江苏省南京市南京外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
2. 去年某市有万名学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（ ）
A. 个体是每名考生的数学成绩B. 万名学生是总体
C. 2000是样本容量D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位是关键．
总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体．
【详解】解：A、个体是每名考生的数学成绩，故说法正确，不符合题意；
B、5.6万名考生的数学成绩是总体，故说法错误，符合题意；
C、2000是样本容量，故说法正确，不符合题意；
D、2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故说法正确，不符合题意．
故选：B．
3. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. “a是实数，”是必然事件
B. 掷质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数一定是5次
C. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率
D. 不可能事件发生的概率为0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，概率的意义，利用频率估计概率，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
根据随机事件，概率的意义，利用频率估计概率逐一判断即可解答．
【详解】解：A、“a是实数，”是必然事件，故A不符合题意；
B、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次，故B符合题意；
C、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，故C不符合题意；
D、不可能事件发生的概率为0，故D不符合题意；
故选：B．
4. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴不能判定四边形是平行四边形；
B．不能判定四边形是平行四边形；
C．∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
D．不能判定四边形是平行四边形；
故选C．
5. 如图，是的中线，增加下列条件，能判断是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱形的判定是关键．
根据菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：添加，
，
，
故选项A不能判定四边形是菱形；
添加，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，选项B错误；
添加，可得到，
∴，
∴四边形是矩形，选项C错误；
添加时，
∵是的中线，
∴，
∴四边形是菱形，选项D正确；
故选：D．
6. 如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，且，作分别交于点分别是的中点，则的长是（ ）
A. B. C. 2.5D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等，添加辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题的关键．
连接．证明，则是直角三角形，利用是斜边上的中线，可得，因为，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：连接．如图所示，
∵四边形是边长为4的正方形．
∴，且平分．
∴．
∵．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∵为中点．
∴．
∴是直角三角形．
∵．
∴．
∵．
∴四边形是矩形．
∵点为的中点．
∴过点．即点为的中点．
在中，．
∵．
∴在中，．
∴．
故选：C．
二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）
7. 如图，将小李某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为_____________．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】扇形统计图共有100%，用100%减去月基本费、本地话费以及长途话费即可得到短信费的百分比，再用得到的百分比与360°相乘即可得出相应度数．
【详解】短信费百分比为：
短信费的扇形圆心角的度数：
故表示短信费的扇形圆心角的度数为72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题考查了扇形统计图，通过扇形统计图的性质求出短信费的百分比，使用求出的百分比乘以360°是本题的关键．
8. 在一次数学测试中 ，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2 ，则第六组的频数是_______．
【答案】5
【解析】
【详解】解：一个容量为50样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数是50-6-8-9-10-12=5．
考点：频数与频率
9. 当________时，分式无意义；当________时，分式的值为零．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
分式无意义：分母等于零；分式的值等于零：分子等于零，分母不等于零．
【详解】解：当分母，
即时，分式无意义；
当分子，且分母时，
分式的值为零，
解得，．
故答案为：3；．
10. 填空：①，②，括号内依次填入_____，_____．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：①；
②．
故答案为：．
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______．

【答案】（5，4）
【解析】
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
12. 如图，在菱形中，，则菱形的高______________．

【答案】
【解析】
【分析】利用菱形的面积公式先求解菱形的面积，再利用勾股定理求解菱形的边长，再利用等面积法可得答案．
【详解】解：∵菱形，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，熟记菱形的面积公式是解本题的关键．
13. 如图，在中，为边上一动点，于于为中点，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由在中，，于，于，可证得四边形是矩形，即可得，即，然后由当时，可求得最小值，即可得出的最小值.
【详解】解：如图：当与不重合时，连接，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，为中点，
，
在中，，，，
，
当时，值最小，
此时，
解得，
的最小值为，
的最小值是
，
当与点重合时，最大，此时
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用、勾股定理的运用、三角形的面积公式、垂线段最短的性质的运用等知识点，根据题意求出AP的最小值是解答本题的关键．
14. 如图，H是的边的中点，平分，点D是上一点，且于点G．已知，，，则的周长为________．
【答案】49
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键．
判断出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【详解】解：∵平分，
，
，
，
∴是等腰三角形，
∴，
又∵是的边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的周长．
故答案为：49．
15. 在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝，则▱ABCD的周长等于_____．
【答案】20或12##12或20
【解析】
【分析】过点A作AE⊥BC于E，连接AC，如图1，勾股定理求出EC，BE的长，得到BC即可求出的周长；如图2，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，连接AC，勾股定理求出EC，BE的长，得到BC即可求出的周长．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，连接AC，如图1，

∵在▱ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，
∴，，
∴BC=2+3=5，
∴的周长=2（AB+BC）=20；
如图2，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，连接AC，

∵在▱ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，
∴，，
∴BC=BE-EC=3-2=1，
∴的周长=2（AB+BC）=12；
故答案为：20或12．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键，注意应根据平行四边形的形状分类讨论．
16. 在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究：
的大小为__________；
当四边形是平行四边形时的值为__________．
【答案】 ①. 30 ②.
【解析】
【分析】（1）根据折叠得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，进而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折叠，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可；
（2）根据题意得到DC∥AP，从而证明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，结合（1）中结论，设QR=a，则AP=2a，由勾股定理表达出AB=AQ=即可解答．
详解】解：（1）由题意可知，∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
由折叠可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR，
∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°，
∴∠B=90°，则∠A=180°-∠B=90°，
由折叠可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ，
∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°，
故答案为：30；
（2）若四边形APCD为平行四边形，则DC∥AP，
∴∠CQP=∠APQ，
由折叠可知：∠CQP=∠PQR，
∴∠APQ=∠PQR，
∴QR=PR，
同理可得：QR=AR，即R为AP的中点，
由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ，
设QR=a，则AP=2a，
∴QP=，
∴AB=AQ=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形中的折叠问题，涉及了平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是读懂题意，熟悉折叠的性质．
三．解答题（共10小题，共68分）
17. （1）通分：和；（2）约分：
【答案】（1）；；（2）
【解析】
【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．
（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）；
（2）原式．
18. 某校利用课后延时服务时间，开设“阳光球类系列课程”，有足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五大球类课程，为了解学生对课程的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只选其中一门课程）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）＿＿＿，＿＿＿；
（2）补全条形统计图；
（3）“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为＿＿＿．
（4）若全校共有3000名学生，请估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
【答案】（1）100，5
（2）见详解 （3）°
（4）学校约有名学生喜爱打乒乓球
【解析】
【分析】本题考查了扇形图与条形统计图的综合，用样本估计总体、求扇形的圆心角 ， 正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用了篮球的人数除以它的占比，求出的值，再运用排球的人数除以的值，求出的值，即可作答．
（2）用的值减去各个项目的人数，得出足球的人数，即可作答．
（3）用足球的占比乘上360°，求出对应的圆心角，即可作答．
（4）运用样本估计总体算出学校喜爱打乒乓球的学生人数，即可作答．
【小问1详解】
解：（名）；
故答案为：100，5；
【小问2详解】
解：（名）
如图所示：
【小问3详解】
解：
“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为；
【小问4详解】
解：（名）
∴学校约有名学生喜爱打乒乓球
19. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为________；
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
（3）如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放________个白球？
【答案】（1），
（2）估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个
（3）个
【解析】
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．
（1）根据用频率估计概率求解作答即可；
（2）由题意知，盒子里白颜色的球有（个），则黑颜色的球有（个）；
（3）设需要往盒子里再放入个白球，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意知，盒子里白颜色的球有（个），
黑颜色的球有（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个；
【小问3详解】
解：设需要往盒子里再放入个白球，
依题意得，，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴需要往盒子里再放入个白球．
20. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．

（1）画出关于轴对称的；
（2）将绕点逆时针旋转得到，画出；
（3）若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查作图轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）由图可得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示：

即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：

即为所求．
【小问3详解】
解：如图所示：

点的坐标是，
故答案为：．
21. 证明文字命题：对角线互相垂直的矩形是正方形．（画出图形、写出已知、求证与证明）
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定，等腰直角三角形的性质和判定，三角形内角和，矩形的性质，掌握以上知识点是解题关键．
写出已知、求证，根据和等腰直角三角形的性质和判定，可得的关系，根据正方形的判定，可得答案．
【详解】解：已知，在矩形中，．
求证：矩形是正方形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴矩形是正方形．
结论：对角线互相垂直的矩形是正方形．
22. 如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．
求证：
（1）四边形是平行四边形．
（2）用反证法证明：线段与不垂直．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和萎形的判定是解题的关键．
（1）证是的中位线，是的中位线，得出，即可得出结论；
（2）假设：与的位置关系为，得出四边形是菱形，由三角形中位线定理得出，得出，再根据，则证得与不垂直．
【小问1详解】
证明：∵、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：假设：与的位置关系为，如图所示，
则∵，
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵是的中位线，是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形不是菱形，
∴与不垂直．
23. 如图，已知△ABC中，AB＝AC．
（1）把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在AB边上，用尺规作图的方法作出△DEC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：AD＝BC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题目要求作图即可得；
（2）先证∠CEB=∠B，∠B=∠ACB得∠CEB=∠DCE，据此知DC∥AB，结合DC=AC，AB=AC可得四边形ABCD为平行四边形，从而证得结论．
【详解】（1）如图，△DEC即为所作．

（2）∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，DC=AC，EC=BC，
∵AB=AC，
∴DC=AB，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB，
∵EC=BC，
∴∠CEB=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠CEB=∠DCE，
∴DC∥AB，
又∵DC=AC，AB=AC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质、平行四边形的判定和性质及全等三角形的性质等知识点．
24. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于F，且，连接．
（1）求证：D是的中点；
（2）如果，试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若四边形为菱形，则需满足________（添加合适的条件）．
【答案】（1）见详解 （2）四边形矩形，理由见详解
（3）
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定，证明是解题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）首先判定四边形为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可得四边形为矩形；
（3）由（1）知平行等于，证四边形是平行四边形，而，利用直角三角形的性质定理，可证，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，
∴是的中点；
【小问2详解】
四边形为矩形；
证明：∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
【小问3详解】
若满足时，四边形菱形，
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
∴平行四边形是菱形．
25. 如图，点是线段上一动点，，以，为对角线分别作出菱形和菱形且．
（1）求证：长度为定值．
（2）连接，若时，求的面积．
（3）若再连接DF，分别取六边形ADFBEC各边中点，当点P从点A运动到点B时，各边中点运动路径的总长度为________．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定和性质、以及勾股定理等知识点；
（1）利用菱形性质先证明和都是等边三角形，得，，由此即可得出；
（2）过点C作，垂足为H，证明，由勾股定理求出，在利用三角形面积计算即可，
（3）延长交与点Q，取中点M，取中点N，取中点，取中点K，根据起点和中点位置求出各点运动路径长即可．
【小问1详解】
证明：在菱形和菱形，，，
又∵，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴：长度定值，
【小问2详解】
如图，过点C作，垂足为H，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵在中，，
∴的面积
【小问3详解】
解：延长、交与点，取中点，取中点，取中点，取中点，连接，如图：
∵和都是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当点P在起点A时，中点N与中点重合，当P在终点B时，中点N与中点重合，点N在线段上运动，故点运动路径的长度为，
当点P在起点A时，M与点A重合，当P在终点B时，M与中点重合，故点运动路径的长度为，
同理、、、的中点运动路径的长度为4，
综上所述：当点P从点A运动到点B时，各边中点运动路径的总长度为．
26. 广告语说“下雨天巧克力和音乐更配”，今天下午角平分线配上特殊的四边形会擦出什么样的火花呢？下面我们一起研究吧．
（1）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若、，求的长．
（2）如图，在菱形中，和相交于点，若，求证：平分．
（3）如图，在正方形中，点是中点，请用直尺与圆规在边上画一点，使得恰是的平分线（保留作图痕迹、不写作法）
（4）如图，在矩形中，、，点和分别是和上的动点，连接，若平分，则的最大值为________．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）见解析；
（4）．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，，，再由平行线的性质及角平分线的定义得，，从而得，，从而即可得解；
（2）由菱形的性质得，，进而证明，得，从而证明，得，，再证，得，即可证明结论成立；
（3）分别以点、为圆心，，的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，则点为所求；
（4）过点作于点，先证点在以点为圆心，为半径的上，令与交于点，连接，然后分当点在的上方，点在的下方时，当点与点重合三种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵的平分线交于点，的平分线交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
【小问3详解】
解：如图，点为所求作的点，
理由如下：由作图可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分，即点为所求；
【小问4详解】
解：过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
令与交于点，连接，
如下图，当点在的上方时，连接，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴即；
如下图，当点在的下方时，连接，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴即；
如下图，当点与点重合时，与点重合，
∴，
∵，
∴；
综上的最大值为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质以及正方形的性质，尺规作全等三角形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．