2023-2024学年北京市丰台区璞瑅学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市丰台区璞瑅学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是圆锥侧面展开图的是( )
A. 三角形B. 圆C. 扇形D. 矩形
2.如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是( )
A. 0B. 1C. 1.5D. 2.5
3.如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是( )
A. 2a+3a=5aB. a2+a3=a5C. 2a+3a=52aD. 2+ 3= 5
5.反比例函数y=kx(k为正整数)在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为(2,1)，则k的值是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BC/​/OP交⊙O于点C.若∠B=70°，则∠OPC的度数为( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
7.某餐厅规定等位时间达到30分钟(包括30分钟)可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t(分钟)，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是( )
A. 此时段有1桌顾客等位时间是40分钟B. 此时段平均等位时间小于20分钟
C. 此时段等位时间的中位数可能是27D. 此时段有6桌顾客可享受优惠
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A(4,0)，C(0,3).直线y=12x由原点开始向上平移，所得的直线y=−12x+b与矩形两边分别交于M、N两点，设△OMN面积为S，那么能表示S与b函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若代数式14−x有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式：a2b−b= ．
11.比较大小： 7 ______3.(选填“>”、“<”或“=”)
12.盒中有1枚白色棋子和1枚黑色棋子，这两枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，放回后，再从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，那么两次记录的颜色都是黑色的概率是 ．
13.如图，两条射线AM/​/BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是 (写出一个即可)．
14.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题.《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”
其译文为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”
设木长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ．
15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为：∠BAC ∠DAC(填“>”，“=”或“<”)．
16.小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离(单位：km).若选择“高强度”要求前一天必须“休息”(第一天可选择“高强度”).则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 km．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算：(12)−1+ 8+| 3−1|−2sin60°．
18.解分式方程：x−3x−2+1=3x−2．
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
先化简再求值：(a−1)2−2a(a−1)，其中a= 3．
20.(本小题5分)
已知：∠MAN，B为射线AN上一点．
求作：△ABC，使得点C在射线AM上，且∠ABC=12∠CAB．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；
②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交DE于点F；
③连接FB，交射线AM于点C．
△ABC就是所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明：
证明：连接EF，AF，
∵点B，E，F在⊙A上，
∴∠EBF=12∠EAF(______)(填写推理的依据)．
∵在⊙A中，BD=EF，
∴∠DAB= ______．
∴∠ABC=12∠CAB．
21.(本小题5分)
关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
22.(本小题5分)
如图1，△ABC中，D为AC边上一动点(不含端点)，过点D作DE/​/AB交BC于点E，过点E作EF/​/AC交AB于点F，连接AE，DF.点D运动过程中，始终有AE=DF．
(1)求证：∠BAC=90°；
(2)如图2，若AC=3，tanB=34，当AF=AD时，求AD的长．
23.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(x<0)的图象经过点A(−1,6)，直线y=mx−2与x轴交于点B(−1,0)．
(1)求k，m的值；
(2)过第二象限的点P(n,−2n)作平行于x轴的直线，交直线y=mx−2于点C，交函数y=kx(x<0)的图象于点D．
①当n=−1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；
②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线．
(2)若PB=3，DB=4，求DE的长．
25.(本小题6分)
品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎.节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题.每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题.每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分.现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：
a.甲、乙两人参加比赛的得分统计图如图1，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙二人在相同轮次的得分；
b.丙参加比赛的得分统计图如图2；
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知点A的坐标为(26,18)，则此轮比赛中：甲的得分为______，与甲同场答题的百人团中，有______人答对；
(2)这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有______轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为______；
(3)设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为s12，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为s22，则s12 ______s22(填“>”，“<”或“=”)．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G.点M(x1,y1)，N(x2,y2)为图形G上任意两点．
①当m=0时，若x1②若对于x1=m−2，x2=m+2，都有y1>y2，求m的取值范围．
27.(本小题7分)
在正方形ABCD中，点E在射线BC上(不与点B、C重合)，连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
(1)如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB=6，EC=2，求BF的长；
(2)如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P′，使得MP′=2MP，则称点P为⊙M的二倍点．
(1)当⊙O的半径为2时，
①在T1(1,0)，T2(1,−1)，T3(− 32,32)三个点中，是⊙O的二倍点的是______；
②已知一次函数y=kx+2k与y轴的交点是A(0,a)，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，求a的取值范围．
(2)已知点M(m,0)，B(0,−12)，C(1,−12)，⊙M的半径为2，若线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：圆锥的侧面展开图是扇形，
故选：C．
圆锥侧面是曲面，所以侧面展开后是扇形；
本题考查圆锥的展开图；掌握圆锥侧面展开后的几何图形是扇形是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵数轴上点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数在−2到−1之间，
∴点B表示的数在1到2之间，
故选：C．
根据数轴上点的位置，利用相反数得定义确定出点A表示得数即可．
本题考查了数轴以及相反数的概念，性质等，熟练掌握相反数的概念与性质是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
4.【答案】A
【解析】解：A.2a+3a=5a，故此选项正确；
B.a2与a3无法合并，故此选项错误；
C.2a+3a=5a，故此选项错误；
D. 2与 3无法合并，故此选项错误．
故选：A．
直接利用分式的加减运算法则以及二次根式的加减运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了分式的加减运算法则以及二次根式的加减运算，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：假设点A(2,1)在反比例函数y=kx(k为正整数)第一象限的图象上，
则1=k2，
∴k=2，
但是点A在反比例函数y=kx(k为正整数)第一象限的图象的上方，
∴k<2，
故选：A．
假设点A(2,1)在反比例函数y=kx(k为正整数)第一象限的图象上，得k=2，再由题意得k<2，求解即可．
本题考查了反比例函数的图象与性质；熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，连接OC，
∵PA与⊙O相切，
∴∠PAO=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=70°，
∵BC/​/OP，
∴∠AOP=∠B=70°，∠POC=∠OCB=70°，
∴∠APO=20°，
在△AOP和△COP中，
AO=CO∠AOP=∠COP=70°OP=OP，
∴△AOP≌△COP(SAS)，
∴∠APO=∠CPO=20°，
故选：B．
由切线的性质可得∠PAO=90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠AOP=∠B=70°，∠POC=∠OCB=70°，由“SAS”可证△AOP≌△COP，即可求解．
本题考查了切线的性质，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.由直方图可知：有1桌顾客等位时间在35至40分钟，不能说是40分钟，故A选项错误；
B.平均等位时间为135(2×10+152+6×15+202+12×20+252+9×25+302+5×30+352+1×35+402)≈24.2(分钟)>20分钟，故B选项错误；
C.因为样本容量是35，中位数落在20≤x<25之间，故C选项错误；
D.30分钟以上的人数为5+1=6，故D选项正确．
故选：D．
观察频数分布直方图，获取信息，然后逐一进行判断即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：当点N从点O移动到点A时，如右图一所示，
∵y=−12x+b与矩形两边分别交于M、N两点，
∴点M的坐标是(0,b)，点N的坐标是(2b,0)，△OMN面积为S，
∴S与b函数关系式是：S=2b⋅b2=b2(0≤b≤2)；
当点2≤b≤3时，如图二所示，
此时点N到OC的距离不变，
∴S=b⋅42=2b，
当点b≥3时，如图三所示，
S=S矩形OABC−S△OAN3−S△OCM3−S△M3BN3
=3×4−4×(b−2)2−3×2(b−3)2−[4−2(b−3)]×[3−(b−2)]2
=−b2+5b．
故选B．
根据题意可以表示出各段的函数解析式，从而可以得到各段的函数图象，进而得到哪个选项是正确的．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，求出相应的各段的函数解析式，明确各自对应的函数图象．
9.【答案】x≠4
【解析】解：若代数式14−x有意义，则4−x≠0，
解得：x≠4．
故答案为：x≠4．
分式有意义的条件是分母不等于零，据此解答即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
10.【答案】b(a+1)(a−1)
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键，属于基础题．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：a2b−b
=b(a2−1)
=b(a+1)(a−1)．
故答案为：b(a+1)(a−1)．
11.【答案】<
【解析】解：∵ 72=7，32=9，
且7<9，
∴ 7<3．
故答案为：<．
首先求出两个数的平方，然后通过比较两个数平方的大小，即可比较出两数的大小．
本题考查了实数的大小比较，利用平方法比较实数的大小是解题的关键．
12.【答案】14
【解析】解：画树状图如图：
共有4种等可能的结果，两次记录的颜色都是黑色的结果有1种，
∴两次记录的颜色都是黑色的概率是14，
故答案为：14．
画树状图，共有4种等可能的结果，两次记录的颜色都是黑色的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】AD=BC或AB/​/CD(答案不唯一)
【解析】解：在四边形ABCD中，AB=CD，
∴再加条件AB/​/CD或AD=BC，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AB/​/CD或AD=BC(答案不唯一)．
在四边形ABCD中，AB=CD，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形与一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
14.【答案】y−x=4.5x−12y=1
【解析】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴y−x=4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x−12y=1．
联立两方程可得出方程组y−x=4.5x−12y=1．
故答案为：y−x=4.5x−12y=1．
根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”可列出方程y−x=4.5，根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”可列出方程x−12y=1，联立两方程即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】=
【解析】解：如图：
设正方形每个网格的边都为1，连接CD、BC，
则AD= 22+12= 5，
CD= 22+1= 5，
AC= 32+12= 10，
∵AD2+CD2=( 5)2+( 5)2=10，
AC2=( 10)2=10，
∴AD2+CD2=AC2，
∵AD=CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
同理：BC2=32+12=10，
AC2=10，
AB2=42+22=20，
∵AC=BC，
∴BC2+AC2=20，
∴AB2=BC2+AC2，
即△ACB为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
即∠BAC=∠DAC，
故答案为：=
根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD、AC、CD，再由勾股定理的逆定理得到△ACD为等腰直角三角形，同理△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=∠DAC．
本题考查勾股定理的性质及勾股定理的逆定理，解本题的关键要掌握勾股定理及逆定理的基本知识．
16.【答案】36
【解析】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，
∴当“高强度”的徒步距离>前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，
∵15>6+6，12>6+5，
∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，
又∵第一天可选择“高强度”，
∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，
此时徒步距离为：12+0+15+5+4=36(km)，
方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，
此时徒步距离为：12+6+0+12+4=34(km)，
综上，徒步的最远距离为36km．
根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．
本题主要考查最优路线选择，找出适合选择“高强度”的时间是解题的关键．
17.【答案】解：(12)−1+ 8+| 3−1|−2sin60°
=2+2 2+ 3−1−2× 32
=2+2 2+ 3−1− 3
=1+2 2．
【解析】根据二次根式，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了二次根式，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，考核学生的计算能力，解题时注意a−p=1a−p(a≠0)．
18.【答案】解：x−3x−2+1=3x−2，
方程两边同时乘以x−2，
得2x−5=3，
解得：x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，
所以x=4．
【解析】解分式方程的步骤：1.去分母．2.移项．3.合并同类项．4.化系数为1．
解分式方程要检验．
本题考查解分式方程．解题的关键是掌握分式方程的步骤．注意分式方程要检验．
19.【答案】解：(a−1)2−2a(a−1)
=a2−2a+1−2a2+2a．
=−a2+1．
∵a= 3．
∴原式=−( 3)2+1=−2．
【解析】本题需先根据整式的混合运算顺序和法则分别进行计算，再把所得的结果进行合并，最后把a的值代入即可．
本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意混合运算的顺序和结果的符号是本题的关键．
20.【答案】(1)见解析；
(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ∠EAF
【解析】解：(1)如图即为所求．
(2)连接EF，AF，
∵点B，E，F在⊙A上，
∴∠EBF=12∠EAF(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)(填写推理的依据)．
∵在⊙A中，BD=EF，
∴∠DAB=∠EAF，
∴∠ABC=12∠CAB．
故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，∠EAF．
(1)根据要求作出图形即可．
(2)连接EF，AF，利用圆周角定理证明可得结论．
本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，
∴△=b2−4ac
=(−m)2−4(2m−4)
=m2−8m+16
=(m−4)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2)解：∵△=(m−4)2≥0，
∴x=−b± b2−4ac2a=m±|m−4|2．
∴x1=m−2，x2=2．
∵此方程有一个根小于1．
∴m−2<1．
∴m<3．
【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
(2)利用求根公式得到x1=m−2，x2=2.根据题意得到m−2<1.即可求得m<3．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵DE//AB，EF/​/AC，
∴四边形ADEF是平行四边形．
∵AE=DF，
∴▱ADEF是矩形．
∴∠BAC=90°．
(2)解：当AF=AD时，
由(1)知，此时四边形ADEF是正方形．
方法1，
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠B，∠EDC=∠BAC=90°．
∴tan∠DEC=tanB=34．
在Rt△DEC中，设DC=3x，则DE=4x．
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE=4x．
∴AC=AD+DC=7x=3．
∴x=37，
∴AD=4x=127．
方法2：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，tanB=34，AC=3，
∴AB=4．
∵四边形ADEF是正方形，设AD=DE=x．
∵DE//AB，
∴△CED∽△CBA．
∴CDCA=DEAB，
即3−x3=x4，
解得x=127，
∴AD=127．
【解析】(1)根据对边平行可得平行四边形，再根据邻边相等可得矩形，可得结论；
(2)当AF=AD时，四边形ADEF是正方形，方法一：设DC=3x，则DE=4x可得AC=7x=3，进而可得AD；
方法二：根据相似三角形对应边成比例可得答案．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质解决问题是本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵函数y=kx(x<0)的图象经过点A(−1,6)，
∴k=−6．
∵直线y=mx−2与x轴交于点B(−1,0)，
∴m=−2．
(2)①判断：PD=2PC.理由如下：
当n=−1时，点P的坐标为(−1,2)，
∵y=−2x−2交于于点C，且点P(−1,2)作平行于x轴的直线，
∴点C的坐标为(−2,2)，
∵函数y=kx(x<0)的图象于点D，且点P(−1,2)作平行于x轴的直线，
点D的坐标为(−3,2)．
∴PC=1，PD=2．
∴PD=2PC．
②当PD=2PC时，y=2，
若PD≥2PC，0≤y≤2，即0≤−2n≤2
解得−1≤n<0．
【解析】(1)把A(−1,6)代入函数y=kx(x<0)，即可求出k；把点B(−1,0)代入直线y=mx−2，即可求出m；
(2)①求出PC和PD，即可判断PC和PD之间的关系；
②求出P点y值的取值范围，即可n的取值范围．
本题主要考查了反比例函数上点的坐标特点，熟悉反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠OBP=∠E=90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；
(2)解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，
根据勾股定理得：PD= 32+42=5，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC=PB=3，
∴DC=PD−PC=5−3=2，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4−r，
根据勾股定理得：(4−r)2=r2+22，
解得：r=32，
∴OP= PC2+OC2=3 52，
∵∠E=∠PBO，∠DPE=∠OPB，
∴△DEP∽△OBP，
∴DEOB=DPOP，
∴DE= 5．
【解析】(1)由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；
(2)在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD−PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8−r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．
此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)26，74；(2)2，乙；(3)<．
【解析】(1)根据A的坐标可以确认甲的得分，进而求得答对人数；
(2)甲的得分高于乙的得分，即图1中点的横坐标大于纵坐标，根据图1可求，根据图象分别表示三人的得分即可求；
(3)利用方差公式即可求解．
本题以甲、乙、丙三人比赛为背景考查了统计图，方差等知识，关键是能根据统一图找到三人比赛数据，即可求解．
解：(1)由图1知，横轴表示甲的得分，因为点A的坐标为26，
∴甲的得分为26，
即百人团答题有26人答错，
百人团答对的人数为100−26=74；
故答案为：26，74；
(2)甲的得分高于乙的得分，即图1中点的横坐标大于纵坐标，
由图1可知，共有2个点的横坐标大于纵坐标，
即有2轮甲的得分高于乙的得分，
甲的近似得分：26+28+30+31+29=144，
乙的近似得分：18+22+36+42+47=165，
丙的近似得分：42+20+13=75，
∴甲、乙、丙三人中总得分最高的为乙，
故答案为：2，乙；
(3)甲得分的平均数为：144÷5=28.8，
s12=(26−28.8)2+(28−28.8)2+(30−28.8)2+(31−28.8)2+(29−28.8)25=2.96，
乙得分的平均数为：165÷5=33，
s22=(18−33)2+(22−33)2+(36−33)2+(42−33)2+(47−33)25=126.4，
∴s12故答案为：<．
26.【答案】解：(1)抛物线y=x2−2mx+m2的对称轴为直线x=−−2m2=m．
(2)①y1>y2．
理由：当m=0时，二次函数解析式是y=x2，对称轴为y轴；
所以图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；
∵x1∴y1>y2．
②通过计算可知，P(m−2,4)，Q(m+2,4)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：
如图2，当y轴在点P左侧时(含点P)，
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y1=y2，不符题意；
如图3，当y轴在点Q右侧时(含点Q)，
点M，N分别和点P，Q重合，y1=y2，不符题意；
如图4，当y轴在点P，Q之间时(不含P，Q)，
经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，y1>y2，符合题意．
此时有m−2<0综上所述，m的取值范围为−2【解析】(1)根据对称轴公式x=−b2a，求解即可．
(2)①y1>y2.利用图象法，根据函数的增减性判断即可．
②通过计算可知，P(m−2,4)，Q(m+2,4)为抛物线上关于对称轴x=m对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：分三种情形：如图2，当y轴在点P左侧时(含点P)，如图3，当y轴在点Q右侧时(含点Q)，如图4，当y轴在点P，Q之间时(不含P，Q)，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
27.【答案】解(1)①图形如图所示．
②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=6，∠C=90°，
∵∠DEF=∠C=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°，∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠FEH=∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
∠H=∠C=90°∠FEH=∠EDCEF=DE，
∴△DEC≌△EFH(AAS)，
∴EC=FH=2，CD=BC=EH=6，
∴HB=EC=2，
∴Rt△FHB中，BF= FH2+BH2= 22+22=2 2．
(2)结论：BF+BD= 2BE．
理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=6，∠DCE=90°，
∵∠DEF=∠DCE=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°，∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠FEH=∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
∠FHE=∠DCE=90°∠FEH=∠EDCEF=DE，
∴△DEC≌△EFH(AAS)，
∴EC=FH，CD=BC=EH，
∴HB=EC=HF，
∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，
∴BD= 2BC= 2HE，BF= 2BH，
∵HE+BH=BE，
∴BF+BD= 2BE．
【解析】(1)①根据要求画出图形即可；
②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H.证明△DEC≌△EFH(AAS)，推出EC=FH，DC=EH，推出CE=BH=FH，再利用勾股定理解决问题即可；
(2)由②可得△DEC≌△EFH(AAS)，推出EC=FH，DC=EH，推出CE=BH=FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可
本题考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28.【答案】解：(1)∵对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P′，使得MP′=2MP，则称点P为⊙M的二倍点，
∴⊙O的半径为2时，⊙O的二倍点到O的距离小于2，且大于1，
①∵T1(1,0)，T2(1,−1)，T3(− 32,32)，
∴OT1=1，OT2= (1−0)2+(−1−0)2= 2，OT3= (− 32−0)2+(32−0)2= 3，
∴⊙O的二倍点的是T2、T3，
故答案为：T2、T3．
②若k<0，则y=kx+2k在第二象限的图象是一条射线(不含端点)，不可能所有点都是⊙O的二倍点，故k>0，
又x=−2时，y=0，即直线y=kx+2k过定点B(−2,0)，过O作OC⊥AB于C，如图：
由OB=|−2|=2，OA=a可得AB= a2+4，
而S△AOB=12OB⋅OA=12AB⋅OC可得OC=2a a2+4，
∵一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，一次函数y=kx+2k与y轴的交点是A(0,a)，
∴11，
∴11，
解得2 33(2)①当⊙M从B左侧沿x正方向移动时，线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，如图：
则满足BM<2，且CM>1，
∴ m2+14<2，且 (m−1)2+(0+12)2>1，
解得− 1521+ 32，
结合图形可得，此时线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，− 152②当M移动到B右侧，线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，如图：
则满足BM>1，且CM<2，
∴ m2+14>1，且 (m−1)2+(0+12)2<2，
解得m<− 32或m> 32，且1− 152结合图形可得，此时线段BC上存在点P为⊙M的二倍点， 32综上所述，线段BC上存在点P为⊙M的二倍点，则− 152【解析】本题考查圆的综合知识及新定义问题，解题的关键是理解二倍点的定义，找到“临界点”，题目难度较大．
(1)①⊙O的半径为2时，⊙O的二倍点到O的距离小于2，且大于1，求出T1(1,0)，T2(1,−1)，T3(− 32,32)与圆心的距离即可得答案；
②过O作OC⊥AB于C，一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的二倍点，k>0，且11，用a的代数式表示OC，列出不等式，即可解得a的范围；
(2)画出图形，找到“临界点”，列出不等式即可解得m范围．数据分成6组：
10≤t<15
15≤t<20
20≤t<25
25≤t<30
30≤t<35
35≤t<40
日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
低强度
8
6
6
5
4
高强度
12
13
15
12
8
休息
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0
0