微专题01 反比例函数k的几何意义通关专练-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

这是一份微专题01 反比例函数k的几何意义通关专练-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版），文件包含微专题01反比例函数k的几何意义通关专练原卷版docx、微专题01反比例函数k的几何意义通关专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
1．（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，函数y=1x(x>0)和y=4x(x>0)的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，则△PAB的面积为（ ）

A．1B．4C．98D．34
【答案】C
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为x，用含有x的代数式表示PA、PB，再利用三角形面积公式进行计算即可．
【详解】如图，延长PA、PB分别交x轴，y轴于点C、D，连接OA、OB，

设点A的横坐标为x，则点A的纵坐标为1x，点P的纵坐标为4x，
∴PA=PC-AC=4x-1x=3x，
∵点B在反比例函数y=1x的图象上，点B的纵坐标为4x，
∴点B的横坐标为14x，
即BD=14x，
∴PD=PB-BD=x-14x=34x，
∴S△PAB=12PA⋅PB
=12×3x×34x
=98，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为x，根据反比例函数图象上点的坐标特征用含有x的代数式表示出PA、PB是解决问题的关键．
2．（2022·甘肃武威·校考一模）反比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．﹣1B．12C．1D．2
【答案】B
【分析】根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．
【详解】解：∵反比例函数在第一象限，
∴k＞0，
∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，
∴k＜1，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及k的几何意义，反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．
3．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x（x＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点D，且与边AB相交于点E，则四边形ODBE的面积为（ ）
A．32B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由矩形的性质求出S△OAB=S△OBC，反比例函数系数k的几何意义△OAE和△OCD的面积各为1，根据等底同高，面积和差求出四边形OEBD的面积为2．
【详解】解：连接OB，如图所示：
∵OB是矩形OABC的对角线，
∴S△OAB＝S△OBC
又∵点D、E在反比例函数y＝2x（x＞0）的图象上，
∴SΔOAE=SΔOCD=12×2=1，
又∵CD＝BD，OC是△OCD和△OBD的高，
∴S△OCD＝S△OAB＝1，
又∵S△OBC＝S△OCD+S△OBD，
∴S△OAB＝S△OBC＝2
又∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE，
∴S△OBE＝2﹣1＝1，
又∵S四边形OEBD＝S△ODE+S△OBE，
∴S四边形OEBD＝1+1＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的性质，三角形的面积和差法，等底同高法两个三角形的面积相等相关知识点，重点掌握反比例函数系数k的几何意义，难点是作辅助线将不规则的四边形转化成三角形求解．
4．（2022春·重庆·八年级统考期末）如图所示，四边形OABC是矩形，△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝kx（x＞0）的图象上．△ADE的面积为92，且AB＝53DE，则k值为（ ）
A．18B．452C．526D．16
【答案】B
【分析】设B（m，5），则E（m+3，3），因为B、E在y＝kx上，则有5m＝3m+9＝k，由此即可解决问题；
【详解】解：∵△ADE是等腰直角三角形，面积为92，
∴AD＝DE＝3，
∵AB＝53DE，
∴AB＝5，设B（m，5），则E（m+3，3），
∵B、E在y＝kx上，
则有5m＝3m+9＝k
∴m＝92，
∴k＝5m＝452.
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
5．（2022·辽宁葫芦岛·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx的图像与线段AB相交于点C，且点C是线段AB的中点，若点C坐标为3,n，△OAB的面积为3，则点C的坐标是（ ）
A．3,2B．3,32C．3,1D．3,12
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式得到S△AOC＝12S△OAB＝32，再根据反比例函数系数k的几何意义得到12|k|＝32，然后利用反比例函数的性质确定k的值，最后把C（3，n）代入反比例函数的解析式，即可求得C的坐标．
【详解】解：∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝12S△OAB＝32，
而S△AOC＝12|k|，
∴12|k|＝32，
而k＞0，
∴k＝3，
∴y＝3x，
∵反比例函数y＝kx的图象经过点C，点C为坐标（3，n），
∴3n＝3，
∴n＝1，
∴C（3，1），
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．（2022秋·九年级单元测试）如图，直角坐标系中，O为原点，等腰△AOB的顶点B在x轴上，AO=AB，反比例函数y=kx(k>0)在第一象限内的图象经过AB的中点C，若ΔAOB的面积是12，则k的值是（ ）
A．4.5B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点D、点C，根据等腰三角形的性质得OD=BD，而点C为AB的中点，利用三角形中位线的性质得到ED=BE，CE=12AD，则OE=34OB，再根据三角形的面积公式得到12AD·OB=12，易得CE·OE=9，设C点坐标为(x,y)，即可得到k=xy=CE·OE=9．
【详解】解：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点D、点E，如图，
∵AO=AB，
∴OD=BD，
又∵点C为AB的中点，
且CE∥AD，
∴CE为ΔADB的中位线，
∴ED=BE，CE=12AD，
∴OE=34OB，
∵△AOB的面积是12，
∴ 12AD·OB=12，
∴CE·43OE=12，
∴CE·OE=9，
设C点坐标为(x,y)，而点C在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，
∴k=xy=CE·OE=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了确定反比例函数y=kx(k≠0)的k值的方法：通过几何方法得到其图象上某点的横纵坐标之积即可．也考查了等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质．
7．（2022·江苏苏州·校考二模）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝kx的图象经过点D，则k值为（ ）
A．﹣14B．14C．7D．﹣7
【答案】B
【详解】过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC,∴∠OAB+∠DAF=90°,∴∠ABO=∠DAF,
∴△AOB∽△DFA,∴OA：DF=OB：AF=AB：AD,
∵AB：BC=3：2,点A（3,0）,B（0,6）,∴AB：AD=3：2,OA=3,OB=6,∴DF=2,AF=4,∴OF=OA+AF=7,∴点D的坐标为:（7,2）,∴k=14,故选B.
8．（2022·福建福州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象经过矩形ABCD的顶点D，与对角线AC交于点F，过点A作AE⊥AC与CB的延长线交于点E．恰好满足AE＝AF，连接OD、OF、DF．若△ODF的面积为75，AD∶BE＝16∶9，则k的值为（ ）
A．4.8B．2.4C．5D．4
【答案】A
【分析】过F作FH⊥x轴，OF和AD交于点G，设AD=16m，BE=9m，则可得CB=AD=16m，CE=BC+BE=25m，然后证明△CAB∽△AEB，从而求出AB=12m，运用勾股定理求出AF=15m，AC=20m，根据FH∥CB可得AFAC=FHCB=AHAB=15m20m=34，则可得出FH=12m，AH=9m，然后根据反比例函数面积关系得出S梯形DAHF=S△ODF=75，可得m2=190，然后根据k=OH⋅FH可得结果．
【详解】解：过F作FH⊥x轴，OF和AD交于点G，
∵AD:BE=16:9，
∴设AD=16m，BE=9m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CB=AD=16m，CE=BC+BE=25m，
∵∠CAE=90°，∠ABC=∠ABE=90°，
∠E+∠BAE=∠BAE+∠CAB=90°，
∴∠E=∠CAB，
∴△CAB∽△AEB，
∴ABEB=CBAB，
∴AB2=CB⋅EB=16m⋅9m，
∴AB=12m，
∴AE=AB2+BE2=15m，
∵AE=AF，
∴AF=15m，
∵AC=AB2+BC2=20m，
∵FH∥CB，
∴AFAC=FHCB=AHAB=15m20m=34，
∴FH=12m，AH=9m，
∵点D、F均在反比例函数图像上，
∴S△ODA=S△OFH=k2(k>0)，
∵S△ODF=S△ODG+S△DGF，
由S△ODA=S△OFH得S△OGD=S四边形GFHA，
∴S梯形DAHF=S△ODF=75，
∵FH=12m,DA=16m,AH=9m,
∴12×(12m+16m)×9m=75，
∴m2=190，
∵DA=16m代入y=kx得x=k16m，
∴OA=k16m，
∴OH=k16m+9m，
∵FH=12m,
∴(k16m+9m)×12m=k，
∴14k=12×9×m2，代入m2=190得14k=12×9×190，
∴k4=1.2，
∴k=4.8，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，设出相应线段长度，表示出面积与k的关系是解本题的关键。
9．（2022·重庆·九年级统考自主招生）如图，点A在反比例函数y=kx k≠0,x0)的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =
【答案】4
【详解】分析：设D（a，ka），利用点D为矩形OABC的AB边的中点得到B（2a，ka），则E（2a，k2a），然后利用三角形面积公式得到12•a•（ka-k2a）=1，最后解方程即可．
详解：设D（a，ka），
∵点D为矩形OABC的AB边的中点，
∴B（2a，ka），
∴E（2a，k2a），
∵△BDE的面积为1，
∴12•a•（ka-k2a）=1，解得k=4．
故答案为4．
点睛：本题考查了反比例函数解析式的应用，根据解析式设出点的坐标，结合矩形的性质并利用平面直角坐标系中点的特征确定三角形的两边长，进而结合三角形的面积公式列出方程求解，可确定参数k的取值．
29．（2023春·江苏·八年级期末）如图，B、C分别是反比例函数y=6xx>0与y=-2xx>0的图像上的点，且BC∥y轴，过点C作BC的垂线交于y轴于点A，则△ABC的面积为 ．
【答案】4
【分析】过点B作BD⊥x轴于D，设BC交x轴于点E，则四边形DACB、四边形DOEB、四边形AOEC都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形DACB与△ABC的面积关系即可求得结果．
【详解】过点B作BD⊥x轴于D，如图，设BC交x轴于点E，
∵BC∥y轴，BC⊥AC，
∴AC⊥y轴，
即∠BDA=∠DAC=∠BCA=∠DOE=∠AOE=∠OEB=90°，
∴四边形DACB、四边形DOEB、四边形AOEC都是矩形，
由反比例函数比例系数k的几何意义知：S矩形DOEB=6，S矩形AOEC=2，
∴S矩形DACB=S矩形DOEB+S矩形AOEC=6+2=8，
∵S矩形DACB=2S矩形ABC，
∴S△ABC=12×8=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键．
30．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）△OAB在直角坐标系中位置如图所示，边OB在x轴上，点C是AB的中点，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过A、C两点，设△OAB的面积为6．则k= ．
【答案】4
【分析】过点A、C分别作AD⊥x轴，CE⊥x轴，利用反比例函数图象上的点的坐标特征，即点A、C的横、纵坐标的积分别为k，得到OD=DE=EB，再根据△OAB的面积为6，结合反比例函数系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：过点A、C分别作AD⊥x轴，CE⊥x轴，如下图所示：
∴AD//CE，
∴△BCE∽△BAD，
∵点C是AB的中点，
∴CEAD=BCBA=BEBD=12，
设DE=BE=a，CE=b，AD=2b，
∵点A、C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)上，
∴OD•AD=k，CE•OE=k，
即：OD•2b=（OD+a）•b，
∴OD=a，
即OD=DE=EB=a，
∵△OAB的面积为6，
∴12OB⋅AD=6，代入数据：12×3a⋅2b=6，
∴a⋅b=2，
∴k=OD⋅AD=a⋅2b=2ab=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，考查了学生的推理能力、转化思想等，本题涉及的知识点有：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的坐标特征等．
31．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，等边三角形ABO的顶点A在反比例函数y＝kx（x＜0）的图象上，边BO在x轴上，等边三角形ABO的面积为43，则k＝ ．
【答案】-43．
【分析】过A作AH⊥BO于H，依据△AHO的面积为23，利用反比例函数比例系数k的几何意义，即可得到k=-43．
【详解】解：如图，过A作AH⊥BO于H，则
∵三角形ABO是等边三角形，△ABO的面积为43，
∴△AHO的面积为23，
又∵12|k|=23，
∴k=±43，
又∵k＜0，
∴k=-43，
故答案为：-43．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数y=kx图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
32．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D，E是CO的两个三等分点，过点D，E作x轴的平行线分别交AB于点F，G，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点G，分别交BC，DF于点Q，P，分别过点Q，P作x轴的垂线，垂足分别为点H，K．图中阴影部分的面积分别为S1，S2，S3．

（1）若OE=HK=1，则k＝ ．S1= ；
（2）若S1+S3=25．则S2= ．
【答案】 6 2 5
【分析】（1）若OE=HK=1，根据题意Qk3,3，Pk2,2，G(k,1)，进而求得Q(2,3)，P(3,2)，代入反比例函数y=kx(x>0)求得k的值，即可求得点G的坐标；
（2）由反比例函数系数k的几何意义可知，3S1=2S1+2S2=S1+S2+S3=k，得出S1=2S2，S3=3S2，代入S1+S3=25，可求得S2=5．
【详解】解： ∵点D，E是CO的两个三等分点，OE=HK=1，
∴OC=3，PK=2，AG=1，
∴Qk3,3，Pk2,2，G(k,1)，
∴OHOK-kk2=23，
∵HK=1，
∴OH=2，OK=3，
∴Q(2,3)，P(3,2)，
∵点Q，P，G在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2×3=6，
∴S1=OE⋅OH=1×2=2．
故答案为：6，2；
（2）若S1+S3=25，
由反比例函数系数k的几何意义可知，3S1=2S1+2S2=S1+S2+S3=k，
∴S1=2S2，2S1=S2+S3，
∴4S2=S2+S3，
∴S3=3S2，
∵S1+S3=25，
∴2S2+3S2=25，
∴S2=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
33．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x（x＞0）和y=kx（x＞0）的图象交于P、Q两点，若S△POQ=14，则k的值为 ．

【答案】-20
【分析】由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到12|k|+12×|8|=14，然后结合函数y=kx的图象所在的象限解方程得到满足条件的k的值．
【详解】解：∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP，
∴12|k|+12×|8|=14，
∴|k|=20，
而k＜0，
∴k=-20．
故答案为-20．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，解题的关键是知道在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了反比例函数与一次函数的交点问题．
34．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，A、B两点在双曲线y= 6x（x>0）的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=

【答案】10
【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=6x的系数k，由此即可求出S1+S2．
【详解】∵点A、B是双曲线y=6x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=6，
∴S1+S2=6+6-1×2=10．
故答案是：10．
【点睛】考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，解题关键是求得两个矩形的面积都等于|k|=6．
35．（2022·江苏连云港·统考一模）如图，矩形ABCD的对角线BD经过的坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k2+4k+1x的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为 ．
【答案】1或﹣5
【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=6，再解出k的值即可．
【详解】如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形CEOF=S四边形HAGO=2×3=6，
∴xy=k2+4k+1=6，
解得k=1或k=﹣5．
故答案为1或﹣5．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，解题的关键是判断出S四边形CEOF=S四边形HAGO．
36．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，P是反比例函数y=kx图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，连接OP．若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为 ．
【答案】y＝2x．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积＝12k，再根据图象所在象限求出k的值即可．
【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得，
△PAO面积等于12k，
即12k=1，
k＝±2，
由于函数图象位于第一、三象限，则k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝2x；
故答案为y＝2x．
【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k．
37．（2023·江苏·模拟预测）如图，已知双曲线y=18xx0，直线OA与双曲线y=18x交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=18x交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y=kx交于点C，S△ABC=9，BP：CP=2：1，则k的值为 ．
【答案】-92
【分析】连接OB,OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于点F，得出△BEP∽△CFP，依题意S△OBC=S△ABC=9，根据PB:PC=2:1得出S△OPB=6,S△OPC=3，进而得出S△PBE=3，根据相似三角形的性质得出S△CFP=34，进而得出S△OCF=94，根据k的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OB,OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于点F，
∴ BE∥CF，
∴ △BEP∽△CFP，
∵OA∥BC，
∴S△OBC=S△ABC=9，
∵PB:PC=2:1，
∴S△OPB=6,S△OPC=3，
∵S△OBE=12×18=9，
∴S△PBE=3，
∵△BEP∽△CFP，
∴S△CFP=3×14=34，
∴S△OCF=3-34=94，
∴k=-2×94=-92．
故答案为：-92．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，反比例函数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
38．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）函数y=4x和y=1x在第一象限内的图像如图，点P是y=4x的图像上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=1x的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图像于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=13AP．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由于A、B是反比函数y=1x上的点，可得出S△OBD＝S△OAC=12故①正确；只有当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【详解】解：∵A、B是反比函数y=1x上的点，
∴S△OBD＝S△OAC=12，故①正确；
设点P（a,4a） 则点A（a,1a），点B（a4,4a）
∴PA=4a-1a=3a ，PB=a-a4=3a4 ；
∴只有当P的横纵坐标相等且为2时PA＝PB，故②错误；
∵P是反比例函数y=4x上的点，
∴S矩形PDOC＝4，
∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC＝4-12-12=3，故③正确；
连接OP，
∵S△POCS△OAC=PCAC=212=4，
∴AC=14PC，PA=34PC，
∴PAAC=3，
∴CA=13AP，故④正确．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
39．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，设点P在函数y=6x的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y=2x 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y=2x的图象于点B，则四边形PAOB的面积为 ．
【答案】4
【详解】S四边形PAOB=S矩形OCPD-SΔOBD-SOCA
=6-12×2-12×2
＝6－1－1
＝4
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何意义及割补法求图形的面积．通过观查可知，所求四边形的面积等于矩形OCPD的面积减去△OBD和△OCA的面积，而矩形OCPD的面积可通过y=6x的比例系数求得；△OBD和△OCA的面积可通过y=2x的比例系数求得，从而用矩形OCPD的面积减去△OBD和△OCA的面积即可求得答案．
40．（2022·广东广州·广东华侨中学校考二模）如图，一直线经过原点O,且与反比例函数y=3x相交于点A，点B,过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．则△ABC面积为 ．
【答案】3
【分析】由AC⊥y轴，可得S△ACO=12|k|=32,再由一直线经过原点O,且与反比例函数y=3x相交于点A，点B,可得A,B关于原点O对称，可得OA=OB, 可得S△BOC=S△AOC=32， 于是可得答案．
【详解】解：∵ AC⊥y轴，
∴S△ACO=12|k|=12×3=32,
∵ 一直线经过原点O,且与反比例函数y=3x相交于点A，点B,
∴A,B关于原点O对称，
∴OA=OB,
∴S△BOC=S△AOC=32，
∴S△ABC=2S△AOC=2×32=3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查的是反比例函数的k的几何意义，反比例函数图像的对称性，掌握以上知识是解题的关键．
41．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，正比例函数 y=kx 与反比例函数 y=1x 的图象相交于点 A，B，过 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C，连接 AC，则 △ABC 的面积是 ．

【答案】1
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BOC=12，然后根据一次函数和反比例函数的中心对称性得出S△ABC=2S△OBC=1．
【详解】解：∵点B在y=1x上，且BC⊥x轴，
∴S△BOC=12k=12，
∵正比例函数 y=kx 与反比例函数 y=1x 的图象相交于点 A，B，
∴点A、B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△ABC=2S△OBC=1；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和反比例函数的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题关键．
42．（2022秋·安徽六安·九年级统考期中）如图，点P是反比例函数y＝kx（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于
【答案】-4
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到12|k|=2，然后根据反比例函数所在的象限确定k的值．
【详解】∵△POM的面积等于2，∴12|k|=2．
∵反比例函数图象过第二象限，∴k＜0，∴k=﹣4．
故答案为﹣4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
43．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P在反比例函数y=k+1xk≠-1,x0)的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线段，垂足分别为点A、B，交函数y=kx(k>0)的图像与点C、D，连接AB、CD，且S△PCD:S△PAB=4:9，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】先求出S△PCD=43，设P点的坐标是（m, 6m），得出S△PCD=12 ×( m-km6)×(6m-km)=43，求解即可得到k的值.
【详解】解：∵点P是函数y=6x(x>0)的图像上一点，
∴S△PAB=3，
∵S△PCD:S△PAB=4:9，
∴S△PCD=43，
设P点的坐标是（m, 6m）,则D点的坐标是（km6, 6m）,C点的坐标是（m, km）,
∴PD=m-km6,PC=6m-km,
∴S△PCD=12 ×( m-km6)×(6m-km)=43,
解得k=±2，
∵k＞0，
∴k=2,
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，正确理解k的几何意义是解决本题的关键.
46．（2022·山东威海·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（0，10）、（4，0），反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限内的图象过矩形OABC的对角线的交点M，并与AB、BC分别交于点E、F，连接OE、EF、OF，则△OEF的面积为 ．
【答案】754．
【详解】试题解析：∵矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（0，10）、（4，0），
∴B（4，10），
∵M是矩形OABC对角线的交点，
∴OM=MB，
∴M点的坐标是（2，5），
把x=2，y=5代入y=kx(k≠0)，得k=10，
∴反比例函数的解析式为y=10x，
当y=10时，x=1，∴E（1，10）；
当x=4时，y=52，∴F（4，52）．
△OEF的面积=S矩形OABC-S△OAE-S△BEF
=10×4-12×10×1-12×4×52-12×3×152
=40-5-5-454
=754．
考点：1.矩形的性质;2.待定系数法求反比例函数的解析式;3.反比例函数图象上点的坐标特征;4.三角形的面积.
47．（2022春·九年级单元测试）如图，在矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y=kx（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF=2S△BEF，则k值为 ．
【答案】23
【分析】设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（m2 ，2），根据三角形面积公式得到S△BEF=12（1-m2）（2-m），根据反比例函数k的几何意义得到S△OFC=S△OAE=12m，由于S△OEF=S矩形ABCO-S△OCF-S△OEA-S△BEF，列方程即可得到结论．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，BA⊥OA，A（1，0），
∴设E点坐标为（1，m），则F点坐标为（m2 ，2），
则S△BEF=12（1-m2）（2-m），S△OFC=S△OAE=12m，
∴S△OEF=S矩形ABCO-S△OCF-S△OEA-S△BEF=2-12m-12m-12（1-m2）（2-m），
∵S△OEF=2S△BEF，
∴2-12m-12m-12（1-m2）（2-m）=2•12（1-m2）（2-m），
整理得34（m-2）2+m-2=0，解得m1=2（舍去），m2=23，
∴E点坐标为（1，23）；
∴k=23，
故答案为23.
【点睛】本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．
48．（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数y=kxk≠0的图象上，AB交x轴于点C，OA=OB，∠AOB=120°，△AOC的面积为4，则k= ．

【答案】6
【分析】先作BD⊥x轴，于点D，求出S△BOC，再证明△ACO∼△BCD，即可得出S△OBD，然后根据k的几何意义得出答案．
【详解】如图，过点B作BD⊥x轴，于点D．
∵∠AOB=120°，∠AOC=90°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOC=120°-90°=30°，
∴BD=12OB.
∵OA=OB，
∴BD=12OB=12OA，
∴S△BOC=12S△AOC=2.
∵∠ACO=∠BCD，∠AOC=∠BDC=90°，
∴△ACO∼△BCD，
∴BDAO=12，
∴S△BCDS△ACO=14，
∴S△BCD=1，
∴S△OBD=3，
∴S△OBD=12k．
∵图象位于第一象限，
∴k＞0，
∴k=6．
故答案为：6．

【点睛】本题主要考查了反比例函数关系式中k的几何意义，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
49．（2022秋·八年级单元测试）如图，面积为6的矩形OABC的顶点B在反比例函数y=kxx