广东省茂名市电白区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份广东省茂名市电白区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）化简的结果等于（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）式子cs12°sin42°﹣cs42°sin12°的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知向量＝（3，4），＝（x，﹣6），且，则实数x＝（ ）
A．B．C．﹣8D．8
4．（5分）函数的最小值和周期分别是（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）以下区间中，使关于x的不等式sinx＞csx成立的是（ ）
A．B．C．D．（π，2π）
6．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知函数f（x）＝sinπx的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）中的函数图象所对应的函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．y＝f（2x﹣1）
8．（5分）已知向量，若，则＝（ ）
A．B．
C．或D．或
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知向量，，则（ ）
A．与方向相同的单位向量的坐标为
B．当t＝2时，与的夹角为锐角
C．当t＝1时，、可作为平面内的一组基底
D．当t＝4时，在方向上的投影向量为
（多选）10．（6分）函数的图像与直线y＝a（a为常数）的交点可能有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
（多选）11．（6分）设，其中a∈R，a≠0，则（ ）
A．f（x）相邻两个最高点之间的距离是π
B．f（x）≤2a
C．f（x）的单调递增区间是
D．f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12．（6分）已知点A（1，2），B（4，﹣3），点M在线段AB上，且||＝||，则点M的坐标为 ．
13．（6分）如图，在直角坐标系中，已知圆O是以原点O为圆心，半径长为4的圆，一个质点在圆O上，以B为始点，沿逆时针方向匀速运动，每3秒转一圈，则该质点的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式是 ．
14．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，，DE与BF相交于O．若AD＝2，，则AB的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝2，BC＝2，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．
（Ⅰ）求csB；
（Ⅱ）求线段AD的长．
16．（15分）已知向量和，则，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）2+与的夹角θ的余弦值．
17．（15分）已知角，求下面式子的值：
（1）tanA；
（2）；
（3）tan3A．
18．（17分）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝3km．
（1）当∠AMN＝30°时，求线段AP的长度；
（2）问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）
19．（17分）定义非零向量，若函数解析式满足f（x）＝msinx+ncsx，则称f（x）为向量的“m﹣n伴生函数”，向量为函数f（x）的“源向量”．
（1）已知向量为函数g（x）的“源向量”，若方程在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（2）已知点A（m，n）满足3n2+m2﹣4mn＜0，向量的“m﹣n伴生函数”h（x）在x＝a时取得最大值，当点A运动时，求tan2a的取值范围；
（3）已知向量的“0﹣1伴生函数”F（x）在x＝t时的取值为．若△ABC中，，点O为该三角形的外心，求的最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，其40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）化简的结果等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量的三角形法则，即可求解．
【解答】解：根据向量的三角形法则，
可得．
故选：B．
【点评】本题考查向量的加法运算，属基础题．
2．（5分）式子cs12°sin42°﹣cs42°sin12°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据两角差的正弦公式进行计算即可．
【解答】解：原式＝sin42°cs12°﹣cs42°sin12°＝sin（42°﹣12°）＝sin30°＝．
故选：D．
【点评】本题考查了两角差的正弦公式，是基础题．
3．（5分）已知向量＝（3，4），＝（x，﹣6），且，则实数x＝（ ）
A．B．C．﹣8D．8
【分析】结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：＝（3，4），＝（x，﹣6），且，
则3x﹣4×6＝0，解得x＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4．（5分）函数的最小值和周期分别是（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：f（x）＝sin（4x+）﹣cs（4x+）
＝2[sin（4x+）﹣cs（4x+）]
＝2sin（4x+），
故最小值为﹣2，T＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
5．（5分）以下区间中，使关于x的不等式sinx＞csx成立的是（ ）
A．B．C．D．（π，2π）
【分析】在一个周期范围内，分四种情况讨论正弦函数与余弦函数的单调性，比较sinx与csx的大小，从而得到所求结论．
【解答】解：①当x∈[0，）时，由于y＝sinx在（0，）上为增函数，
y＝csx在（0，）上为减函数，且sin＝cs＝，
所以当x∈（0，）时，sinx＜csx成立；当x∈（，）时，sinx＞csx成立．
②当x∈（，π]时，sinx≥0且csx＜0，
结合sin＝1＞cs＝0，可知x∈[，π]时，sinx＞csx恒成立．
③当x∈（π，）时，y＝sinx在（π，）上为减函数，
y＝csx在（π，）上为增函数，且sin＝cs＝﹣，
所以当x∈（π，）时，sinx＞csx成立；x∈（，）时，sinx＜csx成立．
④当x∈[，2π）时，由于sinx＜0且csx≥0，所以sinx＜csx恒成立．
综上所述，使关于x的不等式sinx＞csx成立的区间为（，）．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的单调性及其应用等知识，属于基础题．
6．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由三角形面积公式，结合正弦定理及余弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，
则，
即c＝4，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA可得：a2＝13，
即，
由正弦定理可得：＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形面积公式，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
7．（5分）已知函数f（x）＝sinπx的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）中的函数图象所对应的函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．y＝f（2x﹣1）
【分析】根据函数图象的伸缩和平移变换法则，即可得解．
【解答】解：图1的横坐标先缩短为原来的，再向右平移个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图2对应的图象，
所以图2对应的函数解析式为y＝f（2x﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，理解函数图象的伸缩和平移变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于基础题．
8．（5分）已知向量，若，则＝（ ）
A．B．
C．或D．或
【分析】结合向量数量积的坐标表示及同角基本关系先求出sinα，csα，然后结合和差角公式即可求解．
【解答】解：因为向量，
若，则﹣csα+sinα＝，
两边平方得，1﹣2sinαcsα＝，
所以sinαcsα＝，
所以sinα＝，csα＝，
所以cs2α＝2cs2α﹣1＝2×﹣1＝﹣，sin2α＝2sinαcsα＝2×＝，
＝（cs2α﹣sin2α）＝（﹣）＝﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，同角基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知向量，，则（ ）
A．与方向相同的单位向量的坐标为
B．当t＝2时，与的夹角为锐角
C．当t＝1时，、可作为平面内的一组基底
D．当t＝4时，在方向上的投影向量为
【分析】根据与方向相同的单位向量为可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；判断出、不共线，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项．
【解答】解：对于A，与方向相同的单位向量为，故A错误；
对于B，当t＝2时，，，，
所以，与的夹角为锐角，故B正确；
对于C，当t＝1时，，，则3×1≠﹣2×2，则与不平行，、可作为平面内的一组基底，故C正确；
对于D，设与的夹角为θ，则在方向的投影向量为，
当t＝4时，，，，，
所以，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．
（多选）10．（6分）函数的图像与直线y＝a（a为常数）的交点可能有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】结合正弦函数的图象及函数图象的变换即可求解．
【解答】解：作出的图像，结合函数图像可知，y＝a与其的交点可能有0个，1个，3个．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了正弦函数图象的变换，属于基础题．
（多选）11．（6分）设，其中a∈R，a≠0，则（ ）
A．f（x）相邻两个最高点之间的距离是π
B．f（x）≤2a
C．f（x）的单调递增区间是
D．f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称
【分析】利用辅助角公式化简f（x）＝2asin（2x+），结合正弦函数的图象特征以及性质逐一对命题进行判断即可求解．
【解答】解：f（x）＝asin2x+acs2x＝2asin（2x+），
所以f（x）的最小正周期为π，
对于A，f（x）相邻两个最高点之间的距离为T＝π，故正确；
对于B，因为a≠0，所以f（x）的值域为[﹣2|a|，2|a|]，所以f（x）≤2|a|，故错误；
对于C，当a＞0时，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以当a＞0时，f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，
同理可求，当a＜0时，f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z），故错误；
对于D，f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数f（x+）＝2asin（2x+）＝2acs2x，为偶函数，故图象关于y轴对称，故正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12．（6分）已知点A（1，2），B（4，﹣3），点M在线段AB上，且||＝||，则点M的坐标为 ．
【分析】根据平面向量的线性运算及坐标运算，即可求得结论．
【解答】解：因为点M在线段AB上，且||＝||，则有，
又点A（1，2），B（4，﹣3），设M（x，y），
则有，即，解得，
故点M的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
13．（6分）如图，在直角坐标系中，已知圆O是以原点O为圆心，半径长为4的圆，一个质点在圆O上，以B为始点，沿逆时针方向匀速运动，每3秒转一圈，则该质点的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式是 y＝4sin（t+），t∈[0，+∞） ．
【分析】根据题意求出A、T和ω、φ，即可写出函数解析式．
【解答】解：由题意知，A＝4，T＝3，所以ω＝＝，
又φ＝，所以质点的纵坐标y关于时间t的函数解析式是：
y＝4sin（t+），t∈[0，+∞）．
故答案为：y＝4sin（t+），t∈[0，+∞）．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，是基础题．
14．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，，DE与BF相交于O．若AD＝2，，则AB的长为 4 ．
【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得AB的长．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，与BF相交于O，
设，
则，
＝，
由，可得，
则，解之得，则，
则，
又AD＝2，则，解得，即AB的长为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝2，BC＝2，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．
（Ⅰ）求csB；
（Ⅱ）求线段AD的长．
【分析】（Ⅰ）直接根据余弦定理即可求出；
（Ⅱ）根据同角的三角函数的关系和正弦定理即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）根据余弦定理：＝，
（Ⅱ）因为0＜B＜π，所以sinB＞0，，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
根据正弦定理得：，
∴＝4．
【点评】本题考查利用正余弦定理，同角的三角函数的关系，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于中档题．
16．（15分）已知向量和，则，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）2+与的夹角θ的余弦值．
【分析】（1）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（2）根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【解答】解：（1）∵，，，
∴＝＝2；
（2）∵＝4×4+4×2+4＝28，
∴＝；
（3）∵（+）•＝＝2×2+4＝8，
∴cs＝＝＝．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义及性质，属基础题．
17．（15分）已知角，求下面式子的值：
（1）tanA；
（2）；
（3）tan3A．
【分析】（1）结合同角基本关系即可求解；
（2）结合二倍角公式及和差角公式即可求解；
（3）结合两角和的正切公式即可求解．
【解答】解：（1）因为，
所以sinA＝＝，tanA＝＝；
（2）由（1）得，tan2A＝＝＝，
＝＝＝﹣；
（3）tan3A＝tan（A+2A）＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18．（17分）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝3km．
（1）当∠AMN＝30°时，求线段AP的长度；
（2）问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）
【分析】（1）根据题意分析可得∠PMA＝∠MNA＝90°，结合直角三角形的性质，即可求解；
（2）在△AMN中，利用正弦定理进行边化角可得，在△AMP中，利用余弦定理结合三角恒等变换整理可得AP2＝15﹣12sin（2θ+150°），以2θ+150°为整体结合正弦函数求AP2的最大值．
【解答】解：（1）因为∠AMN＝30°，∠BAC＝60°且PM＝PN＝MN＝3，
故∠PMN＝60°，故∠PMA＝∠MNA＝90°，
故，则；
（2）设∠AMN＝θ，由题意∠AMP＝θ+60°，
在△AMN中，由正弦定理，
则
在△AMP中，由余弦定理可得：＝＝15﹣12sin（2θ+150°），
又由（1）可得0°＜θ＜120°，
则2θ+150°∈（150°，390°），当且仅当2θ+150°＝270°，即θ＝60°时，
AP2取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时AN＝AM＝3km．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19．（17分）定义非零向量，若函数解析式满足f（x）＝msinx+ncsx，则称f（x）为向量的“m﹣n伴生函数”，向量为函数f（x）的“源向量”．
（1）已知向量为函数g（x）的“源向量”，若方程在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（2）已知点A（m，n）满足3n2+m2﹣4mn＜0，向量的“m﹣n伴生函数”h（x）在x＝a时取得最大值，当点A运动时，求tan2a的取值范围；
（3）已知向量的“0﹣1伴生函数”F（x）在x＝t时的取值为．若△ABC中，，点O为该三角形的外心，求的最大值．
【分析】（1）根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可；
（2）根据题中条件求得a的值，继而求得tana，利用二倍角公式求得tan2a的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围；
（3）根据条件可先求得，继而根据正弦定理可得角形ABC外接圆半径R＝1，则，再根据向量的运算法则及数量积的定义化简所求，进一步分析即可．
【解答】解：（1）因为向量为函数g（x）的“源向量”，所以g（x）＝2sinx，
则方程上有且仅有四个不相等的实数根，
所以在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，
令，x∈[0，2π]，
①当时，
，
②当时，，
所以，
其图象为：
结合，，，
故当在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根时，
k的取值范围为．
（2）由题意得：
，其中，
当，即时，h（x）取最大值，
故，
则，
令，由于3n2+m2﹣4mn+1＝0，故，
即（3t2﹣4t+1）m2+1＝0，则Δ＝﹣4（3t2﹣4t+1）＞0，解得，
所以（），因为单调递增，
所以，所以tan2a的取值范围为；
（3）由题意得，F（x）＝csx，则，
在三角形ABC中，，，因此，
设三角形ABC外接圆半径为R，根据正弦定理，，故R＝1，
所以，
＝，
，
代入得：，
所以当∠AOC＝π时，取得最大值3．
【点评】本题考查三角函数性质，参变分离，数形结合，换元法构造函数，属于难题．