江苏省镇江市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1. “某种彩票的中奖率为，则购买100张这种彩票能中奖”是_______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件．
【答案】随机
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，关键是理解相关概念：一定会发生的事件叫做必然事件；一定不会发生的事件叫做不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．据此判断即可．
【详解】解：由“某种彩票的中奖率为知，购买100张这种彩票能中奖”可能中奖，也有可能不中奖，是随机事件，
故答案为：随机．
2. 要了解“天目一号气象卫星”的零件安全情况，应采用__________的方式比较合适．（填“抽样调查”或“普查”）
【答案】普查
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和普查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，事关重大的事情必须用普查，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少，根据抽样调查和全面调查的特点分析解答即可．
【详解】解：要了解“天目一号气象卫星”的零件安全情况，应采用“普查”的方式比较合适，
故答案为：普查
3. 若四边形是平行四边形，，则_______．
【答案】100
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．根据平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，，
∴．
故答案为：100．
4. 将50个数据分成5组，列出分布表，其中第一组与第五组的频数分别是5、8，第二与第四组的频率之和是，那么第三组的频数是________．
【答案】13
【解析】
【分析】先求得第二与第四组的频数之和，据此即可求得第三组的频数．
【详解】解：第二与第四组的频数之和是，
∴第三组的频数是，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了频数与频率，熟记频率的计算公式是解题关键．
5. 菱形的周长为12，则边长_________．
【答案】3
【解析】
【分析】由菱形的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：∵菱形的周长为12，
∴；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了菱形的性质；熟记菱形的四边相等是解此题的关键．
6. 一个瓶子中装有一些豆子，从瓶子中取出50粒豆子，给这些豆子做记号，把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀，从瓶子中再取出30粒豆子，其中有记号的有2粒，则瓶子中的豆子总数约为______粒．
【答案】750
【解析】
【分析】本题主要考查了应用抽样调查的方法计算总数，掌握样本概率估计总体概率是解题的关键．首先计算出记号豆子占所有记号豆子的比例，再用取出的豆子数除以记号豆子的比例即可求出．
【详解】解：根据题意可得记号豆子的比例：，
此时瓶中的豆子总粒数大约是：．
故答案为：750．
7. 四边形中，，添加一个条件_______，可得四边形成为平行四边形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】添加条件为：，理由如下：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
8. 如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则菱形的面积为_________．
【答案】96
【解析】
【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
∴．
故答案为：96．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系．
9. 如图，在平面直角坐标系中，将点P绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意作轴，轴，证即可求解．
详解】解：如图所示：作轴，轴，
由题意得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴的坐标为
故答案为：．
10. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则．
【详解】解：∵垂直且平分线段，
∴，
∵四边形是矩形，对角线与相交于点O，，
∴，
∴．
故答案为：5．
11. 矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，，，，
在中，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，
在中，，
故答案为：．
12. 如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】作于点，由菱形的性质得，因为，所以，而，则，所以，求得，则，由折叠得，因为，所以，即可求得的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，则，
四边形是菱形，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠得，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）
13. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
14. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】A
【解析】
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】A选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意；
B选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
C选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
D选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
15. 某校从名学生中随机抽取名学生进行百米测试，下列说法正确的是（ ）
A. 该调查方式是普查B. 样本容量是C. 每名学生的百米测试成绩是个体D. 名学生的百米测试成绩是总体
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【详解】解：A、该调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B、样本容量是，故B不符合题意；
C 、每名学生的百米测试成绩是个体，故C符合题意．
D 、名学生的百米测试成绩是总体，故D不符合题意；
故选：．
16. 下列判断中不正确是（ ）
A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的判定可判断A，由正方形的判定可判断B，由菱形的判定可判断C，由平行四边形的判定可判断D，从而可得答案．
【详解】解：四个角相等的四边形是矩形，判断正确，故A不符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原判断不准确，故B符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判断正确，故C不符合题意；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判断正确，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，矩形，菱形，正方形的判定，掌握“特殊四边形的判定方法”是解本题的关键．
17. 如图，在中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E；再分别以点A和点E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F；作射线，交于点G．若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线四边形的性质，角平分线的定义和尺规作图，等角对等边，先由平行四边形的性质得到，，则，由作图方法可知，平分，则可得，进而推出，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由作图方法可知，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选；C．
18. 如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）

A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则，
设运动时间为，
当时，，，
∴，
，
∴(舍去)；
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：(舍去)；
综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形．
故选:B．
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 如图，，分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得到，，由已知得到，根据平行四边形的判定即可得到结论．
【详解】证明：是平行四边形，
，，
∴,
又，
∴，即，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．
20. 某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．

根据以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的________，________．
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是________；
（4）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．
【答案】（1）30，20
（2）见解析 （3）
（4）估计该校本次听写比赛不合格的学生人数约为450人．
【解析】
【分析】（1）根据B组的人数是15，所占的百分比是，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得m和n的值，
（2）根据（1）的数据进而补全直方图；
（3）利用乘以对应的比例即可求解；
（4）利用总人数900乘以对应的比例即可求得．
【小问1详解】
解：调查的总人数是（人），
则，
；
故答案为：30，20；
【小问2详解】
解：补全图形如下：
；
【小问3详解】
解：扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是：；
故答案为：；
【小问4详解】
解：该校本次听写比赛不合格的学生人数是：（人）．
答：估计该校本次听写比赛不合格的学生人数约为450人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21. 如图，在四边形中，，．
（1）在线段上，求作点E，使；（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接，，若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）20°
【解析】
【分析】本题考查尺规作线段，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握相关性质，并灵活运用．
（1）以为圆心，的长为半径，画弧，交于点，点即为所求；
（2）平行线的性质，角的和差关系推出，进而得到，证明，得到，利用，即可得出结果．
【小问1详解】
解：如图，点E就是所求作的点；
由作图可知：，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴
由（1）得， 是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和，
∴，
∴，
又∵，
∴；
22. 在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，位置如图所示．
（1）把绕原点O逆时针旋转得，试画出图形，并直接写出点的坐标_____．
（2）将绕某点顺时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____．
（3）若平面上有一点Q，使得点C、、、Q能构成平行四边形，则Q的坐标为_____．
【答案】（1）作图见解析；
（2）
（3），，
【解析】
【分析】本题主要考查了作图旋转变换，平行四边形的判定，准确找到旋转中心是解题的关键．
（1）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质求解即可；
（3）根据平行四边形的判定求解即可．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
的坐标；
【小问2详解】
连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，
∴旋转中心点P的坐标为；
【小问3详解】
如图所示，
当以为对角线时，可得平行四边形，
此时的坐标为；
当以为对角线时，可得平行四边形，
此时的坐标为；
当以为对角线时，可得平行四边形，
此时的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或．
23. 如图，在平行四边形中，于点，于点，且，连接．
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）连接，若，，则的长为 （直接填空）．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）证，得，再由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，即可得出结论．
小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：设交于点，如图所示：
由（1）得：平行四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：8．
24. 如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）．
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）．
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留）
【答案】（1）07 （2）0.4
（3）封闭图形的面积为10π平方米．
【解析】
【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；
（2）大量试验时，频率可估计概率；
（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
【小问1详解】
解：20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
故答案为：0.7；
【小问2详解】
解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
故答案为：0.4；
【小问3详解】
解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：=0.4，
解得：a=10π，
答：封闭图形的面积为10π平方米．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
25. （1）如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：：

（2）连接图1中的，并取中点，连结、．
①如图2，若，求四边形的周长：

②如图3，若，且，求四边形的面积．

【答案】（1）见解析；（2）①四边形的周长为；②．
【解析】
分析】（1）运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论；
（2）①运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案；②由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图①，、、分别是、、的中点，
、分别是、的中位线，

，，
，
，
．
（2）①：如图②，、、、分别是、、、的中点，
，，

，
，
四边形的周长为16；
②：如图③，、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，

，
，
四边形是菱形，
，
，
，
菱形是正方形，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
26. 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．

（1）初步思考：若点P落在矩形的边上（如图①）．
①当点P与点A重合时， , 当点E与点A重合时， ；
②当点E在上，点F在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．
（2）深入探究：点F与点C重合，点E在上，线段与线段交于点M（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②证明见解析，菱形的边长为
（2）存在，
【解析】
【分析】（１）①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；②由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形，设，，勾股定理求得，得菱形边长为．
（2）如图④中，连接 ．可证，于是，设 ，则 ，中，运用勾股定理，，解得，．
【小问1详解】
①

如图，当点P与点A重合时， ,
当点E与点A重合时，；
【小问2详解】
如图②，

由折叠可知，，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴四边形为菱形
时，设 ，则
则 ，
解得，
∴
所以菱形边长为 ．
（2）如图④中，连接 ．

∵，
∴，
∴，设 ，则 ,
则
∵，
∴
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键．
组别
正确字数
人数
10
15
25
掷小石子落在不规则图形内的总次数
50
150
300
500
…
小石子落在圆内（含圆上）的次数m
20
59
123
203
…
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n
29
91
176
293
…
m∶n
0.689
0.694
0.689
0.706