广东省茂名市电白区第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（解析版）

这是一份广东省茂名市电白区第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
4．三个数的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．，D．，
6．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
7．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．48%B．37%C．28%D．15%
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）
9．下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为
D．若，则向量与的夹角为锐角
11．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )
A．
B．若，则函数的最小正周期为；
C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．函数的定义域为 ．
13．若，且，则 .
14．已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．已知，，.
(1)求与的夹角；
(2)若，求实数的值；
(3)设，，若与共线，求实数的值.
17．已知关于的不等式．
(1)若不等式的解集是，求的值;
(2)若，，求此不等式的解集．
18．已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域.
(3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.
19．已知定义域为的函数.当时，若（，）是增函数，则称是一个“函数”.
(1)判断函数（）是否为函数，并说明理由；
(2)若定义域为的函数满足，解关于的不等式；
(3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：①对任意，都是函数；②，. 若对一切和所有成立，求实数的最大值.
1．B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为，所以,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
2．A
【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐标公式得出，从而得出答案.
【详解】若，则，所以；
若，则，解得，得不出．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
3．A
【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
所以为等边三角形．
故选：A
4．A
【分析】根据题意，由，即可得到结果.
【详解】由三个数，
可知其大小关系为.
故选：A
5．D
【分析】根据题意，由余弦型函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，令，
解得，，
令，则，
令，，
又，所以的单调递增区间是，.
故选：D
6．A
【分析】由题意，利用基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可．
【详解】若两个正实数，满足，则，
，当且仅当时取得等号，
不等式恒成立，等价为，
则，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值问题，难度不大，正确转化恒成立为求最值问题是解决此题的关键．
7．B
【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得，结合正弦函数的图象先判断，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
因为，周期，函数在上没有零点，
则，所以，
因为，所以，
又在上没有零点，所以，解得，
又因为， ，，所以或，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个，一是利用图象变换能准确求出变换后的函数解析式；二是利用区间内没有零点列出限制条件.
8．A
【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和5000时的比值即可求解.
【详解】由题意可得，当时，，
当时，，
所以
，
所以的增长率约为.
故选：A
9．BCD
【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】A：因为，
所以本选项不正确；
B：因为，
所以本选项正确；
C：因为
所以本选项正确；
D：因为，
所以本选项正确，
故选：BCD
10．BC
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB选项，根据投影向量定义可得判断C选项，由 可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.
【详解】解：已知平面向量，，，
对于A，若，可得，即，解得，所以A选项错误；
对于B，若，根据平面向量共线性质，可得，即，所以B选项正确；
对于C，若，则，
由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，
所以C选项正确；
对于D，若，则，所以；
但当时，，
此时向量与的夹角为，所以D选项错误；
故选：BC.
11．ABD
【分析】A：在上单调，，，故；
B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期；
C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.
【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确；
B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确.
C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误.
D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.
12．
【分析】利用具体函数的定义域的求法求解.
【详解】解：由，得且，
所以函数的定义域为，
故答案为：
13．
【分析】由，结合诱导公式求解.
【详解】因为
所以，
故答案为：.
14．
【分析】因为，所以或，结合图象可得的图象与直线有3个交点，据此即可求解.
【详解】因为，
所以或，
因为关于x的方程有6个不同的实数根，
所以的图象与直线和直线有6个不同的交点，
如图的图象与直线有3个交点，
所以只需的图象与直线有3个交点，且，
所以.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答.
（2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答.
【详解】（1）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
16．(1)
(2)或.
(3)
【分析】（1）根据平面向量数量积的运算，直接代入计算即可得到与的夹角；
（2）根据题意，将向量模长平方，然后代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.
【详解】（1）因为，，且，
即，
所以，
解得，即与的夹角为.
（2）因为，则，
所以，
即，解得或.
所以的值为或.
（3）由（1）可得不共线，且，，
则必存在实数，使得，即，
解得，所以.
17．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题意可知1和5是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果；
（2）分，，和四种情况求解一元二次不等式.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以1和5是方程的两个根，且，
所以，解得，
所以；
（2）当时，可化为，
所以，
由（），得或，
当时，由，得或，
当，即时，由，得，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，由，得，
综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
18．(1)；
(2)递增区间为，递减区间为，值域为；
(3).
【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答.
（2）由（1）及已知求出，再结合正弦函数性质求解作答.
（3）由（2）及已知求出函数的解析式，借助的周期列出不等式求解作答.
【详解】（1）依题意，，.
（2）由（1）知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，，，
所以在上的值域为.
（3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称，
则，解得：，又，即有，
于是得，由得：，，而函数的周期，
依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根，
则有，即，解得，
所以正实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
19．(1)是，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将代入解析式，根据整理表达式，判断是否为增函数即可；
（2）由函数可知是上的增函数，有意义，需满足，显然时不等式不成立，设，转化不等式为，结合单调性即可判断；
（3）由题可知是函数，也是函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当，或当时，，再讨论当，结合可判断，即满足当时，对一切成立.另证明任意均不满足要求：任意，定义函数满足条件②，满足条件①时符合，即可证明.
【详解】（1）是，理由：由题，
（，）为增函数，
故（）是函数.
（2）因为是函数，且，所以是上的增函数，
因为有意义，所以，显然，时不等式不成立，下设，
此时等价于，
由的单调性得，，即所求不等式的解集为.
（3）由题意，是函数，故是增函数，从而当时，，即；而是函数，故是增函数，从而当时，，即，
当时，同理可得，且，故且，故.
因此 ，当时，对一切成立.
下证，任意均不满足要求，由条件②知，.
另一方面，对任意，定义函数，容易验证条件②成立.
对条件①，任取，有，
注意到是增函数，
而对，当时，；当时，，均单调不减.
因为，
所以条件①成立.从而.此时，，
故，从而为所求最大值.
【点睛】关键点点睛：灵活利用已知函数值构造函数，借助函数的单调性来处理不等式问题.