微专题02 反比例函数与几何综合通关专练-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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1．（2023春·八年级课时练习）如图，点C在反比例函数y=kx（x>0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】【分析】过点C作CD⊥x轴，设点A-a,0,B0,b. AB=BC，则OD=OA=a, CD=2OB=2b, 得到点C的坐标，根据ΔAOB的面积为1，得到a,b的关系式，即可求出k的值.
【解答】过点C作CD⊥x轴，
设点A-a,0,B0,b. AB=BC，则OD=OA=a, CD=2OB=2b,
得到点C的坐标为：a,2b.
ΔAOB的面积为1，
即12ab=1, ab=2,
k=a⋅2b=2ab=4.
故选D.
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键.
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与边长是4的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为6．则k的值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】由正方形OABC的边长是4，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为4，求得M（4，k4），N（k4，4），根据三角形的面积列方程得到M、N的坐标，然后利用待定系数法确定函数解析式．
【详解】解：∵正方形OABC的边长是4，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为4，
∴M（4，k4），N（k4，4），
∴BN＝4﹣k4，BM＝4﹣k4，
∵△OMN的面积为6，
∴4×4﹣12×4×k4﹣12×4×k4﹣12×（4﹣k4）2＝6，
∴k＝8，（负根舍去）
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面积公式列出方程并解答是解题的关键．
3．（2023春·湖北十堰·九年级校联考阶段练习）如图，反比例函数y=kx(x>0)的图像与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，若OC=2BD，则实数k的值为（ ）
A．43B．2543C．923D．83
【答案】A
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，结合解析式构造方程求解即可
【详解】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设OC=2x，则BD=x，
在Rt△OCE中，∠COE=60°，
则OE=x，CE=3x，
则点C坐标为（x，3x），
在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，
则BF=12x，DF=32x，
则点D的坐标为（5－12x，32x），
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=3x2，
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=532x－34x2，
则3x2=532x－34x2，
解得：x1=2，x2=0（舍去），
故k=3x2=43．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度．
4．（2022·浙江温州·统考一模）如图，菱形ABCD在第一象限，且对角线AC∥x轴，点C，D在反比例函数y=kx的图象上，已知A(3，4)，B(6，a)则k的值为( )
A．24B．32C．36D．48
【答案】C
【分析】连接BD交AC于点E．根据AC∥x轴和菱形的性质可求出E点坐标，进而可求出C点坐标，再将C点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值．
【详解】如图，连接BD交AC于点E．
∵AC∥x轴，四边形ABCD为菱形，A(3，4)，B(6，a)，
∴E(6，4)，
∴C(9，4)．
将C(9，4)代入y=kx，得4=k9，
解得：k=36．
故选C．
【点睛】本题考查坐标与图形，菱形的性质，利用待定系数法求反比例函数解析式．求出点C的坐标是解题关键．
5．（2022春·四川内江·九年级专题练习）如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A、B、C为反比例函数y＝kx（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3B．S1＞S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
【答案】B
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝kx（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F
∴S1=S△AOD=12k,S△BOE=S△COF=12k
∴S△AOD>S△BOE-S△OME=S△COF-S△OME
∴S1>S2=S3
故答案为：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）函数y=的图象与直线y=x有交点，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＜1C．k＞﹣1D．k＜﹣1
【答案】B
【详解】直线y=x过一、三象限，要使两个函数有交点，
那么函数y=1-kx的图象必须位于一、三象限，
那么1-k>0，
则k0)上，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由A(1，2)可知OB＝1，AB＝2.将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，则△AOB ≌△ACD，所以CD＝OB＝1，AD＝AB＝2.所以点C坐标为(3，1)，又点C在双曲线 y=kx (x＞0)上，∴1＝k3，k＝3.故答案为C．
10．（2022春·山东淄博·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB∥y轴，AB=3，反比例函数y=-3x的图象经过点B，与AC交于点D，且CD=2AD，则点D的横坐标是（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
【答案】C
【分析】过D作AB的平行线，交BC于E，交x轴于F，得出ABEF是矩形，根据矩形的性质得出EF=AB=3．由DE∥AB，根据平行线分线段成比例定理求出DE=23AB=2，则DF=1，即D点纵坐标为1，再根据反比例函数y=-3x的图象经过点D，即可求出点D的横坐标．
【详解】过D作AB的平行线，交BC于E，交x轴于F，则ABEF是矩形，EF=AB=3．
∵DE∥AB，CD=2AD，
∴DEAB=CDAC=23，
∴DE=23AB=2，
∴DF=EF-DE=3-2=1，
∴D点纵坐标为1，
∵反比例函数y=-3x的图象经过点D，
∴y=1时，x=-3，
∴点D的横坐标是-3．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，求出D点纵坐标是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为4,0，0,3，动点D在边BC上，且不与点B重合，连结AD，把△ABD沿AD翻折得到△AED，点E落在双曲线y=kx上，当CE长度最小时，k的值为（ ）
A．7225B．163C．4825D．6
【答案】A
【分析】根据A,C,E共线或者不共线时，分析出CE的最小值，然后证明△CFE∽△COA，根据比例关系表示出点E的坐标，即可求得k的值．
【详解】解：如图，
当A,C,E不共线时，
在△ACE中，有CE+AE＞AC
即CE＞AC-AE,
∵∠AOC=90°,AO=4,OC=3,
∴AC=AO2+OC2=5,
∵把△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴AE=AB=OC=3,
∴CE＞2,
如图2：当A,C,E共线时，作EF⊥OC与点F，
∵A,C,E共线，
∴CE=AC-AE=5-3=2,
综上，当A,C,E共线时，CE最小，此时CE=2,
∵EF⊥OC,
∴∠CFE=∠COA=90°,
∵∠ECF=∠ACO,
∴△CFE∽△COA,
CFCO=EFOA=CECA=25,
∵CO=3,OA=4,
∴CF=25×CO=65,FE=25×OA=85,
∴OF=OC-CF=3-65=95,
∴点E的坐标为(85,95)，
∵E在y=kx上，
∴k=85×95=7225，
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数得图像与矩形折叠问题，相似三角形的判定与性质，根据题意求出点E的坐标是解题的关键．
12．（2022春·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y=K-3x（y＞0）的图象上一个动点，当△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小时，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3B．k≤3C．k＞3D．k≥3
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式进行解答，点B横坐标增大，则△AOB的边AO上的高变小．
【详解】解：如图，设△AOB边OA上的高为y，
则S△AOB=12×OA•h，
∵△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小，
∴k-3＞0，
∴k＞3．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的识别，通过图象看出三角形的高在减小是解题的关键．
13．（2022·广西玉林·统考一模）如图，P(m,m)是反比例函数y=8x在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（ ）
A．4B．4+43C．4+433D．4+433
【答案】C
【分析】依据P（m，m）是反比例函数y=8x在第一象限内的图象上一点，求得点P的坐标，即可求得点B坐标，即可解题．
【详解】解：如图，作PD⊥OB，
∵P（m，m）是反比例函数y=8x在第一象限内的图象上一点，
∴m=8m，
解得：m=22，
∴PD=OD=22，
∵△ABP是等边三角形，
∴BD=13×3PD=263，
∴S△POB=12OB•PD=12（OD+BD）•PD=12×(22+263)×22=4+433；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质．等边三角形具有等腰三角形“三线合一”的性质．
14．（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）已知点A、B分别在反比例函数y=1x（x＞0），y=kx（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°，则∠B=30°，则k的取值为（ ）
A．-33B．-3C．﹣2D．﹣3
【答案】D
【分析】过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，易证△AOC∽△OBD，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠B的值，即OA与OB的比值，利用面积比等于相似比的平方，即可求出k值．
【详解】过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得：∠ACO=∠BDO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°．
∵OA⊥OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD．
∵∠ACO=∠ODB=90°，∴△AOC∽△OBD．
∵点A、B分别在反比例函数y=1x（x＞0），y=kx（x＞0）的图象上，∴S△AOC=12，S△OBD=|k2|，∴S△AOC：S△OBD=1：|k|，∴（OAOB）2=1：|k|．在Rt△AOB中，tanB=OAOB=33，∴1：|k|=1：3，∴|k|=3．
∵y=kx（x＞0）的图象在第四象限，∴k=﹣3．
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
15．（2022秋·九年级课时练习）如图，△OAB，△BA1B1，△B1A2B2，…，△Bn-1AnBn都是等边三角形，顶点A，A1，A2，…，An在反比例函数y=3x(x>0)的图象上，则B2021的横坐标是（ ）
A．2021B．2022C．22021D．22022
【答案】D
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，过点A2作A2E⊥x轴于点E，先在△OCA中，表示出OC和AC的长度，表示出A1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA的长度，表示出B的坐标，同理可求得B1、B2的坐标，即可发现一般规律．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，过点A2作A2E⊥x轴于点E，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOC=60°，OC=BC，
∴AC=3OC，
设OC的长度为t，则A的坐标为(t，3t)，
把A (t，3t)代入y=3x(x>0)得3t=3t，
解得t1=1，t2=-1（舍去），
∴OB=2OC=2，
∴B(2，0)，
设BD的长度为m，同理得到A1D=3m，则A1的坐标为(2+m，3m)，
把A1 (2+m，3m)代入y=3x(x>0)得3m=32+m，
解得m1=2-1，m2=-2-1（舍去），
∴BD=2-1，BB1=22-2，OB1=2+22-2=22，
∴B1(22，0)，
设B1E的长度为n，同理得到A2E=3n，则A2的坐标为(22+n，3n)，
把A2 (22+n，3n)代入y=3x(x>0)得3n=322+n，
解得n1=-2+3，n2=-2-3（舍去），
∴B1E=3-2，B1B2=23-22，OB2=22+23-22=23，
∴B2(23，0)，
综上可得：B2021的横坐标为22022．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．还考查了等边三角形的性质、勾股定理，灵活运用各类知识求出A1、A2、 A3的坐标是解题的关键．
二、填空题
16．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1,0)，(0,2)，点C是反比例函数y=kx(x>0)图象上一点，∠ABC=135°，AC交y轴于点D，ADDC=23，则k的值为 ．
【答案】154
【分析】过C作CG⊥x轴于G，过点A作AE⊥AB交CB延长线于E，作EF⊥x轴于F，根据ADDC=23求出OG=32，证明△AEF≌△BAO得到E（-3,1），求出直线BE的解析式为y=13x+2，将x=32代入求出点C的坐标,即可求出答案
【详解】过C作CG⊥x轴于G，过点A作AE⊥AB交CB延长线于E，作EF⊥x轴于F，
∵CG⊥x轴，
∴AOOG=ADDC=23,
∵A(-1，0)，
∴OA=1，
∴OG=32，
∵B（0,2），
∴OB=2，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABE=45°，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°,
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴AE=BE，
∵EF⊥x轴于F，
∴∠AEF+∠EAF=∠EAF+∠BAO=90°，
∴∠AEF=∠BAO，
∵∠AFE=∠AOB=90°，AE=AB，
∴△AEF≌△BAO，
∴EF=OA=1，AF=OB=2，
∴E（-3,1），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
∴-3k+b=1b=2，解得k=13b=2，
∴直线BE的解析式为y=13x+2，
当x=32时，得y=52，
∴点C的坐标为（32，52），
∵点C是反比例函数y=kx(x>0)图象上一点，
∴k=xy=32×52=154，
故答案为：154．
．
【点睛】此题考查比例的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，待定系数法求函数解析式，这是一道图形及函数的综合题，较难，题中的∠ABC=135°是提示解题的思路，延长后得到45度的角，由此利用等腰直角三角形的性质解决问题是解题的关键．
17．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴的负半轴，y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形OA'B'C',BC与OA'相交于点M．若经过点M的反比例函数y=kx(x