2021-2022学年北京市丰台区西罗园学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市丰台区西罗园学校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 在实数，，，中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，用边长为的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若点在轴上，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知是方程的一个解，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，，于点，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，把小河里的水引到田地处，若使水沟最短，则过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖水沟即可，理由是(    )

A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线

9. 下列命题中，假命题是(    )

A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 如果，，那么

10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，现把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

11. 如果把方程改写成用含的代数式表示的形式，那么______．
12. 将“对顶角相等”写为“如果，那么”的形式______．
13. 一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______．
14. 写出一个以为解的二元一次方程______．
15. 如果点到轴的距离等于，那么的值为______．
16. 如图，点是直线上一点，，写出图中一对互补的角，图中共有______对互补的角．
17. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为______．
18. 如图，给出下列条件：；；；其中，能推出的条件是______ 填上所有符合条件的序号

19. 如图，直线与相交于点，若，则的度数为______ ．

20. 符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，
    利用以上运算的规律，写出______为正整数，计算______．

三、解答题（本大题共8小题，共60分）

21. 计算：．
22. 求等式中的值：．
23. 用适当的方法解下列方程组．
    ；
    ．
24. 如图，，平分．
    求证：．

25. 如图，点为的角平分线上的一点，过点作交于点，过点作于点当时，求的度数．
    依题意，补全图形；
    完成下面的解题过程．
    解：于点，
    ____________填推理的依据．
    ，
    ，
    ____________填推理的依据．
    平分，且，
    角的平分线的定义．
    ______
    ，
    ______

26. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，将三角形平移，使点与点重合，得到三角形，其中点，的对应点分别为，．
    画出三角形；
    写出点，的坐标；
    三角形的面积为______．

27. 列方程组解应用问题：
    “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：

求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．

28. 在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象．例如是方程的一个解，用一个点来表示，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，方程的图象是图中的直线．
    二元一次方程的图象是直线，在同一坐标系中画出这个方程的图象；
    写出直线与直线的交点的坐标；
    过点且垂直于轴的直线与，的交点分别为，，直接写出三角形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点所在的象限是第一象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

2.【答案】 

【解析】解：．是无理数，故本选项符合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意，
故选：．
根据算术平方根，立方根的概念化简计算，从而作出判断．
本题考查算术平方根，立方根的概念，理解相关概念是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：用边长为的两个小正方形拼成一个大正方形，
大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为：，
，
，
大正方形的边长最接近的整数是．
故选：．
根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得：，
，
则点的坐标是：．
故选：．
直接利用关于轴上点的坐标特点纵坐标为得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出的值是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将代入方程得，
解得，
故选：．
将代入方程计算可求解值．
本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：于点，
，
，
，
，
．
故选：．
由于点，，可求得的度数，再利用，得，从而得解．
本题主要考查了平行线的性质与垂线，解答的关键是对平行线的性质与垂线的性质的掌握与熟练应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，把小河里的水引到田地处，则作，垂足为点，沿挖水沟，可知理由是：垂线段最短．
故选：．
根据垂线段最短解答即可．
本题考查了垂线段最短．能够正确读懂题意是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、对顶角相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、如果，，那么，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：．
根据对顶角相等、垂直的定义、平行线的性质、不等式的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握对顶角的性质、垂直的判断、平行线的性质、不等式的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，，
四边形的周长为，
的余数为，
又，
细线另一端所在位置的点在处，坐标为．
故选：．
先求出四边形的周长为，得到的余数为，由此即可解决问题．
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出四边形的周长，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
移项，得：，
故答案为：．
把当成已知数，解关于的方程即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

12.【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等 

【解析】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“它们相等”，
将“对顶角相等”写成“如果那么”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，应放在“那么”的后面．
本题考查了命题的条件和结论的叙述，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出的值即可．
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：答案不唯一，如．
故答案为：．
直接利用二元一次方程的解的意义得出答案．
此题主要考查了二元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：因为点到轴的距离等于，
所以，
即或，
解得或．
故答案为：或．
根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
本题考查了点的坐标，熟知点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据两个角的和等于，则这两个角互补，
，，
与互补，与互补，
，
与互补，与互补，
共有对互补的角．
故答案为：．
根据若两个角的和等于，则这两个角互补，即可计算本题．
本题考查了补角的概念，若两个角的和等于，则这两个角互补，难度适中．
 

17.【答案】或 

【解析】
解；如图，点，直线与轴平行，
直线上的点的纵坐标都为；
，
当点在点的右侧时，，即，
当点在点的左侧时，，即；
综上所述，点的坐标为或．
根据平行于轴的点的坐标特征：纵坐标相等，及平面直角坐标系中，方向不同，点的坐标也不同，得出点的坐标具有两种情况．
本题的关键点和难点是：知道平行于轴的点的坐标特征，纵坐标相等分类讨论思想，在平面直角坐标系中，由于组成要素数轴具有方向性，因为当条件不明确时，需分类讨论．在解决关于平面是直角坐标系的问题中，分类讨论思想应用广泛．
 

18.【答案】 

【解析】解：，；
，；
，；
，．
故答案为：．
根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．
本题考查了平行线判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
 

19.【答案】 

【解析】解：设，则．
，
，
，且，
，
，，
即，
．
故答案为：．
应用垂直定义和对顶角相等，设未知数列方程求解．
本题考查了对顶角的性质，垂直定义，通过设未知数列方程解题，熟练掌握这些方法是解题的关键．
 

20.【答案】  

【解析】解：，，，，
．



．
故答案为：；．
根据、、、的运算方法，写出的表达式；再根据的表达式，代入，计算即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．理解新运算，进而写出的表达式是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式
． 

【解析】本题涉及开平方、开立方、绝对值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

22.【答案】解：，
方程两边同除以得：，
开平方得：，
，． 

【解析】方程两边同除以，再利用平方根的定义解答即可．
本题考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
将代入得，
解得，
将代入得，
方程组的解为；
，
得，
解得，
将代入得，
解得，
方程组的解为． 

【解析】将代入可求解值，将代入可求解值，进而解方程；
可求解值，再将值代入可求解值，进而解方程．
本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组：加减消元法，代入消元法，选择合适的解法是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，，
平分，
，
． 

【解析】由可得，，再结合平分，不难求得．
本题主要考查了平行线的性质，解答的关键是对平行线的性质的熟练掌握与应用．
 

25.【答案】  垂直的定义    两直线平行，内错角相等     

【解析】解：依题意，补全图形如图所示；
于点，
垂直的定义填推理的依据．
，
，
两直线平行，内错角相等填推理的依据．
平分，且，
角的平分线的定义．
．
，
．
故答案为：，垂直的定义；，两直线平行，内错角相等；；．
根据题意，补全图形即可；
根据垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，，根据角平分线的定义得到，于是得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图所示，即为所求．

由图知，，；
三角形的面积为，
故答案为：． 

【解析】将点、、分别向右平移个单位长度、向上平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
根据所作图形可得答案；
利用割补法：用矩形的面积减去三个三角形的面积求解即可．
本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
 

27.【答案】解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元． 

【解析】设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，利用总价单价数量，结合表格内的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

28.【答案】解：画出方程的图象如图所示，

由解得，
直线与直线的交点的坐标；
把代入求得，
把代入求得，
，，
，
三角形的面积为：． 

【解析】在同一坐标系中画出方程的的图象即可；
方程组的解即为两个方程的图象的交点坐标；
求得、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题，体现了数形结合的思想．