微专题02 根与系数的应用通关专练-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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1．（2022秋·江苏盐城·九年级阶段练习）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）若x1,x2是一元二次方程x2−2x−1=0的两个根，则x12−x1+x2的值为( )
A．3B．2C．1D．−1
3．（2023·浙江金华·统考中考真题）一元二次方程的两根为，则下列结论正确的是（ )
A．B．
C．D．
4．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）以x=3±9+4c2为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2−3x−c=0B．x2+3x−c=0C．x2−3x+c=0D．x2+3x+c=0
5．（2022秋·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a−c≠0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
6．（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）设m、n是一元二次方程x2−4x+3=0的两个根，则m2−3m+n=（ ）
A．−1B．1C．−17D．17
7．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）已知m，n是一元二次方程x2−4x−3=0的两个实数根，则m+n的值为（ ）．
A．4B．3C．−3D．−4
8．（2022秋·江苏无锡·九年级阶段练习）已知一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别是2+和2﹣，则b、c的值为（ ）
A．4、1B．﹣4、1C．﹣4、﹣1D．4、﹣1
9．（2022秋·全国·九年级统考期中）已知x=−2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个解，则此方程的另一个解是（ ）
A．x=0B．x=−2C．x=2D．x=−14
10．（2022秋·八年级单元测试）若关于x的方程2x2－ax＋2b=0的两根和为4，积为－3，则a，b分别为( )
A．a=－8，b=－6B．a=4，b=－3C．a=3，b=8D．a=8，b=－3
11．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期中）关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个一元二次方程可以是（ ）
A．x2−3x+2=0B．x2−2x−3=0C．x2+3x+2=0D．x2+3x−2=0
12．（2022秋·九年级单元测试）对于一元二次方程ax2+bx+c=0，下列说法：①若b=a+c，则方程必有一根为x=-1；②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；③若b2＞4ac，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实数根；其中正确结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
13．（2022秋·山东济宁·九年级校考期中）若m、n是方程x2+2018x−1=0的两个根，则m2n+mn2−mn=（ ）
A．－2023B．2023C．－2023D．2023
14．（2023春·广东惠州·九年级博罗县平安中学校考开学考试）已知3是关于x的方程x2﹣5x+c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣2B．2C．5D．6
15．（2022秋·九年级课时练习）若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则 （ ）
A．a≤-14B．a≥-14C．a≥-14且a≠2D．a>2
二、填空题
16．（2022·新疆哈密·九年级校考期中）已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两个根，则x1+x2= ．
17．（2022秋·九年级单元测试）方程x2−3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2−4a−b的值为 ．
18．（2023·安徽阜阳·一模）若方程x2−2x−4=0的两个实数根为a，b，则a+b−ab= ．
19．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考阶段练习）一元二次方程x2+6x﹣1=0与x2﹣x+7=0的所有实数根的和等于 ．
20．（2023·浙江杭州·九年级）方程x2+18x+30=2x2+18x+45的实根的乘积为 ．
21．（2022秋·山东德州·九年级校考阶段练习）已知方程x2﹣3x＋1＝0的两个根是x1,x2，则：x12+x22＝ ．
22．（2022秋·天津东丽·九年级统考期末）一元二次方程x2−5x−10=0的两根之和为 ．
23．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）方程x2+x−2=0的两个根分别为m,n，则1m+1n的值为 ．
24．（2023春·八年级课时练习）如果x1、x2是方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根，那么 =−ba， =ca．
25．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知关于 x 的一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根为x1，x2，且1x1+1x2=23，则 a的值为 ．
三、解答题
26．（2023春·八年级课时练习）已知关于x的方程x2−2m+1x+m2=0．
(1)当m取什么值时，一元二次方程没有实数根？
(2)对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的差的平方．
27．（2022秋·九年级单元测试）关于x的一元二次方程m−2x2−2x+1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m为正整数时，求x12+x22的值．
28．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的方程x2+m−2x−9=0．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根α，β，满足2α+β=m+1，求m的值．
29．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：
已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，则m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数a，b满足：a2−7a+1=0，b2−7b+1=0，且a≠b，则a+b=_____，ab=______；
(2)间接应用：在（1）条件下，求1a+1b的值；
(3)拓展应用：已知实数m，n满足：1m2+1m=7，n2−n=7且mn+1≠0，则1m−n=______．
30．（2022秋·江西新余·九年级新余市第一中学校考阶段练习）已知△ABC的两边AB、AC （AB＜AC）的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k＋1）x＋k2＋k＝0的两个实数根，第三边长为5
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
31．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2-2mx+2m-1＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根．
（2）若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根．
32．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−ax+a−1=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
33．（2022春·浙江杭州·八年级统考阶段练习）已知一元二次方程mx2＋nx－(m＋n)＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．
34．（2022春·八年级课时练习）已知：x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a>0,b2−4ac≥0)的两个根．
求证：|x1−x2|=b2−4aca．
35．（2022秋·福建漳州·九年级校联考期中）已知关于x的一元二次方程x2−mx+2m−5=0
(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根．
(2)若该一元二次方程有一个根大于3，另一个根小于3，求m的取值范围．
(3)若x1，x2是该方程的两个根，且x1−1x2−1=n，试判断动点Pm，n所形成的图像是否经过6，2，并说明理由．