江苏省镇江市镇江第一外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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时间：100分钟 总分：120分
一、填空题（本题共12小题，每小题2分，共24分）
1. 格力公司管理层要了解近五年格力空调的销售量变化趋势，市场调研部门最应该提供的统计图是______．
【答案】折线统计图
【解析】
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【详解】解：要反映近五年格力空调的销售量变化趋势，
最适合的统计图是折线统计图，
故答案为：折线统计图．
【点睛】本题主要考查了统计图的应用，熟练掌握各种统计图的特点是解答本题的关键．
2. 为了解某市参加中考的名学生的体重情况，抽查了其中名学生的体重进行统计分析，则样本容量是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据样本容量的概念“样本中个体的数目称为样本容量”即可得．
【详解】解：为了解某市参加中考的名学生的体重情况，抽查了其中名学生的体重进行统计分析，则样本容量，
故答案为：．
【点睛】本题考查了样本容量，解题的关键是理解样本容量的概念．
3. 排队时，3个人站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性_____小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
【答案】小于
【解析】
【分析】本题主要考查了事件可能性大小的判断，要求“小亮站在正中间”与“小亮站在两端”这两个事件发生的可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可得到相应的可能性，比较即可．
【详解】解：3个人站成一排，小亮站在中间有1种情况，站在两边有2种情况，
∴小亮“站在中间”的概率为，小亮“站在两边”的概率为，
∵,
∴小亮“站在中间”的可能性小于小亮“站在两边”的可能性，
故答案为：小于．
4. 平行四边形ABCD中，∠A＝3∠B，则∠C＝______．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，由已知条件∠A=3∠B可求出∠B=45°，即可求出∠C度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
又∵∠A=3∠B，
∴3∠B+∠B=180°，
解得：∠B=45°，
∴∠C=∠A=180°−45°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质定理，解题的关键是知道平行四边形对角相等，邻角互补．
5. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频数是______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据第5组的频数为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，第5组的频数为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了频数．解题的关键在于正确的计算．
6. 如图平行四边形 ABCD 中，AE  BC于E ，AF  DC于 F，BC=5，AB=4，AE=3，则 AF的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的面积底高，结合已知条件，代入数据计算即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，AB=4，
∴，
∵AE  BC，AF  DC，
∴AE和AF为平行四边形ABCD的高
∴，
∵AE=3，BC=5，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,利用了“等面积法”是解题的关键．
7. 用反证法证明：“若，则”，应先假设____________
【答案】若，则
【解析】
【分析】本题主要考查了反证法，反证法的第一步应先假设命题的结论不成立，据此求解即可．
【详解】解：用反证法证明：“若，则”，应先假设若，则，
故答案为：若，则．
8. 综合实践小组的同学们做如下实验，将一枚图钉随意向上抛起，记录图钉落地后钉尖触地的频数、频率表所下：
根据上表估计将一枚图钉随意向上抛起一次时“钉尖触地”的概率约为__________（精确到0.01）
【答案】0.46
【解析】
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.46附近，
所以估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为0.46，
故答案为：0.46．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟知频率和概率之间的联系是解答本题的关键.
9. 若点与点关于原点成中心对称，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到，据此求出，据此代值计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
10. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为_____________．
【答案】（3，2）
【解析】
【分析】设旋转中心为M点．根据旋转中心必然在一组对应点的中垂线上，可得M在线段AD的中垂线上，所以点M的纵坐标为2．设M（x，2），又M在线段BE的中垂线上，所以ME=MB，依此列出方程，求解即可．
【详解】解：设旋转中心为M点．
∵△DEF是由△ABC旋转得到的，
∴M在线段AD的中垂线上，
∵A（1，0），D（1，4），
∴点M在直线y=2上，即点M的纵坐标为2．
设M（x，2），
∵M在线段BE的中垂线上，
∴ME=MB，
∵E（1，3），B（2，0），
∴（x-1）2+（2-3）2=（x-2）2+（2-0）2，
解得x=3．
∴旋转中心M的坐标为（3，2）．
故答案为（3，2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质：旋转中心在一组对应点的中垂线上是解题的关键．也考查了两点间的距离公式．
11. 如图，在中，，，以为斜边作．使，，E、F分别是的中点，连接，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出，再证明为等边三角形，得出，根据中位线的性质，求出，，得出，证明为直角三角形，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：∵中，F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是证明为直角三角形．
12. 邻边长分别为1，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值_____________．
【答案】或4或或
【解析】
【分析】根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可．
【详解】解：①如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，即，
解得：；
②如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
③如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形，为菱形，
∴，
∴，
∵四边形都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
④如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形，，，都为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
综上：a的值为或4或或．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的四条边都相等．
二、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别．熟练掌握中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度后，与自身重合，是解题的关键．根据中心对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：由中心对称图形的定义可得A正确，B、C、D错误
故选：A．
14. 为了解某市七年级学生的一分钟跳绳成绩，从该市七年级学生中随机抽取100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ）
A. 这100名七年级学生是总体的一个样本B. 该市七年级学生是总体
C. 该市每位七年级学生的一分钟跳绳成绩是个体D. 100名学生是样本容量
【答案】C
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A．这100名七年级学生的一分钟跳绳成绩是总体的一个样本，故该选项不符合题意；
B、该市七年级学生的一分钟跳绳成绩是总体，故该选项不符合题意；
C、该市每位七年级学生的一分钟跳绳成绩是个体，故该选项符合题意；
D、样本容量是100，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
15. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )
A. 条形图B. 扇形图
C. 折线图D. 频数分布直方图
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图的特点判定即可．
【详解】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图．
故选：B．
【点睛】本题考查了统计图的特点，条件统计图能反映各部分的具体数值，扇形统计图能反映各个部分占总体的百分比，折线统计图能反映样本或总体的趋势，频数分布直方图能反映样本或总体的分布情况，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．
16. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
17. 如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率折线图，则符合这一结果的实验是（ ）
A. 掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数
B. 抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球
【答案】A
【解析】
【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的频率，约为者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数，本选项符合题意；
B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的频率是，本选项不符合题意；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，本选项不符合题意；
D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球的概率是，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
18. 已知：如图，中，，点是射线上一动点，以为一边向左画正方形．连接，取中点，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明△ACD≌△BCF，得到∠A=∠CBF=45°，可得∠ABF=90°，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则将BQ转化为，利用等腰直角三角形的性质求出CD的最小值即可得到BQ．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACD+∠BCD=90°，
∵四边形CDEF为正方形，
∴CD=CF，∠DCF=90°，
即∠BCD+∠BCF=90°，
∴∠ACD=∠BCF，又AC=BC，CD=CF，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠A=∠CBF=45°，
∴∠ABF=90°，又点Q是DF中点，
∴，
∵，
∴，
∴当CD为最小值时，BQ取最小值，
∴当时，CD有最小值，此时D为AB中点，
而AB==8，
CD最小值为AB=4，
∴BQ最小值为．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是证明三角形全等，得到∠ABF=90°．
三、解答题（本大题共有9题，共计78分）
19. 区教育局发布了“普通中小学劳动教育状况评价指标”，为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图：
（1）这次调查活动共抽取 人，“2次”所在扇形对应的圆心角的度数是 °；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校学生共有人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动“次及以下”的学生人数．
【答案】（1）200；72
（2）画图见解析 （3）估计该校一周劳动1次及以下的学生有300人
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，明确题意并正确从图表中提取有用信息是解答本题的关键．
（1）根据次及以上的人数和所占百分比，即可求出总人数，利用次人数所占百分比乘以即可求出圆心角的度数；
（2）根据总人数减去次及以上的人数，减去次人数，再减去次及以下的人数，即可求出次的人数，补全条形图；
（3）根据统计图中的数据，先计算出3次所占的百分比，再算出1次及以下的百分比，用该校的总人数乘以1次及以下所占百分比，即可求解．
【小问1详解】
解：根据统计表和扇形统计图可得：次及以上的人数为60人，所占的百分比为
则这次调查活动共抽取（人），
次所在扇形对应的圆心角是；
【小问2详解】
次的人数为：（人），补全条形图如图；
．
【小问3详解】
该校一周劳动4次及以上学生所占百分比为，
一周劳动3次的百分比，
则该校一周劳动1次及以下的学生人数为（人）．
答：估计该校一周劳动1次及以下的学生有300人．
20. 如图，在中，平分，交于点E，F是上一点，且，连接．
（1）探索线段与的关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）且，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）证明四边形是平行四边形即可；
（2）根据，只要求出即可．
【小问1详解】
且，理由如下：
∵四边形平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
21. 在一个不透明的盒子中装有颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．
(1)先从袋中取出m(m＞1)个红球，再从袋中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A.请完成下列表格：
(2)先从袋中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率是，求m的值．
【答案】（1）3；2；（2）m＝1.
【解析】
【分析】（1）根据必然事件、不可能事件、随机事件概念解答；
（2）利用概率公式计算即可.
【详解】解：(1)从袋中取出3个红球，再从袋中随机摸出1个球，“摸出黑球”是必然事件，从袋中取出2个红球，再从袋中随机摸出1个球，“摸出黑球”是随机事件，故答案为3；2.
(2)由题意，得＝，解得m＝1.
【点睛】本题考查的是随机事件的定义、概率的求法，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
22. 如图在正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．
（1）在图中，作关于点对称的；
（2）在图中过点作直线，使点，到直线的距离相等，画出所有符合要求的直线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）连接，与网格线交于点，即点为线段的中点，连接，则所在的直线满足要求；过点作的平行线，则也满足要求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
．
【小问2详解】
解：如图，直线，即为所求．
【点睛】本题考查中心对称、点到直线的距离，熟练掌握中心对称的性质以及点到直线的距离是解答本题的关键．
23. 如图，在中，点分别在上，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）20
【解析】
【分析】（1）先由ASA证明△AOF≌△COE，得出FO=EO，再由AO=CO，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分确定OE=3，OA=4，然后求得AE=5，从而求得答案．
【详解】解：（1）证明：连接AE，CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴FO=EO，
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=EC；
（2）．
∴OA=OC=4，OE=OF=3，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AE=EC=CF=FA，
；
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24. 已知正方形，是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中，画，垂足为；
（2）在图②中，画，垂足为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接点P与正方形的对角线的交点，并延长交AB于一点，即为点Q；
（2）连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
．
【小问2详解】
解：连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠ADB=∠CDB，AD=CD，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠ADP=∠CDE=90°，
∴△ADP≌△CDE，
∴DE=DP，
∴AE=DP，
∵AB=AD，∠BAE=∠ADP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴∠ABE=∠DAP，
∵∠BAH+∠DAP=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，即
如图，即为所求．
．
【点睛】此题考查了利用正方形的性质作垂线，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
25. 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．

（1）初步思考：若点P落在矩形的边上（如图①）．
①当点P与点A重合时， , 当点E与点A重合时， ；
②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．
（2）深入探究：点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②证明见解析，菱形的边长为
（2）存在，
【解析】
【分析】（１）①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；②由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形，设，，勾股定理求得，得菱形边长为．
（2）如图④中，连接 ．可证，于是，设 ，则 ，中，运用勾股定理，，解得，．
【小问1详解】
①

如图，当点P与点A重合时， ,
当点E与点A重合时，；
【小问2详解】
如图②，

由折叠可知，，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴四边形为菱形
时，设 ，则
则 ，
解得，
∴
所以菱形边长为 ．
（2）如图④中，连接 ．

∵，
∴，
∴，设 ，则 ,
则
∵，
∴
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26. 已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是180°，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．
如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D＝180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．
初步思考
（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E△ABC外两点，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC为等边三角形．
①点A与点______关于BC互为顶针点：
②求证：点D与点A关于BC互为勾股顶针点．
实践操作
（2）在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．
①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点．（不写作法，保留作图痕迹）
思维探究
②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F，求在点E运动过程中，当线段BE与线段AF的长度相等时AE的长．
【答案】（1）①D和E；②见解析；
（2）①见解析；②满足条件的AE的值为或2或或18．
【解析】
【分析】（1）根据互为顶针点即可得出结果；
②根据互为勾股顶针点的定义进行证明即可；
（2）①以C为圆心，CB为半径画弧交AD于F，连接CF，作∠BCF的角平分线交AB于E，点E，点F即为所求；
②分四种情形：如图4-1中，当BE=AF时，如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合；如图4-3中，当BE=AF时；如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合；分别求解即可解决问题．
【小问1详解】
解：根据互为顶针点，互为勾股顶针点的定义可知：
①点A与点D和E关于BC互为顶针点；
故答案为：D和E；
②点D与点A关于BC互为勾股顶针点，
理由：如图2中，
∵△BDC是等边三角形，
∴∠D = 60°，
∵AB = AC，∠ABC = 30°，
∴∠ABC =∠ACB = 30°，
∴∠BAC = 120°，
∴∠A+ ∠D= 180°，
∴点D与点A关于BC互为勾股顶针点；
【小问2详解】
①如图3中，以C为圆心，CB为半径画弧交AD于F，连接CF，作∠BCF的角平分线交AB于E，点E，点F即为所求；证明如下：
连接EF，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE=∠ECF，
∵BC=CF，CE=CE，
∴∆CEF≅∆CEB，
∴∠B=∠EFC=90°，
∴BE=BF，∠BEF+∠BCF=180°，
∴点E与点C关于BF互为勾股顶针点；
②如图4-1中，当BE=AF时，设AE=x,连接EF.
∵BE = EP = AF, EF = EF，∠EAF =∠FPE = 90°，
∴Rt∆EAF≅Rt∆FPE(HL) ，
∴PF=AE =x，
在Rt△DCF中
DF =10- (8 -x) =2+x， CD =8，CF=10-x，
解得x=，
∴.AE=，
如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合，可得
AE = BE-AB = 10-8 = 2；
如图4-3中，当BE=AF时，设AE=x，
同法可得PF=AE=x，
在Rt△CDF中，则有
，
解得x=，
∴AE=；
如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，此时
AE=AB＋BE=AB＋BC=18；
综上所述，满足条件的AE的值为或2或或18．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，互为顶点，互为勾股顶针点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．抛图钉的次数
40
120
320
480
720
800
920
1000
钉尖触地频数
20
50
146
219
328
366
421
463
钉尖触地的频率
0.500
0.417
0.456
0.456
0.456
0.458
0.458
0.463
事件A
必然事件
随机事件
m的值