2023-2024学年北京市西城区回民学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市西城区回民学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足b<−a，则b的值可能是( )
A. 2B. −2C. 0D. −3
2.下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为( )
A. 45°B. 60°C. 72°D. 90°
4.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+1=0根的情况是( )
A. 无实根B. 有实根C. 有两个不相等实根D. 有两个相等实根
5.为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是( )
A. S甲2x乙−
C. S甲2>S乙2，x甲−=x乙−D. S甲2=S乙2，x甲−6.如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图不可能是( )
A. B. C. D.
7.已知在正方形ABCD中，P是对角线BD上一个动点，过P作CD、AD的平行线分别交正方形ABCD的边于E、F和M、N，若BP=x，图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
8.方程3−x4+2x=0的解是______．
9.分解因式：4x2−8x+4= ．
10.已知点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在一次函数y=−2x+1的图象上，那么y1与y2的大小关系是y1 ______y2(填“>”，“=”“<”)．
11.如图(示意图)所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE的高为2.4m，测得AB=1.8m，BC=13.2m，则建筑物CD的高为______m.
12.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积为______．
13.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cs∠ACB的值为______．
14.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1，2，3.小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.小林赢的概率是______．
15.一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为______．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：3tan30°−(14)−1− 12+|− 3|．
17.(本小题5分)
解不等式组：2x−6<3xx−2+x−13≤1．
18.(本小题5分)
已知3x2−x−1=0，求代数式(2x+3)(2x−3)−2x(1−x)的值．
19.(本小题5分)
同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．

已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=12AB．
法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD．
法二：如图2，延长BC到D，使得BC=CD，连接AD．

你选择方法______
证明：
20.(本小题6分)
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD=∠DBA，∠CED=90°，AF⊥BD于点F．
(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；
(2)若AB=4，AD=3，求EC的长．
21.(本小题5分)
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点P在AB的延长线上，且∠A=∠P=30．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)连接BC，若AB=4，求△PBC的面积．
22.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x−6与双曲线y=kx(k≠0)的一个交点为A(m,2)，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求点B的坐标及k的值；
(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为16，求点P的坐标．
23.(本小题5分)
为了传承中华优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校1200名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖．
赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中100名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩在70≤x<80这一组的是：
70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 73 75 75 75 75 76 76 76 76 76 76 76 76 77 77 78 78 78 79 79
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)样本中这次比赛成绩的中位数是______；
(4)若这次比赛成绩在78分以上(含78分)的学生获得优胜奖，则该校参加这次比赛的1200名学生中获优胜奖的约有多少人？
24.(本小题6分)
有这样一个问题：探究函数y=1x−2+x的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对函数y=1x−2+x的图象与性质进行了探究．
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
(1)函数y=1x−2+x中自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值．
求m的值；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是______；
②该函数的图象与过点(2,0)且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线______越来越靠近而永不相交．
25.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+(m−3)x−3(m>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，AB=4，点D为抛物线的顶点．
(1)求点A和顶点D的坐标；
(2)将点D向左平移4个单位长度，得到点E，求直线BE的表达式；
(3)若抛物线y=ax2−6与线段DE恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
26.(本小题7分)
已知：如图，在△ABC中，AB>AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
(1)若∠CAD=α，求∠BCF的大小(用含α的式子表示)；
(2)求证：AC=FC；
(3)用等式直接表示线段BF与DC的数量关系．
27.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段AB的“似中点”．
(1)已知A(1,0)，B(3,2)，在点D(1,3)、E(2,1)、F(4,−2)、G(3,0)中，线段AB的“似中点”是点______；
(2)直线y= 3x+ 3与x轴交于点M，与y轴交于点N．
①求在坐标轴上的线段MN的“似中点”；
②若⊙P的半径为2，圆心P为(t,0)，⊙P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵表示数a的点在数轴上位于2和3之间，
∴表示数−a的点在数轴上位于−2和−3之间，
又∵b<−a，
∴表示数b的点位于表示数−a的点的左侧，
所以b的值可能是3．
故选：D．
先判断出表示−a的点的位置，再根据b<−a判断出表示b的大致位置判断选项即可．
本题考查数轴，相反数的概念，以及实数大小比较等知识，熟悉利用数轴比较实数的大小的方法是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.由图可知，A中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么A不符合题意．
B.由图可知，B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么B不符合题意．
C.由图可知，C中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，那么C符合题意．
D.由图可知，D中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么D不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题．
本题主要考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．
【解答】
解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴多边形的每个外角=360°÷5=72°．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：∵x2−(k+3)x+2k+1=0，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+3)]2−4×1×(2k+1)
=k2+6k+9−8k−4
=k2−2k+5
=(k−1)2+4，
∵(k−1)2≥0，
∴Δ=(k−1)2+4≥4>0，
∴方程有两个不相等的实根．
故选：C．
利用根的判别式得到Δ=(k−1)2+4，根据非负数的性质可得Δ>0，以此即可判断．
本题主要考查根的判别式、配方法的应用、非负数的性质，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可知，x−甲=15×(60+70+70+60+80)=68，x−乙=15×(70+80+80+70+90)=78，
∴x−甲由折线统计图可得S甲2=S乙2，
故选：D．
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查了平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意分两种情况剪开．
本题考查了正方体的表面展开图．正方体共有11种表面展开图，注意分情况讨论．
【解答】
解：沿后面下面剪开可得C选项的平面展开图，沿后面右面剪开可得A选项的平面展开图，沿下面右面剪开可得D选项的平面展开图．
所以平面展开图不可能是B选项的平面展开图．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，MP/​/BF，MB//BF，
∴四边形MBFP为正方形，
∵BP=x，
∴BF=BM= 22x，
∴AM=CF=a− 22x，
∴S阴影部分= 22x(a− 22x)×2=− 22x2+ 2ax，
∴y与x之间的函数图象是开口向下的抛物线(y>0)，
故选：D．
根据正方形的判定定理得到四边形MBFP为正方形，根据正方形的面积公式求出y与x的函数关系式，判断即可．
本题考查的是动点问题的函数图象，根据正方形的性质求出y与x的函数关系式是解题的关键．
8.【答案】x=3
【解析】解：3−x4+2x=0，
3−x=0，
解得：x=3，
检验：当x=3时，4+2x≠0，
∴x=3是原方程的解．
故答案为：x=3．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
9.【答案】4(x−1)2
【解析】【分析】
先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
【解答】
解：4x2−8x+4=4(x2−2x+1)=4(x−1)2．
故答案为：4(x−1)2．
10.【答案】>
【解析】解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，
∴y随着x的增大而减小．
∵A(m−1,y1)，B(m,y2)是一次函数y=−2x+1的图象上的两个点，m−1∴y1>y2．
故答案为：>．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据m−1本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
11.【答案】20
【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB//DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，
∵BE=2.4m，AB=1.8m，BC=13.2m，
∴AC=AB+BC=15m，
∴1.815=2.4DC，
解得：DC=20，
即建筑物CD的高是20m，
故答案为：20．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AC于H，如图，
∵GB⊥AB，GH⊥AC，
∴GH=GB=1，
∴S△ACG=12⋅AC⋅GH=12×1×4=2．
故答案为：2．
根据基本作图可判断AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AC于H，如图，再利用角平分线的性质得到GH=GB=1，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
13.【答案】2 55
【解析】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，
∵CH= 22+22=2 2，BH= 2，BC= 12+32= 10，
∴CH2+BH2=10，BC2=10，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形，
∴cs∠ACB=CHBC=2 2 10=2 55，
故答案为：2 55．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
14.【答案】49
【解析】解：由题意画出树状图如下：
所有可能情况如下：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)．
标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
标号之和为奇数的概率是：49，
即小林赢的概率是49．
故答案为：49．
根据题意画出树状图得出所有等情况数，)根据概率公式先求出标号之和为奇数的概率即可，
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】30
【解析】解：因为乙丙的第2，5题答案相同，且总得分都是25分，所以第2，5两题答案正确；
又因为甲得分30分，即甲错两题且第2，5题与乙，丙不同，所以其余6题答案均正确，故这8道判断题的答案分别是×××√√×√×；
对比丁的答案，可知其第2，8两题错误，故得分m=6×5=30，
故答案为：30．
由乙丙的答案和得分得出第2，5两题答案正确；由甲的得分结合乙丙的答案可得其余6题答案均正确；由正确答案求出丁的得分，可得m值．
本题考查了推理与论证，考查学生阅读能力和逻辑思维能力，以乙、丙得分一样为突破口，属于中档题．
16.【答案】解：原式=3× 33−4−2 3+ 3
= 3−4−2 3+ 3
=−4．
【解析】先代入特殊角的函数值，计算负整数指数幂化简二次根式，再算乘法，最后算加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．
17.【答案】解：解不等式2x−6<3x，得x>−6，
解不等式x−2+x−13≤1，得x≤2.5，
故不等式组的解集为−6【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
18.【答案】解：原式=4x2−9+2x2−2x
=6x2−2x−9，
∵3x2−x−1=0，
∴3x2−x=1，
∴原式=2(3x2−x)−9
=2×1−9
=−7．
【解析】利用多项式乘多项式、多项式乘单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．
本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
19.【答案】方法一或方法二
【解析】证明：选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=180°−90°−30°=60°，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=CD，
∴∠ACD=90°−60°=30°，
∴CD=AD，
∴BC=AD=BD，
∴BC=12AB；
选择方法二：延长BC到D，使得BC=CD，连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=180°−90°=90°=∠ACB，
在△ACB和△ACD中，
AC=AC ∠ACB=∠ACD BC=DC ，
∴△ACB≌△ACD(SAS)，
∴BC=DC，
∴BC=12AB．
故答案为：方法一或方法二．
选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD，根据等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可；
选择方法二：延长BC到D，使得BC=CD，连接AD，利用SAS证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，DC=AB，DC/​/AB，
∴∠CDF=∠DBA．
∵AF⊥BD于点F，∠CED=90°，
∴∠BFA=∠CED=90°．
又∵∠ECD=∠DBA，
∴∠CDF=∠ECD，
∴EC/​/BF，
在△ECD和△FBA中，
∠CED=∠BFA ∠ECD=∠FBA CD=BA ,
∴△ECD≌△FBA(AAS)，
∴EC=BF，
又∵EC//BF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AB=4，AD=3，
∴BD= AB2+AD2=5，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=90°=∠BAD，
∴S△ABD=12AD·AB=12AF·BD，
∴AD·AB=AF·BD，
∴3×4=5·AF，
解得：AF=125，
∴BF= AB2−AF2= 42−1252=165，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴EC=BF=165．
【解析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
(1)由矩形的性质得出∠BAD=90°，DC=AB，DC/​/AB，得出∠CDF=∠DBA，证出∠BFA=∠CED=90°，∠CDF=∠ECD得到EC/​/BF，证明△ECD≌△FBA，得出EC=BF，即可得出结论；
(2)由勾股定理得出BD= AB2+AD2=5，再用面积法求出AF，然后用勾股定理求出BF的长，即可得出CE的长．
21.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠1=∠A，
又∵∠A=∠P=30°，
∴∠1=30°，∠ACP=120°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=4，
∴OA=OB=OC=2，
∵∠OCP=90°，∠P=30°，
∴OP=4，PC=2 3，
∴BP=OB，
∴S△PBC=12S△OPC，
∵S△OPC=2 3×2×12=2 3．
∴S△PBC= 3．
【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠A，根据已知条件得到∠1=30°，∠ACP=120°，求得∠OCP=90°，于是得到结论；
(2)根据已知条件得到OA=OB=OC=2，解直角三角形得到OP=4，PC=2 3，根据三角形的面积即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)令y=0，则2x−6=0，可得x=3，
∴直线y=2x−6与x轴交点B的坐标为(3,0)，
将A(m,2)代入y=2x−6，得m=4，
将A(4,2)代入y=kx，得k=8，
(2)过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示：
∵A(4,2)，C(0,−6)，
∴OC=6，AM=2，
∵S△APC=S△APB+S△CPB=12×PB×2+12×PB×6=4PB，
∵S△APC=16，
∴PB=4，
∵点B(3,0)，
∴P1(−1,0)，P2(7,0)
【解析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标特点，正确表示出图形面积是解题的关键．
(1)把A(m,2)代入y=2x−6，即可求出m，然后把A代入y=kx，即可求出k；通过一次函数y=2x−6，令y=0，即可求出B点；
(2)过点A作AM⊥x轴于点M，通过三角形的面积计算，即可求出PB，进而得出P点坐标．
23.【答案】(1)20；0.3；
(2)补图如下：
(3) 75.5;
(4)样本中成绩在78分以上(含78分)的人数为40人，占样本人数的40%，
故获优胜奖的人数约为：1200×40%=480(人)．
【解析】【分析】
本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数等知识，属于中档题．
(1)根据频数、频率以及总数之间的关系即可求出a和b；
(2)根据(1)求出的a的值直接补全统计图即可；
(3)根据中位数的定义直接解答即可；
(4)用总人数乘以在这次比赛中获优胜奖的人数所占的百分比即可得出答案．
【解答】
解：(1)a=100×0.2=20; 30÷100=0.3；
故答案为：20，0.3；
(2)见答案；
(3)把这些数从小到大排列，中位数是第50、51个数的平均数，
则中位数落在70≤x<80这组，中位数是75+762=75.5，
故答案为75.5；
(4)见答案．
24.【答案】解：(1)x≠2
(2)当x=3时，m=13−2+3=1+3=4，
即m的值为4；
(3)图象如图所示：
(4)(2,2) y=x
【解析】解：(1)由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2；
(2)(3)见答案
(4)观察函数图象发现：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是(2,2)．
故答案为(2,2)；
②该函数的图象与过点(2,0)且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=x越来越靠近而永不相交．
故答案为y=x．
【分析】(1)根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
(2)将x=3代入函数解析式中求出m值即可；
(3)连点成线即可画出函数图象；
(4)①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；
②观察函数图象即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．
25.【答案】解：(1)y=mx2+(m−3)x−3与y轴交于点C(0,−3)，
令y=0，则mx2+(m−3)x−3=0，
可得x1=−1，x2=3m，
由于点A在点B左侧，m>0可知点A(−1,0)，
又∵AB=4，
∴点B(3,0)，
∴m=1，
∴y=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴点D(1,−4)；
(2)依题意可知点E(−3,−4)，
设直线BE的表达式为y=kx+b，
∴−4=−3k+b0=3k+b，
解得，k=23b=−2
∴直线BE的表达式为y=23x−2；
(3)点D(1,−4)，E(−3,−4)分别代入y=ax2−6，
可得a=29或a=2，
作图如下，
可得a的取值范围为29≤a<2．
【解析】本题考查了二次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线和x轴的交点，以及平移的性质，求得D、E点的坐标是解题的关键．
(1)令y=0，则mx2+(m−3)x−3=0，可求得x1=−1，x2=3m，即可求得A(−1,0)，由AB=4，即可求得B(3,0)，得到m=1，则解析式为y=x2−2x−3，化成顶点式即可求得顶点坐标；
(2)根据平移的性质得到E点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
(3)把点D(1,−4)，E(−3,−4)分别代入y=ax2−6，求得a的值，结合函数图象，即可求得．
26.【答案】(1)解：过点A作AG⊥BC于点G，如图1所示：
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∵AD=AC，
∴∠CAG=∠DAG=12∠CAD=12α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG=90°，
∴∠DCE=∠DAG=12∠CAD=12α，
即∠BCF=12α；
(2)证明：∵∠B=45°，AG⊥BC，
∴∠BAG=45°，
∵∠BAC=45°+∠CAG，∠AFC=45°+∠DCE，∠DCE=∠DAG，∠CAG=∠DAG，
∴∠BAC=∠AFC，
∴AC=FC；
(3)解：DC= 2BF；理由如下：
过F点作FM⊥BC于M点，如图2所示：
则∠CMF=90°，△BFM是等腰直角三角形，
∴BF= 2FM，
在△CFM和△CAG中，∠FCM=∠CAG ∠CMF=∠AGC=90° CF=AC ，
∴△CFM≌△CAG(AAS)，
∴FM=CG=12DC，
∴BF= 2CG= 22DC，
∴DC= 2BF．
【解析】(1)过点A作AG⊥BC于点G，由等腰三角形的性质得出∠CAG=∠DAG=12∠CAD=12α，求出∠DCE=∠DAG=12∠CAD=12α，即可得出结论；
(2)由直角三角形的性质得出∠BAG=45°，证出∠BAC=∠AFC，即可得出结论；
(3)过F点作FM⊥BC于M点，则∠CMF=90°，△BFM是等腰直角三角形，得出BF= 2FM，证明△CFM≌△CAG，得出FM=CG=12DC，即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27.【答案】E，G
【解析】解：(1)∵点A(1,0)，B(3,2)，D(1,3)，
∴AD=3，BD= (3−1)2+(2−3)2= 5，
∴AD≠BD，
∴点D不是线段AB的“似中点”；
∵点E(2,1)，
∴AE= (1−2)2+(0−1)2= 2，BE= (3−2)2+(2−1)2= 2，
∴AE=BE，
∴点E是线段AB的“似中点”；
∵点F(4,−2)，
∴AF= (1−4)2+(0+2)2= 13，BF= (3−4)2+(2+2)2= 17，
∴AF≠BF，
∴点F不是线段AB的“似中点”；
∵点G(3,0)，
∴AG=2，BG=2，
∴AG=BG，
∴点G是线段AB的“似中点”．
故答案为：E，G；
(2)①直线y= 3x+ 3，当y=0时，x=−1；当x=0时，y= 3，
∴点M(−1,0)，N(0, 3)，
∴OM=1，ON= 3，
∴MN= 12+( 3)2=2，∠MNO=30°，
所求的点H是MN的垂直平分线l与坐标轴的交点，如图所示．
∴∠MH1Q=30°，MQ=NQ=1．
当“似中点”H1在x轴上时，H1M=2MQ=2，则H1(1,0)；
当“似中点”H2在y轴上时，NH2=2 33，则H2(0, 33)．
∴H1(1,0)，H2(0, 33)；
②如图所示，G，K分别是⊙P1，⊙P2与MN垂直平分线相切的切点，连接P1G，P2K，则P1G⊥l，P2K⊥l，则P1G//MN，P2K//MN．
∵MQ=12MN=1，MH1=2，⊙P的半径为2，∠MH1G=∠KH1P2=30°，
∴P1H1=2P1G=4，P2H1=2P2K=4，
∴OP1=3，OP2=5，
∴当−3≤t≤5时，⊙P上存在线段MN的“似中点”．
(1)分别求出各点到点A，B的距离，根据定义判断即可；
(2)①先求出点M(−1,0)，N(0, 3)，再根据勾股定理求出MN，可求出∠MNO，可确定“似中点”的位置，分两种情况求出坐标即可；
②作出图形，G，K分别是⊙P1，⊙P2与MN垂直平分线相切的切点，连接P1G，P2K，则P1G⊥l，P2K⊥l，则P1G//MN，P2K//MN，再求出线段长，然后根据直角三角形的性质求出OP1，OP2，即可得出答案．
本题主要考查了新定义的理解，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，理解“到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”是解题的关键．题号
学生
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
甲
╳
√
╳
√
╳
╳
√
╳
30
乙
╳
╳
√
√
√
╳
╳
√
25
丙
√
╳
╳
╳
√
√
√
╳
25
丁
╳
√
╳
√
√
╳
√
√
m
成绩x/分
频数
频率
50≤x<60
10
0.10
60≤x<70
25
0.25
70≤x<80
30
b
80≤x<90
a
0.20
90≤x≤100
15
0.15
x
…
−2
−1
0
1
32
74
94
52
3
4
5
6
…
y
…
−94
−43
−12
0
−12
−94
254
92
m
92
163
254
…