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甘肃省武威市 凉州区怀安镇九年制学校联片教研2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（共30分）
1. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
2. 下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
【详解】解：A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意；
B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意；
D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意．
故选：C．
3. 如图所示，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，点B，，垂足为点M，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟记图形性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
4. 如图，下列推理不正确的是（ ）
A. ∵，∴
B. ∵，∴
C. ∵，∴
D. ∵，∴
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．
本题主要利用平行线的性质以及平行线的判定，采用逐一检验法进行做题．
【详解】解：A、∵，
∴，正确；
B、∵，
∴，原说法错误；
C、∵，
∴，正确；
D、∵，
∴，正确；
故选：B．
5. 如图，为一条长方形纸带，，将沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．如图，由折叠的性质可知，已知，根据两直线平行，内错角相等可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，由折叠的性质可知，
∵，，
∴，
∴，
∴，即；
故选C．
6. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐个判断各个选项，即可进行解答．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、∵，∴无意义，故B不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的计算方法，以及算术平方根的被开方数不能为负数．
7. 的立方根是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的立方根．根据求一个数的立方根进行计算即可求解．
【详解】解：，
∴的立方根是，
故选：A．
8. 如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用某个“美丽点”到轴距离为，得出的值，进而求出的值求出答案．
【详解】解：某个“美丽点”到轴的距离为，
，
，
，
解得或，
则点的坐标为：或
故选：D．
【点睛】此题主要考查了新定义，点的坐标，点到坐标轴的距离，正确分类讨论是解题关键．
9. 已知点Q的坐标为，点P的坐标为，若直线轴，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直角坐标系中垂直于轴或平行于轴的直线上的点的纵坐标相同的特点进行计算即可．
【详解】解：∵点Q的坐标为，点P的坐标为，直线轴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是掌握坐标系中点的坐标的特点和图形的性质．
10. 如图，面积为2的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积为2，求出边长为，再根据两点间的距离公式，求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积为2，
∴，
∵点表示的数为，
∴点表示的数为；
故选D．
二、填空题（共24分）
11. 如图，直线和直线相交于点，若，则的度数是_____．
【答案】##135度
【解析】
【分析】由图可知，由于两线相交于一点，产生2组对顶角对应相等，进而利用邻补角的定义得出答案．
【详解】解：，，
，
．
【点睛】本题考查了对顶角的性质和邻补角的定义，熟练掌握知识点，找到等量关系是解题的关键．
12. 如图，直线，被所截，则的同旁内角是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角是解题的关键．
【详解】解：的同旁内角是，
故答案为：．
13. 如图，，在不添加其他辅助线的情况下，若要使直线，则需要添加的条件为______（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
详解】解：添加，根据，内错角相等，两直线平行，可以判定；
添加，根据，同旁内角互补，两直线平行，可以判定．
故答案为：．（答案不唯一）
14. 如果的平方根是±3，则＝__________．
【答案】4
【解析】
【详解】先利用平方根及算术平方根的定义求出a的值，再代入求值即可.
解：∵的平方根是±3，
∴＝9，
∴
＝＝＝4.
故答案为4.
15. 比较大小：______．
【答案】
【解析】
【分析】作差法进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握“实数的大小比较的方法”是解本题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，如果点在第四象限，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定在第四象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：∵点点在第四象限，
∴，
解得：，
即的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标与解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
17. 已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质，根据题意得到图形，由两边分别平行于的两边，分两种情况，根据两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，分别进行求解．
【详解】解：如图，的两边分别平行于的两边，分两种情况，
，
，，
，
，
；
，
，，
，
，
，
故答案为：或．
18. 如图，直线经过原点，若、、，为线段上一动点．当取最小值时，___________．
【答案】8
【解析】
【分析】分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，得出，，，最后利用代入求解即可．
【详解】解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，
∵、、，
∴，，，
∵当时，取最小值，
∵，
∴，即
解得，，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
三、计算题（共8分）
19. 计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）7；（2）24
【解析】
【分析】（1）实数的混合运算，先分别化简算术平方根，立方根，然后再计算；
（2）实数的混合运算，先化简绝对值，有理数的乘方，然后再计算．
【详解】解：（1）原式=7-3+3
=7；
（2）原式=
=24
【点睛】本题考查实数的混合运算，理解算术平方根和立方根的概念，掌握实数混合运算的顺序和计算法则准确计算是解题关键．
四、作图题（共6分）
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．将三角形向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形，其中点，，分别与点，，对应．
（1）画出平移后的三角形；
（2）直接写出，，三个点坐标；
【答案】（1）画图见解析
（2），，
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移：
（1）根据平移方式找出对应边坐标，顺次连接即可；
（2）根据，，在坐标系内的位置可直接写出坐标．
【小问1详解】
解：如图所示，则即为所作．
【小问2详解】
解：由图可知：，，．
五、解答题（共52分）
21. 已知：如图，点，，分别在线段，，上，连接、，平分交于点，试说明：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】先证明，从而得到，推出，，再根据角平分线的定义即可解决问题．
【详解】证明：，，
，
，
，，
平分，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握判定与性质．
22. 如图，，．
（1）与平行吗？试说明理由；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，同旁内角互补，两直线平行；
（2）根据平行直线的性质和角平分线的性质得到，再证明，即可得到．
【小问1详解】
，理由：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行直线、角平分线、垂线的性质，解题的关键是熟练掌握平行直线、角平分线、垂线的相关知识．
23. 已知的立方根是，的算术平方根是4，求的平方根．
【答案】的平方根为
【解析】
【分析】由题意可得 ，，求得a与b的值，即可求得平方根．
【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平方根与立方根的概念、求一个数的平方根，掌握这些知识是基础与关键．
24. 先化简，再求值：，其中是的立方根．
【答案】，
【解析】
【分析】先把除法变为乘法，分解因式约分，再算减法，然后根据是的立方根，可以得到的值，再将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
是的立方根，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
25. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
（1）若点A在轴上，求出点A的坐标；
（2）若点A到轴的距离为，求出点A的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由轴上的点的横坐标为，可得，从而可解得的值，再将的值代入计算，则可得答案；
（2）根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值求解即可．
【小问1详解】
解：点A的坐标为，点A在轴上，
，
，
∴，
点A的坐标为；
【小问2详解】
解：点A到轴的距离为，
，
解得或，
当时，点A的坐标为；
当时，点A的坐标为．
综上所述，点A坐标为或．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
26. 已知点，解答下列问题：
（1）若点B的坐标为，且轴，求a的值；
（2）若点A在第四象限，且a是整数，求点A的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线轴，得到A，B横坐标相等，纵坐标不等，列出方程求出的值即可；
（2）根据题意得：，，求出a的取值范围，再根据a是整数求出的值，即可求点A的坐标．
【小问1详解】
直线轴，
且，
；
【小问2详解】
点在第四象限，
解得：，
∵a是整数，
∴，
；
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，直线轴，得到A，B横坐标相等是解题的关键．
27. 已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60°
【解析】
【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；
（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；
（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
一、选择题（共30分）
1. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
2. 下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
【详解】解：A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意；
B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意；
D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意．
故选：C．
3. 如图所示，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，点B，，垂足为点M，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟记图形性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
4. 如图，下列推理不正确的是（ ）
A. ∵，∴
B. ∵，∴
C. ∵，∴
D. ∵，∴
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．
本题主要利用平行线的性质以及平行线的判定，采用逐一检验法进行做题．
【详解】解：A、∵，
∴，正确；
B、∵，
∴，原说法错误；
C、∵，
∴，正确；
D、∵，
∴，正确；
故选：B．
5. 如图，为一条长方形纸带，，将沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．如图，由折叠的性质可知，已知，根据两直线平行，内错角相等可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，由折叠的性质可知，
∵，，
∴，
∴，
∴，即；
故选C．
6. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐个判断各个选项，即可进行解答．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、∵，∴无意义，故B不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的计算方法，以及算术平方根的被开方数不能为负数．
7. 的立方根是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的立方根．根据求一个数的立方根进行计算即可求解．
【详解】解：，
∴的立方根是，
故选：A．
8. 如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用某个“美丽点”到轴距离为，得出的值，进而求出的值求出答案．
【详解】解：某个“美丽点”到轴的距离为，
，
，
，
解得或，
则点的坐标为：或
故选：D．
【点睛】此题主要考查了新定义，点的坐标，点到坐标轴的距离，正确分类讨论是解题关键．
9. 已知点Q的坐标为，点P的坐标为，若直线轴，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直角坐标系中垂直于轴或平行于轴的直线上的点的纵坐标相同的特点进行计算即可．
【详解】解：∵点Q的坐标为，点P的坐标为，直线轴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是掌握坐标系中点的坐标的特点和图形的性质．
10. 如图，面积为2的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积为2，求出边长为，再根据两点间的距离公式，求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积为2，
∴，
∵点表示的数为，
∴点表示的数为；
故选D．
二、填空题（共24分）
11. 如图，直线和直线相交于点，若，则的度数是_____．
【答案】##135度
【解析】
【分析】由图可知，由于两线相交于一点，产生2组对顶角对应相等，进而利用邻补角的定义得出答案．
【详解】解：，，
，
．
【点睛】本题考查了对顶角的性质和邻补角的定义，熟练掌握知识点，找到等量关系是解题的关键．
12. 如图，直线，被所截，则的同旁内角是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角是解题的关键．
【详解】解：的同旁内角是，
故答案为：．
13. 如图，，在不添加其他辅助线的情况下，若要使直线，则需要添加的条件为______（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
详解】解：添加，根据，内错角相等，两直线平行，可以判定；
添加，根据，同旁内角互补，两直线平行，可以判定．
故答案为：．（答案不唯一）
14. 如果的平方根是±3，则＝__________．
【答案】4
【解析】
【详解】先利用平方根及算术平方根的定义求出a的值，再代入求值即可.
解：∵的平方根是±3，
∴＝9，
∴
＝＝＝4.
故答案为4.
15. 比较大小：______．
【答案】
【解析】
【分析】作差法进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握“实数的大小比较的方法”是解本题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，如果点在第四象限，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定在第四象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：∵点点在第四象限，
∴，
解得：，
即的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标与解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
17. 已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质，根据题意得到图形，由两边分别平行于的两边，分两种情况，根据两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，分别进行求解．
【详解】解：如图，的两边分别平行于的两边，分两种情况，
，
，，
，
，
；
，
，，
，
，
，
故答案为：或．
18. 如图，直线经过原点，若、、，为线段上一动点．当取最小值时，___________．
【答案】8
【解析】
【分析】分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，得出，，，最后利用代入求解即可．
【详解】解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，
∵、、，
∴，，，
∵当时，取最小值，
∵，
∴，即
解得，，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
三、计算题（共8分）
19. 计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）7；（2）24
【解析】
【分析】（1）实数的混合运算，先分别化简算术平方根，立方根，然后再计算；
（2）实数的混合运算，先化简绝对值，有理数的乘方，然后再计算．
【详解】解：（1）原式=7-3+3
=7；
（2）原式=
=24
【点睛】本题考查实数的混合运算，理解算术平方根和立方根的概念，掌握实数混合运算的顺序和计算法则准确计算是解题关键．
四、作图题（共6分）
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．将三角形向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形，其中点，，分别与点，，对应．
（1）画出平移后的三角形；
（2）直接写出，，三个点坐标；
【答案】（1）画图见解析
（2），，
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移：
（1）根据平移方式找出对应边坐标，顺次连接即可；
（2）根据，，在坐标系内的位置可直接写出坐标．
【小问1详解】
解：如图所示，则即为所作．
【小问2详解】
解：由图可知：，，．
五、解答题（共52分）
21. 已知：如图，点，，分别在线段，，上，连接、，平分交于点，试说明：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】先证明，从而得到，推出，，再根据角平分线的定义即可解决问题．
【详解】证明：，，
，
，
，，
平分，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握判定与性质．
22. 如图，，．
（1）与平行吗？试说明理由；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，同旁内角互补，两直线平行；
（2）根据平行直线的性质和角平分线的性质得到，再证明，即可得到．
【小问1详解】
，理由：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行直线、角平分线、垂线的性质，解题的关键是熟练掌握平行直线、角平分线、垂线的相关知识．
23. 已知的立方根是，的算术平方根是4，求的平方根．
【答案】的平方根为
【解析】
【分析】由题意可得 ，，求得a与b的值，即可求得平方根．
【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平方根与立方根的概念、求一个数的平方根，掌握这些知识是基础与关键．
24. 先化简，再求值：，其中是的立方根．
【答案】，
【解析】
【分析】先把除法变为乘法，分解因式约分，再算减法，然后根据是的立方根，可以得到的值，再将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
是的立方根，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
25. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
（1）若点A在轴上，求出点A的坐标；
（2）若点A到轴的距离为，求出点A的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由轴上的点的横坐标为，可得，从而可解得的值，再将的值代入计算，则可得答案；
（2）根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值求解即可．
【小问1详解】
解：点A的坐标为，点A在轴上，
，
，
∴，
点A的坐标为；
【小问2详解】
解：点A到轴的距离为，
，
解得或，
当时，点A的坐标为；
当时，点A的坐标为．
综上所述，点A坐标为或．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
26. 已知点，解答下列问题：
（1）若点B的坐标为，且轴，求a的值；
（2）若点A在第四象限，且a是整数，求点A的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线轴，得到A，B横坐标相等，纵坐标不等，列出方程求出的值即可；
（2）根据题意得：，，求出a的取值范围，再根据a是整数求出的值，即可求点A的坐标．
【小问1详解】
直线轴，
且，
；
【小问2详解】
点在第四象限，
解得：，
∵a是整数，
∴，
；
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，直线轴，得到A，B横坐标相等是解题的关键．
27. 已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60°
【解析】
【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；
（2）如图2，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明；
（3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
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