2023年广东省汕头市金平区金禧中学中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省汕头市金平区金禧中学中考数学一模试卷，共17页。

2023年广东省汕头市金平区金禧中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在数，﹣π，0.314，，，5中，无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011
3．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．55° B．45° C．35° D．30°
6．（3分）关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．（3分）某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是（　　）
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是8
8．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若AB＝AC＝10，AD＝8，则BC的长度为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．16
10．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝　 　．
12．（3分）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC＝8m，则坡面AB的长度是 　 　m．

13．（3分）如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，则∠C的度数是 　 　．

14．（3分）如图，A，B，C，D，E五个顶点均在小正方形组成的网格的格点上．若EF⊥BD于点F，且EF＝1，则DE的长为 　 　．



15．（3分）如图，直线与曲线，…分别交于点A1，A2，A3，A4，A5，A6，…，过点A1，A2，A3，A4，A5，A6，…作x轴和y轴的垂线，围成如图所示的“7字形”阴影部分，分别记作S1，S2，S3，…，则S1+S2+S3+…+S2023＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是AB和BC上的点，且AM＝CN．求证：∠DMN＝∠DNM．

19．（9分）某校在宣传“中华民族大团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗通，D．唱歌．学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

请结合题图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有3600名学生，请估计喜欢唱歌的学生有多少人？
（4）某班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位学生表现优秀，现从这四位学生中随机选出两名学生参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
20．（9分）某学校在纪念“五四”青年节歌咏比赛活动中，准备购买一些围棋和篮球作为奖品发放，每个篮球的价格比每副围棋价格的4倍多50元，且100元购买的围模数量与600购买的篮球数量相同．
（1）求围棋和篮球的的单价各是多少元；
（2）若该学校决定购买围棋和篮球共计200份作为奖品，并要求购买围棋的数量不超过篮球数量的4倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（0，8）和（4，0），
把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E．
（1）求证：△ADE≌△COE；
（2）求点E的坐标；
（3）若点F在线段BC上，且F点的坐标为（4，5）时，连接CF、AF．试证明四边形AECF是菱形．

22．（12分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF2＝4OD•OP；
（3）若BC＝6，tanF＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线y＝（x﹣t）2+t﹣3与y轴的交点为B，连接AB，作AC⊥AB，交y轴于点C，作AD⊥y轴，交y轴于点D．
（1）当t＝3时，求点B的坐标；
（2）求线段CD的长；
（3）设点C关于点A的对称点为点E，点E的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；
（4）以A、B、E为顶点作平行四边形，当第四个顶点P恰好在（3）所确定的函数图象上时，请直接写出t的值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣＝﹣8，
﹣π，，是无理数，共2个．
故选：B．
2． 解：2800000000000＝2.8×1012．
故选：C．
3． 解：A．2与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ×＝＝3，所以B选项符合题意；
C． ＝2，所以C选项不符合题意；
D． ÷＝＝，所以D选项不符合题意；
故选：B．
4． 解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：C．
5． 解：延长AE与CD的延长线交于点F，
依题意可知：AB∥CD，∠AEG＝90°
∴∠F＝∠1，∠GEF＝90°，
∵∠1＝35°，
∴∠F＝35°，
∴∠2＝180°﹣∠GEF﹣∠F＝180°﹣35°﹣90°＝55°．
故选：A．

6． 解：根据题意有，
Δ＝42﹣4×1×3＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7． 解：平均数＝（10+8+6+9+8+7+8）÷7＝8，；
按从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，
∴中位数是8；
∵8出现了3次，次数最多，
∴众数是8；
方差S2＝[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2]＝1.25．
所以D错误．
故选：D．
8． 解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∴sin∠BAD＝＝
∵∠BCD＝∠BAD，
∴cin∠BCD＝sin∠BAD＝．
故选：A．
9． 解：由作图可知AD平分∠BAC，
∵AC＝AB，
∴AD⊥BC，CD＝DB，
∵AC＝AB＝10，AD＝8，
∴CD＝BD＝＝6，
∴BC＝CD+BD＝12．
故选：C．
10． 解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．

所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，HA＝4+4＝8，
所以AE+DE＝DH．

在Rt△ADH中，DH＝
∴BF+DE最小值为4．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：x3﹣6x2+9x，
＝x（x2﹣6x+9），
＝x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
12． 解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝8m，
∴＝＝，
解得AC＝8，
则AB＝＝16（m）．
故答案为：16．
13． 解：∵AB∥CE，∠A＝40°，
∴∠A＝∠CEA＝40°，
∵CE＝DE，
∴∠C＝∠D，
∵∠CEA＝∠C+∠D，
∴∠C＝∠D＝20°，
故答案为：20°．
14． 解：由图可知∠BAD＝90°，设AB＝2a，AD＝4a，DE＝3a，
则，
∵EF⊥BD，
∴∠BAD＝∠EFD＝90°，
又∵∠ADB＝∠FDE，
∴△ADB∽△FDE，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：．
15． 解：如图所示，由反比例函数比例系数的几何意义可得：
，
，

…
∴，
∴S1+S2+S3+⋅⋅⋅+S2023＝1×2023＝2023，
故答案为：2023

三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：
＝﹣1+3+2﹣﹣9
＝﹣﹣5．
17． 解：原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
18． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
在△DAM和△DNC中，
，
∴△DAM≌△DNC（SAS），
∴DM＝DN，
∴∠DMN＝∠DNM．
19． 解：（1）由条形统计图可知参加A项目的人数为30人，由扇形统计图可知参加A项目的人数所占的百分比为30%，故本次调查的总人数为：30÷30%＝100（人），
故答案为：100；
（2）参加B项目的人数为：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），补全条形统计图如下所示：

（3）抽样调查中，喜欢“唱歌”的人数为40人，其所占的百分比为40÷100×100%＝40%，
故3600名学生，估计喜欢唱歌的学生有40%×3600＝1440（人）
（4）甲、乙、丙、丁四位同学任选两位的所有可能情况如下树状图所示：

被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况
故被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
20． 解：（1）设围棋的单价是x元/副，则篮球的单价是（4x+50）元/个，
根据题意得：＝，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意，
∴4x+50＝4×25+50＝150．
答：设围棋的单价是25元/副，篮球的单价是150元/个；
（2）最省钱的购买方案为：购买160副围棋，40个篮球，理由如下：
设购买m副围棋，则购买（200﹣m）个篮球，
根据题意得：m≤4（200﹣m），
解得：m≤160，
设该学校购买200份奖品的总费用为w元，则w＝25m+150（200﹣m），
即w＝﹣125m+30000，
∵﹣125＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝160时，w取得最小值，此时200﹣m＝200﹣160＝40，
∴最省钱的购买方案为：购买160副围棋，40个篮球．
21． （1）证明：∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC，∠ABC＝∠AOC＝90°，
∵把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴AD＝OC，∠ADE＝∠COE，
在△ADE与△COE中，
，
∴△ADE≌△COE（AAS）；
（2）解：∵∠EOC＝90°，
∴CE2＝OE2+OC2，即（8﹣OE）2＝OE2+42，
∴OE＝3，
∴E（0，3）；
（3）证明：如图，

∵F（4，5），B（4，8），
∴CF＝5，
∵OA＝8，OE＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵OC＝4，OE＝3，
∴CE＝＝＝5，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF为菱形．
22． （1）证明：连接OB，如图，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP＝90°，
∵BA⊥PF，
∴AD＝BD，
即OP垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
而OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠PAB+∠OAB＝∠PBA+∠OBA＝90°，即∠PAO＝90°，
∴OA⊥PA，
∵OA是半径，
∴直线PA为⊙O的切线；
（2）证明：∵∠ADO＝∠OAP＝90°，∠AOD＝∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴＝，
∴OA2＝OD•OP，
而OE＝OA，
∴OE2＝OD•OP，
∵EF＝2OE＝2OF，
∴EF2＝4OD•OP；
（3）解：连接AE，如图，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OD垂直平分AB，
∴OD∥BC，
∴OD＝BC＝3，
设DE＝x，则OE＝OA＝OF＝3+x，
∵OD垂直平分AB，
∴＝，
∴∠F＝∠DAE，
∴tan∠DAE＝tan∠F＝，
∴AD＝2DE＝2x，
在Rt△ADF中，tan∠F＝＝，
∴＝，解得x＝2，
∴AD＝4，BC＝6，OA＝OE＝5，
在Rt△ABC中，AC＝2OA＝10，
∴cos∠ACB＝＝＝；
∵OE2＝OD•OP，
∴25＝3×OP，解得OP＝，
∴PE＝OP﹣OE＝﹣5＝．

23． 解：（1）当t＝3时，y＝（x﹣3）2﹣1，
把x＝0代入y＝（x﹣3）2﹣1，得：y＝，
∴点B的坐标为（0，）；

（2）∵点A（t，t﹣3），点B（0，t2+t﹣3），
∴AD＝AE＝|t|，BD＝t2+t﹣3﹣（t﹣3）＝t2，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAD＝∠DAC，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴，即，
∴DC＝2；

（3）如图，过点E作DA垂线交DA延长线于F，

∵AE＝AC，∠ADC＝∠AFE＝90°，∠EAF＝∠DAC，
∴△AFE≌△ADC（AAS），
∴AF＝AD，EF＝DC，
∵点A（t，t﹣3），
∴yE＝yA+EF＝t﹣3+2＝t﹣1，
∴点E的坐标为（2t，t﹣1），
∴x＝2t，y＝t﹣1，
∴y＝×x﹣1＝，
∴所求函数的解析式为：y＝；

（4）∵第四个顶点P恰好在（3）所确定的函数图象上，
∴设P（m，m﹣1），
（Ⅰ）当四边形为平行四边形ABEP时，
∵，
∴，
解得：t＝0（舍去）或t＝；
（Ⅱ）当四边形为平行四边形ABPE时，
∵，
∴，
解得：t＝0（舍去）或t＝；
（Ⅲ）当四边形为平行四边形APBE时，
∵，
∴，
解得：t＝﹣4或t＝2；
综上所述：t的值为﹣或﹣4或2．