广东省茂名市电白区2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

2021-2022学年度第二学期期中考试

高一数学参考答案

1．B

【分析】先根据复数的四则运算法则求出，再根据复数的虚部的定义即可求出．

【详解】因为，所以的虚部是．

故选：B．

2．C

【分析】根据两角和差正切公式计算即可.

【详解】.

故选：C.

3．B

【分析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m的方程，解得答案.

【详解】由向量，，且∥，可得:,

故选：B

4．A

【分析】先计算的坐标，转化为·=0，利用数量积的坐标表示，即得解

【详解】由已知，因为，所以，即.故选：A

5．D

【分析】利用复数相等求出a，b，再借助复数平方运算计算作答.

【详解】因，a，，则有，

所以.故选：D

6．C

【分析】根据平面、线面平行、线线平行、异面直线等知识确定正确选项.

【详解】A，不在同一条直线上的三个点确定一个平面，A错误.

B，，与内的直线可以平行、异面，B错误.

C选项，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，C正确.

D选项，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能在这个平面内，D错误.故选：C

7．A

【分析】根据左加右减原则，即可得到答案；

【详解】函数向右平移个单位长度，，

故选：A

8．D

【分析】由题意考查球与圆锥相切的情况，然后结合均值不等式的结论即可求得圆锥侧面积的最小值.

【详解】满足题意时，圆锥与球相切，其纵截面如图所示，

设圆锥的底面半径，母线长，内切球半径，

由小球的体积为可知其半径为，

利用等面积法可得：，

故，       ①

不妨设，代入①式整理可得：，

则圆锥的侧面积的平方：

，

故，当且仅当时等号成立.

故选D

【点睛】本题主要考查球与圆锥的关系，均值不等式求最值的方法，圆锥的侧面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．ABD

【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，

，故D正确.

故选：ABD

10．ABCD

【分析】根据向量的加减运算法则分别判断.

【详解】，

，

，

.

所以选项全正确.故选：ABCD

11．BD

【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.

【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；

对B：若，，则，故选项B正确；

对C：若，，则或与相交，故选项C正确；

对D：若，，m∥n，则α∥β，故选项D正确.

故选：BD.

12．ACD

【分析】由函数的对称性和诱导公式可判断A；由函数的对称性和诱导公式可判断B；由周期函数的定义可判断C；由正弦函数的单调性可判断D．

【详解】由，，

即有，

所以的图象关于直线对称，故A正确；

由，

故的图象不关于对称，故B错误．

由，

可得的周期为，故C正确；

当时，，单调递增且；所以在区间单调递减，故D正确．

故选：ACD．

13．

【分析】根据点与向量的关系即可求解.

【详解】设B点的坐标为，则

.

∴解得,解得∴B点的坐标是.

故答案为：

14．1

【分析】直接求出a，b，即可得到答案.

【详解】因为，且与3+4i互为共轭复数，

所以，

所以1.故答案为：1

15．

【分析】由题可得，然后利用圆锥的体积公式即得.

【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h,由圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，

∴，

∴该圆锥的体积为.

故答案为：.

16．②④

【分析】根据线面位置关系逐个分析，确定各命题真假. 对于①③，举反例即可，而②④需从二面角定义以及线面平行判定进行说明正确性.

【详解】对于①，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确；对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确；对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确；对于④，由n∥β得，在平面β内必存在直线n1平行于直线n，由m⊥α，α∥β得m⊥β，m⊥n1，又n1∥n，因此有m⊥n，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④.

故答案为②④

【点睛】本题考查线面位置关系判定、二面角定义以及线面平行判定，考查基本分析辨析能力，属中档题.

17．3或13

【分析】由△ABC为直角三角形，可知A＝90°或B＝90°或C＝90°，然后分三种情况分析计算即可

【详解】∵△ABC是直角三角形，∴A＝90°或B＝90°或C＝90°………………………1分

由题意分三种情况求解：

①当A＝90°时，即 ＝0，则，解得,…………………4分

②当B＝90°时，∵，，

∴，解得，……………………………………………………7分

③当C＝90°时，即，则，

即，方程无解，………………………………………………………………9分

综上，或………………………………………………………………………10分

18．(1)；(2)且；(3).

【分析】（1）令虚部等于且即可求解；

（2）令虚部不等于且即可求解；

（3）令实部等于，虚部不等于即可求解.

(1)若复数为实数，则 ，可得，

所以当时，复数表示实数……………………………………………………………4分

(2)若复数为虚数，则，可得且，

所以当且时，复数表示虚数…………………………………………………8分

(3)若复数为纯虚数，则，解得：．

所以当时，复数为纯虚数…………………………………………………………12分

19．(1)，，(2)

【分析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解.

(1)∵,且,

∴,………………………………………………………………2分

∴,……………………7分

(2)…………12分

20．(1)，(2)

【分析】（1）把所给条件展开代入数量积公式即可得到夹角；

（2）先利用（1）中的数据求平方再开方即可.

(1)，……………………………2分

，…………………………………………………………………………………3分

…………………………………………7分

(2)，…………………………………11分

………………………………………………………………………………12分

21．(1)证明见解析，(2)

【分析】（1）连接，则三点共线，由中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果；

（2）过作底面，则且，由三棱锥的体积，即可求出结果.

(1)解：连接，则三点共线……………………1分

E，F分别为PB，BD的中点……………3分

又平面，平面，………………4分

平面…… ……………………………………5分

(2)解：过作底面，则且，……………7分

由于底面为正方形，，正方形的面积为，………8分

，…………………………………10分

三棱锥的体积……12分

22．(1)，(2)证明见解析

【分析】(1)由图象可以得到 ，由此可以得到函数 的解析式；

(2)对进行变形，再利用基本不等式；确定 的取值范围，再求出跟已知区间的交集，从而说明 ，使得成立.

(1)由题意可得：.得，…………………………2分

由，因为，所以. …………………………3分

所以. ……………………………………………………………4分

(2)证明：因为，……………………………5分

又因为，所以 ………………………………………………6分

所以，当且仅当，即时取到  …………………7分

又因为，即，所以

所以≤成立.   ………………………………………………………………8分

要存在，使成立，只需存在，

使得，即…………………………………………………9分

所以，解得：

即与有交集，……………………………10分

当………………………………………………11分

所以存在.使成立.  ………………………………12分