甘肃省武威市凉州区中坝九年制学校联片教研2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共30分）
1. 如图，∠B的内错角可以是（ ）
A. ∠1B. ∠2C. ∠3D. ∠4
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形根据内错角的定义即可作答．
【详解】根据图形可知：∠B的同位角是∠4，内错角是∠2，同旁内角是∠3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了内错角的定义．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
2. 如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
①∵，，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
即，
故②正确；
③由①可得，
∴，
∴，即，
又，
∴，
即，
将代入，
化简可得：，
故③正确；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
故④正确；
正确的个数共有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键．
3. 如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，
先根据平行线的性质求出的度数，再由余角的定义得到的度数，再次利用平行线的性质求出的度数，即可得出结论．
【详解】如图，∵，，
∴，
∵与互余，
∴，
又
∴．
故选：A．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 互补的两个角是邻补角
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 对顶角相等
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相关等知识，难度不大．利用邻补角的定义、垂直的判定方法、对顶角的性质、平行线的性质，逐项分析判断后即可．
【详解】解：A. 互补的两个角不一定是邻补角，故原命题是假命题，不符合题意；
B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题，不符合题意；
C. 对顶角相等，该命题是真命题，符合题意；
D. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
5. 下列数是无理数的是（ ）
A. B. πC. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A. 是分数，是有理数，不符合题意；
B. π是无理数，符合题意；
C.0是有理数，不符合题意；
D. =2，是有理数，不符合题意；
故选择：B
【点睛】本题主要考查了无理数定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6. 估计在哪两个相邻整数之间（ ）
A. 2和3B. 3和4C. 4和5D. 5和6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，根据估算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 式子中，x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式的被开方数是非负数，进而得出答案．
【详解】解：式子有意义，则x-2≥0，
解得：x≥2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
8. 若点在第四象限，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】因为点在第四象限，可确定的取值范围，从而可得的符号，即可得出所在的象限.
【详解】解：∵点在第四象限，
，
，
∴点第二象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
9. 在平面直角坐标系中，点A(x，y)，B(3，4)，AB＝5，且AB∥x轴，则A点坐标为（ ）
A. (﹣3，4)B. (8，4)
C. (3，9)或(﹣2，4)D. (﹣2，4)或(8，4)
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行x轴的坐标特点解答即可．
【详解】解：∵AB∥x轴，B(3，4)，
∴点A的纵坐标为4，
∵AB＝5，
∴点A的横坐标为3﹣5＝﹣2或3＋5＝8，
∴A点坐标为(﹣2，4)或(8，4)，
故选：D．
【点睛】此题考查坐标与图形性质，关键是根据平行x轴的坐标特点解答．
10. 在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得的长，从而求出的长即可．
【详解】解：如图：

解：∵，
∴，
∵，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点
∴，
∴，
∵点为轴负半轴上的点，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，明确是解题的关键．
二、填空题（共24分）
11. 如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内．经测量，要使木条，则的度数应为________．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解本题的关键．
【详解】解：当时，则，
∴，
故答案为：
12. 将一块三角板（，）按如图所示方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，下列三个条件：①；②，；③．其中能判断直线的有________．（填序号）
【答案】②③
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴不一定等于，
∴m和n不一定平行，故①不符合题意；
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
故答案为：②③．
13. 请将命题“邻补角互补”写成“如果……那么……”的形式：______．
【答案】如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
【解析】
【分析】根据题意，分清命题的条件和结论，即可．
【详解】命题“邻补角互补”写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．
故答案为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．
【点睛】本题考查命题的定义，解题的关键是理解命题的条件和结论．
14. 如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其他部分都是草地，则草地的面积为__________平方米．
【答案】（ab﹣2b）
【解析】
【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是2米，高是b米的平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可．
【详解】解：由题可得，草地的面积是(ab﹣2b)平方米．
故答案为：(ab﹣2b)．
【点睛】本题考查了平移的实际应用．化曲为直是解题的关键．
15. 比较实数大小：______（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据无理数的估算得到，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查比较实数大小．熟练掌握无理数的估算，是解题的关键．
16. 若，则的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查非负数性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．
17. 以方程组的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置在第_____象限．
【答案】二
【解析】
【分析】先求出方程组的解，得出点的坐标，再得出答案即可．
【详解】解：∵解方程组得：，
∴以方程组的解为坐标的点是（﹣1，1），
∴点在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解、平面直角坐标系象限的综合应用，熟练求解二元一次方程组并深刻理解平面直角坐标系各象限点的坐标特征是解题关键．
18. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在第四象限和第四象限点的坐标的特点，可以得到关于的不等式组，从而可以得到的取值范围．
【详解】解：点在第四象限，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限点的坐标的符号是，列出相应的不等式组．
三、计算题（共6分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用绝对值的性质、二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题关键．
四、作图题（共4分）
20. 如图，在三角形中，交于点D，利用尺规作图法在上求作点E，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】要想，则要是，因此只需要作即可．
【详解】解：如图所示，点E即为所求．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知平行线的性质和判定条件是解题的关键．
五、解答题（共56分）
21. 如图，，．
（1）与平行吗？试说明理由；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，同旁内角互补，两直线平行；
（2）根据平行直线的性质和角平分线的性质得到，再证明，即可得到．
【小问1详解】
，理由：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行直线、角平分线、垂线的性质，解题的关键是熟练掌握平行直线、角平分线、垂线的相关知识．
22. 如图,直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．
【答案】50°
【解析】
【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠1=65°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°，
∴∠BDE=180°﹣∠ABD=50°，
∴∠2=∠BDE=50°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD的度数，题目较好，难度不大．
23. 如图，CE⊥DG，垂足为G，∠BAF=50°，∠ACE=140°．CD与AB平行吗？为什么？
【答案】AB∥CD．
【解析】
【分析】结论：AB∥CD，只要证明∠BAF=∠ACG即可．
【详解】解：结论：AB∥CD．
理由：∵CE⊥DG，
∴∠ECG=90°，
∵∠ACE=140°，
∴∠ACG=50°，
∵∠BAF=50°，
∴∠BAF=∠ACG，
∴AB∥DG．
【点睛】本题考查平行线的判定，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24. 若，求的立方根．
【答案】1
【解析】
【分析】根据算术平方根和绝对值非负性得到方程组，解之得到x，y的值，代入计算，即可求出立方根．
详解】解：∵，
∴，，
∴，解得：，
∴，
∴的立方根为1．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握方程组的解法及非负数的性质是解本题的关键．
25. 若实数的一个平方根是，的立方根是，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平方根的定义得到a+9=25，解得a=16，再利用立方根的定义得到2b-a=-8，则可求出b=4，接着计算出=6，然后根据平方根的定义求解．
【详解】解：∵的一个平方根为，
∴，
，
又∵立方根为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴6的平方根为．
【点睛】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作： ．也考查了平方根．
26. 如图，建立平面直角坐标系，使点B的坐标为，点C的坐标为，并写出点A的坐标．
【答案】平面直角坐标系见解析，
【解析】
【分析】根据点B的坐标为，点C的坐标为找到坐标原点，建立坐标系，再写出点A的坐标即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系如下：
点A的坐标是．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系，点的坐标等知识，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
27. 写出如图中△ABC各顶点的坐标且求出此三角形的面积．

【答案】A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），三角形的面积是9.5．
【解析】
【分析】首先根据坐标的定义正确写出三个顶点的坐标，再根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算．
【详解】解：根据图形得：A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），
三角形的面积是=5×4-6-2-2.5=9.5．
故答案为A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），三角形的面积是9.5．
【点睛】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积．
28. 已知：如图，，平分，D是边上一点，将射线沿平移至射线，交于点F，E在F右侧，M是射线上一点（与D不重合），N是线段上一点（与D，F不重合），连接，.

（1）请在图1中根据题意补全图形；
（2）求的度数（用含，的式子表示）；
（3）点G在射线OF上（与O，F不重合），且满足，画出符合题意的图形，并探究与的数量关系.
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）图见解析，．
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）利用三角形的外角的性质以及平移的性质解决问题即可；
（3）结论：．利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【小问1详解】
解：图形如图1所示：
；
【小问2详解】
解：∵将射线 沿平移至射线，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：结论：．
理由：如图，设直线交于H．．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵
，
∴．
【点睛】本题考查平移变换，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．