2021-2022学年广东省茂名市电白区高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省茂名市电白区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知复数：满足为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列问题中，最适合用简单随机抽样方法的是(    )

A. 某学校有学生人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为的样本
B. 为了准备省政协会议，某政协委员计划从个村庄中抽取个进行收入调查
C. 从全班名学生中，任意选取名进行家访
D. 为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的人中抽取人进行统计

3. 年是中国共产党成立周年，为了庆祝建党周年，激发青少年学生的爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两所学校均计划于年月组织师生参加“观看一部红色电影”活动．据了解，、革命者、红船、三湾改编等多部电影将陆续上映．甲、乙两校分别从这部电影中任选一部电影观看，则甲、乙两校选择不同电影观看的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，是的中点，若，则实数的值是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 光明学校为了解男生身体发育情况，从名男生中抽查了名男生的体重情况，根据数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示，下列说法中错误的是(    )

A. 样本的众数约为
B. 样本的中位数约为
C. 样本的平均值约为
D. 光明学校男生中体重超过的学生频数约为人

6. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则(    )

A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立

7. 如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积(    )

A. 存在最大值，最大值为 B. 存在最小值，最小值为
C. 为定值 D. 不确定，与，的位置有关

8. 将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，再向下平移个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象．若对任意，都存在，使得，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 一种新冠病毒变种在多个国家和地区蔓延扩散，令全球再度人心惶惶．据悉，新冠病毒变种被世界卫生组织定义为“关切变异株”，被命名为奥密克戎根据初步研究发现，奥密克戎变异株比贝塔变异株和德尔塔变异株具有更多突变，下图是某地区奥密克戎等病毒致病比例新增病例占比随时间变化的对比图，则下列说法正确的有(    )

A. 奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多
B. 德尔塔变异株用了天占据该地区约的新增病例
C. 贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性强
D. 德尔塔变异株感染的病例占新增病例用了约天

10. 从名男同学和名女同学中任选人参加社区服务，记事件“选中的人都是女同学”的概率为；事件“选中的人都是男同学”的概率为；事件“选中名男同学名女同学”的概率则下列选项正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图在堑堵中，，且下列说法正确的是(    )

A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体为“鳖臑”
C. 四棱锥体积最大为
D. 过点分别作于点，于点，则

12. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，过去天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为，极差为；乙地：平均数为，众数为；丙地：平均数为，中位数为；丁地：平均数为，方差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是(    )

A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 北京时间月日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以枚金牌枚银牌枚铜共枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史．据统计某高校共有本科生人，硕士生人，博士生人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生人，则该高校抽取的志愿者总人数为______．
14. 我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是______．
15. 在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为，则被污染的数字为______．

16. 如图，在中，为边上一点，，，，若面积为，则的余弦值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 某单位为了了解退休职工生活情况，对名退休职工做了一次问卷调查，满分分，并从中随机抽取了名退休职工的问卷，得分情况统计如下：

试回答以下问题：
求抽取的名退休职工问卷得分的均值和方差．
名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占名退休职工的百分比为多少？

18. 年月日，北京冬奥会在国家体育场“鸟巢”落下帷幕，中国代表团创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某学校组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩分成，，，，成绩均在区间上共五组并制成如下频率分布直方图．学校决定对成绩前名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶．
    试求参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估计值；
    从受奖励的名学生中按上述成绩分组并利用分层抽样抽取人．现从这人中抽取人，试求这人成绩恰有一个不低于分的概率．

19. 已知函数，．
    求的最小正周期及单调增区间；
    求在区间的值域．
20. 已知的内角，，的对边分别为，，，且
    求角；
    若，求周长的最大值．
21. 大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要日标之一．我校开展体能测试，，，名男生准备在跳远测试中挑战米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为“优秀”，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为“优秀”，若第二跳失败，则等级为“良好”，挑战结束．已知，，三名男生成功跳过米的概率分别是，且每名男生每跳相互独立．
    求，，三名男生在这次跳远挑战中共跳次的概率；
    分别求，，三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”的概率；
    记这次体能测试中，，三名男生跳远的等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望．
22. 如图，矩形中，，，分别在线段和上，，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．
    
    Ⅰ求证：平面；
    Ⅱ若，求证：；
    Ⅲ求四面体体积的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，则，
故选：．
利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义即可得出结论．
本题考查了复数的四则运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，适合运用系统抽样；
在中，适合运用系统抽样；
在中，适合运用简单随机抽样；
在中，适合运用系统抽样．
故选：．
利用简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的性质直接求解．
本题考查抽样方法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的性质的合理运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：分别用，，，表示、革命者、红船、三湾改编，
由题可得基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有种，
其中甲、乙两校选择不同电影有：，，，，，，，，，，，，共有种，
所以甲、乙两校选择不同电影观看的概率是．
故选：．
利用古典概型概率公式即得．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，所以，
，因为，，三点共线，
，
，
故选：．
题目隐含的等量关系是，，三点共线若、、三点共线，则，若将中的用表示，就可得到关于的方程．
本题考查了平面向量基本定理以及向量共线的充要条件，向量共线基本定理或其推论在高考中经常出现，要引起重视．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，样本的众数为，故A正确；
对于，设样本的中位数为，则，解得：，故B正确；
对于，由直方图估计样本平均值可得：
，故C错误；
对于，名男生中体重超过的人数大约为，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合众数，中位数，平均值公式，分别求得众数，中位数，平均值，可判断，，；根据频率与频数的关系，求得体重超过的学生频数，判断，即得答案．
本题考查由频率分布直方图求频数、频率、众数、中位数、平均数，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：甲、乙、丙、丁事件分别记为，，，，则有，，，
对于，，，，不正确；
对于，，，，不正确；
对于，，，，甲与丁相互独立，C正确；
对于，，，，不正确．
故选：．
根据给定条件，求出各个事件的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，三棱锥的体积就是的体积，连接，作于，
所以为到的距离：，
为到平面的距离，
∽，可得，所以，
所以．
故选：．
利用等体积法，转化求解三棱锥的体积即可．
本题考查空间几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，再向下平移个单位长度，可得的图象；
最后向左平移个单位长度，得到函数的图象．
对任意，都存在，使得，
故函数的值域包含在上的值域包含．
又当，所以，且有解，
故区间包含，故排除和，
当时，，
由于，
故不包含；不合题意，故排除；
当时，，此时，故；
此时函数在上的值域包含，
满足条件，综上所述满足条件．
故选：．
直接利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用和排除法的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，由图可知奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多，故A正确；
对于，由图可知德尔塔变异株用了约天占据该地区逾的新增病例，故B错误；
对于，德尔塔变异株感染的病例占新增病例的用了天左右，而贝塔变异株感染的病例占新增病例的所用时间超过了天，故
贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性弱，故C错误；
对于，由图可知德尔塔变异株感妹的病例占新增病例用了约天，故D正确．
故选：．
根据图象即可判断；比较德尔塔变异株感染的病例占新增病例的用的时间和贝塔变异姝感染的病例占新增病例的所用时间，即可判断贝塔变异株和德尔塔变异株的传染性强弱，从而判断．
本题考查通过某地区奥密克戎等病毒致病比例新增病例占比随时间变化的对比图分析数据，得到变化规律，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：将名男生分别记为，，名女生分别记为，，，
则从名学生中任选人参加社区服务的所有可能情况有：
，，，，，，，，，，，共种，
则，，，
，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
根据题意列出基本事件，根据古典概型分别求出，，，然后结合选项逐项分析，能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，平面
四棱锥为“阳马”，故A正确；
B.四面体中，C、、、都是直角三角形，
四面体为“鳖臑”，故B正确；
C.当时，四棱锥体积为：
，故C错误；
D.过点分别作于点，于点，
，，，
平面，又平面，，
，平面，，
，平面，
平面，，故D正确．
故选：．
A.利用“阳马”定义直接判断；利用“鳖臑”定义直接判断；
C.当时，四棱锥体积；
D.过点分别作于点，于点，推导出平面，从而平面，进而是平面，由此得到B.
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，甲地的中位数为，极差为，最大值不大于，故A正确．
对于，若乙地过去天每天新增疑似病例人数分别为，，，，，，，，，，则满足平均数为，众数为，但不满足每天新增疑似病例不超过人，故B错误；
对于，假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过人，由中位数为可得平均数的最小值为，与题意矛盾，故C正确；
对于，假设至少有一天新增疑似病例超过人，则方差的最小值为，与题意矛盾，故D正确．
故选：．
计算出甲地每天新增疑似病数的最大值，可判断；利用特例法可判断；利用反证法可判断．
本题考查平均数、方差的概念，是基础题．
 

13.【答案】人 

【解析】解：因为：：：：，用分层抽样的方法从中抽取博士生人．
所以本科生、硕士生抽取的人数分别为人、人．
则该高校抽取的志愿者总人数为人．
故答案为：人．
利用各学位总人数之比求出志愿者人数之比，再根据博士生的志愿者人数求出各学位志愿者人数，从而求出总志愿者人数．
本题主要考查分层抽样，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意随机任取“两行”共有：
金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，
其中取出的“两行”相生的情况有：
金生水、水生木、木生火、火生土、土生金，共种，
取出的“两行”相生的概率是．
故答案为：．
写出随机任取“两行”共有多少种，再写出“两行”相生的可能情况，利用古典概型、列举法能求出结果．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设被污染的数字为，
该组数据的极差为，
该组数据的中位数为，
故，
解得，
故答案为：．
设被污染的数字为，先求该组数据的极差，从而得到中位数，再利用中位数公式求解即可．
本题考查了茎叶图及中位数等的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，则，
由可得，且，
因为面积，
所以，，，，
中，由余弦定理可得，，即，
由题意可得为等边三角形，，
中，由余弦定理可得，．
故答案为：
由已知结合三角形的面积公式可求，，然后分别利用余弦定理可求，，再由余弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
 

17.【答案】解：抽取的名退休职工问卷得分的均值为
．
抽取的名退休职工问卷得分的方差为

．
由可得．
所以，．
所以名退休职工问卷得分在与之间有人，占的百分比为． 

【解析】根据平均数和方差的计算公式直接求解即可，
由直接计算和，再找在这之间的人数，从而可求出百分比．
本题主要考查数据的平均数和方差，属于基础题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可知，
区间所在矩形最高，
故参赛学生成绩的众数估计值为，
成绩在区间上的学生有人，
成绩在区间上的学生有人，
故成绩前名的参赛学生中有名的成绩在区间上，
故估计受奖励的分数线为；
：：，
在区间上抽取了人，在区间上抽取了人，
记区间上抽取的人分别为，，；
区间上抽取的人分别为，；
则样本空间为，，，，，，，，，，
共有种情况；
满足这人成绩恰有一个不低于分的有，，，，，，
共有种情况；
故这人成绩恰有一个不低于分的概率为． 

【解析】由频率分布直方图可知区间所在矩形最高，从而求众数，分别计算成绩在区间与上的学生人数，从而估计受奖励的分数线；
先确定在区间上抽取的人数与在区间上抽取的人数，记区间上抽取的人分别为，，；区间上抽取的人分别为，；写出样本空间及满足条件的样本点，从而利用古典概率模型求概率．
本题考查了频率分布直方图及古典概率模型的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：对于函数，，它的最小正周期为，
令，，求得，，
可得函数的增区间为，．
在区间上，，，故，
故函数的值域为 

【解析】由题意，利用正弦函数的周期性、单调性，得出结论．
由题意，利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．
本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
 

20.【答案】解：由正弦定理及，知，
因为，所以，即，
因为，所以．
由余弦定理知，，
所以，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以周长为，
故周长的最大值为． 

【解析】利用正弦定理化边为角，并结合两角差的余弦公式与辅助角公式，得解；
结合余弦定理与基本不等式，推出，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，基本不等式，两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，三名男生共跳次，根据规则，有人第一跳成功，其余人第一跳失败，
第一跳成功，，第一跳失败，，
第一跳成功，，第一跳失败，，
第一跳成功，，第一跳失败，，
，，三名男生在这次跳远挑战中共跳次的概率为；
，
，
；
易知的所有可能取值为，，，，
所有；
；
；
，
所以的分布列为：

所以． 

【解析】 ，，三名男生共跳次，根据规则，有人第一跳成功，其余人第一跳失败，利用互斥事件和独立事件的概率公式计算；
三人获得优秀可分为两个互斥事件：第一次成功，第一次失败第二次成功．由此计算可得；
的值为，，，，分别计算出概率得分布列，再由期望公式计算期望．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．
 

22.【答案】Ⅰ证明：因为四边形，都是矩形，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面       
Ⅱ证明：连接，设，

因为平面平面，平面平面，且，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，                    
又矩形中，，
所以矩形为正方形，
所以 ，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以                          
Ⅲ解：设，则，其中，
由Ⅰ得平面，
所以四面体的体积为：
，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故求四面体体积的最大值为 

【解析】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查基本不等式的运用，掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确表示四面体的体积是关键，属于中档题．
Ⅰ先证明四边形是平行四边形，利用线面平行的判定，可证平面；
Ⅱ连接，设根据平面平面，且，可证平面，从而可得，进一步可证平面，利用线面垂直的判定，可得；
Ⅲ先表示出四面体的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体的体积最大值．