广东省茂名市电白区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份广东省茂名市电白区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,其40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.化简的结果等于( )
A.B.C.D.
2.式子的值等于( )
A.B.C.D.
3.已知向量,且,则实数
A.B.C.-8D.8
4.函数的最小值和周期分别是( )
A.B.C.D.
5.以下区间中,使关于的不等式成立的是( )
A.B.C.D.
6.在中,若,其面积为,则（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数图象的一部分如图(1)所示,则图(2)中的函数图象所对应的函数解析式是( )
A.B.C.D.
8.已知向量,若,则( )
A.B.C.或D.或
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。(全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知向量,则( )
A.与方向相同的单位向量的坐标为B.当时,与的夹角为锐角
C.当时可作为平面内的一组基底D.当时在方向上的投影向量为
10.函数的图像与直线(为常数)的交点可能有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
11.设,其中,则:
A.相邻两个最高点之间的距离是;B.;
C.的单调递增区间是;
D.的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称.
三、填空题:本题共3小题,每小题6分,共18分。
12.已知点,点在线段AB上,且,则点的坐标为__________.
13.如图,在直角坐标系中,已知圆是以原点为圆心,半径长为4的圆,一个质点在圆上,以为始点,沿逆时针方向匀速运动,每3秒转一圈,则该质点的纵坐标关于时间(单位:秒)的函数解析式是__________.
14.如图,在平行四边形ABCD中,与BF相交于.若,则AB的长为__________.
四、解答题:本题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分10分)如图,在中,,点在边BC上,且.
(1)求;
(2)求线段AD的长.
16.(本小题满分15分)已知向量和,求:
(1)的值;
(2)的值;
(3)与的夹角的余弦值.
17.(本小题满分15分)已知角,求下面式子的值:
(1);
(2);
(3).
18.(本小题满分17分)经过村庄有两条夹角为的公路AB,AC,根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂,分别在两条公路边上建两个仓库M,N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=3km.
(1)当∠AMN=30°时,求线段AP的长度;
(2)如何设计,能使得工厂产生的噪音对该村庄居民的影响最小?(即工厂与村庄的距离最远?）
19.(本小题满分17分)
定义非零向量,若函数解析式满足,则称为向量的“伴生函数”,向量为函数的“源向量”.
(1)已知向量为函数的“源向量”,若方程在上有且仅有四个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(2)已知点满足,向量的“伴生函数”在时取得最大值,当点运动时,求的取值范围;
(3)已知向量的“伴生函数”在时的取值为.若中,,点为该三角形的外心,求的最大值.
2023-2024学年度第二学期期中考试高一数学参考答案
一、选择题
二、选择题
三、填空题
12.；13.；14.4。
8.由得，
，
又，，
9.【答案】BC
【分析】根据与方向相同的单位向量为可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；判断出、不共线，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A，与方向相同的单位向量为，故A错误；
对于B，当时，，，，
所以，与的夹角为锐角，故B正确；
对于C，当时，，，则，则与不平行，
、可作为平面内的一组基底，故C正确；
对于D，设与的夹角为，则在方向的投影向量为，
当时，，，，，
所以，故D错误．
故选：BC.
10.解析：当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点。故选ABD
11.【答案】AD
【分析】利用辅助角公式化简得，相邻两个对称中心之间的距离为周期的一半，即可判断A；根据的值域即可判断B;由正弦函数的单调性即可判断C；平移之后函数为偶函数即可判断D.
【详解】，
所以的最小正周期为，
对于A，相邻两个最高点之间的距离是，故A正确；
对于B，因为，所以的值域为，所以，故B错误；
对于C，当时，令，，
解得，，
所以当时，的单调递增区间为，，
当时，令，，
解得，，
的单调递增区间是，，故C错误；
对于D，的图象向左平移个单位长度得到的函数，
显然为偶函数，图象关于轴对称，故D正确.
故答案为：AD.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用辅助角公式，将的解析式转化为
的形式，从而得解.
14.【答案】4
【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长
【详解】在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．
设，
则
由，可得
则，解之得，则
则
又，则，解之得即的长为4.
15.（1）由余弦定理得
（2）由，得，
由正弦定理得，所以
16.(1)∵,,.
∴；
(2)∵,
∴；
(3)∵,
∴
17.（1），
；
（2），
；
（3）
18.（1）
，
，
所以，线段AP的长度为km。
（2）设，由正弦定理得，
，，
在中，，
由余弦定理得
，
km
所以，当时，能使得工厂产生的噪音对该村庄居民的影响最小。
19.解：（1）因为向量为函数的“源向量”，
所以，
则方程上有且仅有四个不相等的实数根，
所以在上有且仅有四个不相等的实数根，
令，
①当时，
②当时，，
所以，
其图象为：
结合，，，最大值为3，
故当在上有且仅有四个不相等的实数根时，
的取值范围为.
（2）由题意得：
，其中，
当，即时，
取最大值，故，
则，
令，由于，
故，即，解得，
所以（）
因为单调递增，所以，所以的取值范围为
（3）由题意得，，则，
在三角形中，，，因此，
设三角形外接圆半径为，
根据正弦定理，，故,所以
代入得：，
所以当时，取得最大值3.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
A
A
C
B
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
AD