精品解析：广东省茂名市电白区高一下学期期末数学试题

第二学期期末考试

高一数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知复数：满足（为虚数单位），则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算与共轭复数的定义求解即可

【详解】

故选：A

2. 下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（    ）

A. 某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本

B. 为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查

C. 从全班30名学生中，任意选取5名进行家访

D. 为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用简单随机抽样、分层抽样的意义逐项判断作答.

【详解】对于A，不同年级的学生身体发育情况差别较大，适合用分层抽样，A不是；

对于B，总体容量较大，并且各村庄人口、地域、发展等方面的差异，不宜用简单随机抽样，B不是；

对于C，总体容量较小，个体之间无明显差异，适宜用简单随机抽样；

对于D，总体容量较大，不同年龄的人癌症的发病情况不同，不宜用简单随机抽样，D不是.

故选：C

3. 2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，激发青少年学生的爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两所学校均计划于2021年7月组织师生参加“观看一部红色电影”活动．据了解，《1921》、《革命者》、《红船》、《三湾改编》等多部电影将陆续上映．甲、乙两校分别从这4部电影中任选一部电影观看，则甲、乙两校选择不同电影观看的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用古典概型概率公式即得.

【详解】分别用1，2，3，4表示《1921》、《革命者》、《红船》、《三湾改编》，

由题可得基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16种，

其中甲、乙两校选择不同电影有：，，，，，，，，，，，，共有12种，

所以甲、乙两校选择不同电影观看的概率是.

故选：D．

4. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是

A.  B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．

【详解】∵分别是的中点，

∴.

又，∴.故选C.

【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．

5. 光明学校为了解男生身体发育情况，从2000名男生中抽查了100名男生的体重情况，根据数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示，下列说法中错误的是（    ）

A. 样本的众数约为 B. 样本的中位数约为

C. 样本的平均值约为66 D. 体重超过75kg的学生频数约为200人

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，结合众数，中位数，平均值公式，分别求得众数，中位数，平均值，可判断A,B,C;根据频率与频数的关系，求得体重超过75kg的学生频数，判断D,即得答案．

【详解】对于，样本的众数为，故正确，

对于，设样本的中位数为，则，

解得，故正确，

对于，由直方图估计样本平均值可得：

，故错误，

对于，2000名男生中体重超过的人数大约为，故正确．

故选：．

6. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（    ）

A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出各个事件的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.

【详解】甲、乙、丙、丁事件分别记为，则有，，

对于A，显然甲丙不可能同时发生，即，A不正确；

对于B，显然丙丁不可能同时发生，即，B不正确；

对于C，，甲与丁相互独立，C正确；

对于D，，D不正确.

故选：C

7. 如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（    ）

A. 存在最大值，最大值为 B. 存在最小值，最小值为

C. 为定值 D. 不确定，与，的位置有关

【答案】C

【解析】

【分析】通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，即可确定答案.

【详解】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，.

故选：C

8. 将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，都存在，使得，则的值可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意易得在上的值域包含在上的值域，再分析的最值判断值域的包含关系，结合选项排除即可

【详解】由题，，又对任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又当时，，即在上的值域包含.又当时， ，且有解，故区间包含，排除AB；又当时，，因为，故不包含不合题意排除D；当时，此时，故，故此时在上的值域包含满足条件.综上所述满足条件

故选：C

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分

9. 一种新冠病毒变种在多个国家和地区蔓延扩散，令全球再度人心惶惶．据悉，新冠病毒变种被世界卫生组织定义为“关切变异株”，被命名为奥密克戎（Omicron）．根据初步研究发现，奥密克戎变异株比贝塔（Beta）变异株和德尔塔（Delta）变异株具有更多突变，下图是某地区奥密克戎等病毒致病比例（新增病例占比）随时间变化的对比图，则下列说法正确的有（    ）

A. 奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多

B. 德尔塔变异株用了天占据该地区约的新增病例

C. 贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性强

D. 德尔塔变异株感染的病例占新增病例用了约天

【答案】AD

【解析】

【分析】根据统计图逐项判断可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多，A对；

对于B选项，德尔塔变异株用了近天占据该地区约的新增病例，B错；

对于C选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例的用了近天左右，

而贝塔变异株感染的病例占新增病例的所用时间超过了天，C错；

对于D选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例用了约天，D对.

故选：AD.

10. （多选题）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，记事件“选中的2人都是女同学”的概率为；事件“选中2人都是男同学”的概率为；事件“选中1名男同学1名女同学”的概率．则下列选项正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意列出基本事件，根据古典概型概率公式分别求出，，，然后结合选项逐项分析即可求出结果.

【详解】将2名男同学分别记为，，3名女同学分别记为，，，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有，，，，，，，，，共10种，则，，，

因此，，，，

故选：BC.

11. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（    ）

A. 四棱锥为“阳马”

B. 四面体为“鳖臑”

C. 四棱锥体积最大为

D. 过点分别作于点，于点，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

∴在堑堵中，，侧棱平面，

A选项，∴，又，且，则平面，

∴四棱锥为“阳马”，对；

B选项，由，即，又且，

∴平面，

∴，则为直角三角形，

又由平面，得为直角三角形，

由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．

∴四面体为“鳖臑”，对；

C选项，在底面有，即，

当且仅当时取等号，

，错；

D选项，因为平面，则，

且，则平面，

∴，又且，

则平面，所以则，对；

故选：ABD．

12. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，过去天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为，极差为；乙地：平均数为，众数为；丙地：平均数为，中位数为；丁地：平均数为，方差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（    ）

A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地

【答案】ACD

【解析】

【分析】计算出甲地每天新增疑似病数的最大值，可判断A；利用特例法可判断B；利用反证法可判断CD.

【详解】甲地的中位数为，极差为，所以，最大值不大于，故A符合；

若乙地过去天每天新增疑似病例人数分别为、、、、、、、、、，

则满足平均数为，众数为，但不满足每天新增疑似病例不超过人，故B不符合；

假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过人，

由中位数为可得平均数的最小值为，

与题意矛盾，故C符合；

假设至少有一天新增疑似病例超过人，则方差的最小值为，与题意矛盾，故D符合．

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为____________．

【答案】360

【解析】

【分析】根据分层抽样的性质得出该高校抽取的志愿者总人数.

【详解】因为，用分层抽样方法从中抽取博士生30人，所以本科生、硕士生抽取的人数分别为人、人，则该高校抽取的志愿者总人数为.

故答案为：360

14. 我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是_______

【答案】##0.5

【解析】

【分析】写出随机任取 “两行”共有多少种，再写出“两行”相生的可能情况，根据古典概型的概率计算求得答案.

【详解】由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，

其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，

所以取出的“两行”相生的概率,

故答案为：

15. 在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为__________.

【答案】2

【解析】

【分析】根据茎叶图进行数据分析求出极差，再由极差与中位数之和为61，列方程即可求解.

【详解】根据茎叶图进行数据分析可得：极差为48-20=28.

因为极差与中位数之和为61，所以中位数为33.

设被污染的数字为a，则，解得：a=2.

故答案为：2

16. 如图，在中，D为边上一点，，若的面积为，则的余弦值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】先由的面积求得，再由余弦定理求得，最后利用余弦定理求出的余弦值即可.

【详解】易知，，解得，故，，

又，故，,，即，

故，故.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：

试回答以下问题：

（1）求抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差.

（2）10名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分比为多少？

【答案】（1），   

（2）6人，占

【解析】

【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式直接求解即可，

（2）由（1）直接计算和，再找在这之间的人数，从而可求出百分比

【小问1详解】

抽取的10名退休职工问卷得分的均值为

，

抽取的10名退休职工问卷得分的方差为

【小问2详解】

由（1）可得，

所以，，

所以10名退休职工问卷得分在与之间有6人，占百分比为

18. 2022年2月20日，北京冬奥会在国家体育场“鸟巢”落下帷幕，中国代表团创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某学校组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩分成，，，，（成绩均在区间上）共五组并制成如下频率分布直方图.学校决定对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶.

（1）试求参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估计值；

（2）从受奖励15名学生中按上述成绩分组并利用分层抽样抽取5人.现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率.

【答案】（1）众数为75，受奖励分数的估计值为85   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图众数求法，可得众数；先求得成绩在的人数，分析可得受奖励分数线在内，且设为x，根据题意，列出方程，即可得答案.

（2）由（1）可得成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，利用分层抽样，分别求得两层人数，且记作，，， ，，分别列出总可能情况和满足条件情况，根据古典概型概率公式，即可得答案.

【小问1详解】

由频率分布直方图估计众数为75，

竞赛成绩在的人数为，

竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在内.

设受奖励分数为，则，

解得，故受奖励分数的估计值为85.

【小问2详解】

由（1）知，受奖励的15人，成绩在的人数为9，成绩在的人数为6，

利用分层抽样，可知成绩在的抽取3人，记作，，，成绩在的抽取2人，记作，，

现从这5人中抽取2人，所有的可能情况有，，，，，，，，，共10种，

满足条件的情况有，，，，，共6种，

故所求的概率为.

19. 已知函数，.

（1）求的最小正周期及单调增区间；

（2）求在区间的值域.

【答案】（1）最小正周期为，增区间为，   

（2）

【解析】

【分析】（1）由周期公式可求出最小正周期，由，可求出函数的增区间，

（2）由，得，然后利用正弦函数的性质可求出其值域

【小问1详解】

∵，

∴，即最小正周期.

由，解得，

∴增区间为，

【小问2详解】

∵，∴，

∴，

∴，

∴值域为.

20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角B；

（2）若b=4，求周长的最大值.

【答案】（1）；   

（2）12.

【解析】

【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.

（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值

【小问1详解】

因为，则，

在中，由正弦定理得，，而，即，

整理得，即，又，解得，

所以.

【小问2详解】

中，由余弦定理得：，即，

而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，

因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，

所以周长的最大值为12.

21. 大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一.我校开展体能测试，A、B、C三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为“优秀”，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为“优秀”，若第二跳失败，则等级为“良好”，挑战结束.已知A、B、C三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.

（1）求A，B，C三名男生在这次跳远挑战中共跳5次的概率；

（2）分别求A，B，C三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”的概率

【答案】（1）   

（2）A，B，C三名男生获得“优秀”的概率分别为，，

【解析】

【分析】（1）A，B，C三名男生共跳5次，则可知有1人第一跳成功，其余2人第一跳失败，然后利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可，

（2）根据题意获得优秀可分为两个互斥事件：第一次成功，第一次失败第二次成功，由此分别计算即可

【小问1详解】

记“A，B，C三名男生第跳成功分别为事件，则由题意可知

,

A，B，C三名男生共跳5次，则有1人第一跳成功，其余2人第一跳失败，

记“A，B，C三名男生共跳5次”为事件，则

【小问2详解】

由题意得男生跳高的等级为“优秀”的概率为

,

男生跳高的等级为“优秀”的概率为

男生跳高的等级为“优秀”的概率为

22. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.

（1）求证：平面；

（2）若，求证：；

（3）求四面体体积的最大值

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）2

【解析】

【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，先证四边形是平行四边形，即可.

(2)要证线线垂直，先证线面垂直，先证平面即可.

(3) 设,四面体的体积为,即可求最值.

【小问1详解】

证明：∵四边形，都是矩形，

∴，，∴四边形是平行四边形，   

∴，∵平面，∴平面；

【小问2详解】

证明：连接，设，∵平面平面，且，

∴平面，∴，

又，∴四边形为正方形，∴，            

∴平面，又平面，∴，

【小问3详解】

解：设，则，其中，

由（1）得平面，

∴四面体的体积为： 

，       

时，四面体的体积最大，其最大值为.