广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期中数学试题

这是一份广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则（ ）
A.9B.3C.6D.
2.直线的倾斜角是（ ）
A.135°B.120°C.60°D.45°
3.如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，若，则（ ）
A.1B.0C.D.2
4.已知圆关于直线m对称，且直线m与直线平行，则直线m的方程为（ ）
A.B.C.D.
5.已知点，，若，则点C的坐标为（ ）
A.B.C.D.
6.已知点，，，且点C在线段AB的垂直平分线上，则（ ）
A.B.2C.8D.
7.已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（ ）更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663
A.B.C.D.
8.17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局而，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面.那么，过点且为法向量的平面的方程为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线l：，其中，则（ ）
A.当时，直线l与直线垂直B.若直线l与直线平行，则
C.直线l过定点D.当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
10.已知，，，则（ ）
A.直线与线段AB有公共点
B.直线AB的倾斜角大于135°
C.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为
D.△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为
11.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
12.古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190年）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆。后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，平面内的动点P满足：，则下列关于动点P的结论正确的是（ ）
A.点P的轨迹方程为
B.当P、A、B三点不共线时，△PAB面积的最大值是12
C.当A、B、P三点不共线时，若点P的轨迹与线段AB交于M，则
D.若点，则的最小值为7
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知点，，若直线AB的斜率为2，则 .
14.已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 .
15.已知点，直线l：（），则点P到直线l的距离的最大值为 .
16．如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是 .（把所有正确结论的序号填写在横线上）
①存在点Q，使得；
②存在点Q，使得；
③对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
④对于任意点Q，都是钝角三角形
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知直线：，：，在上任取点A，在上任取点B，过线段AB的中点作的平行线。
（1）求直线与之间的距离；
（2）求直线的方程。
18.（12分）
已知平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？请说明理由。
19.（12分）
如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于1，E，F，G分别是棱AB，AD，BC的中点。
（1）求；
（2）求直线GE，GF夹角的余弦值。
20.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E、F分别为CD、PB的中点，，。
（1）证明：平面ADP；
（2）求点P到平面AEF的距离。
21.（12分）
已知△ABC的顶点，边AB上的中线CM所在直线的方程为，边BC上的高AH所在直线的方程为。
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积。
22.（12分）
如图1，四边形ABCD是梯形，，，M是AB的中点，将△ADM沿DM折起至△A＇DM，如图2，点N在线段A＇C上。
图1图2
（1）若点N是线段A＇C的中点，求证：平面平面DMN；
（2）若，且平面DNM与平面CDM夹角的余弦值为，求直线DN与平面A＇BC所成角的余弦值。
2023—2024学年度第一学期期中考试
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.0；14.；15.；16.②③
3.解：
∴，，∴
7.分析：设平面ABE的法向量为，然后由，可求出其法向量，
【解答】由题意可得，，，
所以，
设平面ABE的法向量为，
所以，令，则，
所以平面ABE的一个法向量为，
所以是平面ABE的法向量.
8.【答案】
【分析】根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为，且平面过点，那么平面方程为
计算可得；
【详解】解：设是该平面内的任意一点，则
过点且法向量为的平面的方程为，整理得
9.【答案】AC
【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为，
所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；
对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；
对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；
对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是，1，不相等，所以D错误，
故选：AC．
10【答案】BC
【解析】如图所示：
所以直线与线段无公共点，A错误；
因为，所以直线的倾斜角大于135°，B正确．
因为，且边上的高所在直线过点A，
所以的边上的高所在直线的方程为，
即，C正确，
因为线段的中点为，且直线的斜率为，
所以上的中垂线所在直线的方程为，
即，故D错误，故选BC.
11.【答案】AD
【解析】若，则，即有，即，即有，故A正确，C错误；
若，则，即有，可得，，，
解得，，，则，故B错误，D正确．故选AD
12．答案：ABC
【分析】应用两点距离公式求P的轨迹方程为，即可判断A，再由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断B，根据，结合角平分线的性质判断C，由已知有，利用三点共线求最小值判断D.
【详解】设，因为，整理得点P的轨迹方程为．
A：点P的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，正确；
B：圆的半径为4且，当△PAB的底边AB上的高最大时，面积最大，所以△PAB面积的最大值是12，正确；
C：点M的坐标为，当A，B，P不共线时，由，由角平分线定理的逆定理知：射线PM是∠APB的平分线，正确；
D：因为，即，则，又P在圆上，如图所示，
所以当P，Q，A三点共线时，取最小值，此时，错误.
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：利用两点距离公式及比例关系求动点轨迹，再利用圆的性质求面积，应用等比转化求线段和最值.
15.【答案】
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线所过定点，当直线与PQ垂直时，点P到直线的距离最大.
【详解】直线方程可化为：，
由得：，∴直线恒过定点，
所以点P到直线l的距离的最大值为.
故答案为：.
16.【答案】②③
【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点，
建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．
所以，，，设，其中，
所以，，
当，即，所以，
显然方程组无解，所以不存在使得，即不存在点，使得，故①错误；
当时，解得，故②正确；
因为，其中，
所以点到的距离为
，故③正确；
因为，，其中，
所以，
所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故④错误．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】
解：
（1）两平行直线与间的距离为
（2）设的方程为.
由题意知与之间的距离为，所以有，解得或（舍去）
所以的方程为
解法2：在取一点，在上取一点，AB的中点为，则与平行且过点，设的方程为，则，所以.
所以的方程为
18.【答案】四点在同一个圆上.
【分析】根据不共线的三点确定一个圆，求出圆的方程，再把第四个点的坐标代入，如果满足方程，则四点在同一个圆上，否则，不在同一个圆上。
【详解】设经过，，三点的圆的方程为，则
，即，解得
所以过A、B、C三点的圆的方程为，
把点的坐标代入圆的方程，得
即点的坐标满足圆的方程，所以点在该圆上，
所以这四点在同一个圆上。
解法二：AB的垂直平分线为，AC的中点为，直线AC的斜率为2，所以线段AC的垂直平分线为，即
解方程组得三角形ABC的外接圆圆心为，半径为，所以三角形ABC的外接圆为，把点D的坐标代入方程的左边得所以点D也在圆上.
所以A，B，C，D四点在同一个圆上。
19.【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据空间向量基本定理，以三个不共面的向量为基底，表示出向量，利用即可得；（2）利用向量的数量积求直线的方向向量的夹角即可.
【详解】
（1）.因为四面体的所有棱长都等于1，所以，
所以.
所以.
∴
（2），所以，GE，GF夹角的余弦值为。
20．【答案】（1）略；（2）
【分析】
（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明平面ADP.
（2）利用空间向量法可求得点P到平面AEF的距离．
【解答】
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，所以
以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系：
则、，所以
因为DC⊥平面ADP，所以是平面ADP的法向量.
因为，所以，又因为平面PAD，所以平面PAD
（2）由题意知，，得，
设是平面AEF的法向量，则即
得，取.所以点P到平面AEF的距离为
答案：（1）（2）5
【分析】根据BC过点且与AH垂直，可求BC的方程，求BC与CM的交点得点C的坐标；利用AB的中点M在直线CM上可求点A的坐标，再求点A到BC的距离求得三角形ABC的高，即可求面积。
【详解】
（1）因为，，所以，BC的方程为，即，解方程组
得，所以点C的坐标为.
（2）设，因为AB的中点M在直线CM上，所以，
得，所以点A的坐标为，点A到BC的距离为
，.所以的面积是
22.【分析】
（1）利用等腰三角形的性质找DM、DN的垂线，证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）利用空间向量法可求得直线DN与平面所成角的正弦值，再求余弦值.
【详解】
（1）证明：因为，，点是线段的中点，所以.
取中点，连接，CO，
四边形是梯形，，是的中点，且，
可得，所以，
又由，且是的中点，可得，所以，
因为，且CO，平面，所以平面，
又因为平面，所以，因为，且DM，平面DMN，所以平面DMN，又因为平面，所以平面平面
（2）解：在中，由，且为的中点，可得，
在中，由，且为的中点，可得，
因为，所以，可得，
又因为，，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
设，则，可得，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
即，解得或（舍去），
所以，且，
设平面的法向量为，因为，，
故，得，取可得，所以，
设直线与平面所成角为，（），可得
则，直线与平面所成角的余弦值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
B
D
C
C
D
题号
9
10
11
12
答案
AC
BC
AD
ABC