茂名市电白区第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份茂名市电白区第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．在中，若，则的形状为( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
4．三个数的大小顺序是( )
A.B.
C.D.
5．已知函数,,则的单调递增区间是( )
A.B.
C.,D. ,
6．若两个正实数x,y满足,且不等式恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.B.或
C.D.或
7．将函数的图象先向右平移个单位长度,再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若函数在上没有零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式,它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,由于技术提升,带宽W在原来的基础上增加20%,信噪比从1000提升至5000,则C大约增加了( )
（附：）
A.48%B.37%C.28%D.15%
二、多项选择题
9．下列化简正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知平面向量,,,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则向量在上的投影向量为
D.若,则向量与的夹角为锐角
11．已知函数在区间上单调,且满足有下列结论正确的有( )
A.
B. 若,则函数的最小正周期为;
C.关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D.若函数在区间上恰有5个零点,则的取值范围为
三、填空题
12．函数的定义域为______________．
13．若,且,则__________.
14．已知函数,若关于x的方程有6个不同的实数根,则实数a的取值范围为___________.
四、解答题
15．已知角的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点．
（1）求的值;
（2）求的值．
16．已知,,.
（1）求与的夹角;
（2）若,求实数t的值;
（3）设,,若与共线,求实数m的值.
17．已知关于x的不等式．
（1）若不等式的解集是,求的值;
（2）若,,求此不等式的解集．
18．已知函数
（1）化简的表达式.
（2）若的最小正周期为,求,的单调区间与值域.
（3）将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度,得到函数,且图像关于对称.若对于任意的实数a,函数,与的公共点个数不少于6个且不多于10个,求正实数的取值范围.
19．已知定义域为D的函数.当时,若（,）是增函数,则称是一个“函数”.
（1）判断函数（）是否为函数,并说明理由;
（2）若定义域为的函数满足,解关于的不等式;
（3）设P是满足下列条件的定义域为R的函数组成的集合：①对任意,都是函数;②,. 若对一切和所有成立,求实数的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以,
故选：B.
2．答案：A
解析：若,则, 所以;
若, 则,解得 ,得不出.
航以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
3．答案：A
解析：因为，，
所以，
所以为等边三角形.
故选：A.
4．答案：A
解析：由三个数,,
可知其大小关系为.
故选：A.
5．答案：D
解析：因为,
令,,
解得,,
令,则,
令,,
又,所以的单调递增区间是,.
故选：D.
6．答案：A
解析：若两个正实数x,y满足,则,
,当且仅当时取得等号,
不等式恒成立,等价为,
则,解得．
故选：A．
7．答案：B
解析：将函数的图象先向右平移个单位长度,可得,
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,可得的图象,
因为,周期,函数在上没有零点,
则,所以,
因为,所以,
又在上没有零点,所以,解得,
又因为, ,,所以或,
故选：B.
8．答案：A
解析：由题意可得,当时,,
当时,,
所以
,
所以C的增长率约为.
故选：A
9．答案：BCD
解析：A：因为,
所以本选项不正确;
B：因为,
所以本选项正确;
C：因为
所以本选项正确;
D：因为,
所以本选项正确,
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：已知平面向量,,,
对于A,若,可得,即,解得,所以A选项错误;
对于B,若,根据平面向量共线性质,可得,即,所以B选项正确;
对于C,若,则,
由投影向量定义可知向量在上的投影向量为,
所以C选项正确;
对于D,若,则,所以;
但当时,,
此时向量与的夹角为,所以D选项错误;
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：A, , 在上单调,
又,, ,故A正确;
B,区间右端点关于的对称点为,,在上单调,根据正弦函数图像特征可知在上单调,为的最小正周期,即,又, .若,则的图象关于直线对称,结合,得,即,
故,,,故B正确.
C,由,得, 在区间上最多有3个完整的周期,而在1个完整周期内只有1个解,故关于x的方程在区间上最多有3个不相等的实数解,故C错误.
D,由知,是函数在区间上第1个零点,而在区间上恰有5个零点,则,结合,得,又, 的取值范围为,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：由,得且,
所以函数的定义域为,
故答案为：
13．答案：
解析：因为
所以,
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,
所以或,
因为关于x的方程有6个不同的实数根,
所以的图象与直线和直线有6个不同的交点,
如图的图象与直线有3个交点,
所以只需的图象与直线有3个交点,且,
所以.
故答案为：
15．答案：（1）;
（2）-11.
解析：（1）角的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,
所以.
（2）由（1）知,,
所以.
16．答案：（1）
（2）4或-2.
（3）-4
解析：（1）因为,,且,
即,
所以,
解得,即与的夹角为.
（2）因为,则,
所以,
即,解得或
所以t的值为4或-2.
（3）由（1）可得,不共线,且,,
则必存在实数,使得,即,
解得,,所以.
17．答案：（1）;
（2）答案见解析.
解析：（1）因为关于x的不等式的解集为,
所以1和5是方程的两个根,且,
所以,解得,
所以;
（2）当时,可化为,
所以,
由（）,得或,
当时,由,得或,
当,即时,由,得,
当,即时,不等式的解集为,
当,即时,由,得,
综上,当时,不等式解集为或;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
18．答案：（1）;
（2）递增区间为,递减区间为,值域为;
（3）.
解析：（1）依题意,,.
（2）由（1）知,,解得,则,
当时,,而正弦函数在上单调递增,在上单调递减,由得：,由得：,
所以在上单调递增,在上单调递减,,,,
所以在上的值域为.
（3）由（2）及已知,,因图像关于对称,
则,,解得：,,又,即有,,
于是得,由得：,,而函数的周期,
依题意,对于,在上均有不少于6个且不多于10个根,
则有,即,解得,
所以正实数的取值范围是.
19．答案：（1）是,理由见解析
（2）
（3）
解析：（1）是,理由：由题,
（,）为增函数,
故（）是函数.
（2）因为是函数,且,所以是上的增函数,
因为有意义,所以,显然,时不等式不成立,下设,
此时等价于,
由的单调性得,,即所求不等式的解集为.
（3）由题意,是函数,故是增函数,从而当时,,即;而是函数,故是增函数,从而当时,,即,
当时,同理可得,且,故且,故.
因此 ,当时,对一切成立.
下证,任意均不满足要求,由条件②知,.
另一方面,对任意,定义函数,容易验证条件②成立.
对条件①,任取,有,
注意到是增函数,
而对,
当时,;
当时,,均单调不减.
因为,
所以条件①成立.从而.此时,,
故,从而为所求最大值.