2022-2023学年广东省肇庆市加美学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省肇庆市加美学校高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设函数f(x)=sinx，则f′(x)等于( )
A. sinxB. −sinxC. csxD. −csx
2.将3支不同的钢笔分给6名同学中的3人，每人一支，则不同分法的种数是( )
A. 40B. 60C. 120D. 240
3.函数y=csx在点(−π2,0)处的切线方程是( )
A. y=x−π2B. y=x+π2C. y=−x+π2D. y=−x−π2
4.函数f(x)=x3−27x在区间[−4,2]上的最大值是( )
A. −46B. −54C. 54D. 46
5.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(B∩A)=0.1，求P(B|A)=( )
A. 110B. 13C. 15D. 1
6.若(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是( )
A. 240B. −240C. 160D. −160
7.已知函数f(x)=x2−ax在(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. [−16,+∞)B. (−∞,8)C. (−∞,−8)D. (−∞,16]
8.已知函数f(x)=x+1+ae−x有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A. (−1e2,0)B. (0,1e2)C. (0,1e)D. (−1e,0)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导正确的是( )
A. (2x3−3x2+5)′=6x2−6xB. (ex+lnx)′=ex+1x
C. (csx3)′=13sinx3D. (2x+4x+1)′=−2x2+4(x+1)2
10.若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+⋯a10x10,x∈R，则( )
A. a0=1B. a0=0
C. a0+a1+a2+⋯+a10=310D. a0+a1+a2+…+a10=3
11.有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%.则下列选项正确的有( )
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为27
12.已知函数f(x)=3x−9,x≥0xex,x<0，若f(x)的零点为α，极值点为β，则( )
A. α=0B. α+β=1
C. f(x)的极小值为−e−1D. f(x)有最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若An2=30，则n= ______．
14.计算C22+C32+C42+C52+C62=______．
15.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有 种.
16.已知函数f(x)=x+xlnx，g(x)=kx−k，若k∈Z，且f(x)>g(x)对任意x>e2恒成立，则k的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
请从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．
①第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9；
②二项式的常数项为−20．
问题：在二项式(x−1x)n(n∈N*,n≤8)展开式中，_____．
(1)求奇数项的二项式系数的和；
(2)求该二项展开式中x4的系数．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2x．
(1)求函数y=f(x)在点(2,5)处的切线方程；
(2)求函数y=f(x)的单调区间．
19.(本小题12分)
一组学生共有7人．
(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？
(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种，问该组学生中男、女生各有多少人？
20.(本小题12分)
如图，一个面积为6400平方厘米的矩形纸板ABCD，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，AD的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
(1)当a=80，求纸盒侧面积的最大值；
(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−x．
(1)求函数y=f(x)的最小值；
(2)求证：Cn1f′(1)+Cn2f′(2)+⋯+Cnn−1f′(n−1)>(2n−2)f′(n2)(n∈N*,n>2)．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2ln(x+1)+ax+1．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)=x−sinx+1+(x2+2x+2)esinx−1，求证：当a=1时，f(x)答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=sinx，∴f′(x)=csx
故选：C．
根据求导公式(sinx)′=csx进行求解，即可得到答案．
本题主要考查导数的求导公式，属基础题，送分题．
2.【答案】C
【解析】解：将3支不同的钢笔分给6名同学中的3人，则只要从6人选3人进行排列即可．
即A63=120种．
故选：C．
从6人选3人进行排列即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用排列公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由y=csx，得y′=−sinx，
∴y′|x=−π2=1，
则函数y=csx在点(−π2,0)处的切线方程是y−0=1×(x+π2)，
即y=x+π2，
故选：B．
求出原函数的导函数，得到函数在x=−π2处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=x3−27x，
则f′(x)=3x2−27，
令f′(x)=0，解得x=±3，
当−4≤x<−3时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，
当−3所以当x=−3时，函数f(x)取得唯一的极大值，即最大值，
所以f(x)的最大值为f(−3)=54．
故选：C．
求出f′(x)，利用导数研究函数f(x)的单调性，结合极值的定义求解最大值即可．
本题考查了导数的应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数最值的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(B∩A)=0.1，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=．
故选：C．
根据题意，直接利用条件概率公式计算．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为64，
所以2n=64，解得n=6，
所以展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(2x)6−r⋅(−1x2)r=C6r⋅(−1)r⋅26−r⋅x6−3r，
令6−3r=0，解得r=2，
所以展开式中的常数项为C62⋅(−1)2⋅24=240．
故选：A．
根据二项展开式中所有二项式系数和求出n，再利用展开式的通项公式求出展开式的常数项．
本题考查了二项式系数和与二项展开式的应用问题，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=x2−ax，其导数f′(x)=2x+ax2，
若函数f(x)在(2,+∞)上单调递增，
则f′(x)=2x+ax2≥0在(2,+∞)上恒成立，
变形可得a≥−2x3在(2,+∞)上恒成立，
则必有a≥−16，即a的取值范围为[−16,+∞)．
故选：A．
根据题意，求出函数的导数，分析可得f′(x)=2x+ax2≥0在(2,+∞)上恒成立，变形可得a≥−2x3在(2,+∞)上恒成立，据此分析可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题知：f′(x)=1−ae−x，x∈R.①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，至多有一个零点，不合题意；
②当a>0时，令f′(x)=0⇒x=lna，易知f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增，故f(x)的最小值为f(lna)=lna+1+1=lna+2．
∵f(x)有两个零点，当x→±∞时，f(x)→+∞，
∴f(lna)<0⇒2+lna<0，解得0故选：B．
先对f(x)求导，根据a的范围研究f′(x)的符号，判断f(x)的单调性，结合f(x)有两个零点，求出a的取值范围．
本题考查导数的简单应用，函数最值的求法，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：(2x3−3x2+5)′=6x2−6x，∴A选项正确；
(ex+lnx)′=ex+1x，∴B选项正确；
(csx3)′=−13sinx3，∴C选项错误；
(2x+4x+1)′=−2x2−4(x+1)2，∴D选项错误．
故选：AB．
对各个选项进行导数运算验证即可．
本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+⋯a12x12,x∈R，
令x=0得a0=1，故A正确．
令x=1得a0+a1+a2+⋯+a10=310，故C正确．
故选：AC．
根据选项的特点，采用赋值法求解．
本题考查二项式定理展开式的项的系数和系数的和，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查概率的计算，属于基础题．
假设3台车床生产的零件总数为100a，则第1台车床生产的次品数为25a×6%=1.5a，第2台车床生产的次品数为30a×5%=1.5a，第3台车床生产的次品数为45a×5%=2.25a，一共有次品5.25a，根据古典概型判断A，B;根据条件概率和古典概型判断C，D。．
【解答】解：根据题意，假设3台车床生产的零件总数为100a，则第1台车床生产的零件数为25a，第2台车床生产的零件数为30a，第3台车床生产的零件数为45a，
依次分析选项：
对于A，第1台加工的次品率为6%，则第1台车床生产的次品数为25a×6%=1.5a，则任取一个零件是第1台生产出来的次品概率P=1.5a100a=0.015，A错误，
对于B，第1台车床生产的次品数为1.5a，第2台车床生产的次品数为30a×5%=1.5a，第3台车床生产的次品数为45a×5%=2.25a，则一共有次品1.5a+1.5a+2.25a=5.25a，
则任取一个零件是次品的概率为5.25a100a=0.0525，B正确，
对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率P=，C正确，
对于D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率P=，D错误，
故选：BC．
12.【答案】BC
【解析】解：∵f(x)=3x−9,x≥0xex,x<0，
∵当x≥0时，f(x)=0，即3x−9=0，解得x=2；
当x<0时，f(x)=xex<0恒成立，
∴f(x)的零点为α=2．
又当x≥0时，f(x)=3x−9为增函数，故在[0,+∞)上无极值点；
当x<0时，f(x)=xex，f′(x)=(1+x)ex，
当x<−1时，f′(x)<0，当x>−1时，f′(x)>0，
∴x=−1时，f(x)取到极小值，即f(x)的极值点β=−1，且f(−1)=−1e，
∴α+β=2−1=1，
故选：BC．
令f(x)=0可求得其零点，即α的值，再利用导数可求得其极值点，即β的值，从而可得答案．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．
13.【答案】6
【解析】解：∵An2=n(n−1)=30
解得n=−5或n=6
又∵n为正整数，∴n=−5不成立，
∴n=6
故答案为6
利用排列数公式，把An2展开，再解关于n的一元二次方程即可．
本题考查了排列数公式的应用，属于基础题，必须掌握．
14.【答案】35
【解析】解：∵Cmn+Cm−1n=Cmn+1，
∴原式=∁33+∁32+∁42+∁52+∁62
=∁43+∁42+∁52+∁62
=∁53+∁52+∁62
=∁63+∁62=∁73=35．
故答案为：35．
先把∁22化为C33，再根据组合数的性质，Cnm+Cnm−1=Cn+1m，逐个化简，即可求出C22+C32+C42+C52+C62的值．
本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．
15.【答案】120
【解析】【分析】
本题考查分类加法计数原理，排列与排列数公式，属于较易题．
根据题意按“数”的排课方法分3种情况讨论，求出每种情况的排课顺序，由分类加法原理即可求出“六艺”课程讲座不同的排课顺序的方法种数．
【解答】
解：根据题意可知，“数”必须排在前三节，据此分3种情况讨论：
①“数”排在第一节，“射”和“御”两门课程联排的情况有4×A22=8种，剩下的三门课程有A33=6种情况，此时有8×6=48种排课顺序；
②“数”排在第二节，“射”和“御”两门课程联排的情况有3×A22=6种，剩下的三门课程有A33=6种情况，此时有6×6=36种排课顺序；
③“数”排在第三节，“射”和“御”两门课程联排的情况有3×A22=6种，剩下的三门课程有A33=6种情况，此时有6×6=36种排课顺序；
则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有48+36+36=120种．
故答案为：120．
16.【答案】3
【解析】解：函数f(x)=x+xlnx，g(x)=kx−k，
因为f(x)>g(x)对任意x>e2恒成立，
即ke2恒成立，
令m(x)=x+xlnxx−1，
则m′(x)=x−lnx−2(x−1)2，
令h(x)=x−lnx−2，
则h′(x)=1−1x=x−1x>0，
所以h(x)在(e2,+∞)上单调递增，
则h(x)>h(e2)=e2−4>0，
故m′(x)>0，所以m(x)在(e2,+∞)上单调递增，
则m(x)>m(e2)=3e2e2−1=3+3e2−1∈(3,4)，
又k∈Z，
所以k的最大值为3．
故答案为：3．
将不等式利用参变量分离，得到ke2恒成立，构造m(x)=x+xlnxx−1，求出m′(x)，构造h(x)=x−lnx−2，利用导数研究h(x)的单调性，求出h(x)的取值范围，从而得到m′(x)的正负，确定m(x)的单调性，求出m(x)的取值范围，从而得到k的最大值．
本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与函数最值的应用，不等式恒成立的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．
17.【答案】解：选择条件①
由题意可知Cn2−Cn1=9,(n∈N*,2≤n≤8)，n(n−1)2−n=9，n2−6n−18=0，
解得：n=6，
(1)奇数项的二项式系数的和C60+C62+C64+C66=32．
(2)由二项式定理得(x−1x)6展开式的通项为Tr+1=C6rx6−r(−1x)r=C6r(−1)rx6−2r，
根据题意，得6−2r=4，r=1，
因此，x4的系数是C61(−1)1=−6．
选择条件②
由二项式定理得(x−1x)n展开式的通项为Tr+1=Cnrxn−r(−1x)r=Cnr(−1)rxn−2r，
根据题意，得n−2r=0,Cnr(−1)r=−20，
因此，r为奇数，
当r=1时，n=2,C21(−1)=−2，不合题意，
当r=3时，n=6,C63(−1)3=−20，符合题意．
所以n=6．
(1)奇数项的二项式系数的和C60+C62+C64+C66=32．
(2)由二项式定理得(x−1x)6展开式的通项为Tr+1=C6rx6−r(−1x)r=C6r(−1)rx6−2r，
根据题意，得6−2r=4，r=1，
因此，x4的系数是C61(−1)1=−6．
【解析】选择条件①，由题意可知Cn2−Cn1=9,(n∈N*,2≤n≤8)，n(n−1)2−n=9，解得n=6，
(1)根据题意，分别列出奇数项的二次项系数，并求和，即可求解．
(2)根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
选择条件②，由二项式定理得(x−1x)n展开式的通项为Tr+1=Cnrxn−r(−1x)r=Cnr(−1)rxn−2r，根据题意，得n−2r=0,Cnr(−1)r=−20，分r=1，r=3讨论，即可求得n=6，
(1)根据题意，分别列出奇数项的二次项系数，并求和，即可求解．
(2)根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数的定义域为{x|x≠0}，
∵f′(x)=2x−2x2，∴f′(2)=72，
∴函数y=f(x)在点(2,5)处的切线方程y−5=72(x−2)，
即7x−2y−4=0；
(2)∵f′(x)=2(x3−1)x2=2(x−1)(x2+x+1)x2，
令f′(x)=0，得x=1，
∴当x>1时，f′(x)>0，可知f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
当x<0，或0∴f(x)单调递增区间(1,+∞)，单调递减区间(−∞,0)和(0,1)．
【解析】(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=2处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；
(2)求出函数的定义域，由导函数大于0得原函数的增区间，由导函数小于0得函数的减区间．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的单调区间，是中档题．
19.【答案】解：(1)所有的不同选法种数，就是从7名学生中选出3人的组合数，所以选法种数为C73=35．
(2)设有男生x人，女生则有7−x人，
从这7人中选出2名男生2女生方法有Cx2C7−x2种
要求每人参加一项且每项活动都有人参加C42A33种，
根据分步乘法计数原理得Cx2C7−x2C42A33=648，
所以x(x−1)(7−x)(6−x)=72，(x∈N*且2≤x≤5)，
解得x=3，或x=4，
所以该组学生中男生3人，女生4人或男生4人，女生3人．
【解析】(1)根据组合的定义即可求出；
(2)设有男生x人，女生则有7−x人，根据分步计数原理得，列出方程，解方程求得．
本题考查了组合数公式的应用，应注意未知数的范围限制．
20.【答案】解：(1)当a=80时，b=80，纸盒的底面是正方形，边长为80−2x，周长为320−8x，
所以纸盒的侧面积S(x)=(320−8x)x=−8x2+320x，其中x∈(0,40)，
令S′(x)=0，得x=20，
所以当x<20时，S′(x)>0，可知S(x)在区间(0,20)上单调递增，
当x>20时，S′(x)<0，可知S(x)在区间(20,40)上都单调递减，
S(x)的最大值为S(x)max=S(20)=3200，
所以当a=80时，纸盒侧面积的最大值为3200平方厘米．
(2)纸盒的体积V=(a−2x)(b−2x)x，其中x∈(0,b2),a≥b>0，且ab=6400，
因为(a−2x)(b−2x)=ab−2(a+b)x+4x2≤ab−4 abx+4x2=4(x2−80x+1600)，
当且仅当a=b=80时取等号，
所以V(x)≤4(x3−80x2+1600x)，x∈(0,40)，
记f(x)=4(x3−80x2+1600x)，x∈(0,40)，
则f′(x)=4(3x−40)(x−40)，
令f′(x)=0，得x=403，列表如下：
由上表可知，f(x)的极大值是f(403)=102400027，也是最大值，
所以当a=b=80，且x=403时，纸盒的体积最大，最大值为102400027立方厘米．
【解析】(1)当a=80时，b=80，纸盒的底面是正方形，边长为80−2x，周长为320−8x，所以纸盒的侧面积S(x)=(320−8x)x=−8x2+320x，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
(2)纸盒的体积V=(a−2x)(b−2x)x，其中x∈(0,b2),a≥b>0，且ab=6400，因为(a−2x)(b−2x)=ab−2(a+b)x+4x2≤ab−4 abx+4x2=4(x2−80x+1600)，当且仅当a=b=80时取等号，所以V(x)≤4(x3−80x2+1600x)，x∈(0,40)，记f(x)=4(x3−80x2+1600x)，x∈(0,40)，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，掌握利用导数研究函数的单调性是解本题的关键，属于中档题．
21.【答案】(1)解：函数f(x)=ex−x，
则f′(x)=ex−1，
令f′(x)=0，解得x=0，
所以当x>0时，f′(x)>0，可知f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
当x<0时，f′(x)<0，可知f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，
所以当x=0时，f(x)取得最小值f(0)=1；
(2)证明：Cn1f′(1)+Cn2f′(2)+⋯+Cnn−1f′(n−1)
=Cn1(e−1)+Cn2(e2−1)+⋯+Cnn−1(en−1−1)
=Cn1e+Cn2e2+⋯+Cnn−1en−1−(Cn1+Cn2+⋯+Cnn−1)
=Cn1e+Cn2e2+⋯+Cnn−1en−1−(2n−2)，
令Tn=Cn1e+Cn2e2+⋯+Cnn−1en−1，
则2Tn=Cn1(e+en−1)+Cn2(e2+en−2)+⋅⋅⋅+Cnn−1(en−′+e)>2(Cn1+Cn2+⋅⋅⋅+Cnn−1)en2，
所以Tn>(2n−2)en2，
所以Cn1f′(1)+Cn2f′(2)+⋯+Cnn−1f′(n−1)>(2n−2)(en2−1)=(2n−2)f′(n2)．
【解析】(1)求出f′(x)，利用导数判断函数的单调性，由此求解函数的最值即可；
(2)将Cn1f′(1)+Cn2f′(2)+⋯+Cnn−1f′(n−1)进行化简变形，然后令Tn=Cn1e+Cn2e2+⋯+Cnn−1en−1，求出2Tn=Cn1(e+en−1)+Cn2(e2+en−2)+⋅⋅⋅+Cnn−1(en−′+e)>2(Cn1+Cn2+⋅⋅⋅+Cnn−1)en2，从而得到Tn的取值范围，即可证明不等式．
本题考查了利用导数研究函数的单调性的应用，利用单调性求解函数的最值，不等式的证明问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】(1)解：f(x)的定义域为{x|x>−1}．
因为f′(x)=2x+1+a=a(x+1)+2x+1，
当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增；
当a<0时，令f′(x)=0，得x=−a+2a>−1，
所以当−10，可知f(x)在区间(−1,−a+2a)上单调递增；
当x>−a+2a时，f′(x)<0，可知f(x)在区间(−a+2a,+∞)上单调递减．
(2)证明：当a=1时，f(x)−g(x)=2ln(x+1)+sinx−(x2+2x+2)esinx−1
=ln(x+1)2+lnesinx−(x2+2x+2)esinx−1
=ln(x+1)2esinx−[(x+1)2+1]esinx−1
令h(x)=lnx−1ex，则h′(x)=1x−1e=e−xex，
所以h(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，
所以h(x)≤h(e)=0，
所以lnx≤1ex．
所以ln(x+1)2esinx≤1e(x+1)2esinx=(x+1)2esinx−1，
所以ln(x+1)2esinx−(x+1)2esinx−1≤0，
所以f(x)【解析】(1)求出f(x)的定义域，f(x)的导函数，对a分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；
(2)当a=1时，利用放缩法可得f(x)−g(x)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的证明，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．x
(0,403)
403
(403,40)
f′(x)
+
0
−
f(x)
单调递增
极大值
单调递减