2024年广东省汕头市金平区汕樟中学中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省汕头市金平区汕樟中学中考数学一模试卷，共18页。

1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
2．（3分）在下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2﹣2xy+y2＝0
C．（x+3）（2x﹣5）＝0D．x3+x+1＝0
3．（3分）直线y＝bx+c（bc≠0）关于原点对称的直线为（ ）
A．y＝cx+bB．y＝﹣bx+cC．y＝﹣bx﹣cD．y＝bx﹣c
4．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列关于二次根式的计算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（ ）
A．c＜B．c＜C．c＞D．c＞
7．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4
B．2a2×2a2＝2a4
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．（4ab+1）（4ab﹣1）＝16a2b2﹣1
8．（3分）如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（ ）
A．B．4cmC．D．6cm
9．（3分）如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．（2，2）
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣1）．已知点A在（﹣4，0）与（﹣3，0）之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线x＝﹣2．下列结论中正确的个数是（ ）
①abc＜0；
②；
③；
④若三点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）均在函数图象上，则y3＞y2＞y1；
⑤若a＝﹣1，则△ABD是等边三角形．
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：×＝ ．
12．（3分）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，则∠BAF＝ ．
13．（3分）不等式组的解是 ．
14．（3分）小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小聪与小明出发 min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 m/min．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
17．（8分）已知＝2，求（+）÷的值．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，已知A（1，1），B（3，2），C（2，4）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1
（2）作出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，作出平移后的△A3B3C3．
19．（9分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC＝BC，求证：BC是⊙O的切线．
20．（9分）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．AC＝BC．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
21．（9分）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：DE2＝AE•FE；
（3）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．
23．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）和B（4，0）交y轴于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，在第一象限有一点M，到O点距离为2，线段BN与BM的夹角为45°，且BN＝BM，连接CN，求CN的长度；
（3）对称轴交抛物线于点D，交BC交于点E，在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线手点P，动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2． 解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、方程整理得2x2+x﹣15＝0是一元二次方程，故C符合题意；
D、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故D不符合题意．
故选：C．
3． 解：直线y＝bx+c（bc≠0）关于原点对称的直线为y＝bx﹣c．
故选：D．
4． 解：A、＝，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、，是最简二次根式，故此选项正确；
C、＝2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、＝，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
5． 解：A、无法合并，选项错误，故A不符合题意；
B、，选项错误，故B不符合题意；
C、，选项正确，故C符合题意；
D、，选项错误，故D不符合题意；
故选：C．
6． 解：由题意可知：Δ＝9﹣4c＜0，
∴c＞，
故选：D．
7． 解：a2+a2＝2a2，故选项A错误，不符合题意；
2a2×2a2＝4a4，故选项B错误，不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C错误，不符合题意；
（4ab+1）（4ab﹣1）＝16a2b2﹣1，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
8． 解：∵DE⊥AB，E为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠CAD＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝30°，
∵∠C＝90°，AD＝3cm，
∴CD＝AD＝cm，
由勾股定理得：AC＝＝＝（cm），
∴AB＝2AC＝3cm，
∴BE＝AE＝AB＝（cm），
故选：A．
9． 解：过C作CD⊥OA于D，如图：
则∠ODC＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝4，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣∠AOC＝30°，
∴OD＝OC＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
故选：A．
10． 解：∵图象的开口向下，
∴a＜0，
∵图象与y轴的交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∵抛物线的对称轴为﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝4a＜0，
∴abc＜0，
∴①符合题意，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴4c＞，
∴②不符合题意，
由题意得：y＝ax2+bx+c＝ax2+4ax﹣1＝a（x+2）2﹣4a﹣1，
∵当y＝0时，较小的一个根为﹣﹣2，
∴﹣﹣2＜﹣3，
解得a＜﹣，
∴③不合题意，
∵点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）中，到对称轴直线x＝﹣2距离最大的是（1，y3），到（﹣2，y2）在对称轴上，
∴y2＞y1＞y3；
∴④不合题意，
当a＝﹣1时，抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+3，
∴D（﹣2，3），
取y＝0，得﹣（x+2）2+3＝0，
解得x1＝﹣﹣2，x2＝﹣2，
∴A（﹣﹣2，0），B（﹣2，0），
∴AD＝BD＝AB＝2，
∴△ABD是等边三角形，
∴⑤符合题意，
∴符合题意的有①⑤，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝＝3；
故答案为：3．
12． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∵∠BAD＝90°．
∵∠ADB＝26°，
∴∠ABD＝90°﹣26°＝64°．
∵AE∥BD，
∴∠BAE＝180°﹣64°＝116°，
∴∠BAF＝∠BAE＝58°．
故答案为：58°．
13． 解：解不等式x﹣1≥2，得：x≥3，
解不等式2x﹣2＜10得：x＜6，
则不等式组的解集为3≤x＜6，
故答案为：3≤x＜6．
14． 解：（1）由图象可得，
小聪与小明出发25min相遇，
故答案为：25；
（2）由图象可得，
小聪的速度为：4500÷56.25＝80（m/min），
则小明的速度为：4500÷25﹣80＝180﹣80＝100（m/min），
故答案为：100．
15． 解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4），
（x﹣4）2﹣10（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣4﹣10）＝0，
x﹣4＝0或x﹣4﹣10＝0，
x1＝4，x2＝14．
17． 解：∵已知＝2，
∴x＝3y，
∴（+）÷
＝
＝
＝
＝1．
18． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形；
（3）如图所示，△A3B3C3即为所求作的三角形．
19． 证明：∵PC＝BC，
∴∠CPB＝∠CBP，
而∠APO＝∠CPB，
∴∠CBP＝∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
而OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
20． 证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
又∵∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝a，AD＝CE＝b，
∴DE＝DC+CE＝a+b，
∴S梯形ADEB＝（AD+BE）•DE＝（a+b）（a+b），
∵S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，
∴，
化简得：a2+b2＝c2．
21． 解：（1）把A（a，2）的坐标代入y＝﹣x，即2＝﹣a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，
当m＝﹣3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝﹣2，
由图象可知，
若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．
22． （1）证明：连接OD，如图1，
∵DE⊥CF，
∴∠DEC＝∠DEF＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
又OD为⊙O的半径．
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接BF，AD，OD，如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∠AFB＝90°，
∵AB＝AC，
∴D为BC的中点，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∴点E是CF的中点，∴EF＝CE∠ADC＝90°，
∴△ADE∽△DCE，
∴，
∴DE2＝AE•CE，
∴DE2＝AE•FE；
（3）解：过点O作OG⊥AF于点G，如图3，
∴∠OGE＝∠OGA＝90°，AG＝GF＝AF，
又∵∠DEG＝∠ODE＝90°，
∴四边形OGED为矩形，
∴OG＝DE，OD＝GE，
∵OD＝OA＝5，
设EF＝x，
AG＝GF＝5﹣x，则OG＝DE＝AF﹣2＝10﹣2x﹣2＝8﹣2x．
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，
即（5﹣x）2+（8﹣2x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴EF＝2，
23． 解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）和B（4，0），
∴把A、B代入y＝ax2+bx+4，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+4交交y轴于点C，
∴对于y＝﹣x2+3x+4，当x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∵B（4，0），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵∠OBM+∠ABC＝45°，CMBC+∠CBN＝45°，
∴∠OBM＝∠CBN，
在△CBN和△OBM中，
∵∠OBM＝∠CBN，，
∴△CBN∽△OBM，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，如图：
∵，
∴点，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，4）代入得：，
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4，
将代入y＝﹣x+4得：，
∴点，
由题意得：PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴，
∵C（0，4）、，
∴，
设点P为（t，﹣t2+3t+4），则F为（t，﹣t+4），
∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝t2+4t，
∴，，
∴，
解得：，
当，时，，
∴点P的坐标为：．