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47球有关的内切、外接问题题型讲与练- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）
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专题强化二：球有关的内切、外接问题技巧归纳技巧一．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．技巧二．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq \r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq \s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq \r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq \r(3)a.【题型归纳】题型一： 构造法(补形法)1．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．2．（2024·陕西·二模）在三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．3．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）A． B． C． D．题型二：确定球心位置法4．（2024高三·全国·专题练习）已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．5．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）四棱锥各顶点在同一球面上，，，，则这个球的表面积为（ ）A． B． C． D．6．（2024·四川巴中·一模）在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．题型三：直接法(公式法)7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．8．（2024·河南郑州·模拟预测）知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（ ）A． B． C． D．9．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（ ）A． B． C． D．题型四：球表面积和体积最值问题10．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥中，，且PA，PB，PC两两垂直，点是三棱锥外接球的球面上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）A． B． C． D．11．（2024·河南·模拟预测）已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．12．（2024·湖南衡阳·二模）已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（ ）A．7 B．8 C． D．10【专题强化】一、单选题13．（2024·内蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．14．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）A． B． C． D．15．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）A． B． C． D．16．（2024·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．17．（2024·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．18．（2024·辽宁·一模）已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．19．（2024·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，，分别在线段，上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．20．（2024·吉林白山·二模）已知四面体中，，点在线段上，过点作，垂足为，则当的面积最大时，四面体外接球的表面积与四面体外接球的表面积之比为（ ）A． B． C． D．21．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．22．（2024·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．二、多选题23．（2024高三·全国·专题练习）(多选)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面最高点上，则下列说法正确的有（ ）A．球O的半径是2B．当矩形ABCD是正方形时，四棱锥P-ABCD的体积最大C．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是D．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是24．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知点均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，，，则三棱锥的体积可以为（ ）A． B． C． D．25．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为26．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）A．若一个球的体积为，则它的表面积为B．棱长为1的正四面体的内切球半径为C．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为D．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球截平面A1BD所得的截面面积为27．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积不可能为（ ）A． B． C． D．三、填空题28．（2024高一下·全国·专题练习）将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 .29．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）如图，直三棱柱的体积为，，，，则该三棱柱的外接球的表面积为 ．30．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）如图所示，一个球的内接圆台上下底面的半径分别为和，圆台的高为，则该球的表面积为 ．31．（2024·陕西西安·一模）一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 .32．（2024·全国·模拟预测）正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ． 33．（2024·吉林白山·一模）在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．34．（2024·陕西渭南·一模）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为 ．四、解答题35．（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求圆锥的内切球体积．36．（22-23高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；(2)求该“阳马”的外接球的表面积.37．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的一个菱形，若，异面直线与所成的角为． (1)求证：平面平面；(2)求四棱倠的内切球的表面积．38．（22-23高一下·安徽宣城·期末）如图，在正四棱柱中，，∥平面MAC． (1)证明：M是的中点；(2)若正四棱柱的外接球的体积是，求该正四棱柱的表面积．专题强化二：球有关的内切、外接问题技巧归纳技巧一．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．技巧二．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq \r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq \s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq \r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq \r(3)a.题型归纳题型一： 构造法(补形法)1．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积.【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，四面体的外接球即为长方体的外接球，而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为，故，所以外接球表面积为.故选：B.2．（2024·陕西·二模）在三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将该三棱锥置于一个长方体中，利用体对角线即为外接球的直径，求出球的半径，由表面积公式求解即可【详解】由题意，在三棱锥中，平面，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如图所示：则体对角线即为外接球的直径，由于，，所以，即外接球的半径，则该三棱锥外接球的表面积为.故选：A3．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设，根据其对称性可知，过点，又该八面体为正八面体，则面，又面，故；显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，，则，在直角三角形中，；由可得，则；故该八面体的表面积.故选：D.题型二：确定球心位置法4．（2024高三·全国·专题练习）已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用勾股定理证明，设的外心为中点，可得平面，由计算得解.【详解】设球心为，连结、，为球的直径，A、是球面上的点，．又，，，，，．又，，，设的外心为中点，连接，根据球的性质，可得平面，，，，三棱锥的体积为．故选：C．5．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）四棱锥各顶点在同一球面上，，，，则这个球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定三角形ABD为等边三角形，求出外接圆半径r,直接利用球和锥体的关系求出球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果．【详解】四棱锥各顶点在同一球面上, ，,则四边形四点共圆，对角互补，，故为等边三角形， 又，则点P在底面射影为的中心H，球心O在PH所在直线上，设外接圆半径为r，则,，设外接球的半径为，当球心O在PH上，故，即，解得（大于PH长度，舍去）．同理当球心O在PH延长线上，则即，解得成立，故球的表面积为故选：B6．（2024·四川巴中·一模）在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得出三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上，也一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上，由此可得外接球圆心、半径，进一步即可求解.【详解】 因为侧面是等边三角形，所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上，因为平面平面，作平面，其中为三棱锥外接球的球心，又因为，所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上，作平面，交于，由题意知，所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C.题型三：直接法(公式法)7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，结合正方体的性质和求得表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，则该球的表面积为．故选：A．8．（2024·河南郑州·模拟预测）知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先确定条件中的球落在正方体的部分，再求体积，即可求解.【详解】以8个顶点为球心的球各有在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为.故选：D9．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助圆锥的性质可计算出母线、高，由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，可得在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，即可得，代入数据计算即可得球的半径，借助球的表面积公式计算即可得解.【详解】底面周长为，则母线长度，则圆锥的高为，由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，故在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，设球的半径为，则有，即，解得，故球的表面积等于.故选：B.题型四：球表面积和体积最值问题10．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥中，，且PA，PB，PC两两垂直，点是三棱锥外接球的球面上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可求得三棱锥外接球的球心到平面的距离，再利用球面上的点到平面距离的最值问题即可求得三棱锥体积的最大值.【详解】由题可得将三棱锥补形成正方体，可得三棱锥的外接球即正方体的外接球，且外接球半径．设为外接球球心，根据正方体的结构特征可知点到平面ABC的距离为，如下图所示：又，故可得点到平面ABC的距离，则点到平面ABC的距离，故点到平面ABC的距离．易得是边长为的等边三角形，故三棱锥的体积，因此三棱锥体积的最大值为．故选：B．11．（2024·河南·模拟预测）已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用棱锥的体积公式得到的关系式，进而得到球的半径关于的关系式，利用三元基本不等式求得其最小值，从而得解.【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，则体积，所以，设球的半径为，则，即， 则，当且仅当，即时，等号成立，所以球的表面积的最小值为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得球的半径关于的关系式，从而利用三元基本不等式即可得解.12．（2024·湖南衡阳·二模）已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（ ）A．7 B．8 C． D．10【答案】C【分析】依题意可知为直角三角形且其外接圆的半径为，根据题意可求得点到平面的距离为，由求得半径求出过的截面圆半径，即可得出结论.【详解】因为球的体积为，所以球的半径满足，可得；又，因此，即，此时；设点到平面的距离为，则，可得，因为在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为，当与平面平行时，有最大值；设球心到平面的距离为，而的外心即为的中点，外接圆的半径为，则，故球心到平面的距离为，可知截面圆半径为；设在平面上的射影为，则的轨迹为圆，如下图所示： 设该圆圆心为，则当三点共线时且点在中间时，最长，此时，故线段长度的最大值为.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出点到平面距离之后，确定出当三点共线时且点在中间时，最长，利用勾股定理计算可得其最大值.专题精选强化一、单选题13．（2024·内蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积.【详解】设上下两个底面的中心分别为，连接，因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，所以直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在等边中，，在直角中，，所以直三棱柱外接球的半径，所以球的表面积为.故选：A14．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和， 则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.15．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球的表面积公式即可得.【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，画出该轴截面如图，由母线长为，底面半径为可得该圆锥的高，设内切球的半径为，则有，解得，即内切球表面积为.故选：A.16．（2024·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中由余弦定理求得，由题意证得平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.【详解】在中，，即，又，因为，所以，同理，又由平面ABC，平面.设的外接圆半径为，所以，所以，所以外接球的半径R满足，∴三棱锥外接球的表面积为.故选：A.17．（2024·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别利用正弦定理求得的外接圆的半径，再利用两个面垂直的三棱锥的外接球半径满足，从而得解.【详解】因为三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，所以，则， 设的外接圆的半径分别为，则在等边中，，在中，，所以，则，，设三棱锥的外接球的半径为，因为平面平面，则，所以其外接球的表面积为.故选：D.18．（2024·辽宁·一模）已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得圆锥的底面半径，即可求出圆锥的高，从而求出小圆锥的高与底面半径，设圆台外接球的半径为，球心到上底面的距离为，即可得到，求出，最后根据球的表面积公式计算可得.【详解】因为圆锥的底面积为，所以底面半径，记圆锥的高为，则，因为截去一个体积为的小圆锥，则小圆锥的高，小圆锥的底面半径，所以剩余圆台的高为，设圆台外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，所以外接球的表面积.故选：B19．（2024·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，，分别在线段，上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设的中点为，先证明，四面体的外接球球心在的中点处垂直平面方向上，由求得，从而求得球的表面积.【详解】设的中点为，连接，由题可知为等腰直角三角形，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，根据题意，，所以的外心为的中点，设四面体的外接球的球心为，则平面，作分别交于，，又，，则，所以，所以，，由，得，即，解得，，所以四面体外接球的表面积为.故选：A.20．（2024·吉林白山·二模）已知四面体中，，点在线段上，过点作，垂足为，则当的面积最大时，四面体外接球的表面积与四面体外接球的表面积之比为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，四面体中，为长方体的一角，设，勾股定理计算，的长，由均值不等式可计算的面积取最大值时的值，由此可计算四面体外接球的半径与四面体外接球的半径，从而求出结果.【详解】由题意可知，四面体中，设，则，由等面积法可知，.由已知得平面，故；因为，故平面.故，故.，当且仅当，即时取等号，此时四面体外接球的半径满足，而四面体外接球的半径满足，故所求比值为.故选：C. 21．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知圆台的轴截面为等腰梯形，计算出梯形的高，结合圆台的体积公式求解即可.【详解】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为，故梯形的高为，则该圆台的体积为.故选：D.22．（2024·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分析得三棱锥的体积取得最大值时，有平面平面，再分别利用正弦定理求得的外接圆的半径，从而利用两个面垂直的三棱锥的外接球半径满足，由此得解.【详解】依题意，三棱锥的底面面积是个定值，侧面中，顶点到边的距离也是一个定值，所以当该三棱锥的体积取得最大值时，平面平面，因为三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，所以，则， 设的外接圆的半径分别为，则在等边中，，在中，，所以，则，，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以其外接球的表面积为.故选：D.二、多选题23．（2024高三·全国·专题练习）(多选)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面最高点上，则下列说法正确的有（ ）A．球O的半径是2B．当矩形ABCD是正方形时，四棱锥P-ABCD的体积最大C．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是D．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是【答案】ABD【详解】因为球O的表面积是16π，所以S＝4πR2＝16π，解得R＝2.四棱锥PABCD的底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上．设矩形的长、宽分别为x，y，则x2＋y2＝(2R)2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时S正方形ABCD＝2R2＝8.点P在球面上，当PO⊥底面ABCD时，PO＝R，即hmax＝R，则四棱锥PABCD体积的最大值为.故选ABD.24．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知点均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，，，则三棱锥的体积可以为（ ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用线线垂直构造面面垂直结合三棱锥的外接球特征分类讨论计算即可.【详解】 取的中点，设三棱锥的外接球球心为O，半径，作于E，连接，易知平面，因为，所以平面，又平面，所以平面平面，作于G点，平面平面，则平面，故三棱锥的体积为，由题意可知，即，若在直线的下方，则，若在直线的上方，则，综上所述或.故选：BC【点睛】思路点睛：先根据条件得出球心与S点所在平面垂直于底面，再根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角，最后分类讨论S点的位置计算三棱锥的高即可.25．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为【答案】ACD【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故A正确；对B：连接，则，底面，故该正八面体结构的体积，故B错误；对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；对D：该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故D正确；故选：ACD．26．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）A．若一个球的体积为，则它的表面积为B．棱长为1的正四面体的内切球半径为C．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为D．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球截平面A1BD所得的截面面积为【答案】ABD【分析】用球的体积求得半径，进而求表面积可判断A选项；利用等体积法求内切球的半径，可判断B选项；利用球的性质求出球的半径，进而求出体积，可判断C选项；平面截球的截面为的内切圆，进而求内切圆的面积即可判断D选项.【详解】对于A：一个球的体积为，设该球的半径为，则，解得，于是该球的表面积为，故A正确；对于B：正四面体的棱长为1，内切球半径，如图所示，为的中点，， 由正四面体的性质可知线段为正四面体的高，在正中，，同理，在正中，，则，，所以，则，设点为正四面体内切球的球心，则等体积法有，解得，故正确.对于C：用平面α截一个球，所得的截面面积为π，截面圆的半径，则，即，α到该球球心的距离，设球的半径，则，所以 球的体积为，故C错误；对于D：平面截球的截面为的内切圆，如下图：因为正方体的棱长为1，所以对角线，内切圆半径，所以截面面积，故D正确.故选：ABD.27．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积不可能为（ ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】把四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径R，再计算外接球的体积．【详解】四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由四棱锥的体积为，解得；，解得；∴外接球的体积为．故选：ACD．【点睛】关键点睛：关键是由四棱锥的结构特征补形成长方体，由此即可顺利得解.三、填空题28．（2024高一下·全国·专题练习）将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 .【答案】【分析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可.【详解】由题意知，球内切于正方体，所以，得到.所以球的体积，即可制作的最大零件的体积为，故答案为：.29．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）如图，直三棱柱的体积为，，，，则该三棱柱的外接球的表面积为 ．【答案】【分析】在中，根据余弦定理可求得，所以可知为直角三角形，由三棱柱的体积可求得，把三棱柱放入长方体中，长方体的外接球即是三棱柱的外接球，可求球的半径，即可求解.【详解】在中，由余弦定理，解得，所以，则，又，解得，把三棱柱放入长方体中，如图所示：所以长方体的外接球即是三棱柱的外接球，∵，，，∴长方体的外接球的半径，∴三棱柱的外接球半径为，∴三棱柱的外接球的表面积为.故答案为：.30．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）如图所示，一个球的内接圆台上下底面的半径分别为和，圆台的高为，则该球的表面积为 ．【答案】【分析】取得圆台轴截面利用勾股定理求出外接球半径，即可得出该球的表面积.【详解】取圆台轴截面如下图所示：易知，设外接球的半径为，利用勾股定理可得，且，即可得，解得，所以该球的表面积为；故答案为：31．（2024·陕西西安·一模）一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 .【答案】【分析】根据题意该几何体为正四棱锥，利用正四棱锥的结构特征，求出内切球半径得解.【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点，连接，是球与侧面的切点，可知在上，，设内切球半径为，则，，，，由，，即，解得，所以内切球表面积为.故答案为：.32．（2024·全国·模拟预测）正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ． 【答案】 【分析】根据几何体的特征求高，即可求其体积；根据球的截面性质即可求其截面面积.【详解】如图，取的中点，连接，取的中点，连接． 由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则正八面体的体积为．此正八面体的外接球的球心为，半径为，到平面的距离等于到平面的距离，在中，过作的垂线，垂足为，则平面．由，得，平面截正八面体的外接球所得截面是圆，其半径，所以所得截面的面积为．故答案为：；.33．（2024·吉林白山·一模）在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．【答案】【分析】将四面体放在长方体中，通过求长方体的外接球半径得出结果.【详解】如图，依题意将四面体放在长方体中，设长方体的高为.根据锥体的体积，解得，所以长方体的长宽高分别为，和4，所以长方体的外接球直径即为对角线，解得.所以四面体外接球的体积为．故答案为：.34．（2024·陕西渭南·一模）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为 ．【答案】【分析】取的中点，设，设等腰三角形外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，结合线面垂直的性质与判定求得，再根据垂直关系可得点到平面的距离等于点到平面的距离，进而列式求解即可.【详解】取的中点，连接，因为底面为等腰三角形，，所以，所以，又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面，因为三角形为等腰三角形，，则，设，则，设等腰三角形外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，连接，则三点共线，由平面得平面，由正弦定理得，故，则，连接，则，由平面，且三角形外接圆的圆心为，可得，因为平面，所以，又平面，平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，又因为点到平面的距离的最大值为，所以，解得，所以，球的表面积为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.四、解答题35．（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求圆锥的内切球体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由已知得出，，再由三角形面积公式得出，从而得出以及圆锥的侧面积.（2）画出截面图形，先由相似三角形知识求出内切球半径，再由体积公式即可求解.【详解】（1）如图所示：令圆锥母线长、底面半径分别为l、r，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为知，，又，又因为的面积为，∴，又，所以，∴侧面积为．（2）如图所示：设内切球半径为，球心在上面，则，所以，由（1）可知，圆锥的高，则有，解得，所以圆锥的内切球体积为.36．（22-23高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；(2)求该“阳马”的外接球的表面积.【答案】(1)证明见解析，4(2)【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积；（2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解.【详解】（1）因为长方体中，平面，且是矩形，所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面，所以四棱锥是一个“阳马”，体积；（2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球，因为，.长方体的对角线长为，则长方体的外接球的半径，该“阳马”外接球的表面积为.37．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的一个菱形，若，异面直线与所成的角为． (1)求证：平面平面；(2)求四棱倠的内切球的表面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）先根据异面直线所成角结合余弦定理求边长，再根据内切球半径公式求解即可.【详解】（1）证明：连接交于点，连接因为四边形为菱形，所以因为平面，平面,所以平面，又因为平面，所以,因为为的中点，所以,又平面,平面，所以平面，因为平面，所以平面平面. （2）是边长为2的一个菱形，，是正三角形，从而，因为，所以为异面直线与所成的角，所以设，在中，，在中，，在中，由余弦定理可得：，即，设四棱锥的内切球的半径为由（1）可知：，又为中点，同理：四棱锥的体积：从而．38．（22-23高一下·安徽宣城·期末）如图，在正四棱柱中，，∥平面MAC． (1)证明：M是的中点；(2)若正四棱柱的外接球的体积是，求该正四棱柱的表面积．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）连接BD，交AC于N，根据线面平行的性质，可得，由是BD的中点，可得是的中点；（2）根据正四棱柱的外接球的体积求得AB，即可求该正四棱柱的表面积．【详解】（1）连接BD，交AC于N，连接MN．因为∥面MAC，面，且面MAC∩面，根据线面平行的性质定理得，，在正四棱柱中，四边形ABCD是正方形，所以N是BD的中点，所以M是的中点． （2）设，正四棱柱的外接球的半径为,因为正四棱柱的外接球的体积,解得，由题意为正四棱柱的外接球的直径，由，得，解得或(舍)，即，所以正四棱柱的表面积为．
专题强化二：球有关的内切、外接问题技巧归纳技巧一．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．技巧二．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq \r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq \s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq \r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq \r(3)a.【题型归纳】题型一： 构造法(补形法)1．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．2．（2024·陕西·二模）在三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．3．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）A． B． C． D．题型二：确定球心位置法4．（2024高三·全国·专题练习）已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．5．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）四棱锥各顶点在同一球面上，，，，则这个球的表面积为（ ）A． B． C． D．6．（2024·四川巴中·一模）在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．题型三：直接法(公式法)7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．8．（2024·河南郑州·模拟预测）知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（ ）A． B． C． D．9．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（ ）A． B． C． D．题型四：球表面积和体积最值问题10．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥中，，且PA，PB，PC两两垂直，点是三棱锥外接球的球面上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）A． B． C． D．11．（2024·河南·模拟预测）已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．12．（2024·湖南衡阳·二模）已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（ ）A．7 B．8 C． D．10【专题强化】一、单选题13．（2024·内蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．14．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）A． B． C． D．15．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）A． B． C． D．16．（2024·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．17．（2024·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．18．（2024·辽宁·一模）已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．19．（2024·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，，分别在线段，上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．20．（2024·吉林白山·二模）已知四面体中，，点在线段上，过点作，垂足为，则当的面积最大时，四面体外接球的表面积与四面体外接球的表面积之比为（ ）A． B． C． D．21．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．22．（2024·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．二、多选题23．（2024高三·全国·专题练习）(多选)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面最高点上，则下列说法正确的有（ ）A．球O的半径是2B．当矩形ABCD是正方形时，四棱锥P-ABCD的体积最大C．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是D．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是24．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知点均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，，，则三棱锥的体积可以为（ ）A． B． C． D．25．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为26．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）A．若一个球的体积为，则它的表面积为B．棱长为1的正四面体的内切球半径为C．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为D．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球截平面A1BD所得的截面面积为27．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积不可能为（ ）A． B． C． D．三、填空题28．（2024高一下·全国·专题练习）将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 .29．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）如图，直三棱柱的体积为，，，，则该三棱柱的外接球的表面积为 ．30．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）如图所示，一个球的内接圆台上下底面的半径分别为和，圆台的高为，则该球的表面积为 ．31．（2024·陕西西安·一模）一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 .32．（2024·全国·模拟预测）正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ． 33．（2024·吉林白山·一模）在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．34．（2024·陕西渭南·一模）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为 ．四、解答题35．（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求圆锥的内切球体积．36．（22-23高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；(2)求该“阳马”的外接球的表面积.37．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的一个菱形，若，异面直线与所成的角为． (1)求证：平面平面；(2)求四棱倠的内切球的表面积．38．（22-23高一下·安徽宣城·期末）如图，在正四棱柱中，，∥平面MAC． (1)证明：M是的中点；(2)若正四棱柱的外接球的体积是，求该正四棱柱的表面积．专题强化二：球有关的内切、外接问题技巧归纳技巧一．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．技巧二．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq \r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq \s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq \r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq \r(3)a.题型归纳题型一： 构造法(补形法)1．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积.【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，四面体的外接球即为长方体的外接球，而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为，故，所以外接球表面积为.故选：B.2．（2024·陕西·二模）在三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将该三棱锥置于一个长方体中，利用体对角线即为外接球的直径，求出球的半径，由表面积公式求解即可【详解】由题意，在三棱锥中，平面，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如图所示：则体对角线即为外接球的直径，由于，，所以，即外接球的半径，则该三棱锥外接球的表面积为.故选：A3．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设，根据其对称性可知，过点，又该八面体为正八面体，则面，又面，故；显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，，则，在直角三角形中，；由可得，则；故该八面体的表面积.故选：D.题型二：确定球心位置法4．（2024高三·全国·专题练习）已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用勾股定理证明，设的外心为中点，可得平面，由计算得解.【详解】设球心为，连结、，为球的直径，A、是球面上的点，．又，，，，，．又，，，设的外心为中点，连接，根据球的性质，可得平面，，，，三棱锥的体积为．故选：C．5．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）四棱锥各顶点在同一球面上，，，，则这个球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定三角形ABD为等边三角形，求出外接圆半径r,直接利用球和锥体的关系求出球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果．【详解】四棱锥各顶点在同一球面上, ，,则四边形四点共圆，对角互补，，故为等边三角形， 又，则点P在底面射影为的中心H，球心O在PH所在直线上，设外接圆半径为r，则,，设外接球的半径为，当球心O在PH上，故，即，解得（大于PH长度，舍去）．同理当球心O在PH延长线上，则即，解得成立，故球的表面积为故选：B6．（2024·四川巴中·一模）在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得出三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上，也一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上，由此可得外接球圆心、半径，进一步即可求解.【详解】 因为侧面是等边三角形，所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上，因为平面平面，作平面，其中为三棱锥外接球的球心，又因为，所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上，作平面，交于，由题意知，所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C.题型三：直接法(公式法)7．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体，结合正方体的性质和求得表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，则该球的表面积为．故选：A．8．（2024·河南郑州·模拟预测）知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先确定条件中的球落在正方体的部分，再求体积，即可求解.【详解】以8个顶点为球心的球各有在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为.故选：D9．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助圆锥的性质可计算出母线、高，由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，可得在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，即可得，代入数据计算即可得球的半径，借助球的表面积公式计算即可得解.【详解】底面周长为，则母线长度，则圆锥的高为，由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，故在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，设球的半径为，则有，即，解得，故球的表面积等于.故选：B.题型四：球表面积和体积最值问题10．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥中，，且PA，PB，PC两两垂直，点是三棱锥外接球的球面上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可求得三棱锥外接球的球心到平面的距离，再利用球面上的点到平面距离的最值问题即可求得三棱锥体积的最大值.【详解】由题可得将三棱锥补形成正方体，可得三棱锥的外接球即正方体的外接球，且外接球半径．设为外接球球心，根据正方体的结构特征可知点到平面ABC的距离为，如下图所示：又，故可得点到平面ABC的距离，则点到平面ABC的距离，故点到平面ABC的距离．易得是边长为的等边三角形，故三棱锥的体积，因此三棱锥体积的最大值为．故选：B．11．（2024·河南·模拟预测）已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用棱锥的体积公式得到的关系式，进而得到球的半径关于的关系式，利用三元基本不等式求得其最小值，从而得解.【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，则体积，所以，设球的半径为，则，即， 则，当且仅当，即时，等号成立，所以球的表面积的最小值为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得球的半径关于的关系式，从而利用三元基本不等式即可得解.12．（2024·湖南衡阳·二模）已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（ ）A．7 B．8 C． D．10【答案】C【分析】依题意可知为直角三角形且其外接圆的半径为，根据题意可求得点到平面的距离为，由求得半径求出过的截面圆半径，即可得出结论.【详解】因为球的体积为，所以球的半径满足，可得；又，因此，即，此时；设点到平面的距离为，则，可得，因为在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为，当与平面平行时，有最大值；设球心到平面的距离为，而的外心即为的中点，外接圆的半径为，则，故球心到平面的距离为，可知截面圆半径为；设在平面上的射影为，则的轨迹为圆，如下图所示： 设该圆圆心为，则当三点共线时且点在中间时，最长，此时，故线段长度的最大值为.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出点到平面距离之后，确定出当三点共线时且点在中间时，最长，利用勾股定理计算可得其最大值.专题精选强化一、单选题13．（2024·内蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积.【详解】设上下两个底面的中心分别为，连接，因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，所以直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在等边中，，在直角中，，所以直三棱柱外接球的半径，所以球的表面积为.故选：A14．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和， 则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为， 圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.15．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球的表面积公式即可得.【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，画出该轴截面如图，由母线长为，底面半径为可得该圆锥的高，设内切球的半径为，则有，解得，即内切球表面积为.故选：A.16．（2024·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中由余弦定理求得，由题意证得平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.【详解】在中，，即，又，因为，所以，同理，又由平面ABC，平面.设的外接圆半径为，所以，所以，所以外接球的半径R满足，∴三棱锥外接球的表面积为.故选：A.17．（2024·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别利用正弦定理求得的外接圆的半径，再利用两个面垂直的三棱锥的外接球半径满足，从而得解.【详解】因为三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，所以，则， 设的外接圆的半径分别为，则在等边中，，在中，，所以，则，，设三棱锥的外接球的半径为，因为平面平面，则，所以其外接球的表面积为.故选：D.18．（2024·辽宁·一模）已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得圆锥的底面半径，即可求出圆锥的高，从而求出小圆锥的高与底面半径，设圆台外接球的半径为，球心到上底面的距离为，即可得到，求出，最后根据球的表面积公式计算可得.【详解】因为圆锥的底面积为，所以底面半径，记圆锥的高为，则，因为截去一个体积为的小圆锥，则小圆锥的高，小圆锥的底面半径，所以剩余圆台的高为，设圆台外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，所以外接球的表面积.故选：B19．（2024·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，，分别在线段，上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设的中点为，先证明，四面体的外接球球心在的中点处垂直平面方向上，由求得，从而求得球的表面积.【详解】设的中点为，连接，由题可知为等腰直角三角形，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，根据题意，，所以的外心为的中点，设四面体的外接球的球心为，则平面，作分别交于，，又，，则，所以，所以，，由，得，即，解得，，所以四面体外接球的表面积为.故选：A.20．（2024·吉林白山·二模）已知四面体中，，点在线段上，过点作，垂足为，则当的面积最大时，四面体外接球的表面积与四面体外接球的表面积之比为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，四面体中，为长方体的一角，设，勾股定理计算，的长，由均值不等式可计算的面积取最大值时的值，由此可计算四面体外接球的半径与四面体外接球的半径，从而求出结果.【详解】由题意可知，四面体中，设，则，由等面积法可知，.由已知得平面，故；因为，故平面.故，故.，当且仅当，即时取等号，此时四面体外接球的半径满足，而四面体外接球的半径满足，故所求比值为.故选：C. 21．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知圆台的轴截面为等腰梯形，计算出梯形的高，结合圆台的体积公式求解即可.【详解】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为，故梯形的高为，则该圆台的体积为.故选：D.22．（2024·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分析得三棱锥的体积取得最大值时，有平面平面，再分别利用正弦定理求得的外接圆的半径，从而利用两个面垂直的三棱锥的外接球半径满足，由此得解.【详解】依题意，三棱锥的底面面积是个定值，侧面中，顶点到边的距离也是一个定值，所以当该三棱锥的体积取得最大值时，平面平面，因为三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，所以，则， 设的外接圆的半径分别为，则在等边中，，在中，，所以，则，，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以其外接球的表面积为.故选：D.二、多选题23．（2024高三·全国·专题练习）(多选)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面最高点上，则下列说法正确的有（ ）A．球O的半径是2B．当矩形ABCD是正方形时，四棱锥P-ABCD的体积最大C．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是D．四棱锥P-ABCD的体积的最大值是【答案】ABD【详解】因为球O的表面积是16π，所以S＝4πR2＝16π，解得R＝2.四棱锥PABCD的底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上．设矩形的长、宽分别为x，y，则x2＋y2＝(2R)2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时S正方形ABCD＝2R2＝8.点P在球面上，当PO⊥底面ABCD时，PO＝R，即hmax＝R，则四棱锥PABCD体积的最大值为.故选ABD.24．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知点均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，，，则三棱锥的体积可以为（ ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用线线垂直构造面面垂直结合三棱锥的外接球特征分类讨论计算即可.【详解】 取的中点，设三棱锥的外接球球心为O，半径，作于E，连接，易知平面，因为，所以平面，又平面，所以平面平面，作于G点，平面平面，则平面，故三棱锥的体积为，由题意可知，即，若在直线的下方，则，若在直线的上方，则，综上所述或.故选：BC【点睛】思路点睛：先根据条件得出球心与S点所在平面垂直于底面，再根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角，最后分类讨论S点的位置计算三棱锥的高即可.25．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为【答案】ACD【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故A正确；对B：连接，则，底面，故该正八面体结构的体积，故B错误；对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；对D：该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故D正确；故选：ACD．26．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）A．若一个球的体积为，则它的表面积为B．棱长为1的正四面体的内切球半径为C．用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为D．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球截平面A1BD所得的截面面积为【答案】ABD【分析】用球的体积求得半径，进而求表面积可判断A选项；利用等体积法求内切球的半径，可判断B选项；利用球的性质求出球的半径，进而求出体积，可判断C选项；平面截球的截面为的内切圆，进而求内切圆的面积即可判断D选项.【详解】对于A：一个球的体积为，设该球的半径为，则，解得，于是该球的表面积为，故A正确；对于B：正四面体的棱长为1，内切球半径，如图所示，为的中点，， 由正四面体的性质可知线段为正四面体的高，在正中，，同理，在正中，，则，，所以，则，设点为正四面体内切球的球心，则等体积法有，解得，故正确.对于C：用平面α截一个球，所得的截面面积为π，截面圆的半径，则，即，α到该球球心的距离，设球的半径，则，所以 球的体积为，故C错误；对于D：平面截球的截面为的内切圆，如下图：因为正方体的棱长为1，所以对角线，内切圆半径，所以截面面积，故D正确.故选：ABD.27．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积不可能为（ ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】把四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径R，再计算外接球的体积．【详解】四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由四棱锥的体积为，解得；，解得；∴外接球的体积为．故选：ACD．【点睛】关键点睛：关键是由四棱锥的结构特征补形成长方体，由此即可顺利得解.三、填空题28．（2024高一下·全国·专题练习）将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 .【答案】【分析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可.【详解】由题意知，球内切于正方体，所以，得到.所以球的体积，即可制作的最大零件的体积为，故答案为：.29．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）如图，直三棱柱的体积为，，，，则该三棱柱的外接球的表面积为 ．【答案】【分析】在中，根据余弦定理可求得，所以可知为直角三角形，由三棱柱的体积可求得，把三棱柱放入长方体中，长方体的外接球即是三棱柱的外接球，可求球的半径，即可求解.【详解】在中，由余弦定理，解得，所以，则，又，解得，把三棱柱放入长方体中，如图所示：所以长方体的外接球即是三棱柱的外接球，∵，，，∴长方体的外接球的半径，∴三棱柱的外接球半径为，∴三棱柱的外接球的表面积为.故答案为：.30．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）如图所示，一个球的内接圆台上下底面的半径分别为和，圆台的高为，则该球的表面积为 ．【答案】【分析】取得圆台轴截面利用勾股定理求出外接球半径，即可得出该球的表面积.【详解】取圆台轴截面如下图所示：易知，设外接球的半径为，利用勾股定理可得，且，即可得，解得，所以该球的表面积为；故答案为：31．（2024·陕西西安·一模）一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 .【答案】【分析】根据题意该几何体为正四棱锥，利用正四棱锥的结构特征，求出内切球半径得解.【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点，连接，是球与侧面的切点，可知在上，，设内切球半径为，则，，，，由，，即，解得，所以内切球表面积为.故答案为：.32．（2024·全国·模拟预测）正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ． 【答案】 【分析】根据几何体的特征求高，即可求其体积；根据球的截面性质即可求其截面面积.【详解】如图，取的中点，连接，取的中点，连接． 由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则正八面体的体积为．此正八面体的外接球的球心为，半径为，到平面的距离等于到平面的距离，在中，过作的垂线，垂足为，则平面．由，得，平面截正八面体的外接球所得截面是圆，其半径，所以所得截面的面积为．故答案为：；.33．（2024·吉林白山·一模）在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．【答案】【分析】将四面体放在长方体中，通过求长方体的外接球半径得出结果.【详解】如图，依题意将四面体放在长方体中，设长方体的高为.根据锥体的体积，解得，所以长方体的长宽高分别为，和4，所以长方体的外接球直径即为对角线，解得.所以四面体外接球的体积为．故答案为：.34．（2024·陕西渭南·一模）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为 ．【答案】【分析】取的中点，设，设等腰三角形外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，结合线面垂直的性质与判定求得，再根据垂直关系可得点到平面的距离等于点到平面的距离，进而列式求解即可.【详解】取的中点，连接，因为底面为等腰三角形，，所以，所以，又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面，因为三角形为等腰三角形，，则，设，则，设等腰三角形外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，连接，则三点共线，由平面得平面，由正弦定理得，故，则，连接，则，由平面，且三角形外接圆的圆心为，可得，因为平面，所以，又平面，平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，又因为点到平面的距离的最大值为，所以，解得，所以，球的表面积为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.四、解答题35．（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求圆锥的内切球体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由已知得出，，再由三角形面积公式得出，从而得出以及圆锥的侧面积.（2）画出截面图形，先由相似三角形知识求出内切球半径，再由体积公式即可求解.【详解】（1）如图所示：令圆锥母线长、底面半径分别为l、r，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为知，，又，又因为的面积为，∴，又，所以，∴侧面积为．（2）如图所示：设内切球半径为，球心在上面，则，所以，由（1）可知，圆锥的高，则有，解得，所以圆锥的内切球体积为.36．（22-23高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；(2)求该“阳马”的外接球的表面积.【答案】(1)证明见解析，4(2)【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积；（2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解.【详解】（1）因为长方体中，平面，且是矩形，所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面，所以四棱锥是一个“阳马”，体积；（2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球，因为，.长方体的对角线长为，则长方体的外接球的半径，该“阳马”外接球的表面积为.37．（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的一个菱形，若，异面直线与所成的角为． (1)求证：平面平面；(2)求四棱倠的内切球的表面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）先根据异面直线所成角结合余弦定理求边长，再根据内切球半径公式求解即可.【详解】（1）证明：连接交于点，连接因为四边形为菱形，所以因为平面，平面,所以平面，又因为平面，所以,因为为的中点，所以,又平面,平面，所以平面，因为平面，所以平面平面. （2）是边长为2的一个菱形，，是正三角形，从而，因为，所以为异面直线与所成的角，所以设，在中，，在中，，在中，由余弦定理可得：，即，设四棱锥的内切球的半径为由（1）可知：，又为中点，同理：四棱锥的体积：从而．38．（22-23高一下·安徽宣城·期末）如图，在正四棱柱中，，∥平面MAC． (1)证明：M是的中点；(2)若正四棱柱的外接球的体积是，求该正四棱柱的表面积．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）连接BD，交AC于N，根据线面平行的性质，可得，由是BD的中点，可得是的中点；（2）根据正四棱柱的外接球的体积求得AB，即可求该正四棱柱的表面积．【详解】（1）连接BD，交AC于N，连接MN．因为∥面MAC，面，且面MAC∩面，根据线面平行的性质定理得，，在正四棱柱中，四边形ABCD是正方形，所以N是BD的中点，所以M是的中点． （2）设，正四棱柱的外接球的半径为,因为正四棱柱的外接球的体积,解得，由题意为正四棱柱的外接球的直径，由，得，解得或(舍)，即，所以正四棱柱的表面积为．
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