30几何体的截面问题- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：几何体的截面问题单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2024下-全国-高一专题练习）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（    ）．A．截面与截面 B．截面与截面C．截面与截面 D．截面与截面2．（2023下-广西玉林-高一校考阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过点作与截面平行的截面，则该截面的周长为（    ）  A． B． C． D．43．（2023下-福建泉州-高一晋江市第一中学校考期中）如图，在四面体中，，，若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中错误的（    ）    A．异面直线与所成的角为90°B．平面截四面体所得截面周长不变C．平面截四面体所得截面不可能为正方形D．该四面体的外接球半径为4．（2023下-北京海淀-高一清华附中校考期末）如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（    ）  ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023下-陕西宝鸡-高一宝鸡中学校考阶段练习）如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ）①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.  A．1 B．2 C．3 D．46．（2023下-湖北武汉-高一湖北省武昌实验中学校联考期末）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ）．A． B． C． D．7．（2023下-浙江台州-高一校联考期中）已知四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，平面过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为（    ）A．所得截面是正五边形 B．截面过棱PA的三等分点C．所得截面面积为 D．截面不经过CD中点8．（2023下-新疆乌鲁木齐-高一乌鲁木齐市第70中校考期中）已知四面体ABCD为正四面体，AB=4，E，F分别是AD，BC中点.若用一个与EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（    ）A． B．2 C．3 D．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023上-江西-高一统考期中）在正方体中，，分别是，的中点，则（   ）A．平面B．C．平面截此正方体所得截面为四边形D．平面截此正方体所得截面为四边形10．（2023下-四川成都-高一树德中学校考阶段练习）如图，直四棱柱，的底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为棱，的中点．平面截该棱柱得到的截面多边形为，则下列说法正确的是（    ）  A．是梯形 B．是菱形C．的面积为 D．以为底面，C为顶点的棱锥体积是11．（2023下-黑龙江牡丹江-高一牡丹江一中校考期中）正方体的棱长为分别为的中点.则（    ）  A．直线与直线AF垂直B．直线A₁G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2023上-江西宜春-高一校考阶段练习）已知圆锥轴截面的顶角为，则圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为 ．13．（2023下-福建三明-高一统考期末）已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为 ．  14．（2023下-辽宁锦州-高一统考期末）正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为 ；若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2023下-山西吕梁-高一校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，为棱上的一点.  (1)证明：平面；(2)作出平面截四棱锥所得截面，并说明理由.16．（2023下-广东广州-高一校联考期末）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执著专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神．这是传统工艺革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，四边形是正方形，．  (1)要经过点将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面面积．(2)已知点是侧棱上的动点，要经过点将木头锯开，使得截面垂直于侧棱且截面面积最大，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面面积．17．（2023下-湖北-高一统考期末）如图，在正方体中，棱长为、分别为棱，的中点，过点作一截面，将正方体分为上下两部分．  (1)求点到截面的距离；(2)求正方体在截面下部分的体积．18．（2022下-广东广州-高一广州市第八十六中学校考期末）如图，在四棱锥中，，平面，，，，，为中点．  (1)证明：//平面；(2)过点作平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积．19．（2023下-重庆北碚-高一西南大学附中校考阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．  (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；   (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积．2023-2024学年高一数学下学期《单元测试与专题强化》一卷练透：几何体的截面问题单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2024下-全国-高一专题练习）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（    ）．A．截面与截面 B．截面与截面C．截面与截面 D．截面与截面【答案】B【分析】根据面面平行的判定并结合图形判断各选项．【详解】如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4．    对于A，与相交，截面与相交，故A错误；对于B， 截面与平行．证明：因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面．故B正确；对于C，截面与相交于D点，故C错误；对于D，与相交，截面与相交，故D错误；故选：B．2．（2023下-广西玉林-高一校考阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过点作与截面平行的截面，则该截面的周长为（    ）  A． B． C． D．4【答案】C【分析】分别取的中点，可得四边形为平行四边形，即为过点的截面，求出其周长可得答案.【详解】分别取的中点，连接，可得，可得四边形为平行四边形，可得，因为，所以四边形为平行四边形，可得，所以，所以四边形为平行四边形，，平面即为过点的截面，平面，平面，所以平面，因为，所以四边形为平行四边形，可得，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，，，所以截面的周长为.  故选：C.3．（2023下-福建泉州-高一晋江市第一中学校考期中）如图，在四面体中，，，若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中错误的（    ）    A．异面直线与所成的角为90°B．平面截四面体所得截面周长不变C．平面截四面体所得截面不可能为正方形D．该四面体的外接球半径为【答案】C【分析】取中点，即可得到平面，从而说明A，设平面与四面体的各棱的交点分别为，，，，根据线面平行的性质得到，同理，，从而得到线段比例关系，即可判断B、C，四面体的外接球为长、宽、高分别为1，1，2的长方体的外接球，即可判断D.【详解】对于A，如图1，取中点，为等腰三角形且，那么，同理，，且，平面，那么平面，而平面，所以，故A正确；对于B，如图2，设平面与四面体的各棱的交点分别为，，，，由平面，且平面，两个平面的交线为，则，同理，，所以截面为平行四边形，∴，，又，所以，∴截面的周长为，B正确；对于C，，，，为各棱中点时，截面是边长为的正方形，C错误；对于D，如图3，四面体的外接球为长、宽、高分别为1，1，2的长方体的外接球，则外接球的半径，D正确．   故选：C4．（2023下-北京海淀-高一清华附中校考期末）如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（    ）  ①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据正方体的几何性质逐项分析.【详解】对于①，连接，四边形是平行四边形，平面，平面，平面，平面，又，所以与AM是异面直线，正确；  对于②，连接EH，则四边形是平行四边形，，又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正确；  对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有四点共面，即平面AEM截正方体的图形是四边形，如下图：  当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM，四点共面，平面，，即平面AEM截正方体的图形是五边形，如下图：  错误；对于④，在正方形ABCD内，所以，又平面ABCD，平面ABCD，，平面，平面，平面AEM，平面平面，正确；故选：C.【点睛】难点点睛：本题的难点在于当M点移动时，平面AEM与正方体的交面需要在平面内寻找到与直线EM平行的直线AV，从而确定交面的形状.5．（2023下-陕西宝鸡-高一宝鸡中学校考阶段练习）如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ）①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.  A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据线面平行的判定定理可作出该截面，结合线面平行的性质定理可判断②；再利用线面垂直的判定以及性质可判断①，继而求得截面面积判断③；根据线面平行的性质定理可判断④.【详解】由题意可知，点是的中心，过点P作,  分别交于，作交于G，设平面与交于点H，由于平面，平面，故平面，同理平面，即四边形即为截面，由于平面，平面平面，平面，故，同理，故四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，②错误；设M为的中点，连接，则，平面，故平面，平面，故，而，，故，即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确；因为点是的中心，则，故，故矩形的面积为,即截面的面积为，③正确；由于截面与侧面的交线为，且,平面,平面，故平面，即截面与侧面的交线平行于侧面，④正确，故选：C6．（2023下-湖北武汉-高一湖北省武昌实验中学校联考期末）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答.【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得，而，则，在中，，，令平面与直线交于，连，则，，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连，于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知，在中，，而，在中，，由余弦定理得，在中，，，所以所得截面面积.故选：A【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.7．（2023下-浙江台州-高一校联考期中）已知四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，平面过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为（    ）A．所得截面是正五边形 B．截面过棱PA的三等分点C．所得截面面积为 D．截面不经过CD中点【答案】C【分析】根据给定条件，作出平面截四棱锥所得的截面多边形，再逐一判断各选项即可.【详解】  在四棱锥中，，取中点分别为，连接，FG，GH，BD，AC，如图，因底面为正方形，E，F，H分别是棱PB，BC， PD的中点，则，所以四边形EFGH是平行四边形.对于A，令，有 ，在P A上取点，使，连接EI，HI，JI，则，因为点平面EFGH，有平面EFGH，所以点平面 平面EFGH，因此五边形EFGHI是平面截四棱锥所得的截面多边形，而，所以截面不是正五边形，A错误；对于B，由A选项分析，可知截面过棱PA的四等分点，B错误；对于C，底面平面，则，而，则，又平面，因此平面 平面，于是得，有，所以矩形EFGH面积等于，而，则边EH上的高等于，所以，所以截面五边形EFGHI面积为， C正确；对于D，截面经过CD中点，D错误.故选：C8．（2023下-新疆乌鲁木齐-高一乌鲁木齐市第70中校考期中）已知四面体ABCD为正四面体，AB=4，E，F分别是AD，BC中点.若用一个与EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（    ）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】将正四面体补成正方体，由此可得截面为平行四边形，且，且，利用基本不等式即可求出结论．【详解】补成正方体，如图，令截面为四边形，则平面，，所以平面平面，而平面平面，平面平面，所以，同理可证，所以，同理，所以截面为平行四边形.因为，所以即同理可得可得，又，且，，可得， 当且仅当时取等号．故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2023上-江西-高一统考期中）在正方体中，，分别是，的中点，则（   ）A．平面B．C．平面截此正方体所得截面为四边形D．平面截此正方体所得截面为四边形【答案】ABC【分析】取的中点，连接、，即可证明平面平面，即可判断A，由正方体的性质得到、，即可证明平面，从而判断B，取的中点，的中点，连接、、、、、，即可证明、、、四点共面，从而判断C，作出截面即可判断D.【详解】对于A：取的中点，连接、，则，又平面，平面，所以平面，又且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，故A正确；对于B：由正方体的性质可得平面，平面，所以，同理可证，，平面，所以平面，又平面，所以，故B正确；对于C：取的中点，的中点，连接、、、、、，则且，所以为平行四边形，所以，又，所以，所以、、、四点共面，即四边形为平面截此正方体所得截面，故C正确；对于D：连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，交的延长线于点，连接交于点，连接、，则五边形即为平面截此正方体所得截面，故D错误；故选：ABC10．（2023下-四川成都-高一树德中学校考阶段练习）如图，直四棱柱，的底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为棱，的中点．平面截该棱柱得到的截面多边形为，则下列说法正确的是（    ）  A．是梯形 B．是菱形C．的面积为 D．以为底面，C为顶点的棱锥体积是【答案】BC【分析】作出截面并判断形状判断AB；计算截面的面积判断C；利用割补法、等体积法求出锥体体积判断D作答.【详解】在直四棱柱中，取的中点，连接，  显然四边形是直角梯形，有，则四边形是平行四边形，于是，在矩形中，E，F分别为棱，的中点，有，从而，四边形是平行四边形，而，则是菱形，显然即为截面，所以是菱形，A错误，B正确；连接，由平面知，，则，等腰底边上的高为，所以截面的面积，C正确；显然平面，，所以以为底面，C为顶点的棱锥体积是，D错误.故选：BC11．（2023下-黑龙江牡丹江-高一牡丹江一中校考期中）正方体的棱长为分别为的中点.则（    ）  A．直线与直线AF垂直B．直线A₁G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【分析】A选项根据正方体的性质判断；B选项根据面面平行的判定定理和性质定理判断；C选项根据基本事实得到平面截正方体的截面为，然后求面积；D选项根据点和点与平面的位置判断.【详解】  A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错；B选项：取中点，连接，，因为，，分别为，，中点，所以，，又平面，平面，所以∥平面，因为，平面，所以平面∥平面，因为平面，所以∥平面，故B正确；C选项：连接，，因为为的中点，所以，所以平面截正方体的截面为，，故C正确；D选项：连接交于点，延长交的延长线于点，因为为的中点，所以，，又，所以，即为的三等分点，不是的中点，所以点和点到平面的距离不相等，故D错.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2023上-江西宜春-高一校考阶段练习）已知圆锥轴截面的顶角为，则圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为 ．【答案】/【分析】做出截面三角形，根据三角形面积公式，当截面面积最大时，为等腰直角三角形，结合线面角的定义，确定为所求，解出即可.【详解】设圆锥的母线长为，过顶点的截面顶角为，由题可知截面为等腰三角形，所以截面的面积，所以当时，，如图所示，为面积最大截面，且为等腰直角三角形，为边上的高，所以，又圆锥轴截面顶角为，所以，由线面角定义知，为所求，在中，，故，所以圆锥的轴与过顶点且面积最大的截面所成的角的大小为故答案为：13．（2023下-福建三明-高一统考期末）已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为 ．  【答案】【分析】连接，延长分别交于，利用得出的延长线交于，作，从而得到梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面，再利用三棱柱为正三棱柱且棱长为2，求出梯形的上底和高即可求出结果.【详解】如图，连接，延长分别交于，易知，连接并延长交于，过作交于，连接，因为，所以，故梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面，因为，分别为和的中心，，又，所以，又是等边三角形，所以，故，即是的中点，所以，易知四边形为等腰梯形，所以为等腰梯形的高，又正三棱柱各棱长都为2，所以，，，所以，  故答案为：.14．（2023下-辽宁锦州-高一统考期末）正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为 ；若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为 .【答案】 / 【分析】取的中点，连接，则可得为异面直线EF与直线BC所成角，然后在中求解，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则四边形为截面四边形，然后求解其周长即可.【详解】取的中点，连接，因为点E为棱的中点，所以∥，，所以为异面直线EF与直线BC所成角，连接，因为平面，平面，所以，因为为边长是2的正三角形，F为的中点，所以，所以，，所以由余弦定理得，所以直线EF与直线BC所成角的余弦值为，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接，所以过点A，E，F的截面为四边形，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，过作∥，交于点，则为的中点，因为∥，所以∽，所以，所以为的中点，所以，因为∥，所以∽，所以，，所以，则，所以，在中由余弦定理得，所以，所以四边形的周长为，即截面的周长为，故答案为：，  【点睛】关键点点睛：此题考查异面直线所成的角，考查几何体的截面问题，解题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，考查空间想象能力，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2023下-山西吕梁-高一校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，为棱上的一点.  (1)证明：平面；(2)作出平面截四棱锥所得截面，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)四边形，理由见解析【分析】（1）在中，由余弦定理求出，然后由勾股定理的逆定理可得，再由面面垂直的性质可证得结论；（2）取棱中点为，连接，，，则四边形即为所求截面，然后利用平面的性质可证得结论.【详解】（1）证明：在中，由余弦定理可知，可得，由，得，所以.又平面平面，且平面平面，且平面，所以平面.（2）解：如图，取棱中点为，连接，，，则四边形即为所求截面，理由如下：因为为的中点，所以∥，又∥，所以∥.即，，，四点共面.故四边形即为所求截面.  16．（2023下-广东广州-高一校联考期末）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执著专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神．这是传统工艺革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，四边形是正方形，．  (1)要经过点将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面面积．(2)已知点是侧棱上的动点，要经过点将木头锯开，使得截面垂直于侧棱且截面面积最大，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面面积．【答案】(1)的中点与点相连，理由见解析，截面面积为；(2)顺次连接上靠近的三等分点，上靠近的三等分点，上靠近的三等分点，理由见解析，最大面积【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定推理，求出截面面积作答.（2）根据给定条件，证明平面，再利用面面平行确定截面与棱的交点位置，求出截面面积的函数关系，求出最大值作答.【详解】（1）取的中点，连接，于是即为所画线.连接，连接，由四边形是正方形，得为的中点，则有，而平面，平面，因此平面，所以是所作截面，由，得，显然都是正三角形，有，则，所以截面面积.  （2）由（1）知，，而，平面，则平面，因此过点垂直于的截面与截面平行或重合，显然点在上（不含端点）时，截面面积小于，不可能最大，当点在上（不含端点）时，令，此时截面交分别于点，平面平面，平面平面，平面平面，因此，同理，由平面，平面，得平面，而平面平面，平面，则，同理，于是，四边形为平行四边形，又，则，即有，为矩形，显然，则，，，由，得，而，矩形面积，从而截面的面积，当时，，显然，于是当时，截面面积最大，所以点是上靠近的三等分点，再与上靠近的三等分点，上靠近的三等分点，顺次连接的线段即为所画线，此时截面面积最大，最大值为.【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.17．（2023下-湖北-高一统考期末）如图，在正方体中，棱长为、分别为棱，的中点，过点作一截面，将正方体分为上下两部分．  (1)求点到截面的距离；(2)求正方体在截面下部分的体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等体积法求点到截面的距离；（2）利用棱台的体积公式求解.【详解】（1）如图，连接，∵分别为棱的中点，则，又∵，且，则为平行四边形，∴，∴，则过点的截面即为截面，设点到截面的距离为，由于截面为等腰梯形，则，高为，可得，又∵，∴，∴；  （2）由（1）知截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，且三棱台的高为,正方体的棱长为2，则，,则三棱台的体积．18．（2022下-广东广州-高一广州市第八十六中学校考期末）如图，在四棱锥中，，平面，，，，，为中点．  (1)证明：//平面；(2)过点作平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据面面平面的判定定理求截面，并利用割补法结合锥体的体积公式运算求解.【详解】（1）由题意可得：//，，则为平行四边形，可得//，且平面，平面，所以//平面.（2）取的中点，连接，因为分别为的中点，则//，且平面，平面，所以//平面，且//平面，，平面，所以平面//平面，即过点作平行于平面的截面为平面，在中，由余弦定理，即，则，即，又因为平面，平面，则，，平面，所以平面，即四棱锥的高为，其体积，由题意可知：三棱锥的高为，其体积，所以所求几何体的体积.    19．（2023下-重庆北碚-高一西南大学附中校考阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．  (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；   (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据两平面相交，只有一条交线，以及确定平面的依据，即可作出不同的截面图形；（2）首先根据确定平面的依据，作出截面，方法一，根据作图的过程，可以选择减法求截面的面积，方法二，根据截面为等腰梯形，根据梯形的面积公式，即可求解.【详解】（1）截面可以分别为三角形，四边形，五边形，六边形,如图，取上一点，连结，即为截面三角形；  如图，取线段上，靠近点处的一点，延长，连结，，连结，则四边形为截面四边形；和  取上靠近点的四等分点，连结并延长，交于点，连结并延长，交于点，连结并延长，交于点，连结并延长，交于点，连结，如图五边形为截面五边形.  如图，延长，交的延长线交于点，取上靠近点的三等分点，连结，并延长，交于点，连结，交于点，六边形为截面六边形.  （2）如图：连接PQ所在直线交DC延长线于X，交的延长线于Z；连接直线MX交BC于R，交DA延长线于Y；连接YZ分别交，于S，T．则六边形PQRMST即为截面．∵P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C），∴，，，可得，，，，又，，所以，，，，又，M为AB的中点，，，所以YDZ为等腰直角三角形，所以，，，，，∴为等腰三角形，等边上的高为，，所以  方法二：可证明PQRM与PTSM是全等的等腰梯形，，，，所以等腰梯形PQRM的高为，所以．