10第八章 立体几何初步（单元基础卷）- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

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第八章 立体几何初步（单元基础卷）一、单选题1．下面四个几何体中，是棱台的是（    ）A． B．C． D．2．下列命题中正确的是（    ）A．过三点确定一个圆B．两个相交平面把空间分成四个区域C．三条直线两两相交，则确定一个平面D．四边形一定是平面图形3．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．4．将半径为的圆形铁皮，剪去后，余下部分卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．5．长方体中，，异面直线和所成角的正切值是（   ）A． B． C． D．6．在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则经过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为（    ）．A． B． C． D．7．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（    ）A． B． C． D．8．如图，正方形、的边长都是，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若（），则的长的最小值为（    ）A． B． C． D．二、多选题9．下列关于长方体的叙述中正确的是(   )A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体B．长方体中相对的面互相平行C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离D．长方体中两相对面之间的棱互相平行且等长10．下列命题中正确的有（    ）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；B．圆柱不是旋转体；C．半圆围绕直径旋转半周得到一个球；D．圆台的轴截面是等腰梯形．11．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，E，F分别是PA、CB的中点，则以下说法正确的是（    ）A．此三棱锥为正三棱锥B．在此三棱锥表面从E到F的最短距离为C．此三棱锥的体积是D．此三棱锥的表面积与它的外接球的表面积的比值为三、填空题12．表面积为的球的半径是 ．13．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l .（填“平行”“相交”“垂直”或“异面”）14．如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，给出下列命题：①四棱锥的体积恒为定值；②对于棱上任意一点E，在棱上均有相应的点G，使得平面；③O为底面对角线和的交点，在棱上存在点H，使平面；④存在唯一的点E，使得截面四边形的周长取得最小值.其中为真命题的是 .（填写所有正确答案的序号）四、解答题15．（2023高二上·上海·专题练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．16．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在正方体中，E是的中点.  (1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．17．（2024高一下·全国·专题练习）在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面；18.（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体SABC中，已知SA，SB，SC两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，求：(1)BC与平面SAB所成的角；(2)SC与平面ABC所成角的正弦值．19．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，底面是矩形，四边形是等腰梯形，，是等边三角形．  (1)求二面角的平面角的余弦值；(2)求多面体的体积．第八章 立体几何初步（单元基础卷）一、单选题1．下面四个几何体中，是棱台的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据台体、锥体概念逐一分析，即可得结果.【详解】A是圆台，D是棱锥，C侧棱延长没有交于一点，故不是四棱台，B是三棱台．故选：B2．下列命题中正确的是（    ）A．过三点确定一个圆B．两个相交平面把空间分成四个区域C．三条直线两两相交，则确定一个平面D．四边形一定是平面图形【答案】B【分析】根据确定平面定理以及面面之间的关系逐一判断即可.【详解】A，过不共线三点确定一个圆，错误；B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确；C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平面，错误；D，四边形可以是平面图形，也可以是空间四边形，错误.故选：B3．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入圆锥的侧面公式，计算即可得出答案.【详解】由已知可得，圆锥的侧面积为.故选：A.4．将半径为的圆形铁皮，剪去后，余下部分卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得剩下的扇形是整个圆的，设卷成的圆锥的底面半径为r，利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长求得r的值，可得圆锥的高，从而求得圆锥的体积．【详解】解：由题意可得剩下的扇形是整个圆的，设卷成的圆锥的底面半径为r，根据2πr＝×2π×6，求得r＝5，则圆锥的高为h＝＝，故圆锥的体积为•πr2•h＝×π×25•＝，故选：B.【点睛】本题主要考查求圆锥的体积，注意利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长，属于基础题．5．长方体中，，异面直线和所成角的正切值是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图像易知是异面直线所成角，连接，结合线线垂直判定定理即可.【详解】不妨设AB=2，则AD==1在长方体中， 所以或其补角就是异面直线和所成角，连接，则在中，平面因为平面，所以有故异面直线和所成角的正切值为，故选：B6．在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则经过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先作出经过，，三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可【详解】解：如图，连接，因为点，分别是棱，的中点，所以∥，，由正方体的性质可知∥，所以∥，所以过，，三点的截面为平面，因为正方体的棱长为2，所以，所以梯形的高为，所以梯形的面积为，所以经过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为，故选：C7．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先设出圆锥的底面半径和母线长，根据圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，求得.利用勾股定理求得圆锥的高，由此求得圆锥的体积.根据题意求得圆柱的底面半径，根据圆锥与圆柱的表面积相等，求得圆柱的高，由此求得圆柱的体积.从而求得圆锥与圆柱的体积之比.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，即，所以圆锥的高，圆锥的体积.由题意，知圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，因为圆锥与圆柱的表面积相等，所以，解得，所以圆柱的体，故.故选：A【点睛】本题考查简单几何体的表面积与体积，考查空间想象能力.8．如图，正方形、的边长都是，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若（），则的长的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作交于点，交于点，连接，易证是平行四边形，根据，可求出的长，利用配方法即可求出的最小值；【详解】解：作交于点，交于点，连接，因为且，所以且，又，，所以又，所以是平行四边形，，因为平面与平面互相垂直，平面平面，，平面，所以平面，平面，所以，，，，，，即当、分别为、的中点时，的长最小，且最小值为；故选：A二、多选题9．下列关于长方体的叙述中正确的是(   )A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体B．长方体中相对的面互相平行C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离D．长方体中两相对面之间的棱互相平行且等长【答案】BCD【分析】根据长方体的概念和性质判断即可.【详解】A选项中,若矩形斜放,则不会形成长方体,故A不正确;B,C,D三项由长方体性质可知均正确.故选:BCD.10．下列命题中正确的有（    ）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；B．圆柱不是旋转体；C．半圆围绕直径旋转半周得到一个球；D．圆台的轴截面是等腰梯形．【答案】AD【分析】A利用圆柱的轴截面的定义判断；B利用旋转体的定义判断；C利用旋转体的定义判断；D利用圆台的轴截面定义判断.【详解】A圆柱的纵截面是矩形，矩形的长是圆柱的高，矩形的宽是圆内的弦，轴截面的宽是过圆心的直径，故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，故A正确；B根据旋转体的概念可知圆柱是旋转体，故B错误；C半圆围绕直径旋转半周得到半个球，故C错误；D圆台的上下底面是平行且不相等的圆，且母线等长，所以其轴截面是等腰梯形，D正确.故选：AD.11．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，E，F分别是PA、CB的中点，则以下说法正确的是（    ）A．此三棱锥为正三棱锥B．在此三棱锥表面从E到F的最短距离为C．此三棱锥的体积是D．此三棱锥的表面积与它的外接球的表面积的比值为【答案】AC【分析】根据正三棱锥的概念判断A；沿侧面PAB与PBC，将沿PB旋转到与平面PAB在同一平面内，由余弦定理求解可判断B；正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，求出体积可判断C；求出三棱锥的表面积与它的外接球的表面积可判断D.【详解】作平面，垂足为，连接，因为，所以，因为是边长为的正三角形，所以为正的中心，三棱锥为正三棱锥，故A正确；  沿侧面PAB与PBC，将沿PB旋转到与平面PAB在同一平面内，  可得，在中，由余弦定理可得，，故B错误．，，则，正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，，故C正确；,所以设三棱锥外接球的球心为，半径为，则，即，，解得，此三棱锥外接球的表面积是，该三棱锥的表面积为，所以三棱锥的表面积与它的外接球的表面积的比值为，故D错误.故选：AC．三、填空题12．表面积为的球的半径是 ．【答案】【详解】，则，故答案为：13．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l .（填“平行”“相交”“垂直”或“异面”）【答案】垂直【分析】根据空间线面、线线间的位置关系判断．【详解】若直线l与平面相交，则平面内没有的平行线，若，平面内没有与的成异面直线的直线，若，则平面内没有与的相交的直线，若，平面内有直线与的垂直，若，平面内首先有与的平行的直线，平面内与这条平行线垂直的直线与也垂直，直线l与平面相交，作出在平面内的射影，平面内与这射影垂直的直线易证与垂直．故答案为：垂直．14．如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，给出下列命题：①四棱锥的体积恒为定值；②对于棱上任意一点E，在棱上均有相应的点G，使得平面；③O为底面对角线和的交点，在棱上存在点H，使平面；④存在唯一的点E，使得截面四边形的周长取得最小值.其中为真命题的是 .（填写所有正确答案的序号）【答案】①③④【解析】①将四棱锥转化为2个,进而求解判断即可；②找到反例即可；③利用中位线证明即可；④将四边形的周长的最值转化为的最值,进而求解即可【详解】①,又三棱锥为三棱锥,则底面不变,且因为平面,故点到底面的距离即三棱锥底面的高不变,故三棱锥的体积不变,所以四棱锥的体积不变,恒为定值,故①正确；②当点在点处时,总有与平面相交,故②错误；③由O为底面对角线和的交点,则,设为的中点,则在中,所以平面,故③正确；④四边形的周长为,则分析即可,将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为截面平行四边形的周长取得最小值时唯一点,故④正确；故答案为:①③④【点睛】本题考查线面平行的判定,考查锥体的体积,考查空间想象能力与转化思想四、解答题15．（2023高二上·上海·专题练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．【答案】【分析】根据图形特征旋转后根据圆锥侧面积及圆柱表面积公式计算可得.【详解】如图所示，直角梯形中，，作，垂足为，则，故，在旋转生成的旋转体中，形成了一个圆面，形成一个圆柱的侧面，形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为，则，所以次旋转体的表面积为.16．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在正方体中，E是的中点.  (1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，三角形ABC的面积，三棱锥的体积.17．（2024高一下·全国·专题练习）在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面；【答案】证明见解析【分析】通过证明平面即可证得.【详解】因为是的中点，所以.又是的中点，所以.因为，所以.又，平面.所以平面.因为平面，所以平面平面.18.（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体SABC中，已知SA，SB，SC两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，求：(1)BC与平面SAB所成的角；(2)SC与平面ABC所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【详解】（1）(定义法)∵ SC⊥SB，SC⊥SA，SB∩SA＝S，SB，SA⊂平面SAB，∴ SC⊥平面SAB，故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，∴ ∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角．∵ ∠SBC＝60°，∴ BC与平面SAB所成的角为60°.（2）(解法1：定义法)如图，取AB的中点M，连接SM，CM，∵ SA⊥SB，且∠SBA＝45°，∴ △SAB为等腰直角三角形，M为AB的中点，则SM⊥AB.由(1)知SC⊥平面SAB，AB⊂平面SAB，∴ SC⊥AB.又SM∩SC＝S，SM，SC⊂平面SMC，∴ AB⊥平面SCM.又AB⊂平面ABC，∴ 平面ABC⊥平面SCM，且平面ABC∩平面SCM＝CM，过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴ CH即为SC在平面ABC内的射影，∴ ∠SCH为SC与平面ABC所成的角．设SA＝SB＝a.∵ ∠SBC＝60°，SC⊥SB，∴ SC＝a，SM＝a，CM＝a，sin ∠SCH＝sin ∠SCM＝＝，∴ SC与平面ABC所成的角的正弦值为.(解法2：等积法) 提示：设SA＝SB＝a，点S到平面ABC的距离为d，由VCSAB＝VSABC，C到平面SAB的距离SC＝a，分别求△SAB和△ABC的面积，可得d＝a，所以SC与平面ABC所成的角的正弦值为＝，即SC与平面ABC所成的角的正弦值为.【考查意图】定义法和等积法求斜线和平面所成角．19．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，底面是矩形，四边形是等腰梯形，，是等边三角形．  (1)求二面角的平面角的余弦值；(2)求多面体的体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助线面关系的转化可得是二面角的平面角，计算即可得；（2）借助割补法可将该多面体分割成一个锥体和一个柱体，计算即可得.【详解】（1）如图，分别取的中点，在边上取点，使得与交于点．∵，、平面，且，∴平面，又平面，故，又，、平面，，故平面，又平面，故，又、平面，，故平面．故是二面角的平面角，故．  （2）取的中点，连接，由题意可得且，故多面体被分割成一个锥体和一个柱体，设多面体的高为，由（1）知，，则，又，故，即．