＝eq \f(2,3).故选D.3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成．如图是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系图．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为( )A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)解析：选A 从金、木、水、火、土中任选两类，样本空间Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共有10个样本点，其中两类元素相生的有金水，水木，木火，火土，土金，共5个样本点，所以2类元素相生的概率为P＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)，故选A.4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面、二枚反面的概率等于 ( )A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,2)解析：选C 试验的样本空间Ω＝ {(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，共8种，出现一枚正面、二枚反面的样本点有3种，故概率为P＝eq \f(3,8).5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37.在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是 ( )A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)解析：选A 根据题意，不超过11的素数有2,3,5,7,11，共5个，从中任选2个，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10种取法．其中，和小于等于10的取法有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，共5种，则取出的两个数和小于等于10的概率P＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).6．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．解析：用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名学生中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含的样本点的个数为3，故所求的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).答案：eq \f(1,5)7.如图，在四棱锥DOABC中，底面OABC为正方形，OD⊥底面OABC，以O为起点，再从A，B，C，D四个点中任取两点分别为终点，得到两个向量，记这两个向量的数量积为M，则事件“M＝0”的概率为________．解析：记事件A＝“这两个向量的数量积M＝0”，样本点总数n(Ω)＝6，其中，事件A＝{eq \o(OA,\s\up7(―→))·eq \o(OC,\s\up7(―→))，eq \o(OA,\s\up7(―→))·eq \o(OD,\s\up7(―→))，eq \o(OB,\s\up7(―→))·eq \o(OD,\s\up7(―→))，eq \o(OC,\s\up7(―→))·eq \o(OD,\s\up7(―→))}，n(A)＝4，∴P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).答案：eq \f(2,3)8．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则从6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，所以检测出不合格产品的概率为eq \f(8＋1,15)＝eq \f(3,5).9．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6，记骰子的点数分别为x，y，向量a＝(x－1,1)，b＝(10－2y,2)，求两向量平行的概率．解：记事件A＝“两向量平行”， n(Ω)＝6×6＝36，∵a∥b，∴10－2y－2(x－1)＝0，解得x＋y＝6，∴A＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}，n(A)＝5，∴两向量平行的概率是P＝eq \f(5,36).层级(二) 能力提升练1．(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,5) D.eq \f(2,3)解析：选C 从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).故选C.2．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现两人进行赛马比赛，比赛规则：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，败者得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为( )A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,2)解析：选C 设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C.比赛的所有可能结果为Aa，Bb，Cc，田忌得0分；Aa，Bc，Cb，田忌得1分；Ba，Ab，Cc，田忌得1分；Ba，Ac，Cb，田忌得1分；Ca，Ab，Bc，田忌得2分；Ca，Ac，Bb，田忌得1分．所以田忌得2分的概率为eq \f(1,6).故选C.3．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为________．解析：现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，样本点总数n＝10，这三个数为勾股数包含的样本点有：(3,4,5)，共1个，∴这三个数为勾股数的概率为P＝eq \f(1,10).答案：eq \f(1,10)4．从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率．(2)用分层随机抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为eq \f(20,50)＝0.4.(2)重量在[80,85)的有4×eq \f(5,5＋15)＝1个．(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种. “任取2个苹果，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个”记为事件A，则事件A包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，故P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).层级(三) 素养培优练1．(多选)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是 ( )A．应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为eq \f(8,15)C．第5组志愿者被抽中的概率为eq \f(1,3)D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为eq \f(2,3)解析：选ABC 第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10.因为第3,4,5组共有60名志愿者，利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，抽样比为eq \f(1,10)，所以应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人．故A正确．记第3组的3名志愿者分别为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者分别为B1，B2，第5组的1名志愿者为C，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)}，共有15个样本点．第4组的2名志愿者恰有一人被抽中，所含的样本点个数为8，所以第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为eq \f(8,15)，故B正确．第5组的志愿者恰好被抽中，所含的样本点个数为5，所以第5组志愿者被抽中的概率为eq \f(5,15)＝eq \f(1,3)，故C正确．第3组志愿者至少有一人被抽中，所含的样本点个数为12，所以第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为eq \f(12,15)＝eq \f(4,5)，故D不正确．综上，应选A、B、C.2．甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏的奖金，两人商定：一局中掷出正面向上则甲胜，否则乙胜，谁先胜三局就得所有奖金．比赛开始后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时因为意外事件必须中断游戏，请问怎样分配这400元才合理？解：为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概率是eq \f(3,4)，乙获胜的概率是eq \f(1,4).因此，合理的分法为甲得300元，乙得100元．10．1.4 概率的基本性质知识点 概率的基本性质(一)教材梳理填空性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝eq \a\vs4\al(1)，P(∅)＝eq \a\vs4\al(0).性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推广：如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5 如果A⊆B，那么P(A)eq \a\vs4\al(≤)P(B)．性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[微思考] 设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？提示：不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1. (×)(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． (×)(3)事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大．(×)2．下列命题中假命题的个数为 ( )①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.A．0 B．1C．2 D．3答案：C3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是 ( )A．0.62 B．0.38C．0.70 D．0.68答案：B题型一 互斥事件的概率 【学透用活】[典例1] 盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝eq \f(3,10)，P(B)＝eq \f(1,2)，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．[解] 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(3,10)＋eq \f(1,2)＝eq \f(4,5).[方法技巧](1)当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用互斥事件的概率加法公式计算．(2)使用互斥事件概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，必须先判定A，B是互斥事件． 【对点练清】某学校准备对秋季运动会的竞赛项目进行调整，为此，学生会进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表：随机选取一名被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？解：用事件A表示“对这次调整表示反对”，事件B表示“对这次调整不发表看法”，则事件A和事件B是互斥事件，并且事件A∪B就表示“对这次调整表示反对或不发表看法”．由互斥事件的加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(37,100)＋eq \f(36,100)＝eq \f(73,100).因此，随机选取一名被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是eq \f(73,100).题型二 复杂的互斥事件及对立事件的概率 【学透用活】[典例2] 袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为eq \f(1,3)，得到黑球或黄球的概率为eq \f(5,12)，得到黄球或绿球的概率为eq \f(5,12)，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少．[解] 记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝eq \f(1,3)， ①P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(5,12)， ②P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq \f(5,12). ③由事件A和事件B∪C∪D是对立事件可得P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).④联立②③④可得P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,6)，P(D)＝eq \f(1,4).即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，eq \f(1,4).[方法技巧](1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和，并且互斥事件的概率加法公式可推广为P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，其使用的前提条件仍然是A1，A2，…，An彼此互斥，故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥．(2)“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，当直接求解比较麻烦时，可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求．应注意掌握． 【对点练清】某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，命中不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．解：记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事件A，命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A1，A2，A3，A4.由题意知，A2，A3，A4彼此互斥，∴P(A2∪A3∪A4)＝P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76.又∵A1与A2∪A3∪A4互为对立事件，∴P(A1)＝1－P(A2∪A3∪A4)＝1－0.76＝0.24.∵A1与A2互斥，且A＝A1∪A2，∴P(A)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.24＋0.28＝0.52.题型三 一般事件概率公式的应用 【学透用活】[典例3] 从1,2,3，…，30中任意选一个数，求这个数是偶数或能被3整除的概率．[解] 设A＝“选到偶数”，B＝“选到能被3整除的数”，则A＝{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30}，共包含15个元素，B＝{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}，共包含10个元素，A∩B＝{6,12,18,24,30}，共包含5个元素，因而P(A)＝eq \f(15,30)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(10,30)＝eq \f(1,3)，P(A∩B)＝eq \f(5,30)＝eq \f(1,6).因此，这个数是偶数或能被3整除的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).[方法技巧]在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件 A，B可以是互斥的，也可以不是互斥的．【对点练清】 某企业有三个分厂，现将男女职工人数统计如下：若从中任意抽取一名职工，求该职工是女性或是第三分厂职工的概率．解：设A＝“抽到女工”，B＝“抽到第三分厂职工”，则P(A)＝eq \f(200,1 200)＝eq \f(1,6)，P(B)＝eq \f(300,1 200)＝eq \f(1,4)，P(A∩B)＝eq \f(50,1 200)＝eq \f(1,24)，因此，该职工是女性或是第三分厂职工的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,24)＝eq \f(3,8).【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).(2)试验的样本点用(m，n)表示，由题意得，试验的样本空间Ω＝ {(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点．又满足条件n≥m＋2的样本点有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝eq \f(3,16)，故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16).二、创新性——强调创新意识和创新思维2.三个臭皮匠，顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A，B，C能答对题目的概率分别为P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,5)，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)＝eq \f(2,3).如果将三个臭皮匠A，B，C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？解：①如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)＝eq \f(47,60)，又P(D)＝eq \f(2,3)，所以P(A＋B＋C)＞P(D)，所以三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮．②如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．课时跟踪检测层级(一) “四基”落实练1．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为 ( )A．0.2 B．0.8C．0.4 D．0.1解析：选B 乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42， 摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 ( )A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.7解析：选C ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.3．经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：则至少3人排队等候的概率是 ( )A．0.44 B．0.56C．0.86 D．0.14解析：选A 设“至少3人排队等候”为事件H，则P(H)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44，故选A.4．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)＝ ( )A．0.3 B．0.7C．0.1 D．1解析：选A ∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5.∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( )A.eq \f(1,8) B.eq \f(3,8)C.eq \f(5,8) D.eq \f(7,8)解析：选D 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为eq \f(1,16)，4位同学都选周日的概率为eq \f(1,16)，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－eq \f(1,16)－eq \f(1,16)＝eq \f(14,16)＝eq \f(7,8).6．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq \f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq \f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq \f(3,7)＋eq \f(1,4)＝eq \f(19,28).答案：eq \f(19,28)7．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________.解析：因为P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3.答案：0.38．某饮料公司对一名员工进行测试，以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯中选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有样本点为(1,2，3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10个．设事件D表示“此人被评为优秀”，E表示“此人被评为良好”，F表示“此人被评为良好及以上”．(1)事件D中含有的样本点为(1,2,3)，共1个，因此P(D)＝eq \f(1,10).(2)事件E中含有的样本点为(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，共6个，因此P(E)＝eq \f(3,5)，故P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq \f(7,10).层级(二) 能力提升练1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是 ( )A．60% B．30%C．10% D．50%解析：选D “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%.2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则eq \f(8,9)是下列哪个事件的概率 ( )A．颜色全相同 B．颜色不全同C．颜色全不同 D．无红球解析：选B 试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，其中包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为eq \f(3,27)＝eq \f(1,9)＝1－eq \f(8,9)，所以eq \f(8,9)是事件“颜色不全同”的概率．3.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是________．解析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中 圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.答案：0.104．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(10,1 000)＝eq \f(1,100)，P(C)＝eq \f(50,1 000)＝eq \f(1,20).(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1,1 000)＋eq \f(1,100)＋eq \f(1,20)＝eq \f(61,1 000).(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－eq \f(1,1 000)－eq \f(1,100)＝eq \f(989,1 000).层级(三) 素养培优练1．在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)．开始时，骰子如图①那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图②所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为1的概率为 ( )A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)解析：选D 翻转的路径有4种：①右→右→右→下，最后朝上的是4；②右→右→下→右，最后朝上的是1；③右→下→右→右，最后朝上的是3；④下→右→右→右，最后朝上的是1.故最后骰子朝上的点数为1的概率为eq \f(1,2).2．袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个．现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求取球2次即终止的概率；(2)求甲取到白球的概率．解：(1)设事件A为“取球2次即终止”．即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：因此，P(A)＝eq \f(4×3,7×6)＝eq \f(2,7).(2)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i＝1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．借助树状图求出相应事件的样本点数：所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝eq \f(3,7)＋eq \f(4×3×3,7×6×5)＋eq \f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq \f(3,7)＋eq \f(6,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(22,35).10.2 事件的相互独立性知识点 事件的相互独立性(一)教材梳理填空1．相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B，如果 P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．2．相互独立事件的性质：当事件A，B相互独立时，事件eq \a\vs4\al(A)与事件eq \a\vs4\al(\x\to(B))相互独立，事件eq \a\vs4\al(\x\to(A))与事件eq \a\vs4\al(B)相互独立，事件eq \a\vs4\al(\x\to(A))与事件eq \a\vs4\al(\x\to(B))相互独立．[微思考](1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？提示：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？提示：公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)必然事件和不可能事件与任何一个事件相互独立． (√)(2)若三个事件A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)． (×)(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立． (×)2．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是 ( )A．互斥事件 B．相互独立事件C．对立事件 D．不相互独立事件答案：D3．某社区开展“建党100周年主题活动——党史知识竞赛”，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq \f(3,5)和eq \f(2,3)，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人都获得一等奖的概率为 ( )A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,15) C.eq \f(2,5) D.eq \f(8,15)答案：C题型一 相互独立事件的判断 【学透用活】[典例1] 判断下列各对事件是不是相互独立事件．(1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．(3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”．(4)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．(2)由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个，取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个，取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．(3)不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件．(4)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)，即P(AB)＝P(A)·P(B)．所以事件A与B相互独立，但不是互斥事件．[方法技巧]判断两个事件是否相互独立的方法(1)定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．(2)定量法：通过计算P(AB)＝ P(A)P(B)是否成立可以准确判断两个事件是否相互独立． 【对点练清】袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是 ( )A．A与B，A与C均相互独立B．A 与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立解析：选A 由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.题型二 相互独立事件的概率计算 【学透用活】[典例2] 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率．[解] 记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F，则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件eq \o(D,\s\up6(－))，eq \o(E,\s\up6(－))，eq \o(F,\s\up6(－)).根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为P＝P(D∩E∩eq \o(F,\s\up6(－)))＋P(D∩eq \o(E,\s\up6(－))∩F)＋P(eq \o(D,\s\up6(－))∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝P(D)P(E)P(eq \o(F,\s\up6(－)))＋P(D)P(eq \o(E,\s\up6(－)))P(F)＋P(eq \o(D,\s\up6(－)))P(E)P(F)＋P(D)P(E)P(F)＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.[方法技巧]用相互独立事件的乘法公式解题的步骤(1)用恰当的字母表示题中有关事件．(2)根据题设条件，分析事件间的关系．(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)．(4)利用乘法公式计算概率． 【对点练清】在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为eq \f(4,5)和eq \f(3,4).求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5).(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(19,20).题型三 相互独立事件的概率的综合应用 [探究发现](1)如果事件A，B相互独立，那么事件A与事件eq \o(B,\s\up6(－))，事件eq \o(A,\s\up6(－))与事件B，事件eq \o(A,\s\up6(－))与事件eq \o(B,\s\up6(－))各是什么关系？提示：事件A与事件eq \o(B,\s\up6(－))相互独立，事件eq \o(A,\s\up6(－))与事件B相互独立，事件eq \o(A,\s\up6(－))与事件eq \o(B,\s\up6(－))相互独立．(2)如果事件A，B相互独立，那么事件AB的对立事件是 eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－))吗？提示：不是，如果事件A，B相互独立，那么事件AB的对立事件是eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－))∪eq \o(A,\s\up6(－))B∪Aeq \o(B,\s\up6(－)). 【学透用活】[ 3] 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq \f(1,3)和eq \f(1,4)，求：(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率．[解] 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，则A，B为相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4).(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12).(2)两个人都译不出密码的概率为P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))·P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,2).(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为P(Aeq \o(B,\s\up6(－)) ∪eq \o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12).[方法技巧]事件间的独立性关系已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有【对点练清】1.本例条件不变，求：(1)至多有1个人译出密码的概率；(2)至少有1个人译出密码的概率．解：(1)“至多有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多有1个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,12).(2)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为1－P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2).2．某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时．(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车付费之和为6元的概率；(2)若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,3)，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为eq \f(5,12)，eq \f(1,6)，求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率．解：(1)设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b∈{0,3,6}．所以甲、乙两人停车付费(a，b)的所有可能情况为(0,0)，(0,3)，(0,6)，(3,0)，(3,3)，(3,6)，(6,0)，(6,3)，(6,6)，共9种．其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”包含(0,6)，(3,3)，(6,0)，共3种情况，故甲、乙两人停车付费之和为6元的概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).(2)设甲停车的时长不超过半小时、乙停车的时长不超过半小时分别为事件A1，B1，甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件A2，B2，甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时、乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件A3，B3，则P(A1)＝1－P(A2)－P(A3)＝1－eq \f(1,4)－eq \f(5,12)＝eq \f(1,3)，P(B1)＝1－P(B2)－P(B3)＝1－eq \f(1,3)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)，所以甲、乙两人临时停车付费相同的概率为P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＋P(A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(5,12)×eq \f(1,6)＝eq \f(23,72).所以甲、乙两人临时停车付费不相同的概率为1－eq \f(23,72)＝eq \f(49,72).【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛，由甲、乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答问题正确的概率均为eq \f(1,3)，乙队每人回答问题正确的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，且两队各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率．解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误，其概率为P(B)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,3)＝eq \f(4,9).故甲队总得分为3分与1分的概率分别为eq \f(1,27)，eq \f(4,9).(2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D，事件C即甲队有2人答对，其余1人答错，则P(C)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9).事件D即乙队只有1人答对，其余2人答错，则P(D)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(11,24).由题得事件C与事件D相互独立，所以甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率为P(CD)＝P(C)P(D)＝eq \f(2,9)×eq \f(11,24)＝eq \f(11,108).二、应用性——强调学以致用2．某校高三举办“三环杯”排球比赛活动，现甲、乙两班进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军．甲班在第一局获胜的概率为eq \f(1,2)，从第二局开始，甲班每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲班获胜的概率增加p(00.5，所以中位数在区间[0.5,0.6)内，所以中位数为0.5＋eq \f(0.1,0.3)×0.1≈0.53，故B错误；因为消费金额在[0.5,0.6)内的概率最大，所以估计众数为0.55，故C错误；消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)×0.1×10 000＝6 000，故D正确．12．下列四个命题错误的是( )A．若事件A，B相互独立，则满足P(AB)＝P(A)P(B)B．若事件A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)C．若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件解析：选BCD 若事件A，B相互独立，则满足P(AB)＝P(A)P(B)，A正确；举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子的点数为奇数，事件B：第二个骰子点数为奇数，事件C：两个骰子的点数之和为奇数，于是有P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝P(BC)＝P(AC)＝eq \f(1,4)，P(ABC)＝0，可以看出事件A，B，C两两独立，但A，B，C不互相独立，所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，B错误；举例说明：投掷一个骰子三次，记事件A：第一次骰子的点数为1，事件B：第二次骰子点数为2，事件C：第三次骰子点数为3，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq \f(1,6).事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)≠1，C错误；举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，则P(A)＝P(B)＝eq \f(1,2)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，D错误．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．解析：由题意知，eq \f(12,45＋15)＝eq \f(30,120＋a)，解得a＝30.答案：3014．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率为________．解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).答案：eq \f(1,2)15．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出白球的概率为______；摸出红球的概率为________．解析：由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”也是对立事件，∵P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.答案：0.38 0.216．为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动．某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题．已知甲同学答对的概率是eq \f(1,2)，甲、乙两位同学都答错的概率是eq \f(1,6)，乙、丙两位同学都答对的概率是eq \f(1,3).若各同学答题正确与否互不影响，则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为________．解析：设“甲同学答对”的事件为A，“答错”的事件为eq \x\to(A)，“乙同学答对”的事件为B，“答错”的事件为eq \x\to(B)，“丙同学答对”的事件为C，“答错”的事件为eq \x\to(C)，因为甲同学答对的概率是eq \f(1,2)，甲、乙两位同学都答错的概率是eq \f(1,6)，乙、丙两位同学都答对的概率是eq \f(1,3)，所以P(A)＝eq \f(1,2)，P(eq \x\to(A)eq \x\to(B))＝P(eq \x\to(A))·P(eq \x\to(B))＝eq \f(1,6)， P(BC)＝P(B)·P(C)＝eq \f(1,3) ，解得P(eq \x\to(B))＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(2,3)，P(C)＝eq \f(1,2).所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率P＝P(ABeq \x\to(C))＋P(Aeq \x\to(B)C)＋P(eq \x\to(A)BC)＋P(ABC)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(7,12).答案：eq \f(7,12)四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？解：(1)eq \x\to(x)＝eq \f(1,10)(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．(2)中位数为eq \f(41＋44,2)＝42.5(吨)．(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．18．(12分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(eq \o(A,\s\up6(－)))＝0.2，P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝0.3，P(eq \o(C,\s\up6(－)))＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(eq \o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq \o(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq \o(C,\s\up6(－)))＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \o(C,\s\up6(－)))＝0.2×0.7×0.9＋ 0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)) eq \o(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))P(eq \o(C,\s\up6(－)))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.19．(12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？(2)哪台机床的生产状况比较稳定？解：(1)eq \x\to(x)甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×eq \f(1,10)＝1.5，eq \x\to(x)乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×eq \f(1,10)＝1.2.∵eq \x\to(x)甲>eq \x\to(x)乙，∴乙机床次品数的平均数较小．(2)seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理seq \o\al(2,乙)＝0.76，∵seq \o\al(2,甲)>seq \o\al(2,乙)，∴乙机床的生产状况比较稳定．20．(12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)．(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)样本空间与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*，1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应．因为S中点的总数为5×5＝25(个)，所以样本点总数为n＝25.事件A包含的样本点共5个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所以P(A)＝eq \f(5,25)＝eq \f(1,5).(2)B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．结合(1)知和为偶数的样本点个数为13个，即甲赢的概率为eq \f(13,25)，乙赢的概率为eq \f(12,25)，所以这种游戏规则不公平．21.(12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.解：(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×eq \f(1,2)＝20,30×eq \f(4,3)＝40,20×eq \f(5,4)＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.22．(12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率．(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为eq \f(40,100)×1 000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝eq \f(1,25)＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．全册综合验收评价(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b等于 ( )A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)解析：选D eq \f(1,2)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq \f(3,2)b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，故eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝(－1,2)．2．某学校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是 ( )A．193 B．192C．191 D．190解析：选B eq \f(1 000,200＋1 200＋1 000)＝eq \f(80,n)，解得n＝192.3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于 ( )A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i解析：选C 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.4．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b| 等于 ( )A.eq \r(6) B.eq \r(5)C.eq \r(3) D.eq \r(2)解析：选C 由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝eq \f(\r(3),2)|b|，4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2eq \r(3)|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝eq \r(3)，故选C.5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据 的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 ( )A．45 B．50C．55 D．60解析：选B 由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝eq \f(15,0.3)＝50.6．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 ( )A．1 cm B．2 cmC．3 cm D.eq \f(3,2) cm解析：选B S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．7．已知向量a＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为 ( )A．1 B．2C.eq \r(5) D．3解析：选A 因为a＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a|＝eq \r(cos θ－22＋sin2θ)＝eq \r(1－4cos θ＋4)＝eq \r(5－4cos θ)，因为θ∈R，所以－1≤cos θ≤1，故|a|的最小值为eq \r(5－4)＝1.故选A.8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，其面积为eq \r(3)，则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C )＝ ( )A．3eq \r(3) B.eq \f(26\r(3),3)C.eq \f(2\r(39),3) D.eq \f(\r(29),2)解析：选C 设△ABC的面积为S，由题意知S＝eq \f(1,2)bcsin A，即eq \r(3)＝eq \f(1,2)c·sin 60°，解得c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8×eq \f(1,2)＝13，即a＝eq \r(13).由正弦定理可得eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(13),\f(\r(3),2))＝eq \f(2\r(39),3).二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是 ( )A．成绩在[70,80)分的考生人数最多B．不及格的考生人数为1 000C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D．考生竞赛成绩的中位数为75分解析：选ABC 由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×eq \f(0.05,0.3)≈71.67，故D错误．故选A、B、C.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是( )A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥BCEF的体积为定值解析：选ABD 在A中，因为F，M分别是AD，CD的中点，所以FM∥AC∥A1C1，故A正确；在B中，因为tan∠BMC＝eq \f(BC,CM)＝2，tan∠CFD＝eq \f(CD,FD)＝2，所以∠BMC＝∠CFD，所以∠BMC＋∠DCF＝∠CFD＋∠DCF＝eq \f(π,2)，故BM⊥CF，又BM⊥C1C，CF∩C1C＝C，所以BM⊥平面CC1F，故B正确；在C中，BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D，故C错误；在D中，若三棱锥BCEF以面BCF为底，则高是定值，所以三棱锥BCEF的体积为定值，故D正确．故选A、B、D.11．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：如图是某市12月1日～20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是 ( )A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占eq \f(1,4)C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好解析：选ABD 对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占eq \f(1,4)是正确的，故B正确；对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C错误；对D：由折线图可知，上旬AQI指数大部分在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好，故D正确．故选A、B、D.12．中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于A，B，C，D四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点C1，则eq \o(AD,\s\up6(―→))·eq \o(BC1,\s\up6(―→))的值可能为( )A．－10 ．－12 C．－11 ．－14解析：选ACD 如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(－3,2)，C(3,0)，D(－2,3)，由于“马”每步只能走“日”字，故“马”走动一步到达点C1的位置可能为(4,2)，(1,1)，(2,2)，则eq \o(AD,\s\up6(―→))＝(－2,3)，eq \o(BC1,\s\up6(―→))＝(7,0)或eq \o(BC1,\s\up6(―→))＝(4，－1)或eq \o(BC1,\s\up6(―→))＝(5,0)，则eq \o(AD,\s\up6(―→))·eq \o(BC1,\s\up6(―→))的值可能为eq \o(AD,\s\up6(―→))·eq \o(BC1,\s\up6(―→))＝(－2,3)·(7,0)＝－14或eq \o(AD,\s\up6(―→))·eq \o(BC1,\s\up6(―→))＝(－2,3)·(4，－1)＝－11或eq \o(AD,\s\up6(―→))·eq \o(BC1,\s\up6(―→))＝(－2,3)·(5,0)＝－10，则eq \o(AD,\s\up6(―→))·eq \o(BC1,\s\up6(―→))的值不可能为－12.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设0＜θ＜eq \f(π,2)，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.解析：∵a∥b，∴sin 2θ×1－cos2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos2θ＝0，∵0＜θ＜eq \f(π,2)，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝eq \f(1,2).答案：eq \f(1,2)14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，则角B的值为________．解析：由余弦定理，得eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝eq \f(\r(3),2)，∴sin B＝eq \f(\r(3),2)，∴B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).答案：eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)15.如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB＝2eq \r(3)，AD＝2eq \r(3)，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是________，AE和BG所成角的大小是________．解析：∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角，即∠EGF，tan∠EGF＝eq \f(EF,FG)＝eq \f(2\r(3),2\r(3))＝1，∴∠EGF＝45°.∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角，即∠GBF，tan∠GBF＝eq \f(GF,BF)＝eq \f(2\r(3),2)＝eq \r(3)，∴∠GBF＝60°.答案：45° 60°16．在四面体SABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝eq \r(5)，AC＝eq \r(3)，则该四面体体积的最大值为______，该四面体外接球的表面积为________．解析：因为SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝eq \r(5)，AC＝eq \r(3)，所以AB＝eq \r(2)SA＝2eq \r(2)，因此BC2＋AC2＝AB2，则AC⊥BC.如图，取AB中点为O，连接OS，OC，则OA＝OB＝OC＝OS＝eq \r(2)，所以该四面体的外接球的球心为O，半径为OC＝eq \r(2)，所以该四面体外接球的表面积为S＝4π·(eq \r(2))2＝8π.又因为SA＝SB，所以SO⊥AB.因为底面三角形ABC的面积为定值eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(\r(15),2)，SO的长也为确定的值 eq \r(2)，因此，当SO⊥平面ABC时，四面体的体积最大，为V＝eq \f(1,3)S△ABC·SO＝eq \f(\r(30),6).答案：eq \f(\r(30),6) 8π四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \f(\r(2),2)，－eq \f(\r(2),2)，n＝(sin x，cos x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．解：(1)因为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，所以m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cos x＝0，所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cos x＝eq \f(1,2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2).因为0
第十章 | 概率10．1 随机事件与概率10．1.1 有限样本空间与随机事件知识点一 随机试验、样本点与样本空间(一)教材梳理填空1．随机试验的概念和特点：(1)随机试验的概念我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．(2)随机试验的特点①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间：(二)基本知能小试1．判断正误：(1)观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的． (×)(2)“下周六是晴天”是下周六天气状况的一个样本点． (√)(3)抛掷两枚骰子，向上的点数之和构成的样本空间为{1,2,3，…，11,12}． (×)2．(多选)下列现象中，是随机现象的是 ( )A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆B．若a为整数，则a＋1为整数C．发射一颗炮弹，命中目标D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品答案：ACD3．同时掷两枚大小相同的硬币，用(x，y)表示结果，则该实验包含的样本点数是 ( )A．3 B．4C．5 D．6答案：B知识点二 三种事件的定义(一)教材梳理填空(二)基本知能小试1．判断正误：(1)在一次掷骰子试验中，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，集合{1,3,5}一定会出现． (×)(2)长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形是必然事件． (√)(3)“明天会下雨”是不可能事件． (×)2．下列事件不是随机事件的是 ( )A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴答案：B3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为 ( )A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品答案：C题型一 样本空间 [探究发现](1)如何确定试验的样本空间？提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．(2)写试验的样本空间要注意些什么？提示：要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果． 【学透用活】[典例1] 一个家庭有两个小孩，则这个试验的样本空间是 ( )A．Ω＝{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．Ω＝{(男，女)，(女，男)}C．Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．Ω＝{(男，男)，(女，女)}[解析] 用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个不同的样本点(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．[答案] C[方法技巧]样本空间中样本点的求法(1)在写样本空间时，一般采用列举法写出，必须先明确事件发生的条件，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．(2)试验的样本空间最终结果应该写成集合的形式． 【对点练清】已知袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下试验的样本空间．(1)从中一次任取1球，观察球的颜色； (2)从中一次任取2球，观察球的颜色．解：(1)样本空间为Ω＝{红，白，黄，黑}．(2)若记(x，y)表示一次试验中，取出的是x球与y球，样本空间为Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．题型二 三种事件的判断 【学透用活】[典例2] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解] (1)某人购买福利彩票一注，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的内角和都为180°，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任意一张，所以是随机事件．(6)由能量守恒定律可知，不需要任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．[方法技巧]对事件分类的两个关键点 【对点练清】下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是 ( )A．1 B．3C．0 D．4解析：选B ①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的 事件，为必然事件．故选B.题型三 随机事件与样本空间 【学透用活】[典例3] 将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用(x，y)表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数．(1)求样本空间中的样本点个数；(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”．[解] (1)法一：列举法 试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．法二：树状图法 一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图①所示．由图可知，共36个样本点．法三：坐标系法如图②所示，坐标平面内的数表示相应两 次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的点一一对应．由图可知，样本点个数为36.(2)“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．[方法技巧](1)样本空间是指所有样本点构成的集合，而不是部分，写样本空间时，要做到不重不漏．(2)随机事件可理解为样本空间的子集． 【对点练清】把一套分上、中、下三册的选集随机地放在书架上．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的个数；(3)写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的样本点．解：(1)将书按从左到右的顺序摆放，则可得样本空间Ω＝{(上，中，下)，(上，下，中)，(中，上，下)，(中，下，上)，(下，中，上)，(下，上，中)}．(2)这个试验的样本点共有6个．(3)“上册在三册中的最左边”这一事件包含2个样本点：(上，中，下)，(上，下，中)．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，求事件“log2xy＝1”包含的样本点．解：先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果．Ω＝{(1,1), (1,2), (1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6), (2,1), (2,2), (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6), (3,1), (3,2), (3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1), (4,2), (4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6), (5,1), (5,2), (5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1), (6,2), (6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}, 解方程log2xy＝1，得y＝2x，则符合条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)．二、应用性——强调学以致用2．“沉鱼”“落雁”“闭月”“羞花”是由精彩故事组成的历史典故．“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事．她们分别是中国古代的四大美女．某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，要求甲、乙抽签决定扮演的对象．(1)写出这个试验的样本空间．(2)写出事件A“甲不扮演貂蝉、乙不扮演杨贵妃”包含的样本点个数．解：(1)甲选取的扮演对象用x表示，乙选取的扮演对象用y表示，那么试验的样本点用(x，y)表示．由题意得样本空间Ω＝{(西施，昭君)，(西施，貂蝉)，(西施，杨贵妃)，(昭君，西施)，(昭君，貂蝉)，(昭君，杨贵妃)，(貂蝉，西施)，(貂蝉，昭君)，(貂蝉，杨贵妃)，(杨贵妃，西施)，(杨贵妃，貂蝉)，(杨贵妃，昭君)}．(2)事件A 包含的样本点为(西施，昭君)，(西施，貂蝉)，(昭君，西施)，(昭君，貂蝉)，(杨贵妃，西施)，(杨贵妃，貂蝉)，(杨贵妃，昭君)，共7个．课时跟踪检测层级(一) “四基”落实练1．下列事件中，是必然事件的是 ( )A．13个人中至少有两个人生肖相同B．长度为4,5,6的三条线段可以构成一个直角三角形C．方程x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实根D．函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数解析：选A A为必然事件，B、C为不可能事件，D为随机事件．2．同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点个数是 ( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选D 因为事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共包含6个样本点．故选D.3．(多选)下列四个命题中正确的是 ( )A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件B．“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件C．“每年的国庆节都是晴天”是必然事件D．“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件解析：选ABD “每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故C项错误；A、B、D的判断均正确．4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为复数z＝a＋bi的实部和虚部，则事件“复数z为纯虚数”包含的样本点共有 ( )A．7个 B．8个C．9个 D．10个解析：选C “复数z为纯虚数”包含的样本点的特征是a＝0，b≠0，又A中有9个非零常数，故选C.5．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为 ( )A．18 B．19C．20 D．21解析：选B 一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个．方程有实数根，需满足b2－4c≥0.样本点中满足b2－4c≥0的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19个．6．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验的样本点共有________个．解析：该生选报的所有可能情况是：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)，所以试验的样本点共有3个．答案：37．连续抛掷3枚硬币，研究正面向上的情况，则其样本空间Ω＝________________________________________________________________________________________________________________________________________________.解析：用列举法一一列举出来， {(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．答案：{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}8．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________________________，满足“它是偶数”的样本点个数为________．解析：样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7，8,9，10}，其中满足“它是偶数”的样本点有：2,4,6,8,10，共有5个．答案：Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 59．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天1人值班，试写出值班顺序的样本空间．解：样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．10．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．(1)写出该试验的样本空间；(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？解：以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．(2)“三人出拳相同”包含的样本点为：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．层级(二) 能力提升练1．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点共有 ( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个解析：选C 从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个．2．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为 ( )A．5 B．6C．3或4 D．5或6解析：选C 由题意，10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.3．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“eq \f(x,y)为整数”这一事件包含的样本点个数为________个．解析：先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点．用A表示满足条件“eq \f(x,y)为整数”的事件，则A＝{(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}，共8个样本点．答案：84．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10，共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该试验的样本空间Ω；(2)写出A，B包含的样本点；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．(2)A包含的样本点为：S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10.B包含的样本点为：S7，S8，S9，S10.(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．5．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)表示一个样本点．(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个样本点？“a＜3且b＞1”呢？(2)“ab＝4”这一事件包含哪几个样本点？“a＝b”呢？解：这个随机试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(1)“a＋b＝5”这一事件包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“a＜3且b＞1”这一事件包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．(2)“ab＝4”这一事件包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“a＝b”这一事件包含以下4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．10．1.2 事件的关系和运算知识点 事件的关系和运算(一)教材梳理填空1．包含关系：2．并事件(和事件)：[微思考] 事件A与事件B的和事件包含几种情况？提示：包含三种情况：(1)事件A发生，事件B不发生；(2)事件A不发生，事件B发生；(3)事件A发生，事件B发生．即事件A与B至少有一个发生．3．交事件(积事件)：4．互斥(互不相容)：5．互为对立：[微思考] 互斥事件与对立事件有什么关系？提示：对立事件是特殊的互斥事件．若事件A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立．即“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能有一个发生． (√)(2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件． (×)(3)若事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件． (×)2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则 ( )A．A⊆B B．A＝BC．A与B互斥 D．A与B对立答案：C3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则 ( )A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3答案：C题型一 事件的关系的判断 【学透用活】[典例1] 从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：(1)“至少有1个白球”与“都是白球”；(2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”；(3)“至少有1个白球”与“都是红球”．[解] 给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，则A＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．(1)设B＝“都是白球”，则B＝{(3,4)}，所以B⊆A.即A和B不是互斥事件．(2)设C＝“至少有一个红球”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，所以A和C不互斥．(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，因为A∪D＝Ω，A∩D＝∅，所以A和D为对立事件．[方法技巧]判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)判断事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析． 【对点练清】1．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是 ( )A．① B．②④C．③ D．①③解析：选C ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．易知其余都不是对立事件．故选C.2．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是 ( )A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止一个红球解析：选D 从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球．故选D.题型二 事件关系的运算 [探究发现]“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件” “事件A与事件B互斥”“事件A与事件B对立”分别对应集合中的哪些关系或运算？提示：“事件B包含事件A”对应集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A与集合B的并集；“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集；“事件A与事件B互斥”对应集合A与集合B的交集为空集；“事件A与事件B对立”对应集合A与集合B互为补集． 【学透用活】[典例2] 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．试判断：(1)事件A与事件B是什么关系？(2)事件D与A，B是什么样的运算关系？(3)事件C与A的交事件是什么事件？[解] (1)事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B互斥但不对立．(2)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(3)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.[方法技巧]进行事件运算应注意的问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理． 【对点练清】 在投掷骰子的试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现点数i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅， A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}，B∩D＝A4＝{出现点数4}，B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示“向上的一面出现奇数”，事件B表示“向上的一面出现的数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的数不小于4”．(1)判断事件B与C的关系，并说明理由；(2)写出事件A与事件B的并事件，以及事件A与事件C的交事件．解：(1)因为事件B＝{得到的数为1，得到的数为2，得到的数为3}，事件C＝{得到的数为4，得到的数为5，得到的数为6}，所以事件B与C既是互斥事件，又是对立事件．(2)因为事件A＝{得到的数为1，得到的数为3，得到的数为5}，事件B＝{得到的数为1，得到的数为2，得到的数为3}，事件C＝{得到的数为4，得到的数为5，得到的数为6}，所以A∪B＝{得到的数为1，得到的数为2，得到的数为3，得到的数为5}，A∩C＝{得到的数为5}．二、创新性——强调创新意识和创新思维2．某校准备召开一次团代会，其中1班共有9名团员(5男4女，其中班长李青为女生)，现需要选5个代表去参会，其中男生指定选m人，且每个团员被选到的机会相等，那么：(1)当m为何值时，“选到李青”为必然事件？(2)当m为何值时，“选到李青”为不可能事件？(3)当m为何值时，“选到李青”为随机事件？解：(1)如果“选到李青”为必然事件，那么4名女生必然全部参加，故男生人数m＝1时符合题意．(2)如果“选到李青”为不可能事件，那么4名女生一定都不参加，故男生人数m＝5时符合题意．(3)如果“选到李青”为随机事件，那么参加的女生最少1个，最多3个，故男生人数m＝2或3或4时符合题意．课时跟踪检测层级(一) “四基”落实练1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为 ( )A．“都是红球”与“至少1个红球”B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”C．“至少1个白球”与“至多1个红球”D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”解析：选D A、B、C中两个事件是包含与被包含关系，只有D，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为 ( )A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．3．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中真命题的个数是 ( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．4．(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是( )A．A＋B＝A B．A＋AB＝AC.eq \x\to(A) eq \x\to(B)⊆A D．A(A＋B)＝A解析：选BD 若A＋B＝A，则B⊆A，故A错误；∵AB⊆A，∴A＋AB＝A，故B正确；∵当事件A，B都不发生时，eq \x\to(A) eq \x\to(B)发生，∴eq \x\to(A) eq \x\to(B)不是A的子集，C错误；∵A⊆(A＋B)，∴A(A＋B)＝A，D正确．故选B、D.5.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( )A．对立事件 B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件解析：选C 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C.6．事件“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是_________________________________________________________________________________________.解析：事件“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至多 3个是黑球”．答案：某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球7．向上抛掷一枚骰子，设事件A＝“点数为2或4”，事件B＝“点数为2或6”，事件C＝“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是________．解析：由题意可知C＝A∪B.答案：C＝A∪B8．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解：(1)由于事件C “至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．层级(二) 能力提升练1．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么 ( )A．A∪B是必然事件 B．C∪D是必然事件C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥解析：选B 由于事件A与B互斥，即A∩B＝∅，则C∪D＝U(U为全集)是必然事件．2．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等(不考虑黄灯)．事件A表示“第二个路口是红灯”，事件B表示“第三个路口是红灯”，事件C表示“至少遇到两个绿灯”，则A∩B包含的样本点有________个，事件A∩B与C的关系是________．解析：根据题意，画出如图所示的树状图．由图可得，A∩B＝{红红红，绿红红}，包含2个样本点，C＝{红绿绿，绿红绿，绿绿红，绿绿绿}，(A∩B)∩C＝∅，故事件A∩B与C互斥，又(A∩B)∪C≠Ω，故事件A∩B与C的关系是互斥但不对立．答案：2 互斥但不对立3．从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生．记：C1＝“选出1号同学”，C2＝“选出2号同学”，C3＝“选出3号同学”，C4＝“选出4号同学”，C5＝“选出5号同学”，C6＝“选出6号同学”，D1＝“选出的同学学号不大于1”，D2＝“选出的同学学号大于4”，D3＝“选出的同学学号小于6”，E＝“选出的同学学号小于7”，F＝“选出的同学学号大于6”，G＝“选出的同学学号为偶数”，H＝“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题：(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？(3)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？(4)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？ 解：(1)必然事件有：E；随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1 ，D2，D3，G，H；不可能事件有：F.(2)如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生．(3)D2和D3同时发生时，即为C5发生了．D2∩D3＝C5.(4)能，如：C1和C2；C3和C4等等．4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．解：设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)(x∈{1,2,3}，y∈{4,5})表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}．(1)设A＝“恰有1名男生”，B＝“恰有2名男生”，则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，B＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，因为A∩B＝∅，所以A与B互斥且不对立．(2)设C＝“至少有1名男生”，D＝“全是男生”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，D＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．因为C∩D＝D，所以D⊆C.即C与D不互斥．(3)设E＝“至少有1名男生”，F＝“全是女生”，则E＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，F＝{(4,5)}．因为E∪F＝Ω，E∩F＝∅，所以E和F互为对立事件．(4)设G＝“至少有1名男生”，H＝“至少有1名女生”，则G＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，因为G∩H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，所以G与H不互斥．10．1.3 古典概型知识点 古典概型(一)教材梳理填空1．事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2．古典概型的定义：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个．(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．古典概型的概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)任何一个事件都是一个样本点． (×)(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． (√)(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． (√)2．下列试验中，是古典概型的为 ( )A．种下一粒花生，观察它是否发芽B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率答案：C3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 ( )A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)答案：C题型一 古典概型的判断 【学透用活】[典例1] 下列是古典概型的是 ( )A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止[解析] A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．[答案] C[方法技巧]判断一个试验是古典概型的步骤(1)明确试验及其结果．(2)判断所有结果(样本点)是否有限．(3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言． 【对点练清】(多选)下列试验是古典概型的为 ( )A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B．同时掷两枚骰子，点数和为6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：选ABD A、B、D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．题型二 简单古典概型的概率的计算问题 [探究发现](1)古典概型的概率计算公式是什么？提示：P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．(2)求解古典概型问题的一般思路是什么？提示：①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)；②根据实际问题情境判断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率． 【学透用活】[典例2] 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．(1)列出所有可能结果；(2)求取出的两个球上标号为相同数字的概率；(3)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．[解] (1)设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用(x，y)表示抽取结果，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，n(Ω)＝16.(2)设事件A＝“取出的两个球上标号为相同数字”，则事件A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}，n(A)＝4，∴P(A)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).(3)设事件B＝“取出的两个球上标号之积能被3整除”，则事件B＝{(1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)}, n(B)＝7，∴P(B)＝eq \f(7,16).[方法技巧]古典概型的概率求解步骤(1)读：反复阅读题目，收集整理题目中的各种信息．(2)判：判断试验是否为古典概型．(3)列：求出试验的样本空间和所求事件所包含的样本点的个数．(4)算：计算出古典概型的概率． 【对点练清】抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数分别为a，b.求：(1)满足a＋b≤6的概率；(2)满足log2|a－b|≥1的概率．解：(1)抛掷两枚质地均匀的骰子，记向上的点数为(a，b)，有36个样本点．满足a＋b≤6的样本点有15个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)．记事件A＝“满足a＋b≤6”，所以P(A)＝eq \f(15,36)＝eq \f(5,12).(2)由log2|a－b|≥1，得|a－b|≥2，则满足|a－b|≥2的样本点有20个：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)．记事件B＝“满足log2|a－b|≥1”，所以P(B)＝eq \f(20,36)＝eq \f(5,9).题型三 较复杂的古典概型概率的计算问题 【学透用活】[典例3] 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．[解] (1)无放回地取球．任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸出的是红球和白球的概率为eq \f(1,3).(2)有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，白)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白”包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率为eq \f(2,9).[方法技巧]解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特征和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类问题时需要注意以下两点：(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．(2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.【对点练清】1．[变设问]保持本例前提条件不变，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．解：有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，白)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，第一次摸出红球，第二次摸出白球，只包含(红，白)1个样本点，故所求概率为eq \f(1,9).2．[变设问]保持本例前提条件不变，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．解：无放回地取球．样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以先摸出红球，再摸出白球的概率是eq \f(1,6).3．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况 奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数 n(Ω)＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16).(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(B)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8).事件C包含的样本点个数共5个，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．所以P(C)＝eq \f(5,16).因为eq \f(3,8)＞eq \f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．【课堂思维激活】1．王斌同学在解答问题“同时掷两枚骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？”时，给出了如下答案：记{m，n}为投掷两枚骰子向上的点数分别为m，n，则投掷两枚骰子的所有可能结果为{1,1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,3}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,4}，{4,5}，{4,6}，{5,5}，{5,6}，{6,6}，共计21种．其中，“向上的点数之和是5”的有{1,4}和{2,3}，共2种．所以所求概率为eq \f(2,21).(1)你认为王斌同学的解答正确吗？简述理由．(2)如果王斌同学的解法不正确，请在下面给出正确的解答．解：(1)王斌同学的解答不正确．因为所列的可能结果不都是等可能事件，如{1,1}表示掷两枚骰子得到的点数都是1，只有一种情况；而{1,2}表示掷两枚骰子得到的点数一个是1，一个是2，有两种情况．(2)设事件A为“向上的点数之和是5”，记(m，n)为投掷两枚骰子后第一枚骰子点数为m，第二枚骰子点数为n.则投掷两枚骰子的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…，(6,6)，共计36种．其中事件A中含有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种．由古典概型计算公式得到P(A)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).二、应用性——强调学以致用2．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球一个，标号为1的小球一个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取一个小球，取到标号是2的小球的概率是eq \f(1,2).(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．解：(1)依题意，袋子中共有n＋2个小球，于是得eq \f(n,n＋2)＝eq \f(1,2)，解得n＝2，所以n的值是2.(2)由(1)记标号为2的两个小球为21,22，从袋子中不放回地随机抽取两个小球的所有结果有(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(21,0)，(22,0)，(1,21)，(1,22)，(21,1)，(22,1)，(21,22)，(22,21)，共有12个，它们等可能，事件A含有的结果有(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个结果，则P(A)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，所以事件A的概率是eq \f(1,3).三、创新性——强调创新意识和创新思维3．已知函数f(x)＝ax2－bx－1，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{2,4,6,8}，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对(a，b)．(1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)”，求事件A的概率；(2)记事件B为“方程eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f(x)))＝2有4个根”，求事件B的概率．解：(1)由题知a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,6,8}，所以数对(a，b)的可能取值为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)共16对．若函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，则函数f(x)的对称轴为x＝eq \f(b,2a)＝1，即b＝2a，所以满足条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，共4对，所以事件A的概率为P(A)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).(2)因为a>0，二次函数开口向上，所以方程|f(x)|＝2有4个根，即为f(x)＝2和f(x)＝－2，各有2个根，所以二次函数f(x)＝ax2－bx－1的最小值小于－2.所以eq \f(－4a－b2,4a)<－2，即b2>4a，满足条件的样本点有(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,6)，(4,8)，共11对，所以事件B的概率P(B)＝eq \f(11,16).课时跟踪检测层级(一) “四基”落实练1．下列试验是古典概型的是 ( )A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C 根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个样本点不是等可能的，B项中样本点的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．2．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)解析：选D 从7个整数中随机取2个不同的数，共有Ceq \o\al(2,7)＝21(种)取法，取得的2个数互质的情况有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为eq \f(14,21)＝eq \f(2,3).故选D.3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成．如图是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系图．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为( )A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)解析：选A 从金、木、水、火、土中任选两类，样本空间Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共有10个样本点，其中两类元素相生的有金水，水木，木火，火土，土金，共5个样本点，所以2类元素相生的概率为P＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)，故选A.4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面、二枚反面的概率等于 ( )A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,2)解析：选C 试验的样本空间Ω＝ {(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，共8种，出现一枚正面、二枚反面的样本点有3种，故概率为P＝eq \f(3,8).5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37.在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是 ( )A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)解析：选A 根据题意，不超过11的素数有2,3,5,7,11，共5个，从中任选2个，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10种取法．其中，和小于等于10的取法有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，共5种，则取出的两个数和小于等于10的概率P＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).6．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．解析：用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名学生中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含的样本点的个数为3，故所求的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).答案：eq \f(1,5)7.如图，在四棱锥DOABC中，底面OABC为正方形，OD⊥底面OABC，以O为起点，再从A，B，C，D四个点中任取两点分别为终点，得到两个向量，记这两个向量的数量积为M，则事件“M＝0”的概率为________．解析：记事件A＝“这两个向量的数量积M＝0”，样本点总数n(Ω)＝6，其中，事件A＝{eq \o(OA,\s\up7(―→))·eq \o(OC,\s\up7(―→))，eq \o(OA,\s\up7(―→))·eq \o(OD,\s\up7(―→))，eq \o(OB,\s\up7(―→))·eq \o(OD,\s\up7(―→))，eq \o(OC,\s\up7(―→))·eq \o(OD,\s\up7(―→))}，n(A)＝4，∴P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).答案：eq \f(2,3)8．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则从6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，所以检测出不合格产品的概率为eq \f(8＋1,15)＝eq \f(3,5).9．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6，记骰子的点数分别为x，y，向量a＝(x－1,1)，b＝(10－2y,2)，求两向量平行的概率．解：记事件A＝“两向量平行”， n(Ω)＝6×6＝36，∵a∥b，∴10－2y－2(x－1)＝0，解得x＋y＝6，∴A＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}，n(A)＝5，∴两向量平行的概率是P＝eq \f(5,36).层级(二) 能力提升练1．(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,5) D.eq \f(2,3)解析：选C 从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).故选C.2．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现两人进行赛马比赛，比赛规则：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，败者得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为( )A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,2)解析：选C 设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C.比赛的所有可能结果为Aa，Bb，Cc，田忌得0分；Aa，Bc，Cb，田忌得1分；Ba，Ab，Cc，田忌得1分；Ba，Ac，Cb，田忌得1分；Ca，Ab，Bc，田忌得2分；Ca，Ac，Bb，田忌得1分．所以田忌得2分的概率为eq \f(1,6).故选C.3．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为________．解析：现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，样本点总数n＝10，这三个数为勾股数包含的样本点有：(3,4,5)，共1个，∴这三个数为勾股数的概率为P＝eq \f(1,10).答案：eq \f(1,10)4．从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率．(2)用分层随机抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为eq \f(20,50)＝0.4.(2)重量在[80,85)的有4×eq \f(5,5＋15)＝1个．(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种. “任取2个苹果，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个”记为事件A，则事件A包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，故P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).层级(三) 素养培优练1．(多选)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是 ( )A．应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为eq \f(8,15)C．第5组志愿者被抽中的概率为eq \f(1,3)D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为eq \f(2,3)解析：选ABC 第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10.因为第3,4,5组共有60名志愿者，利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，抽样比为eq \f(1,10)，所以应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人．故A正确．记第3组的3名志愿者分别为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者分别为B1，B2，第5组的1名志愿者为C，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)}，共有15个样本点．第4组的2名志愿者恰有一人被抽中，所含的样本点个数为8，所以第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为eq \f(8,15)，故B正确．第5组的志愿者恰好被抽中，所含的样本点个数为5，所以第5组志愿者被抽中的概率为eq \f(5,15)＝eq \f(1,3)，故C正确．第3组志愿者至少有一人被抽中，所含的样本点个数为12，所以第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为eq \f(12,15)＝eq \f(4,5)，故D不正确．综上，应选A、B、C.2．甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏的奖金，两人商定：一局中掷出正面向上则甲胜，否则乙胜，谁先胜三局就得所有奖金．比赛开始后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时因为意外事件必须中断游戏，请问怎样分配这400元才合理？解：为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概率是eq \f(3,4)，乙获胜的概率是eq \f(1,4).因此，合理的分法为甲得300元，乙得100元．10．1.4 概率的基本性质知识点 概率的基本性质(一)教材梳理填空性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝eq \a\vs4\al(1)，P(∅)＝eq \a\vs4\al(0).性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推广：如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5 如果A⊆B，那么P(A)eq \a\vs4\al(≤)P(B)．性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[微思考] 设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？提示：不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1. (×)(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． (×)(3)事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大．(×)2．下列命题中假命题的个数为 ( )①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.A．0 B．1C．2 D．3答案：C3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是 ( )A．0.62 B．0.38C．0.70 D．0.68答案：B题型一 互斥事件的概率 【学透用活】[典例1] 盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝eq \f(3,10)，P(B)＝eq \f(1,2)，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．[解] 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(3,10)＋eq \f(1,2)＝eq \f(4,5).[方法技巧](1)当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用互斥事件的概率加法公式计算．(2)使用互斥事件概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，必须先判定A，B是互斥事件． 【对点练清】某学校准备对秋季运动会的竞赛项目进行调整，为此，学生会进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表：随机选取一名被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？解：用事件A表示“对这次调整表示反对”，事件B表示“对这次调整不发表看法”，则事件A和事件B是互斥事件，并且事件A∪B就表示“对这次调整表示反对或不发表看法”．由互斥事件的加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(37,100)＋eq \f(36,100)＝eq \f(73,100).因此，随机选取一名被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是eq \f(73,100).题型二 复杂的互斥事件及对立事件的概率 【学透用活】[典例2] 袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为eq \f(1,3)，得到黑球或黄球的概率为eq \f(5,12)，得到黄球或绿球的概率为eq \f(5,12)，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少．[解] 记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝eq \f(1,3)， ①P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(5,12)， ②P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq \f(5,12). ③由事件A和事件B∪C∪D是对立事件可得P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).④联立②③④可得P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,6)，P(D)＝eq \f(1,4).即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，eq \f(1,4).[方法技巧](1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和，并且互斥事件的概率加法公式可推广为P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，其使用的前提条件仍然是A1，A2，…，An彼此互斥，故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥．(2)“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，当直接求解比较麻烦时，可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求．应注意掌握． 【对点练清】某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，命中不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．解：记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事件A，命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A1，A2，A3，A4.由题意知，A2，A3，A4彼此互斥，∴P(A2∪A3∪A4)＝P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76.又∵A1与A2∪A3∪A4互为对立事件，∴P(A1)＝1－P(A2∪A3∪A4)＝1－0.76＝0.24.∵A1与A2互斥，且A＝A1∪A2，∴P(A)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.24＋0.28＝0.52.题型三 一般事件概率公式的应用 【学透用活】[典例3] 从1,2,3，…，30中任意选一个数，求这个数是偶数或能被3整除的概率．[解] 设A＝“选到偶数”，B＝“选到能被3整除的数”，则A＝{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30}，共包含15个元素，B＝{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}，共包含10个元素，A∩B＝{6,12,18,24,30}，共包含5个元素，因而P(A)＝eq \f(15,30)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(10,30)＝eq \f(1,3)，P(A∩B)＝eq \f(5,30)＝eq \f(1,6).因此，这个数是偶数或能被3整除的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).[方法技巧]在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件 A，B可以是互斥的，也可以不是互斥的．【对点练清】 某企业有三个分厂，现将男女职工人数统计如下：若从中任意抽取一名职工，求该职工是女性或是第三分厂职工的概率．解：设A＝“抽到女工”，B＝“抽到第三分厂职工”，则P(A)＝eq \f(200,1 200)＝eq \f(1,6)，P(B)＝eq \f(300,1 200)＝eq \f(1,4)，P(A∩B)＝eq \f(50,1 200)＝eq \f(1,24)，因此，该职工是女性或是第三分厂职工的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,24)＝eq \f(3,8).【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).(2)试验的样本点用(m，n)表示，由题意得，试验的样本空间Ω＝ {(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点．又满足条件n≥m＋2的样本点有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝eq \f(3,16)，故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16).二、创新性——强调创新意识和创新思维2.三个臭皮匠，顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A，B，C能答对题目的概率分别为P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,5)，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)＝eq \f(2,3).如果将三个臭皮匠A，B，C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？解：①如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)＝eq \f(47,60)，又P(D)＝eq \f(2,3)，所以P(A＋B＋C)＞P(D)，所以三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮．②如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．课时跟踪检测层级(一) “四基”落实练1．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为 ( )A．0.2 B．0.8C．0.4 D．0.1解析：选B 乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42， 摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 ( )A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.7解析：选C ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.3．经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：则至少3人排队等候的概率是 ( )A．0.44 B．0.56C．0.86 D．0.14解析：选A 设“至少3人排队等候”为事件H，则P(H)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44，故选A.4．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)＝ ( )A．0.3 B．0.7C．0.1 D．1解析：选A ∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5.∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( )A.eq \f(1,8) B.eq \f(3,8)C.eq \f(5,8) D.eq \f(7,8)解析：选D 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为eq \f(1,16)，4位同学都选周日的概率为eq \f(1,16)，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－eq \f(1,16)－eq \f(1,16)＝eq \f(14,16)＝eq \f(7,8).6．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq \f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq \f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq \f(3,7)＋eq \f(1,4)＝eq \f(19,28).答案：eq \f(19,28)7．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________.解析：因为P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3.答案：0.38．某饮料公司对一名员工进行测试，以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯中选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有样本点为(1,2，3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10个．设事件D表示“此人被评为优秀”，E表示“此人被评为良好”，F表示“此人被评为良好及以上”．(1)事件D中含有的样本点为(1,2,3)，共1个，因此P(D)＝eq \f(1,10).(2)事件E中含有的样本点为(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，共6个，因此P(E)＝eq \f(3,5)，故P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq \f(7,10).层级(二) 能力提升练1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是 ( )A．60% B．30%C．10% D．50%解析：选D “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%.2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则eq \f(8,9)是下列哪个事件的概率 ( )A．颜色全相同 B．颜色不全同C．颜色全不同 D．无红球解析：选B 试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，其中包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为eq \f(3,27)＝eq \f(1,9)＝1－eq \f(8,9)，所以eq \f(8,9)是事件“颜色不全同”的概率．3.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是________．解析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中 圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.答案：0.104．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(10,1 000)＝eq \f(1,100)，P(C)＝eq \f(50,1 000)＝eq \f(1,20).(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1,1 000)＋eq \f(1,100)＋eq \f(1,20)＝eq \f(61,1 000).(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－eq \f(1,1 000)－eq \f(1,100)＝eq \f(989,1 000).层级(三) 素养培优练1．在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)．开始时，骰子如图①那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图②所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为1的概率为 ( )A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)解析：选D 翻转的路径有4种：①右→右→右→下，最后朝上的是4；②右→右→下→右，最后朝上的是1；③右→下→右→右，最后朝上的是3；④下→右→右→右，最后朝上的是1.故最后骰子朝上的点数为1的概率为eq \f(1,2).2．袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个．现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求取球2次即终止的概率；(2)求甲取到白球的概率．解：(1)设事件A为“取球2次即终止”．即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：因此，P(A)＝eq \f(4×3,7×6)＝eq \f(2,7).(2)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i＝1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．借助树状图求出相应事件的样本点数：所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝eq \f(3,7)＋eq \f(4×3×3,7×6×5)＋eq \f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq \f(3,7)＋eq \f(6,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(22,35).10.2 事件的相互独立性知识点 事件的相互独立性(一)教材梳理填空1．相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B，如果 P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．2．相互独立事件的性质：当事件A，B相互独立时，事件eq \a\vs4\al(A)与事件eq \a\vs4\al(\x\to(B))相互独立，事件eq \a\vs4\al(\x\to(A))与事件eq \a\vs4\al(B)相互独立，事件eq \a\vs4\al(\x\to(A))与事件eq \a\vs4\al(\x\to(B))相互独立．[微思考](1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？提示：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？提示：公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(二)基本知能小试1．判断正误：(1)必然事件和不可能事件与任何一个事件相互独立． (√)(2)若三个事件A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)． (×)(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立． (×)2．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是 ( )A．互斥事件 B．相互独立事件C．对立事件 D．不相互独立事件答案：D3．某社区开展“建党100周年主题活动——党史知识竞赛”，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq \f(3,5)和eq \f(2,3)，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人都获得一等奖的概率为 ( )A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,15) C.eq \f(2,5) D.eq \f(8,15)答案：C题型一 相互独立事件的判断 【学透用活】[典例1] 判断下列各对事件是不是相互独立事件．(1)甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．(3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”．(4)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．(2)由于把取出的水果又放回筐内，故“从中任意取出1个，取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出1个，取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．(3)不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件．(4)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)，即P(AB)＝P(A)·P(B)．所以事件A与B相互独立，但不是互斥事件．[方法技巧]判断两个事件是否相互独立的方法(1)定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．(2)定量法：通过计算P(AB)＝ P(A)P(B)是否成立可以准确判断两个事件是否相互独立． 【对点练清】袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是 ( )A．A与B，A与C均相互独立B．A 与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立解析：选A 由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.题型二 相互独立事件的概率计算 【学透用活】[典例2] 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率．[解] 记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F，则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件eq \o(D,\s\up6(－))，eq \o(E,\s\up6(－))，eq \o(F,\s\up6(－)).根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为P＝P(D∩E∩eq \o(F,\s\up6(－)))＋P(D∩eq \o(E,\s\up6(－))∩F)＋P(eq \o(D,\s\up6(－))∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝P(D)P(E)P(eq \o(F,\s\up6(－)))＋P(D)P(eq \o(E,\s\up6(－)))P(F)＋P(eq \o(D,\s\up6(－)))P(E)P(F)＋P(D)P(E)P(F)＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.[方法技巧]用相互独立事件的乘法公式解题的步骤(1)用恰当的字母表示题中有关事件．(2)根据题设条件，分析事件间的关系．(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)．(4)利用乘法公式计算概率． 【对点练清】在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为eq \f(4,5)和eq \f(3,4).求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5).(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(19,20).题型三 相互独立事件的概率的综合应用 [探究发现](1)如果事件A，B相互独立，那么事件A与事件eq \o(B,\s\up6(－))，事件eq \o(A,\s\up6(－))与事件B，事件eq \o(A,\s\up6(－))与事件eq \o(B,\s\up6(－))各是什么关系？提示：事件A与事件eq \o(B,\s\up6(－))相互独立，事件eq \o(A,\s\up6(－))与事件B相互独立，事件eq \o(A,\s\up6(－))与事件eq \o(B,\s\up6(－))相互独立．(2)如果事件A，B相互独立，那么事件AB的对立事件是 eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－))吗？提示：不是，如果事件A，B相互独立，那么事件AB的对立事件是eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－))∪eq \o(A,\s\up6(－))B∪Aeq \o(B,\s\up6(－)). 【学透用活】[ 3] 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq \f(1,3)和eq \f(1,4)，求：(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率．[解] 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，则A，B为相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4).(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12).(2)两个人都译不出密码的概率为P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))·P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,2).(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为P(Aeq \o(B,\s\up6(－)) ∪eq \o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12).[方法技巧]事件间的独立性关系已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有【对点练清】1.本例条件不变，求：(1)至多有1个人译出密码的概率；(2)至少有1个人译出密码的概率．解：(1)“至多有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多有1个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,12).(2)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为1－P(eq \o(A,\s\up6(－)) eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2).2．某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时．(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车付费之和为6元的概率；(2)若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,3)，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为eq \f(5,12)，eq \f(1,6)，求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率．解：(1)设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b∈{0,3,6}．所以甲、乙两人停车付费(a，b)的所有可能情况为(0,0)，(0,3)，(0,6)，(3,0)，(3,3)，(3,6)，(6,0)，(6,3)，(6,6)，共9种．其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”包含(0,6)，(3,3)，(6,0)，共3种情况，故甲、乙两人停车付费之和为6元的概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).(2)设甲停车的时长不超过半小时、乙停车的时长不超过半小时分别为事件A1，B1，甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件A2，B2，甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时、乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件A3，B3，则P(A1)＝1－P(A2)－P(A3)＝1－eq \f(1,4)－eq \f(5,12)＝eq \f(1,3)，P(B1)＝1－P(B2)－P(B3)＝1－eq \f(1,3)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)，所以甲、乙两人临时停车付费相同的概率为P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＋P(A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(5,12)×eq \f(1,6)＝eq \f(23,72).所以甲、乙两人临时停车付费不相同的概率为1－eq \f(23,72)＝eq \f(49,72).【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛，由甲、乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答问题正确的概率均为eq \f(1,3)，乙队每人回答问题正确的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，且两队各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率．解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误，其概率为P(B)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,3)＝eq \f(4,9).故甲队总得分为3分与1分的概率分别为eq \f(1,27)，eq \f(4,9).(2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D，事件C即甲队有2人答对，其余1人答错，则P(C)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9).事件D即乙队只有1人答对，其余2人答错，则P(D)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(11,24).由题得事件C与事件D相互独立，所以甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率为P(CD)＝P(C)P(D)＝eq \f(2,9)×eq \f(11,24)＝eq \f(11,108).二、应用性——强调学以致用2．某校高三举办“三环杯”排球比赛活动，现甲、乙两班进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军．甲班在第一局获胜的概率为eq \f(1,2)，从第二局开始，甲班每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲班获胜的概率增加p(0
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